MATEMÁTICAS 1 UNIDAD 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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1 MATEMÁTICAS 1 UNIDAD 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Francisco Javier Jara Ulloa Primer Semestre Nivel Medio Superior ALUMNO: UAP: SEM: GRUPO: Universidad Autónoma de Nayarit 2da. Edición

2 UNIDAD DIDÁCTICA III ECUACIONES DE PRIMER GRADO PRESENTACIÓN El propósito de esta unidad didáctica consiste en desarrollar tus habilidades para el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones por medio de diferentes métodos o técnicas. En la primera sección resolverás y aplicarás las ecuaciones lineales en el planteamiento y resolución de problemas. En la segunda parte resolverás ejercicios y problemas de sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas y en la tercera sección será problemas de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Al finalizar la unidad didáctica analizarás, con la ayuda de tu profesor, problemas relacionados a situaciones cotidianas. Esta unidad cuenta con tres tipos de ejercicios, los tipo a que son fáciles te servirán como ejercitación y repaso de los temas, los tipo b en los cuales tienes que hacer un poco de esfuerzo porque son ejercicios que implican una sustitución o un grado de complejidad un poco mayor y por último los tipo c los cuales son de aplicación o que requieren un poco de análisis para su solución. Estos ejercicios los identificarás por aparecer un subíndice a, b o c en el número del mismo. COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 2

3 COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 3

4 Ecuaciones de primer grado o lineales Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de primer grado o lineales, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones lineales. Puedes también revisar en la página en la sección de álgebra, grados 9 12 y luego seleccionar balanza algebraica o en la página en la sección de Unidades Didácticas, 2do ESO en el tema de ecuaciones de primer grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar las diferentes tipos de ecuaciones lineales 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre las ecuaciones lineales. Ecuaciones Lineales 4

5 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás identificar y resolver las ecuaciones lineales De las siguientes expresiones, identifica aquellas que representan una ecuación lineal 1 a. 2 a. 3 a. 4 a. 5 a. 6 a. Simplifica cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, indícalo. 1 a. 8x x 12 2 a. 5x 2 3x + 2x 5 3 a. 6y 2 + 6x + 3 Resuelve cada ecuación. Si una ecuación no tiene solución, indícalo. 1 b. 2x + 3 = 5 2 b. 4x + 3 = 12 3 b. (1.6x 3) = 4.6x 4 b. x 5 x b. 3(2x 4) + 3(x + 1) = 9 6 b. 2(3x 3) = 6x 7 b. 3(2x 1) 2 = 2(x 3) + 4 5

6 En los siguientes ejercicios sustituye los valores indicados y obtén el resultado. 1 b. P = 2L + 2w; L = 15, w = 6 2 b. A = ½h (b 1 + b 2 ): h = 10, b 1 = 20 y b 2 = 30 3 b. S = r 2 + rs: = 3.14, r = 3, s = 4 4 b. E = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 : a 1 = 10, p 1 =0.2, a 2 =100, p 2 =0.3, a 3 = 1000, p 3 = 0.5 Despeja en cada una de las fórmulas la variable indicada 1 b. 3rs 2s = ½ (s + 2r), para r 2 b. M = C + Cit, para C (bancos) 3 b. Vr R = D Dr, para R 4 b. A = 2HW + 2LW + 2LH, para L 6

7 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás aplicar las ecuaciones lineales en la resolución de problemas 1 c. Pedro tiene 15 años más que José. La suma de sus edades es 41. Encuentre las edades de ellos. 2 c. La suma de dos enteros pares consecutivos es 78. Encuentre los dos enteros. 3 c. La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Encuentre los tres ángulos de un triángulo si un ángulo es 20º mayor que el ángulo menor y el tercer ángulo es 2 veces el ángulo menor. 4 c. El Elefante Africano está en la lista de especies en vía de extinción. Se estima que solo existen 360 y esta cantidad se va reduciendo aproximadamente 42 por año. Si ésta reducción no se revierte, después de cuantos años el Elefante quedara extinto? 7

8 5 c. Las focas están emigrando al muelle en San Blas. Si actualmente hay 300 en el muelle, y este número se incrementa en un promedio de 32 por año, después de cuantos años el número de focas alcanzará 580? 6 c. Federico compra un pase mensual para autobús que le permite viajar ilimitadamente por $400 al mes. Sin el pase cada viaje en el autobús cuesta $15.0. Cuántos viajes al mes tiene que hacer Federico para que le resulte menos caro para adquirir el pase? 7 c. El costo por rentar un camión es de $350 diarios más $2 por kilómetro. Qué tan lejos podría conducir Jesús en un día si solo tiene $800? 8 c. Cada semana Luis recibe un salario semanal fijo de $2400 más una comisión del 12% sobre el número de dólares de las ventas que realiza. Cual deberá ser el volumen de dólares en una semana para que gane $5400? 9 c. General Motors tiene un 8% de impuestos por ventas. Cuál es el precio máximo de un auto si el costo total, incluyendo impuestos, debe ser de $120,000? 8

9 10 c. En una venta de liquidación, la compañía reduce los precios de todas sus cámaras en ¼, y después quita $10 adicionales. Si Juan adquiere una cámara Sony por $290 durante esta oferta, encuentra el precio original de la cámara? 11 c. Una planta de una máquina embotelladora de Coca-Cola llena 82.5 botellas en 5 minutos. Encuentre la velocidad de la máquina para llenar las botellas de Coca. 12 c. Dos aviones parten de Tepic al mismo tiempo. Un avión vuela al este a 550 km/h. El otro vuela al oeste a 650 km/h. En cuantas horas estarán a 300 km de distancia? 13 c. Dos familias de vacaciones parten de Tepic y viajan en direcciones opuestas. Después de tres horas los autos estarán a 450 km de distancia. Si un auto viaja a 80 km/h, encuentre la velocidad del otro auto. 14 c. Un tren de pasajeros parte de La estación de Tepic 1.2 horas después de que parte un tren de carga. El tren de pasajeros viaja 20 millas por hora más rápido que el de carga. Si el tren de pasajeros rebasa el tren de carga en tres horas, encuentre la velocidad de cada tren. 9

10 15 c. Cuántas gramos de café a un precio de $6.20 el gramo debe Pedro mezclar con 18 gramos de café a un precio de $5.80 el gramo para obtener una combinación que cueste a $6.10 el gramo? 16 c. Cuántos mililitros de ácido puro se deben añadir a otros 40 mililitros de solución de ácido al 10% para convertirla en una solución al 25%? 17 c. Cuántos litros de solución de alcohol al 20%, y cuantos litros de solución de alcohol al 50% deben combinarse para obtener 12 litros de solución de alcohol al 30%? 18 c. Leonardo invirtió $4000 a un año en dos cuentas de ahorro con interés simple. Invirtió $2500 al 9% de interés y el resto a una tasa de interés diferente. Si el total de intereses recibidos es de $315, Cuál fue la tasa de la segunda cuenta? 10

11 19 c. Pedro tiene dos empleos. En uno le pagan $12.00 la hora y en el otro le pagan $13.00 la hora. La semana pasada el ganó un total de $228 y trabajó 18 horas. Cuántas horas trabajó en cada empleo? 20 c. Una pinta de café (16 onzas) con 3% de cafeína se mezcla con medio galón de café (64 onzas) con 7% de cafeína. Qué porcentaje de cafeína contendrá la muestra? 11

12 Funciones lineales Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de funciones y relaciones lineales, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de funciones. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 1ro Bach. HH y CC. SS en el tema de Funciones. Formas de expresar una función o en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de Funciones polinómicas. Existe software como Derive, Winplot o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar las diferentes formas de representar una función 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre funciones. Funciones 12

13 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás identificar y clasificar las funciones Determina cual de los siguientes casos representa una función. 1 a. La correspondencia entre los nombres de personas en un directorio telefónico con sus números telefónicos. 2 a. La relación que hay entre los miembros de una empresa con sus automóviles. 3 a. La relación de varios países con sus capitales. 4 a. La correspondencia entre el número del Registro Federal de Contribuyentes (RFC) en México y cada uno de los ciudadanos mexicanos. 5 a. La calificación de un examen de matemáticas y dominar el idioma inglés. Cuál de las siguientes tablas representa una función? 6 a. 7 a. x y x f(x) a. 9 a. x y x f(x)

14 Determina si los siguientes diagramas representan una función 10 a. 11 a. 12 a. 13 a. 14

15 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás identificar el dominio, gráfica y rango de una función lineal Determina el dominio, gráfica y rango de las siguientes funciones: 1 b. 2 b. 15

16 3 b. f ( x) 3x 4 4 b. 16

17 5 c. x 1, si0 x 1 f ( x) 2x, si1 x En una función lineal f ( x) mx b grafica en un mismo plano para los siguientes parámetros de m y b. 6 c. m = 3 y b = 0, -2, 4, 6, Qué puedes concluir? 17

18 7 c. b = 2 y m = -2, 0, 4, 5, Qué puedes concluir? 18

19 ACTIVIDAD 4 Con esta actividad lograrás aplicar las funciones lineales en la modelación de problemas. 1 c. El gasto de La Secretaría de Salud del Estado de Nayarit (en millones de pesos), para el programa de asistencia médica de tuberculosis, durante el periodo de 2005 a 2009 aparece en la siguiente tabla ( x = 0 representa el inicio del año 2005) Año (x) Gasto (y) a) Grafica los puntos (x, y) en un sistema plano cartesiano. b) Muestra que la línea recta que se ajusta mejor a estos datos es la que pasa por los puntos (0, 1.500) y (5, 2.100). Grafícala c) Determina el modelo matemático de la función lineal del inciso anterior d) Utiliza el modelo anterior para predecir el gasto en Nayarit para el c. La función de consumo en la economía mexicana está dada por la función C ( x) 0.75x 6 donde C(x) es el consumo personal, x es el ingreso personal y ambas cantidades se miden en millones de pesos. Determina C(0), C(50) y C(100) y su significado. 19

20 3 c. Un método utilizado por los pediatras para calcular la dosis infantil se basa en el área superficial del paciente. Si k denota la dosis para un adulto (en mg) y S es el área superficial del niño (en m 2 ), entonces la dosis está dada por Sa D( S) 1.7 a) Muestra que D es una función lineal de S (Si D tiene la forma D( S) ms b, Cuál es la pendiente m y la ordenada al origen b?). b) Si la dosis para adulto es 250 mg, Cuál será la dosis de un niño cuya área superficial es de 0.4 m 2? 4 c. Un equipo de cómputo tiene 8 años de uso y su valor actual es de $20,000.00, pero hace 4 años su valor era de $ 45,000.00, si el valor del sistema varía de forma lineal con el tiempo. Determina: a) El modelo matemático que expresa el valor del sistema de cómputo respecto al tiempo transcurrido b) Cuál fue el costo inicial (nuevo) del sistema? c) Cuál será su valor después de 10 años de uso? d) Cuál es la depreciación del sistema por año? e) Dentro de cuantos años el valor del sistema será nulo (contablemente)? 20

21 5 c. Una mina determina que producir 10 toneladas de cobre (Cu) le cuesta $2,500 millones de pesos, mientras que producir 30 toneladas le cuesta $4,500 millones de pesos. Si el costo de producción (C) varía de manera lineal con el nivel de producción (p) y si cada tonelada de cobre se vende a $130 millones de pesos, determina lo siguiente: a) El modelo matemático que exprese el costo de producción C en función del nivel de producción p. b) El costo de producir 80 toneladas de Cu. c) La utilidad si se venden éstas 80 toneladas d) Cuántas toneladas de cobre se tienen que producir y vender para que la empresa minera esté en su punto de equilibrio (en este caso no tiene utilidad). e) Cuántas toneladas de Cu se tienen que vender para que la utilidad sea de $5,000 millones de pesos? f) Construye en el mismo plano cartesiano la gráfica de las funciones del costo y la utilidad 21

22 Sistemas de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de sistemas de ecuaciones. Puedes también revisar en la página en la sección de álgebra, grados 9 12 y luego seleccionar Graficador o en la página en la sección de Unidades Didácticas, 1o Bach en el tema de sistema de ecuaciones lineales, interpretación gráfica. Clasificación. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás clasificar los sistemas de ecuaciones 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes las clasificación y lo que aprendiste sobre los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 22

23 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad aplicarás las diferentes técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Indica si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen solución única, no tienen solución o tienen un número infinito de soluciones. 1 a. 2y = - x a. 2x 3y = 4 x 2y = 1 3x 2y = -2 3 a. x y = 3 4 a. 2x = 3y + 4 2x 2y = -2 6x 9y = 12 5 a. x + 2y = 9 6 a. y = x + 2 x = 2y + 1 2y = -x 2 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, si alguno no tiene solución indíquelo. Resolver 2 por cada método (sustitución, igualación, suma y resta, determinantes y gráfico) 7 b. 2x 3y = 4 3x 2y = -2 23

24 8 b. 2y = -x + 5 x 2y = 1 9 b. x y = 3 2x 2y = b. 2x = 3y + 4 6x 9y = 12 24

25 11 b. x + 2y = 9 x = 2y b. y = x + 2 2y = -x 2 13 b. x + y = 6 x = y 25

26 14 b. 2x + y = 3 2y = 6 4x 15 b. 2x + y = 3 2x + y + 5 = 0 16 b. 2x y = - 6 -x + y =

27 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad aplicarás el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 1 c. La suma de dos números es 71. Encuentre los números si uno es 15 unidades menos que 3 veces el otro. 2 c. La diferencia de dos números es 25. Encuentre los dos números si el mayor es 1 unidad menos que 3 veces el menor. 3 c. Un avión puede viajar a 540 km/h con el viento a favor y a y a 490 km/h con el viento en contra. Encuentra la velocidad del avión en aire tranquilo y la velocidad del viento. 27

28 4 c. Rubén Dedor un vendedor de artículos electrónicos, gana semanalmente un salario más una comisión por ventas. Una semana su salario por ventas de $4, fue de $ La siguiente semana su salario por ventas de $6, fue de $ Encuentra su salario semanal y su porcentaje de comisión. 5 c. Los animales de un experimento siguen una dieta estricta. Cada animal recibe, entre otros nutrientes, 20 g de proteína y 6 g de carbohidratos. EL científico de la UAN solo tiene dos mezclas de alimento disponible con las composiciones siguientes: Proteína (%) Carbohidratos (%) Mezcla A 10 6 Mezcla B 20 2 Cuántos gramos de cada mezcla debe utilizar para obtener la dieta correcta para un solo animal? 6 c. Detemina los valores para x, y del sistema 28

29 Sistemas de ecuaciones lineales de tres por tres. Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de sistemas de ecuaciones. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 2do Bach CC.N.S o tecnológico en el tema discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar los métodos para resolver sistemas de ecuaciones 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes las clasificación y lo que aprendiste sobre los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 29

30 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad aplicarás las diferentes técnicas de resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan 1 b. 2 b. 30

31 3 b. -x + 2y +3z = -1-3x 3y + z = 0 2x + 3y + z = 2 4 b. x y + 2z = 3 x y + z = 1 2x + y + 2z = 2 31

32 5 b. p + q + r = 4 p 2q r = 1 2p q 2r = -1 32

33 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad aplicarás las diferentes técnicas de resolución de problemas que involucran sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. 1 c. Para el concierto de RBD hay tres tipos de boletos. Los asientos frente al escenario son los más caros; los de atrás del escenario son los segundos más caros y los de galería son los menos caros. Los asientos frente al escenario son dos veces más caros que los de galería. Los asientos de galería cuestan $ menos que los de atrás del escenario y $ menos que los de enfrente del escenario. Encuentra el precio de cada tipo de boleto. 2 c. Daniel recibe un cheque por $100, y él decidió dividir el dinero en tres inversiones diferentes. Colocó parte de su dinero en una cuenta de ahorros que paga el 7% de interés, colocó la segunda cantidad, que era el doble de la primera en un certificado de depósito que paga el 9% de interés. El resto lo colocó en una acción con la que obtiene el 10% de interés. Si el total de interés que recibió por un periodo de 1 año fue de $ Cuánto dinero colocó en cada cuenta? 33

34 3 c. La compañía de muebles MADERA produce tres tipos de mecedoras: el modelo para niños, el modelo estándar y el ejecutivo. Cada mecedora se fabrica en tres etapas: corte, construcción y terminado. El tiempo necesario para cada etapa de una mecedora está dado en la siguiente tabla. Durante una semana específica, la compañía dispone de 154 horas para el corte, 94 para la construcción y 76 para el terminado. Determina cuántas mecedoras de cada tipo debe fabricar la compañía. Para niños Estándar Ejecutiva Corte 5 hr 4 hr 7 hr Construcción 3 hr 2 hr 5hr Terminado 2 hr 2 hr 4 hr 4 c. Una aleación contiene 60% de cobre, 30% de zinc y 10% de níquel. Una segunda aleación tiene porcentajes de 50, 30 y 20, respectivamente de los tres metales. Una tercera tiene 30% de cobre y 70% de níquel. Qué cantidad de cada aleación debe mezclarse para que 100 kg de una aleación resultante tenga 40% de cobre, 15% de zinc y 45% de níquel? 34

35 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN CALIFICACIÓN PARCIAL Participación y trabajo en el curso-taller 20% Tareas y/o trabajos extraclase (Guía Didáctica) 20% Autoevaluación temática 10% Caso integrador 10% Examen 40% AUTOEVALUACIÓN Marca con una X según consideres tu trabajo durante la unidad, recuerda ser honesto, ya que tus resultados te servirán para crecer como estudiante y como persona. Variable a medir Excelente Bueno Regular Malo Asistencia Participación Trabajo en el aula Autoestudio Tareas Disposición al trabajo en equipo Tolerancia ante comentarios de compañeros Examen Compromisos para mejorar Firma de enterado: Docente: 35

36 AUTOEVALUACIÓN TEMÁTICA Esta autoevaluación te permitirá una retroalimentación sobre los temas de ecuaciones de primer grado, funciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales, te mostrará si está listo presentar la unidad IV. Recuerda que esta autoevaluación cuenta el 10% de tu calificación parcial. INSTRUCCIONES GENERALES: La siguiente autoevaluación consta de 2 secciones (ejercicios y problemas), las cuales deberán contestarse como se indica en cada caso. Cada sección tiene un puntaje (valor) determinado. VALOR (5%) I.- Resolver los siguientes ejercicios sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado. 1.- La solución de la ecuación es: a) 0 b) 5 c) 1 d) Cuál es el dominio de la función,7, 5,12, 6,17, 7,22 4? a) {4, 5, 17, 22} b) {7, 12, 17, 22} c) {4, 5, 6, 7} d) {7, 12, 6, 7} 3.- Qué valor resulta de evaluar la función cuando x = - 1? a) 1 b) 4 c) 1 d) Determina la solución del sistema 6x + y = 3-4x y = 8 a) (1/2, 10) b) (11/2, - 30) c) (5/2, - 20) d) (-3/2, 15) 5.- Determina la solución del sistema x 2y + 3z = 11 4x + y - z = 4 2x y + 3z = 10 a) (2, -3, 1) b) (3, -2, 1) c) (1, 2, -3) d) (-2, 3, 1) VALOR (5%) II.- Resolver los siguientes problemas sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado. 1.- Dos excursionistas que visitan el zoológico de Guadalajara comienzan a caminar en el mismo punto en direcciones opuestas alrededor de un manantial termal. La distancia alrededor del manantial es de 9 km. Un excursionista camina 0.5 km/h más rápido que el otro. Qué tan rápido debe de caminar el excursionista más lento para que ambos se encuentren en 2 horas? a) 5 km/h b) 4 km/h c) 3 km/h d) 2 km/h 36

37 2.- La alacena de ingredientes mágicos de Hogwarts contiene 35 onzas de tréboles de 4 hojas molidos y 25 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene. Una poción para curar a los que quedan petrificados después de ver un basilisco (en la película de Harry Potter) requiere 4 onzas de tréboles y 2 onzas de mandrágora. Una receta de una conocida (por brujas) cura para el resfriado común requiere 3 onzas de tréboles y 3 onzas de raíz de mandrágora. Qué cantidad de la poción para curar a los que ven al basilisco y del remedio para el resfriado debe hacer una bruja para usar toda la reserva de Hogwarts? a) 2 bas. y 5 resf. b) 5 bas. y 5 resf. c) 3 bas. y 4 resf. d) 4 bas. y 3 resf. 3.- Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa de todas sus acciones son de 3 compañías, Mexicana, Hotel Fiesta y McDonald s, y que hace 2 días su valor bajó $350 pero ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace 2 días el precio de las acciones de Mexicana bajó $1 por acción y el de las de Hotel Fiesta bajaron $1.50, pero que el precio de la acciones de McDonald s subió $0.50. También recuerda que ayer el precio de las acciones de Mexicana subió $1.50 por acción, el de las Hotel Fiesta bajó otros $0.50 por acción y las de McDonald s subieron $1. Si ella dice que tiene 200 acciones de McDonald s. Determina (tú eres el corredor) el número de acciones que tiene en Mexicana. a) 300 b) 200 c) 100 d) 50 CASO INTEGRADOR La empresa de repostería Criska vende pasteles y pays de queso, los pays requieren de 220gr de harina y 7 huevos, mientras que los pasteles requieren de 500gr de harina y 8 huevos. Si el costal de harina contiene 10 kg de harina y la caja de huevos contiene 247. Determina lo siguiente: a) Cuántos pasteles y pays debe hacer la empresa a fin de utilizar toda la materia prima disponible? b) Si incrementa el tamaño de sus productos, utilizando los pays, 350gr y 12 huevos, mientras los pasteles 1kg y 16 huevos, determina una combinación de productos que le permita a la empresa utilizar la mayor cantidad posible de su materia prima (mayor aprovechamiento-menor desperdicio). c) Considerando solo estos gastos de producción y a los costos actuales, Cuál tendría que ser el precio de cada producto si la empresa quiere tener una utilidad de 60% sobre sus costos? Investiga el costo de la harina y el huevo. d) Investiga cuales son los ingredientes que lleva un pastel y un pay en su elaboración y determina su costo de producción. e) Investiga cuales son los orígenes de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 37

38 BIBLIOGRAFIA Garcia, Marco A. (2009) Matemáticas I para preuniversitarios. México: Esfinge Méndez, Arturo/Osorio, Juan (2010) Matemáticas I. México: Santillana Arriaga, Alfonso (2009) Matemáticas 1. México: PROGRESO EDITORIAL Cuellar, José A. (2005) Matemáticas I para bachillerato. México: Mc Graw Hill Carpinteiro, Eduardo / Sánchez, Ruben B. (2004) Álgebra. México: Publicaciones Cultural Allen, R. Angel (2004) Álgebra Intermedia. México: Prentice Hall Hispanoamericana Olmos, Raul A./ Méndez, Ismael R. (2006) Matemáticas I. Méxco: Mc Graw Hill Fuenlabrada, Samuel (2001) Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill Ibáñez, Patricia C. (2006) Matemáticas I. México: Thomson Osorio, Juan M. (2006) Matemáticas 1. México: Santillana Ensensberger, Hans Magnus (1997) El diablo de los números. España: Siruela Malba, Tahan (2003) El hombre que calculaba. México: Noriega Editores Software Encarta Software Derive SOFTWARE Y SITIOS DE INTERNET 38

39 NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO ELIGE EL NIVEL EN QUE DESARROLLASTE TUS COMPETENCIAS GENÉRICAS DURANTE ESTA UNIDAD TEMÁTICA Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 39

40 NULO BAJO MEDIO ALTO COMPETENCIAS DISCIPLINARES DE MATEMATICAS Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente. Evalúa la relación que existe entre lo que has aprendido en esta Unidad Temática y las competencias disciplinares de matemáticas. Competencias 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 40

41 Ficha de Análisis del Proceso Cognoscitivo Para facilitar el rescate del proceso personal de formación de conocimiento, elabora una carta a un amigo donde le expliques lo siguiente: De acuerdo a tu experiencia Cuáles son los conocimientos previos que necesita una persona para manejar este conocimiento? Cuáles son los conceptos claves en este tema? Cuáles son los aspectos más fáciles de entender? Cuáles son los aspectos más difíciles de entender? Qué ejemplos pondrías a alguien para que entendiera mejor el tema? En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este conocimiento? Qué nuevos retos y expectativas te plantea lo que has aprendido? 41

42 La siguiente tabla te da una ubicación en tu desempeño de acuerdo a la Dedicación que mostraste durante el desarrollo de la Unidad Didáctica de Ecuaciones de primer grado, según la cantidad de ejercicios que hayas contestado en la guía didáctica, es muy importante tu honestidad ya que de esto depende la ubicación en el grado de desempeño que te corresponderá. En total son 32 ejercicios tipo A, 34 ejercicios tipo B y 38 ejercicios tipo C. GRADO DE DEDICACIÓN INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE DESCRIPCIÓN Estarás en este nivel siempre y cuando no cumplas con los requisitos para el ELEMENTAL. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 10 ejercicios tipo A, 10 tipo B y 5 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 20 ejercicios tipo A, 20 tipo B y 10 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 25 ejercicios tipo A, 28 tipo B y 20 tipo C. Si no cumples con alguno de los tres requisitos (cantidad mínima de ejercicios) para un grado, tu ubicación será en el grado anterior. Para comprender mejor esta tabla pide ayuda a tu profesor y él te orientará sobre algunas técnicas o estrategias que debes emplear para mejorar tu rendimiento académico y obtener mejores resultados en las siguientes evaluaciones. Rasgos Criterios TABLA DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE ALCANZADOS INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE Ecuaciones lineales de primer grado Identifica ecuaciones sencillas de primer grado, de la forma Resuelve ecuaciones lineales de cualquier tipo y puede despejar la literal de una ecuación sencilla a la forma anterior Plantea y resuelve problemas y ecuaciones lineales de cualquier tipo. Utiliza software para la solución de ecuaciones. Analiza problemas y generaliza fórmulas y expresiones lineales, utiliza software para la solución de ecuaciones Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Identifica sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas con uno o dos métodos Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas con cualquier método Plantea y resuelve problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y puede usar software para comprobar sus resultados Analiza sistemas de ecuaciones de dos por dos y determina si el sistema tiene o no solución, además de determinar condiciones para su solución. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Identifica un determinante y una matriz, además formular la matriz aumentada Resuelve sistemas de tres ecuaciones con el método de eliminación y comete errores con el método de Gauss-Jordan Resuelve sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas con el método de Gauss-Jordan Plantea y formula problemas de tres por tres y comprueba su solución con el uso de software 42