Efecto Hall Cuántico (entero y fraccionario)

Transcripción

1 Efecto Hall Cuántico (entero y fraccionario)

2 Introducción: Desarrollo histórico I 1879, Edwing Hall descubre el efecto Hall Clásico. 1980,Klaus von Klitzing observó que bajo ciertas condiciones, el voltaje Hall, en lugar de aumentar proporcionalmente con la intensidad del campo, crecía a saltos, o escalones: el efecto Hall se había cuantizado Klaus von Klitzing recibe el Nóbel.

3 Desarrollo histórico II 198,Tsui y Störmer, de los Laboratorios Bell, decidieron indagar la región de campos ultra altos con GaAs (T=-69ºC). Efecto Hall Cuántico Fraccionario. 1983, Laughlin, demostró los electrones en un campo magnético dejan de comportarse como partículas individuales y forman un estado colectivo cuántico líquido cuántico quasi-partículas que lo componen tienen un tercio de la carga del electrón. 1998, Tsui, Störmer y Laughlin reciben el Nóbel

4 Efecto Hall Clásico Definimos la conductividad (σ) según: Efecto de B: aparición de una fuerza magnética sobre los e - uur F m e r ur = v B c Para contrarrestar dicha fuerza aparece un campo eléctrico (E H ) perpendicular a la corriente y al campo B uur uuur F = ee Las fuerzas se equilibran: uur uur r ur Fm = F v ur e EH = B c e H r ur r j = σe = nev

5 En nuestro caso particular: σ = ρ = n ec B Y también podemos definir la σ resistividad Siendo el coeficiente Hall: Ey 1 RH = αh = = jb nec 1 x z Pero en realidad la conductividad y la resistividad son tensores en presencia de un campo magnético (en dimensiones) σ = σ σ xx yx σ σ xy yy ρ = ρ ρ xx yx ρ ρ xy yy

6 Tensor conductividad Tenemos en general: r j ur = σ E σ 0 0 r ( j B ) n ec Resolviendo la ecuación para cada componente de la corriente. ur σ j E E E E 0 σ 0 x = X nec y = σ xx X + σ xy y σ 0B σ 0B nec nec De donde podemos obtener los componentes de la conductividad: Conductividad longitudinal: σ xx = 1 σ 0 σ0b + nec σ yy = σ xx Conductividad transversal o también conductividad Hall: σ xy nec nec = + σxx yx xy B σ B 0 σ = σ

7 Mientras el tensor resistividad B ρ0 ˆ nec ρ = B ρ 0 nec = yy ρ ρ = xx xy yxy H ρ 0 ρ = ρ = ρ = B nec Relacionando ambos tensores: σˆ B 0 1 ρ nec = B B ρ ρ nec nec

8 Importancia estados borde en sistemas de dos dimensiones Si el movimiento de los electrones es circular, estos no contribuyen a la corriente De dónde proviene la corriente La respuesta son los electrones de los bordes la muestra. No completan la trayectoria y rebotan contra el borde, curvándose hacia la derecha los de arriba y a la izquierda los de abajo. Debe existir una mayor cantidad arriba para tener corriente hacia la derecha.

9 Efecto Hall Cuántico ρ xy ρ = H B nec Clásicamente esperaríamos H Lo que obtenemos experimentalmente

10 Efecto Hall Cuántico Aparecen efectos inesperados en sistemas de dimensiones a bajas temperaturas y bajo fuertes campos magnéticos. 1.La resistividad Hall deja de variar continuamente y se cuantiza: ρ H = R H = h ie i =1,,3,... (Aunque i también puede ser un número fraccionario ). En los plateaus de la resistividad Hall, la corriente fluye sin disipación, lo que es lo mismo: ρ xx = 0

11 Datos experimentales Del mismo modo para la conductividad σ xx = 0 σ yx = i e h Totalmente independiente de correcciones geométricas, de campos externos

12 Cómo explicar este fenómeno? Incompresibilidad del sistema gap de energía que separa el estado fundamental del 1º nivel excitado En el efecto Hall cuántico (EHC) entero el gap de energía se debe a la energía cinética y en el fraccionario a la interacción entre los e - Existe desorden (impurezas en el material) que produce Existe desorden (impurezas en el material) que produce un rango de estados localizados, en los cuales puede hallarse la energía de Fermi explicación de los plateaus de ρ H.No existe una división clara entre el EHC entero y el fraccionario, la existencia de uno u otro depende del desorden, de la temperatura, de la intensidad de B.

13 Gas de electrones D en un campo magnético: Niveles Landau Gas de N electrones no interactuantes en un B externo y sin desorden H 1 0 = ( ) * p j + A r j m j = 1 c e Elección de gauge: r A r A = ( yb, 0) 1 = ( yb, xb ) Gauge de Landau Gauge simétrico ˆ h eb H = i y m x hc y *

14 Tomamos la función: Ψ ( xy, ) = e ikx ϕ k ( y ) Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger: hωc y l + ( lk) ϕ( y) = Eϕ( y) y l Oscilador Armónico cuántico ω = c eb m c l hc = eb 1 frecuencia ciclotrón Longitud escala del problema Soluciones Niveles de Landau y ϕn ( y) = Hn lk e l 1 En = n + ω; n = 0,1,... h ( y l k ) / l

15 Condiciones de contorno periódicas en el eje x ψ ( x, y) = ψ ( x + L ) n n x k = π p Lx Los puntos centrales de los estados. y0 = l k Los centros de estados vecinos a lo largo del eje y están separados por = y π l Lx Si el sistema tiene una anchura L x cada nivel de Landau contiene: Ly = LL x y πl estados y Por tanto el número de estados por unidad de área en un nivel de Landau lleno o su degeneración es: n B 1 = = eb πl hc

16 Factor de llenado ν = n n B n=nº de e - por unidad de área Interpretación cuántica: flujo cuántico flujo total Φ 0 nº de flujos cuánticos hc = e A Φ = BA = Φ BAe hc = Φ = Φ πl Φ = A πl 0 ν Nº de electrones por flujo cuántico na = l n = Φ 0 π ν

17 D(ε ) Degeneración e incomprensibilidad + = n c B n l A D 1 ) ( ω ε δ π ε h. B B y x l A l L L Degen π π = ε hω C / B B π π ε S ν = πl B S ν = πl B 0 1 = = Z Z ν ν ρ µ ρ κ B = ε µ ε µ

18 Cuantización de la conductividad En el caso ideal el factor de llenado es un nº entero n ν = = n B i Introduciendo esta condición en los tensores antes definidos de la resistividad y la conductividad. ˆ ρ B h ρ 0 0 nec ˆ ie = ρ = B h ρ 0 0 nec ie Desaparece la resistividad en los plateaus ρ 0 =0 B ie ρ ˆ nec ˆ h σ = σ = B B ie ρ ρ nec nec h

19 Explicación efecto cuántico Hall entero Niveles de Landau completamente llenos. ν nº entero (degenerados) y entre ellos existen gaps de energía (incomprensibilidad) Existen dos tipos de estados: extendidos (conducen corriente) y localizados (no conducen corriente). (Estados de los niveles de Landau onda plana extendidos.) Existencia de impurezas (estados localizados) que se encuentran entre los gaps de energías de los niveles de Landau. Desorden (vital para explicar el efecto hall cuántico entero)

20 Cuando la energía de Fermi se halla en un gap de energía (a) y (b) la resistencia Hall no puede aumentar de su valor cuantizado plateaus Cuando la energía de Fermi se halla en un nivel de Landau (c) es posible cambiar el voltaje y la resistencia aumenta en un valor finito (escalón)

21 Mientras la densidad de estados crece (o disminuye el campo magnético), los estados localizados son ocupados gradualmente (aquellos que se hallan en el gap) mientras la ocupación de los estados extendidos no sufre ningún cambio. De este modo, como los estados localizados no conducen corriente no hay cambio alguno en la resistencia Hall,mientras que la densidad de estados crece (región del plateau). Por el mismo motivo en el gap no hay disipación,de modo que desaparece la resistividad longitudinal. (diagonal del tensor)

22 Esquema del Efecto Hall Cuántico B 1 B B

23 Efecto Hall Cuántico Fraccionario

24 El efecto Hall cuántico fraccionario se observa en sistemas muy limpios (no hay apenas impurezas) sometidos a campos magnéticos muy intensos, a muy bajas temperaturas. En este caso el gap de energía es causado por la interacción electrón-electrón. El desorden tiene el efecto contrario al que tenía en efecto Hall cuántico entero. En este efecto la conductividad transversal sigue la forma: σ = H p e q h Donde p y q son números enteros y q es casi siempre impar

25 Función de onda de Laughlin Sistema de N electrones interactuantes. Campo magnético suficientemente grande interacción entre electrones poco importante comparada con la ω C Descripción del sistema función de onda colectiva formada por funciones de onda de una partícula en el nivel fundamental de Landau. No hay energía suficiente para que la probabilidad de transición a niveles superiores de Landau sea relevante.

26 Condiciones de la función de onda de Laughlin 1. Función de many-body incluye todas las partículas.. Incluye el efecto de interacción electrónelectrón. 3. Autoestado del primer nivel de Landau. 4. Función antisimétrica. 5. Autoestado del operador L z

27 Función de onda Laughlin Trabajamos en un gauge rotacionalmente invariante alrededor del eje z: r 1 v A = = v 1 1 ( B r ) = B( xyˆ yxˆ ) Brφˆ Ecuación de Schrödinger para e libres: Si definimos la longitud magnética: Y utilizamos x% = y% = x l B y l B 1 h exb h eyb r + + ε ψ = m i y c i x c l B hc = eb hω c 1 1 x% + + y% ψ = ψε 4 i y% i x% ( r ) 0

28 Si hacemos: % % y definimos: ψ = e z φ( zz, ) z = x + iy La ecuación de autovalores de Φ es φ φ 1 hωc z + φ = εφ z z z Construimos la función de onda degenerada del 1 er nivel de Landau ( ) ( ) ψ( ) ( ) φ zz, = f z zz, = f ze donde f es un polinomio de z. Y como: f ( z) = 0 los autovalores son ε=ħω c / z z El estado fundamental del Hamiltoniano de muchos cuerpos con interacción de Coulomb puede construirse a partir de las funciones del 1er nivel de Landau. Ψ = f z... z e ( ) z l= 0 0

29 Ψ = l< l ( ) f z z e l l 1 l = 0 z l Función de onda Jastrow El Hamiltoniano conmuta con el operador momento angular ˆ Ll = ih = zl zl θ z z l l l Luego los autoestados del Hamiltoniano son autoestados de dicho operador ( ) f z ( ) ( ) q z = qf z f z = z z q es un entero Por tanto

30 q z z e ( ) l l l< l Ψ= 1 l = 0 zl

31 Función de onda de Laughlin Ψ = l< l ( ) l l q z z e 1 l = 0 z l Debe ser antisimétrica bajo intercambio de partículas q impar Denominador impar en la resistencia Hall z = z i j La función se anula incluido efecto correlación. i j Cuando q es entero impar estado excitado de N e- correlacionados llenando 1/q del 1er nivel de Landau.

32 Los valores del factor de llenado fraccionarios con denominador impar producen gaps de energía (creados por la propia interacción electrón-electrón dentro del mismo nivel). Para q= 1 se puede comprobar que la función de onda corresponde a un determinante de Slater. Pero para q= 3, 5, 7, también tenemos funciones de onda que describen bien el sistema.

33 Importancia de las impurezas La muestra debe de estar mucho más limpia que en el IQHE. Si comenzamos añadir impurezas los plateus correspondientes a ν fraccionarios se fusionan. Si continuamos adicionando los plateus correspondientes a ν enteros sufren un ensanchamiento Si seguimos sumando más impurezas desaparece el efecto Hall Cuántico por completo. Sistema clásico

34 Efecto Hall Cuántico Fraccionario

35 Carga fraccionaria Se demuestra que las funciones de onda de Laughlin para números de q fraccionarios con denominador impar son excitaciones colectivas del sistema con carga fraccionaria e*=νe. El nombre técnico de estas cuasi-partículas es skyrmions. Fluctuaciones de carga

36 Algunas paradojas del modelo 1 r e ur H ( q) = p A * + m c En principio este Hamiltoniano no debería proporcionar corriente. No hay campo eléctrico aplicado. r ur qhc ur Introducimos un potencial ficticio a = ( qφ0 Ly ) y = y el y Dicho potencial no corresponde a ningún campo magnético El Hamiltoniano queda de la forma: r a = ( ) e e φ Hq = p+ A q yˆ * m c cly ur J ( ) H q q Teorema de Noether

37 dq q H h el y y L c e q A c e p m e q r J y y y ) ( ˆ ˆ ), ( 0 * = + = φ Entonces la corriente es: Si un estado lleva corriente la derivada debe ser 0 y el espectro de autovalores depender del potencial ficticio pero habíamos dicho que los Estados no podían transportar corriente. Estados no podían transportar corriente. Qué ocurre?

38 Efecto Aharanov-Bohm Originado por la aparición del potencial vector A en H, en vez de la inducción B. Supongamos un sistema de electrones atravesado por un solenoide muy fino que produce un campo magnético constante en el interior y cero fuera. Siendo el potencial fuera del solenoide: r A r ( ) = φ 1 u ˆ π r ϕ

39 r r e r r r Ψ exp îk + i dr A hc r ( ) ϕ AB πφ = Φ 0

40 Conclusión Efectivamente el efecto del potencial vector que no produce inducción magnética es una fase extra en la función de onda que nos cambia las condiciones de contorno de nuestro problema, pero no cambia el espectro y por lo tanto las partículas no transportan corriente. SE CORRESPONDE CON EL CASO DE LAS IMPUREZAS.

41 Spin Hasta ahora hemos considerado que el grado de libertad del spin estaba congelado y los spines se alineaban con el campo magnético sin coste alguno de energía. Valores de ε y m* apropiados energía de Zeeman << que las energías típicas del problema. El spin es gobernado por la interacción e-e.

42 Bibliografía A quantum approach to Condensed Matter Physics. Philip L. Taylor, Olle Reinonen. Ed Cambridge University Press.00 Condensed Matter Physics. Michael P. Marder. A Wiley- Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, INC Physical Review Letters B.