MATEMÁTICAS 1 UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

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1 MATEMÁTICAS 1 UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Francisco Javier Jara Ulloa Primer Semestre ALUMNO: UAP: SEM: GRUPO: Nivel Medio Superior Universidad Autónoma de Nayarit 2da. Edición

2 UNIDAD DIDÁCTICA I INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA PRESENTACIÓN El propósito de esta unidad didáctica consiste en desarrollar tus habilidades en aritmética y lógica matemáticas para el estudio del álgebra, mismos que aplicarás en la resolución de ejercicios y problemas de diversas áreas del conocimiento. En la siguiente sección analizarás problemas de aritmética que te permitirán el desarrollo de habilidades para comprender el proceso de generalización y por consiguiente del lenguaje algebraico, el cual utilizarás en la resolución de problemas. Al finalizar la unidad didáctica analizarás, con la ayuda de tu profesor, problemas relacionados a las áreas de Economía, Química y Física, entre otras. Esta unidad cuenta con tres tipos de ejercicios, los tipo a que son fáciles te servirán como ejercitación y repaso de los temas, los tipo b en los cuales tienes que hacer un poco de esfuerzo porque son ejercicios que implican una sustitución o un grado de complejidad un poco mayor y por último los tipo c los cuales son de aplicación o que requieren un poco de análisis para su solución. Estos ejercicios los identificarás por aparecer un subíndice a, b o c en el número del mismo. COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 2

3 COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 3

4 Resolución de problemas de aritmética Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de aritmética, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo aritmética. Puedes también revisar en las páginas en la sección de números y operaciones, grados 9 12 y luego escoger alguna de las aplicaciones o en en la sección de Unidades Didácticas, 1ro ESO en los diversos temas. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar los números reales 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes las clasificación y lo que aprendiste sobre la aritmética y los números reales. Aritmética y los números reales. 2 a. Lista las propiedades de los números reales. 4

5 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar las diferentes propiedades de los números reales Indica el nombre de la propiedad 1 a. 3(x + 5) = 3x + 15 = 2 a.(x + 3) + 6 = x + (3 + 6) = 1 3 a. 3x + 2y = 2y + 3x = 4 a. x 1 x 5 a. (x + 2) = 1(x + 2) = Inserta <, > ó = según corresponda 6 a a a a a b. 1/ b b b Evalúa, utiliza calculadora solo cuando haya decimales. 4 3 = 16 a a. = 17 a = 4 19 a. (-1)(-1)(-1)(-2)(-3) = 20 a a a = 22 a a b b b

6 b b b b b b b b c b. 3 * c c c c

7 c. 41 c (3 1) Evalúa en los valores indicados 3 2x 5x 2x 1 cuando x = 3 43 b b. 4a b 4a 3b, cuando a = 2 y b = -3 Resuelve los siguientes ejercicios sobre razones y proporciones. Determina el valor de x 45 a. 46 a. 47 a. 48 b. Qué porcentaje de 140 es 91? 49 b es el 20% más de qué número? 50 b. 370 es el 60% de qué número? 7

8 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad aplicarás las diferentes propiedades de los números reales en la resolución de problemas de diversas áreas. Resuelve los siguientes problemas sobre números reales 1 c. En la ciudad de Tepic Nayarit, la temperatura durante un día cayó de 35 0 C a 8 0 C. Encuentra el cambio de temperatura. 2 c. En la ciudad de Chihuahua la temperatura durante un día cayó de 25 0 C a 8 0 C. Encuentra el cambio de temperatura. 3 c. Un submarino se sumerge a ft. Un poco mas tarde el submarino sube ft. Encuentra la profundidad del submarino desde su posición inicial. 4 c. Qué valores puede tomar la d y la u para que el número 384du sea un múltiplo de 4? 5 c. La papa produce 3/7 de su peso en fécula. Cuántos kilogramos de fécula se obtendrán de 50 decalitros de papas, si sabemos que dos decalitros pesan 11.8 kg? 8

9 6 c. Un padre deja al mayor de sus hijos 1/4 de su fortuna, al segundo 2/5 y al tercero los $140, restantes. Cuál es el monto total de la herencia? 7 c. Un albañil pinta una pared con una rapidez de m 2 por hora y otro a razón de m 2 por hora. Cuántos m 2 de superficie pintan entre los dos, en 2 horas? Resuelve los siguientes problemas sobre razones y proporciones 8 c. Una barra de aluminio (Al) de 50 cm de longitud se cortará en tres partes de tal manera que las longitudes estén en la razón 5 : 4 : 1, cuál es la longitud de cada parte? 9 c. Un terreno de 840 m 2 de superficie va a dividirse en dos lotes de manera que el menor sea ¾ del mayor, cuánto medirá cada lote? 10 c. Vinicio Castilla fue al bat 135 veces y bateó 50 hits, cuál es su porcentaje de bateo? 9

10 11 c. El número de habitantes en nuestro país en 1980 era de distribuidos en una extensión territorial de Km 2, Cuál era la densidad de población? 12 c. Si r es directamente proporcional a x y es igual a 15 cuando x = 5, Cuál es el valor de r cuando x = 2? 13 c. Expresa en forma de ecuación, t es directamente proporcional a x e inversamente proporcional al cubo de y. 14 c. Un tanque de agua tarda 90 min en llenarse con dos surtidores, cuántos surtidores se deben emplear para llenarlo en 30 min? 15 c. La aceleración a con que se desplaza un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada F. Si un cuerpo se mueve con una aceleración de 3 m/s 2 cuando se le aplica una fuerza de 240 N, determina la aceleración con que se movería si se le aplicara una fuerza de 280 N. 10

11 Lenguaje algebraico Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de lenguaje algebraico, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de introducción al álgebra. Puedes también revisar en las páginas en la sección de álgebra, grados 6-8 y luego seleccionar Torres de Hanoi (o cualquier otra actividad) o en en la sección de Unidades Didácticas, 2do. ESO en el tema de Interpretación de expresiones algebraicas o en 3ro. ESO en el tema de Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar las expresiones algebraicas 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes las clasificación y lo que aprendiste sobre el lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico 11

12 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar y desarrollar de manera operativa el lenguaje algebraico en la resolución de ejercicios. Escribe los próximos dos términos de cada sucesión a.- 2, 4, 8, 16, 32,... 2 a.,,,,... 3 a. -1, 1, -1, 1, a. 1,,,,... 5 a. 15, 29, 43, 6 a. 7, 21, 63, Escribe los n primeros términos de las progresiones aritméticas que contienen los elementos que se indican: 7 a. a = 3; d = 3; n = 6 8 a. a = 6; d = - 2; n = 7 9 a. a = - 4; d = 2; n = 6 Obtén la suma de las progresiones aritméticas 10 b. a = 3; d = 2; n = b. a = 2; d = 29; n = 10 Resuelve las progresiones aritméticas 12 b. a = 7; 2do. término = 5; n = 5 13 b.- n = 8; S = -32; d =?; a = 3 12

13 14 b. a = 11; d = -2; S = -28; n =?; Escribe los primero n términos de la progresión geométrica que contienen los elementos que se indican 15 a. a = 3; r = 2; n = 4 16 a. a = ½; r = -2; n = 5 Resuelve las progresiones geométricas. 17 b. a = 2; r = 2; n = 7; S =? 18 b. a = 2; n = 6; r = 3; S =? 13

14 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás aplicar el lenguaje algebraico en el planteamiento y resolución de problemas de sucesiones y series. Resuelve los siguientes problemas. 1 c. Un auditorio tiene 30 filas de asientos, 15 en la primera fila, 17 en la segunda, 19 en la tercera y así sucesivamente. Determina: a) Cuántos asientos hay en la fila 20? b) La capacidad del auditorio para la gente sentada? 2 c. En una colonia de bacterias, cada bacilo se divide en dos, después de cada hora. Cuántas bacterias resultan de un solo bacilo si la división prosigue por 10 horas? 3 c.- Cuenta la historia que cierto Rey quería que le hicieran un juego para distraerse, pero este tenía que ser especial, pues él quería pensar en dicho juego y no aburrirse; entonces dijo a todos sus magos, genios y matemáticos del reino que el que hiciera dicho juego le daría todo lo que quisiera. Entonces el matemático construyó el ajedrez y al explicarle al Rey en que consistía este juego a éste le encantó y le preguntó, qué desea?, vino?, oro?, mujeres?; y el matemático contestó. Mira lo que quiero es que por el primer cuadro me des un grano de trigo, por el segundo dos granos, por el tercero cuatro granos, por el cuarto ocho granos, por el quinto 16 y así sucesivamente. Entonces el Rey le dijo que fuera a los almacenes y que le dieran lo que el matemático pedía, pero cual fue su sorpresa que ni con todos los granos de trigo que había en el almacén ni con la cosecha del próximo año le pagarían al matemático. Entonces cuántos granos de trigo le debían dar al matemático?, si cada grano pesa 1 gramo, cuántas toneladas de trigo son? 14

15 4 c. En la siguiente sucesión: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,... Encuentra una expresión que represente esta sucesión, todos los términos de esta sucesión son números pares? Justifica tu respuesta. 5 c. Cuenta una leyenda que el fin del mundo ocurrirá cuando en un lugar en el oriente ciertos monjes están cambiando 64 argollas de oro de diferentes tamaños de una aguja a cualquiera de las otras dos, siguiendo la siguiente regla: una argolla de tamaño mayor no puede quedar arriba de una argolla de menor tamaño, pero una de menor tamaño arriba de una de mayor tamaño si puede ocurrir. Suponiendo que los monjes trabajan todo el día, que hay relevos y no se pierde tiempo entre estos relevos, además de que cada movimiento se hace en 1 segundo y que no se equivocan, en cuanto tiempo llegará el fin del mundo? 15

16 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN CALIFICACIÓN PARCIAL Participación y trabajo en el curso-taller 20% Tareas y/o trabajos extraclase (Guía Didáctica) 20% Autoevaluación temática 10% Caso integrador 10% Examen 40% AUTOEVALUACIÓN Marca con una X según consideres tu trabajo durante la unidad, recuerda ser honesto, ya que tus resultados te servirán para crecer como estudiante y como persona. Variable a medir Excelente Bueno Regular Malo Asistencia Participación Trabajo en el aula Autoestudio Tareas Disposición al trabajo en equipo Tolerancia ante comentarios de compañeros Examen Compromisos para mejorar Firma de enterado: Docente: 16

17 AUTOEVALUACIÓN TEMÁTICA Esta autoevaluación te permitirá una retroalimentación sobre la unidad Introducción al álgebra y te mostrará si está listo para la siguiente unidad de Polinomios de una variable. Recuerda que esta autoevaluación cuenta el 10% de tu calificación parcial. INSTRUCCIONES GENERALES: La siguiente autoevaluación consta de 2 secciones, las cuales deberán contestarse como se indica en cada caso. Cada sección tiene un puntaje (valor) determinado. VALOR (6%) I.- Resolver los siguientes ejercicios sobre propiedades de los números reales, razones proporciones, sucesiones y series, seleccionando la respuesta correcta 1.- Indica el nombre de la propiedad (8 + 7) + 3 = 8 + (7 + 3) a) Asociativa para la suma b) Asociativa para la multiplicación c) Conmutativa para la suma d) Distributiva para la suma 2.- Cuál es el valor de x en la siguiente proporción? a) 29 b) 100 c) 116 d) Simplifica : a) 1 b) 4 c) 16 d) es el 15% de qué número? a) 60 b) 80 c) 100 d) Cuántos puntos formarán la siguiente figura? a) 20 b) 25 c) 30 d) Determina la suma de los primeros 8 términos de la sucesión: 4, 12, 36,. a) b) c) 8890 d) 5780 VALOR (4%) II.- Resolver los siguientes problemas sobre propiedades de los números reales, razones proporciones, sucesiones y series, seleccionando la respuesta correcta. 1.- Las dimensiones de un terreno rectangular se desconocen. Si se incrementan el ancho y el largo del terreno en 20%, en qué porcentaje se incrementa su área? a) 40% b) 44% c) 20% d) 10% 17

18 2.- Un tren que marcha a una velocidad constante de 70 km/h tarda 5 horas en recorrer cierta distancia. En cuánto tiempo la recorrería otro tren que marcha constantemente a la velocidad de 25 km/h? a) 10 hr b) 12 hr c) 14 hr d) 16 hr 3.- En cuánto se venderá: una Laptop si su precio normal es de $15,500.00, un maletín de $600.00, un mouse inalámbrico de $400.00, si la tienda ofrece un 15% de descuento en todos sus productos? a) $15, b) $14, c) $2, d) $12, La presión hidrostática (p) en el fondo de una alberca es directamente proporcional a la profundidad (h). Si a una profundidad de 1.5m la presión hidrostática es de 14,700 N/m 2. Calcula la presión hidrostática a una profundidad de 2.4 m a) 23,520 N/m 2 b) 9,187 N/m 2 c) 20,850 N/m 2 d) 18,750 N/m 2 CASO INTEGRADOR Considera la siguiente sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8,.. e investiga lo siguiente: 1.- Cuáles son los siguientes tres términos? 2.- Cómo se llama esta famosa sucesión? 3.- Se menciona en una película reciente y muy famosa del escritor Dan Brown, Cuál es? 4.- Dada la tabla n a n Completa la siguiente: A qué valor se aproximan los cocientes de esta sucesión?, Cómo se le conoce a este valor? 5.- Menciona un área en donde se emplea este valor (puede ser arquitectura, electrónica, robótica, etc.)? Se emplea desde épocas de los griegos en la construcción de muchos edificios antiguos famosos. 6.- De qué forma se emplea en estos edificios? 18

19 BIBLIOGRAFIA Garcia, Marco A. (2009) Matemáticas I para preuniversitarios. México: Esfinge Méndez, Arturo/Osorio, Juan (2010) Matemáticas I. México: Santillana Arriaga, Alfonso (2009) Matemáticas 1. México: PROGRESO EDITORIAL Cuellar, José A. (2005) Matemáticas I para bachillerato. México: Mc Graw Hill Carpinteiro, Eduardo / Sánchez, Ruben B. (2004) Álgebra. México: Publicaciones Cultural Allen, R. Angel (2004) Álgebra Intermedia. México: Prentice Hall Hispanoamericana Olmos, Raul A./ Méndez, Ismael R. (2006) Matemáticas I. Méxco: Mc Graw Hill Fuenlabrada, Samuel (2001) Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill Ibáñez, Patricia C. (2006) Matemáticas I. México: Thomson Osorio, Juan M. (2006) Matemáticas 1. México: Santillana Ensensberger, Hans Magnus (1997) El diablo de los números. España: Siruela Malba, Tahan (2003) El hombre que calculaba. México: Noriega Editores Software Encarta Software Derive SOFTWARE Y SITIOS DE INTERNET 19

20 NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO ELIGE EL NIVEL EN QUE DESARROLLASTE TUS COMPETENCIAS GENÉRICAS DURANTE ESTA UNIDAD TEMÁTICA Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 20

21 NULO BAJO MEDIO ALTO COMPETENCIAS DISCIPLINARES DE MATEMATICAS Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente. Evalúa la relación que existe entre lo que has aprendido en esta Unidad Temática y las competencias disciplinares de matemáticas. Competencias 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 21

22 Ficha de Análisis del Proceso Cognoscitivo Para facilitar el rescate del proceso personal de formación de conocimiento, elabora una carta a un amigo donde le expliques lo siguiente: De acuerdo a tu experiencia Cuáles son los conocimientos previos que necesita una persona para manejar este conocimiento? Cuáles son los conceptos claves en este tema? Cuáles son los aspectos más fáciles de entender? Cuáles son los aspectos más difíciles de entender? Qué ejemplos pondrías a alguien para que entendiera mejor el tema? En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este conocimiento? Qué nuevos retos y expectativas te plantea lo que has aprendido? 22

23 La siguiente tabla te da una ubicación en tu desempeño durante el desarrollo de la Unidad Didáctica de Introducción al Álgebra, según la cantidad de ejercicios que hayas contestado en la guía didáctica, es muy importante tu honestidad ya que de esto depende la ubicación en el grado de desempeño que te corresponderá. En total son 36 ejercicios tipo A, 28 ejercicios tipo B y 27 ejercicios tipo C. GRADO DE DESEMPEÑO INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE DESCRIPCIÓN Estarás en este nivel siempre y cuando no cumplas con los requisitos para el ELEMENTAL. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 10 ejercicios tipo A, 5 tipo B y 2 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 20 ejercicios tipo A, 12 tipo B y 8 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 30 ejercicios tipo A, 20 tipo B y 15 tipo C. Si no cumples con alguno de los tres requisitos (cantidad mínima de ejercicios) para un grado, tu ubicación será en el grado anterior. Para comprender mejor esta tabla pide ayuda a tu profesor y él te orientará sobre algunas técnicas o estrategias que debes emplear para mejorar tu rendimiento académico y obtener mejores resultados en las siguientes evaluaciones. Rasgos Criterios INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE Aritmética Lenguaje algebraico Realiza operaciones con signos y comete errores al hacerlas, no identifica las propiedades de los números reales Identifica el siguiente término de una progresión aritmética y geométrica Aplica las propiedades de los números reales y el orden de las operaciones al realizarlas. Determina el n-ésimo término de una progresión aritmética y su suma Resuelve ejercicios de razones y reglas de tres. Determina el n-ésimo término de una sucesión geométrica, y su suma. Resuelve problemas de progresiones aritméticas y geométricas Formula y resuelve problemas de razones, proporciones y reglas de tres. Formula y resuelve problemas mediante la generalización de términos de sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas 23