MATEMÁTICAS 2 UNIDAD I GEOMETRÍA EUCLIDIANA

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1 MATEMÁTICAS 2 UNIDAD I GEOMETRÍA EUCLIDIANA Francisco Javier Jara Ulloa Segundo Semestre ALUMNO: UAP: SEM: GRUPO: Nivel Medio Superior Universidad Autónoma de Nayarit 2da. Edición

2 UNIDAD DIDÁCTICA I GEOMETRÍA EUCLIDIANA PRESENTACIÓN El propósito de esta unidad didáctica consiste en desarrollar tus habilidades para el manejo y aplicación de los conceptos básicos de la geometría plana o euclidiana tal como: ángulos, triángulos, polígonos, circunferencia y círculo en la resolución de ejercicios y problemas de diversas áreas del conocimiento. En la siguiente sección aplicarás las propiedades de los ángulos, triángulos, polígonos, circunferencia y círculo en la resolución de problemas de ángulos de elevación y depresión, sectores circulares, distancias, alturas de lugares inaccesibles, además de calcular áreas y volúmenes. Todo esto aplicado a las áreas de Química, Economía, Física, Biología y Deportes entre otras. Esta unidad cuenta con tres tipos de ejercicios, los tipo a que son fáciles te servirán como ejercitación y repaso de los temas, los tipo b en los cuales tienes que hacer un poco de esfuerzo porque son ejercicios que implican una sustitución o un grado de complejidad un poco mayor y por último los tipo c los cuales son de aplicación o que requieren un poco de análisis para su solución. Estos ejercicios los identificarás por aparecer un subíndice a, b o c en el número del mismo. COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 2

3 COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 3

4 Elementos geométricos Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de elementos geométricos básico, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de geometría plana o euclidiana. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 2do. ESO en el tema de medición de ángulos. Existe software como Esketch pad o Encarta en la sección de Matemáticas en los que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar los elementos geométricos 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes las clasificación y lo que aprendiste los elementos geométricos. Elementos geométricos 4

5 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás identificar los elementos geométricos 1 a. Define matemáticas 2 a. Qué es una proposición? 3 a. Menciona las proposiciones en las que se clasifican las matemáticas 4 a. Qué es razonamiento? 5 a.define lo que es un Axioma y menciona 3 ejemplos 6 a. Define y da un ejemplo de postulado 7 a.define y da un ejemplo de teorema 8 a.define y da un ejemplo de corolario 9 a. Cuáles son las diferentes partes en que se divide una demostración? 5

6 En los siguientes enunciados indica a que proposición se refieren 10 b.la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a b. La tercera parte de 3 es uno 12 b. Por un punto pueden pasar infinidad de rectas 13 b.el círculo es la línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo interior llamado centro 6

7 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás graficar e identificar las diferentes formas de las proporciones y sus propiedades Encontrar el valor de x en las siguientes proporciones. 1 a. 2 a. 3 a. 4 a. 5 b. 6 b. En las siguientes figuras determina el valor de x. 7 c. 8 c. 9 c. 10 c. 7

8 Ángulos Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de triángulos, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de triángulos o polígonos. Puedes revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 1ro ESO en el tema de Introducción a los ángulos. También puedas revisar la página en la sección geometría grados 6-8 en los temas Geoplano Circular. Existe software como Esketch pad en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar las propiedades de los ángulos 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes lo que aprendiste sobre los ángulos y su clasificación. Ángulos 8

9 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar las propiedades de los ángulos En la siguiente figura, nombra lo siguiente: 1 a. Ángulos adyacentes 2 a. Ángulos opuestos por el vértice 3 a. Ángulos rectos 4 a. Ángulos agudos 5 a. Ángulos obtusos Trazar los siguientes ángulos 6 b ' 7 b b b. Angulo obtuso 10 b. Angulo Entrante 11 b. Dos ángulos consecutivos 9

10 12 b. Calcula el valor de x de la siguiente figura x 4x 3x 2x 13 b. Completa el siguiente cuadro: ÁNGULO COMPLEMENTO SUPLEMENTO CONJUGADO Convertir los grados sexagesimales en grados minutos y segundos 14 b b b b b Convertir los siguientes grados minutos y segundos a décimas de grado 19 b ' 20 b. 27 0`0 21 b ' 12" 22 b b

11 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás aplicar las propiedades de los ángulos en la resolución de problemas 24 c.- Encontrar dos ángulos suplementarios, si uno de ellos 25 0 menor que el tripe del otro. 25 c.- Encontrar dos ángulos consecutivos, cuya suma sea y uno de ellos es 12 0 mayor que el otro. 26 c.- Calcular lo que se pide, justifique su respuesta x =?, y =? z =? 11

12 Triángulos Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de triángulos, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de triángulos o polígonos. Puedes revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 2do ESO en el tema de Teorema de Pitágoras, también en el tema Semejanza de Polígonos, en 3ro ESO en el tema Rectas notables de un triángulo. También puedas revisar la página en la sección geometría grados 6-8 en los temas Geoplano Circular, Rompecabezas Pitagórico y Triángulos Congruentes. Existe software como Esketch pad en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar las propiedades de los triángulos 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes lo que aprendiste sobre los triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras. Triángulos 12

13 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar las propiedades de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras. En los siguientes ejercicios. Calcula x aplicando la semejanza de triángulos. 1 b. En la figura de DE AB; 2 b. Calcula AB que corresponde a la ancho de un río 3 b. En la siguiente figura, DE \\ BC 4 b. 13

14 Calcula el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras 5 b. 6 b. 7 b. 8 c.calcular la altura del siguiente triángulo rectángulo. 14

15 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás aplicar la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. 1 c. Un poste de 2.5m de alto, colocado verticalmente proyecta una sombra de 5.5m, al mismo tiempo en que una torre de corriente de la CFE proyecta una sombra de 30m. Qué altura tiene la torre? 2 c. Un poste de luz que mide 5m de altura proyecta una sombra de 3.5m, al mismo tiempo que un niño proyecta una sombra de 1.5m. Cuál es la altura de este niño? 3 c. Un Avión que se encuentra en el polo norte, vuela 250 km hacia el sur y luego 300 km hacia el este, a qué distancia se encuentra de su punto de partida? 4 c. Tenemos una lámpara que ilumina sobre un escenario, colocamos a una distancia de 5m un cuerpo de 2m de altura, de qué tamaño proyectará su imagen en una pantalla colocada a 25m? 15

16 5 c. Se quiere calcular el ancho de un río, se decide seleccionar un árbol en una orilla y en la otra se seleccionan dos puntos B y C, además sobre un punto D y sobre el punto E, de manera que y sean paralelas. Cuál es el ancho del río? 6 c.- Dos árboles están separados una distancia de 25m entre si, en algún punto entre ellos se encuentra un conejo, el cual es observado por dos águilas, una situada en el árbol que tiene 9 m de altura y la otra en el que mide 12 m de altura, a) A qué distancia está el conejo de cada uno de las águilas? Supón semejanza de triángulos 16

17 Polígonos (complemento). Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de resolución de polígonos, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de polígonos. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 3ro ESO en el tema de Medidas de Polígonos. También puedas revisar la página en la sección geometría grados 6-8 en los temas Geoplano, Mosaicos y Tangramas. Existe software como Esketch pad en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar los diferentes tipos de polígonos. 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre los polígonos. Polígonos 17

18 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad aplicarás las propiedades de los polígonos en la resolución de ejercicios. 1 a. Cuáles son las propiedades de los paralelogramos? 2 a. Cuáles son las propiedades de los trapecios? 3 b. Calcular en un pentágono regular: a) La suma de sus ángulos interiores b) El valor de un ángulo interior c) El número de diagonales de un vértice d) El total de diagonales 4 b. Calcular en un decágono regular: a) La suma de sus ángulos interiores b) El valor de un ángulo interior c) El número de diagonales de un vértice d) El total de diagonales 18

19 5 b. Cuántos lados tiene un polígono regular, cuyos ángulos interiores suman ? 6 b. Calcular x, y 7 b. En el trapecio isósceles calcular el valor de x. 8 c. Cuál es el polígono cuyo número de lados es igual al número de diagonales? 9 c. Cuál es el polígono regular que tiene 20 diagonales? 10 c. Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales mas que lados? 19

20 Circunferencia y Círculo (complemento) Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de circunferencia y círculo, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo geometría, normalmente son temas que vienen juntos por el grado de relación. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 1ro ESO en el tema: Polígonos regulares y círculos. También puedas revisar la página en la sección geometría grados 6-8 en el tema Geoplano circular. Existe software como Esketch pad en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar las propiedades y características de la circunferencia y círculo 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste la circunferencia y círculo. Circunferencia y círculo 20

21 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar las fórmulas de la circunferencia y círculo en función de los ángulos relacionados. En la siguiente figura, con centro en O, indica: 1 a. 3 ángulos centrales 2 a. 3 ángulos inscritos 3 a. 3 ángulos semi-inscritos 4 a. 1 ángulo exterior 5 b. Calcula la medida de A, O 6 b. Calcula A y 21

22 7 c. Calcula x, y 8 c. Calcular x, y 9 c. Calcular x, si RS es diámetro y y = c. Calcular, si y =

23 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás aplicar las fórmulas de áreas y volúmenes en la resolución de problemas. 1 c. Calcula el área sombreada, si la figura inscrita es un cuadrado 2 c. Calcula el área sombreada si, AB = 10 cm, BC = 15 cm y CD = 10 cm 3 c. Calcular el área sombreada de la siguiente figura. 23

24 4 c. Cuántos postes se requieren para cercar un terreno rectangular de 120m x 80m, si entre cada para de ellos debe haber una separación de 2m? Cuál es la superficie encerrada? 5 c. Un tinaco de forma cilíndrica que almacena agua, mide 0.60m de radio y 1.10m de altura. Calcula su volumen y el peso total de agua que puede contener. 24

25 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN CALIFICACIÓN PARCIAL Participación y trabajo en el curso-taller 20% Tareas y/o trabajos extraclase (Guía Didáctica) 20% Autoevaluación temática 10% Caso integrador 10% Examen 40% AUTOEVALUACIÓN Marca con una X según consideres tu trabajo durante la unidad, recuerda ser honesto, ya que tus resultados te servirán para crecer como estudiante y como persona. Variable a medir Excelente Bueno Regular Malo Asistencia Participación Trabajo en el aula Autoestudio Tareas Disposición al trabajo en equipo Tolerancia ante comentarios de compañeros Examen Compromisos para mejorar Firma de enterado: Docente: 25

26 AUTOEVALUACIÓN TEMÁTICA Esta autoevaluación te permitirá una retroalimentación sobre el tema de Geometría Euclidiana y te mostrará si está listo para la siguiente unidad de Trigonometría. Recuerda que esta autoevaluación cuenta el 10% de tu calificación parcial. INSTRUCCIONES GENERALES: La siguiente autoevaluación consta 8 reactivos, los cuales deberán contestarse como se indica en cada caso. Cada problema tiene el mismo puntaje (valor). VALOR (10%) Resolver los siguientes ejercicios sobre Geometría Euclidiana, seleccionando la respuesta correcta. 1.- Es una proposición matemática a) Demostración b) Axioma c) Praxis d) Hipótesis 2.- Resuelve la siguiente proporción a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = Determina el valor de AD a) 9 b) 12 c) 15 d) Determina el valor de x a) 7 b) 9 c) 11 d) Cuántos lados tiene un polígono regular cuya suma de ángulos interiores es de ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 26

27 6.- Tres cables sujetan una torre de antena de radio para darle mayor estabilidad, si están situados a 36 m del pie de la misma. Calcular la longitud de los cables, si éstos se fijan a la torre a una altura de 48m. a) 60m b) 65m c) 70m d) 75m 7.- Halla el valor de x, si PA y PB son tangentes a la circunferencia y O es el centro. a) 80 0 b) 90 0 c) d) Calcula el peso del agua de un aljibe con dimensiones de 120cm de largo, 150cm de ancho y 2 m de profundo. a) 3,600 Kg b) 3,500 Kg c) 3,200 Kg d) 3,000 Kg 27

28 CASO INTEGRADOR Unos albañiles desean construir un aljibe de con las siguientes dimensiones (interiores): 1.20m de largo, 1.5m de ancho y 2 m de profundo. Investiga lo siguiente: 1.- Cuando no cuentan con una escuadra, cómo hacen los albañiles para construir ángulos rectos entre las bardas? 2.- Cuál es la superficie a enjarrar? 3.- Si el costo por enjarre es de $40 m 2, Cuál es el costo de enjarre? 4.- Cuál es la capacidad del aljibe? 5.- El costo total real de construir este aljibe 6.- El origen de la palabra aljibe 7.- Investiga algunas otras situaciones donde los albañiles o cualquier otro profesionista aplique las propiedades de los triángulos, polígonos o circunferencias (semejanza, teorema de Pitágoras, etc.) 28

29 BIBLIOGRAFIA Arriaga, Alfonso (2009) Matemáticas 2. México: PROGRESO EDITORIAL Cuellar, Juan Antonio (2006) Matemáticas II para Bachillerato. México: Mc Graw Hill Guzmán, Herrera Abelardo (2004) Geometría y trigonometría. México: Publicaciones cultural Fuenlabrada, Samuel (2004) Geometría y Trigonometría. México: Mc Graw Hill Ruiz, Basto Joaquin (2005) Geometría y Trigonometría. México: Editorial Publicaciones Culturales Baley, John D. (2004) Trigonometría. México: Mc Graw Hill Burril, Gail F. (2003) Geometría integración, aplicación y conexiones. México: Editorial Mc Graw Hill Malba, Tahan (2003) El hombre que calculaba. México: Noriega Editores Software Encarta Software Derive Software Esketch pad SOFTWARE Y SITIOS DE INTERNET 29

30 NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO ELIGE EL NIVEL EN QUE DESARROLLASTE TUS COMPETENCIAS GENÉRICAS DURANTE ESTA UNIDAD TEMÁTICA Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 30

31 NULO BAJO MEDIO ALTO COMPETENCIAS DISCIPLINARES DE MATEMATICAS Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente. Evalúa la relación que existe entre lo que has aprendido en esta Unidad Temática y las competencias disciplinares de matemáticas. Competencias 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 31

32 Ficha de Análisis del Proceso Cognoscitivo Para facilitar el rescate del proceso personal de formación de conocimiento, elabora una carta a un amigo donde le expliques lo siguiente: De acuerdo a tu experiencia Cuáles son los conocimientos previos que necesita una persona para manejar este conocimiento? Cuáles son los conceptos claves en este tema? Cuáles son los aspectos más fáciles de entender? Cuáles son los aspectos más difíciles de entender? Qué ejemplos pondrías a alguien para que entendiera mejor el tema? En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este conocimiento? Qué nuevos retos y expectativas te plantea lo que has aprendido? 32

33 La siguiente tabla te da una ubicación en tu desempeño durante el desarrollo de la Unidad Didáctica de Geometría Euclidiana, según la cantidad de ejercicios que hayas contestado en la guía didáctica, es muy importante tu honestidad ya que de esto depende la ubicación en el grado de desempeño que te corresponderá. En total son 29 ejercicios tipo A, 38 ejercicios tipo B y 26 ejercicios tipo C. GRADO DE DESEMPEÑO DESCRIPCIÓN INSUFICIENTE Estarás en este nivel siempre y cuando no cumplas con los requisitos para el ELEMENTAL. ELEMENTAL Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 10 ejercicios tipo A, 5 tipo B y 2 tipo C. BUENO Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 15 ejercicios tipo A, 15 tipo B y 10 tipo C. EXCELENTE Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 20 ejercicios tipo A, 20 tipo B y 15 tipo C. Si no cumples con alguno de los tres requisitos (cantidad mínima de ejercicios) para un grado, tu ubicación será en el grado anterior. Para comprender mejor esta tabla pide ayuda a tu profesor y él te orientará sobre algunas técnicas o estrategias que debes emplear para mejorar tu rendimiento académico y obtener mejores resultados en las siguientes evaluaciones. 33

34 Rasgos Criterios TABLA DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE ALCANZADOS INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE Elementos geométricos y ángulos Identifica los elementos básicos de geometría, como punto, segmento, lado, etc. Resuelve razones y proporciones en forma de ecuaciones e identifica y clasifica los ángulos. Identifica los lados homólogos de dos figuras proporcionales, así como los ángulos. Formula y resuelve problemas de ángulos, razones y proporciones aplicando las propiedades. Triángulos Clasifica los triángulos en función a sus lados y a sus ángulos Resuelve ejercicios de semejanza de triángulos Resuelve ejercicios de teorema de Pitágoras Plantea y resuelve ejercicios de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras, así como su demostración. Polígonos Clasifica los polígonos en función de sus lados y ángulos Identifica las propiedades de cada tipo de polígono Calcula datos y resuelve problemas de polígonos aplicando las propiedades Calcula áreas y volúmenes de figuras a partir de la generalización de polígonos Circunferencia y círculo Identifica la circunferencia y el círculo Identifica los ángulos en la circunferencia y sus propiedades Resuelve problemas de la circunferencia aplicando las propiedades de los ángulos Demuestra algunas propiedades, plantea y resuelve problemas de áreas y volúmenes. 34