COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DEL HORMIGÓN ARMADO

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1 1/20 COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DEL HORMIGÓN ARMADO INTRODUCCIÓN Luego de haber transitado por los aspectos tecnológicos del hormigón finalmente analizaremos el comportamiento del hormigón armado desde el punto de vista estructural. En primer término vamos hacer necesariamente una recapitulación de lo visto en cuanto a dimensionamiento en los cursos de Estructuras I ya que no sólo existen diferencias respecto de los materiales que se utilizan sino que vamos a introducirnos en un nuevo método de cálculo. En primer lugar, vamos a analizar algunos materiales tratados en el curso anterior desde el punto de vista estructural para que nos resulten más evidentes las diferencias con el hormigón. A nadie le escapa que el acero es un único material sin discontinuidades. La madera presenta ciertas diferencias evidentes en su conformación, pero no tendrían particular influencia en el su comportamiento como material estructural. Esta propiedad se denomina homogeneidad y por ello decimos, que se trata de materiales homogéneos. Asimismo, se aceptan que dentro de cierto rango, ambos materiales cumplen con la propiedad de la elasticidad que significa que al retirarse las cargas que los afectan, las deformaciones se recuperan como si las cargas no hubieran existido. Más aún, en ambos casos, aceptamos que se trata de materiales elástico-lineales, es decir, que no sólo vuelven a adoptar su situación original cuando se retiran las cargas sino que sus deformaciones cuando las cargas están aplicadas son directamente proporcionales a los esfuerzos que soportan Esto significa que si la carga se duplica, la deformación se duplica también, si se reduce a la mitad la primera, la segunda también lo hace. Si se colocan en un eje las tensiones en un material y en el otro las deformaciones específicas se obtiene un gráfico como este. La constante de proporcional se llamaba módulo de elasticidad y se lo identifica con la letra E. Esta constante E es una propiedad de cada material por eso el gráfico toma como parámetros las tensiones y deformaciones específicas ya que estas últimas no dependen de la forma de la sección ni de la longitud de la pieza. Pero la homogeneidad y la elasticidad no son las únicas propiedades que diferencian al acero del hormigón. En efecto, aunque la madera presenta diferentes propiedades mecánicas según la dirección de aplicación de las cargas, a los fines prácticos y tomando en cuenta que los elementos estructurales de este material se cortan tomando en cuenta esta circunstancia, a los fines prácticos se considera que trabajan en forma similar a compresión y a tracción. En cuanto al acero, la hipótesis es mucho más válida, los esfuerzos de tracción y compresión pueden tener cualquier dirección, así como los esfuerzos tangenciales. Esta propiedad se denomina isotropía.

2 2/20 Ahora bien, el hormigón armado se compone de dos materiales sumamente diferenciados, el hormigón y las barras de acero. Esto implica que es un material heterogéneo. El acero para hormigón armado cumple con las propiedades generales de los aceros pero el hormigón, no. En efecto, no se puede considerar claramente que sea un material elástico y mucho menos elástico-lineal. En realidad, se prefiere hablar de un material elasto-plástico. Sin embargo, a ciertos fines, particularmente determinar deformaciones, se le suele asignar al material un módulo de elasticidad E. Sin embargo, en lo que difiere sensiblemente el hormigón del acero y de la madera es que no soporta tracciones aún de pequeña magnitud. Por eso se dice que se trata de un material anisótropo. Pero con respecto al método de cálculo, tratándose de materiales homogénos, elásticos y anisótropos que cumplían con la ley de Hooke y aceptando el principio de Bernouilli-Navier ( las secciones planas previas a la deformación permanecen planas durante la deformación ). Con todas estas hipótesis se igualan las solicitaciones externas representadas por los esfuerzos característicos N, M y Q con los esfuerzos internos de la sección de manera que se mantenga el equilibrio. Para los esfuerzos axiles la causalidad es evidente. La fuerza exterior se equilibra con una reacción interna de la sección consistente en una tensión normal (σ) aplicada en toda la sección (A) de la pieza: σ( ) N σ N A Para flexión: En este caso se cumple también que las solicitaciones exteriores producen esfuerzos que se oponen a ellas dentro de la sección. Así se produce una distribución de tensiones de tipo lineal con tensiones negativas, es decir, comprimida en una zona de la sección y otra zona de tensiones positivas o traccionada Ahora bien, si nosotros halláramos la resultante de cada una de las zonas (recordar que se aplican a todos el ancho) obtendríamos una fuerza de tracción y otra de compresión separadas por una distancia. En este caso el momento flexor se equilibra con un par interno que resulta igual a la fuerza de compresión (D) o tracción (Z) separada por un brazo elástico z. En este caso las fórmulas son dos ya que se pueden tomar momentos tanto desde la coordenada en que se encuentra la resultante compresión o de tracción. M = D x z = Z x z

3 3/20 σ( ) D M z σ(+) Z Finalmente a partir de este esquema de tensiones y la igualdad señalada se obtiene una expresión que permite vincular las tensiones con el momento flexor exterior donde, y es la distancia entre la coordenada considerada y el eje neutro y J es el momento de inercia de la sección My σ := J También se podían combinar ambos esfuerzos con lo cual la fórmula resulta: N My σ := + A J Ahora bien ara dimensionar una sección se obtenían, para tipo y calidad de de material, tensiones admisibles que surgían de tomar las tensiones de rotura (o de fluencia en el caso del acero) del material divido por un coeficiente de seguridad. Las secciones o tipo de perfiles se buscaban de forma tal que las tensiones máximas no excedieran estos valores admisibles. σadm := σrot ν Finalmente se comparaban las tensiones con respecto a esta tensión admisible y se consideraba aceptable si las tensiones máximas no superaban este valor admisible. σ σadm En el caso del esfuerzo de corte también se cumple lo señalado anteriormente pero el procedimiento para obtener el valor es indirecto (fórmula de Jouravsky) por lo que no la analizaremos en este momento. Además, el caso del corte en hormigón armado tiene una teoría particular que se desarrollará en clases posteriores. Como el hormigón no cumple con las propiedades requeridas para este cálculo (no es homogéneo, no admite tracciones) no es posible determinar la aptitud de las secciones para soportar los esfuerzos de esta manera. Inicialmente se intentó trabajar con método análogos pero posteriormente se comenzaron a diseñar métodos de cálculo nuevos que desarrollaremos párrafos adelante. Pero antes de encarar este método de cálculo será necesario reseñar las propiedades de cada uno de los materiales constituyentes del hormigón armado.

4 4/20 HORMIGÓN Como ya hemos anticipado, el hormigón es un material cerámico que presenta un estado fluido que permite moldearlo y un estado sólido cuya forma es la del molde sobre el cual se lo ha vertido. Los componentes y la forma de determinación de las características físicas y las determinaciones que se hacen en el hormigón son temas que fueron abordados en las clases relativas a Tecnología del Hormigón. En esta clase vamos a considerar y definir aquellas propiedades mecánicas del mismo. Como ya hemos anticipado hay una propiedad que diferencia al hormigón del acero y de la madera. Esta propiedad se llama isotropía. El hormigón como la mayoría de los materiales cerámicos, tienen una considerable resistencia a la compresión, sin embargo, posee una muy baja resistencia a la tracción. En el caso del hormigón, la resistencia a la tracción es del orden de la décima parte de la resistencia a compresión. Pero, además, la capacidad resistente a tracción del hormigón se ve afectada por otras razones. En primer término, a diferencia del valor de la resistencia a la compresión, la resistencia a la tracción es muy variable, lo que no brinda valores confiables para su consideración en los procedimientos de cálculo. Pero existe otro reparo para considerar la pequeña resistencia a la tracción del hormigón y se refiere a que ésta desaparece por completo al aparecer la primera fisura. En efecto, al producirse la primera fisura, el hormigón pierde continuidad y todo incremento de carga sólo ampliará el ancho de la fisura con lo que el material pierde toda capacidad de absorber tracciones. Ahora bien la aparición de la primera fisura no sólo puede deberse a que se superó el valor de la resistencia a la tracción del material sino que pueden aparecer fisuras por contracciones de fragüe, deficiencias constructivas, acciones térmicas, etc. Por estas razones, las normas de cálculo no admiten el trabajo a tracción del hormigón desde el punto de vista de la resistencia mecánica. Por ello a partir de este momento vamos a adoptar como hipótesis que el hormigón trabaja sólo a compresión. Ahora bien, cuando se analizar el del hormigón a compresión nos encontramos con una segunda diferencia respecto de los materiales vistos en cursos anteriores. No se trata un material elástico en la totalidad de su rango de trabajo. La relación de tensiones y deformaciones es lineal solamente para tensiones muy bajas. A continuación se agrega un diagrama que indica la forma real del diagrama de tensiones-deformaciones para el hormigón:

5 5/20 En el diagrama anterior el eje vertical indica las tensiones (el subíndice b identifica al hormigón) y el eje horizontal, las deformaciones específicas. Las diferentes curvas corresponden a hormigones de diferente resistencia característica expresada en kg/cm². Si observamos este diagrama, podemos advertir un pequeño período de comportamiento elástico inicial cuya tensión es de aproximadamente un tercio de la tensión máxima a la cual hormigón se rompe. Superada esta tensión el hormigón se aparta de esta linealidad. En esta región la relación de tensiones y deformaciones tiene forma aproximadamente parabólica. Finalmente se rompe al alcanzar el punto un tensión máxima que se corresponde con una deformación del 2%o. Por qué el diagrama continúa a deformaciones mayores con menores tensiones? Esto también responde a un hecho comprobado experimentalmente. La rotura del hormigón a compresión bajo una solicitación de compresión pura rompe al alcanzar el 2%o de deformación, pero cuando el esfuerzo exterior es de flexión funciona en forma diferente y rompe con una deformación específica del orden 3,5%o y se produce un desplazamiento delas tensiones máximas de las fibras más extremas a otras vecinas. Por qué ocurre esto? Las investigaciones han demostrado que, cuando el hormigón se encuentra sometido a esfuerzos de flexión, existe una colaboración de las fibras contiguas al extremo que pueden superar la tensión a la cual trabaja el hormigón. Ahora bien, por cuestiones de comodidad el Reglamento Nacional CIRSOC ha determinado que a los fines del cálculo se utilice un diagrama simplificado que posee un primer tramo de forma de parábola de 2º grado (función cuadrática) que abarca el rango de deformaciones específicas del 0 al 2%o y un segundo, en el cual la función es constante hasta llegar al 3,5%o de deformación. En forma usual el diagrama se lo llama parábola-rectángulo. Es cierto que el diagrama difiere del determinado experimentalmente, pero como señalan algunos tratados, ha demostrado ser bastante eficaz para el dimensionamiento de las secciones de hormigón armado diseñadas.

6 6/20 El valor máximo que aparece β r (resistencia de cálculo del hormigón) está relacionado con la resistencia característica cilíndrica σ bk que se obtiene de ensayos de rotura por compresión de probetas cilíndricas de hormigón procedimiento que se ha explicado en profundidad en la clase de Tecnología del Hormigón. Aquí diremos que la resistencia característica es el valor de resistencia que se espera que sea superado por el 95% de las probetas que ensayen sobre ese hormigón. El valor β r está en el orden del 85% de la resistencia característica y toma en cuenta el efecto de cargas a largo plazo. En efecto, cuando se realiza el ensayo de compresión se tarda pocos minutos en alcanzar la rotura, esta relativa rapidez del ensayo genera una resistencia adicional del hormigón que no se produce en las cargas reales del edificio que se aplican durante largos períodos de tiempo. Sin embargo, hay una característica de la rotura del hormigón que es también característica de los materiales cerámicos. Al llegar a una deformación del 2%o en compresión el hormigón o al 3,5%o en flexión el hormigón literalmente estalla de manera abrupta, sin grandes deformaciones. Este tipo de rotura típica del hormigón simple se la llama rotura frágil y es un hecho sumamente peligroso porque significa que las roturas en el hormigón no avisan. Resumiendo, el hormigón no posee un diagrama elástico lineal típico, lo que implica que cuando se produzca el giro de la sección el diagrama de tensiones deja de ser afín al diagrama de deformaciones específicas. Además, no admitirá tracciones. Por otra parte, hemos definido que el hormigón rompe frágilmente al alcanzar una deformación del 2%o a compresión, y del 3.5%o cuando se encuentra sometido a esfuerzos de flexión. Es decir, cuando hablamos de rotura en el hormigón, no hablamos de tensiones admisibles sino de deformaciones límites. Aquí ya hay una diferencia importante respecto de lo visto en el curso anterior.

7 7/20 ACERO El acero para hormigón armado está compuesto por barras de sección circular, por lo general con una conformación superficial que quedan inmersas en el hormigón en forma fluida durante el colado y posteriormente quedan atrapadas en el hormigón luego del fragüe. Los primeros aceros para hormigón consistían en forma de barras lisas, pero posteriormente, al desarrollarse aceros de mayor resistencia se le incluyeron nervuras y aletas para mejorar su adherencia con el hormigón. Otra forma de entrega de acero para hormigón armado es a través de barras de se sueldan eléctricamente en planta y se entregan en forma de malla. En su comienzo los aceros para hormigón armado eran de una resistencia similar a los que se utilizan para la fabricación de perfiles metálicos. Poseían similar resistencia y también una gran deformabilidad previa a la rotura. Sin embargo, se ha buscado con el transcurso del tiempo aumentar su resistencia mecánica. Para ello se buscó una primera técnica que consistía en aplicar a las barras de acero una deformación en frío, específicamente una torsión, que por un fenómeno llamado acritud aumenta la resistencia mecánica aunque también levemente su fragilidad. Esta técnica posteriormente cayó en desuso, entre otras razones, porque el aumento de resistencia por deformación en frío desaparece al quedar las barras expuestas a temperaturas elevadas seguidas de enfriamientos lentos. De esta manera las barras de acero deformadas estarían sensibilizadas respecto de eventuales incendios. También a este acero se le incorporó una aleta longitudinal para mejorar la adherencia que, luego de la torsión, adquiría forma de hélice. A este tipo de acero en el cual el aumento de resistencia se debe a una deformación en frío se lo ha llamado ADM (aceros de dureza mecánica). Debido a las objeciones señaladas posteriormente se decidió aumentar la resistencia elevando muy levemente la proporción de carbono del acero, lo que permiten aumentar esa resistencia en forma permanente. Sin embargo, debemos dejar en claro que el acero que se utiliza estructuralmente y, en particular, en el hormigón armado es un tipo de acero de resistencia relativamente baja. Esto se debe a que el aumento de la resistencia mecánica de los aceros suele venir acompañado pro una mayor fragilidad del material. A los aceros que adquieren resistencia por cambios en su composición química se los llama ADN (aceros de dureza natural) El comportamiento mecánico el acero se analiza a través de ensayos de tracción. Esto no significa que el acero tenga un comportamiento diferente a la compresión. Lo que ocurre es que debido a que la esbeltez de las probetas las hace muy sensibles al fenómeno de pandeo reduciendo su resistencia, lo que llevaría a incrementar las secciones d las probetas La forma del diagrama de tensiones-deformaciones del acero presenta un período elástico en el cual las tensiones son proporcionales a las

8 8/20 deformaciones específicas. El Módulo de Elasticidad que es una constante para todos los tipos de acero es E = Kg/cm², salvo para el acero inoxidable. Si aumentan las cargas se produce un efecto denominado fluencia por el cual crecen las deformaciones específicas sin incremento de tensiones. Es decir, la recta cambia bruscamente de dirección y sigue una trayectoria prácticamente horizontal. Concluido este período existe un rango de grandes deformaciones plásticas, previas a la rotura. En el diagrama de tensión-deformación del acero tampoco se produce la rotura con una tensión máxima, pero esto se debe a que con anterioridad a la rotura se produce una reducción de la sección de la barra. A continuación se agregan diagramas de tensión-deformación de diferentes tipos de acero para hormigón armado (la letra G significa liso, l letra R, nervurado, la letra K, deformado en frío, la letra U, sin tratar o de dureza natural y los números corresponden a las tensiones de fluencia en kg/mm²). Como se puede apreciar en realidad se puede distinguir un claro escalón de fluencia en los aceros de dureza natural y a bajas tensiones. Sin embargo, la falta de escalón de fluencia no de algunos aceros no invalida las hipótesis y, para estos casos, se adopta como valor de tensión de fluencia el correspondiente a una deformación específica del 2%o. Si recordamos el curso anterior, cuando ustedes dimensionaban secciones en acero la tensión admisible se obtenía dividiendo por un coeficiente de seguridad a la tensión llamada de fluencia. Esto se debía a que el acero adquiere en ese punto grandes deformaciones. Pero eso no significa que quede totalmente inutilizado, lo que ocurre es que, al aumentar la deformación no aumenta su resistencia.

9 9/20 Tomando en cuenta su resistencia los aceros para hormigón armado se dividen en varios tipos: Aceros Tipo I: Son aceros de baja resistencia σfl = Kg/cm². Se entrega bajo la forma de barras lisas. Hoy día se encuentra en desuso en nuestro medio para el hormigón armado aunque no para las estructuras metálicas que siguen utilizan barras lisas de forma circular. Aceros Tipo III: Son aceros de mayor resistencia σfl = Kg/cm². Pueden ser de dureza natural o mecánica. Se entrega bajo la forma de barras aleteadas o aleteadas-nervuradas con nervios y aletas. También en este caso la normas han definido un diagrama simplificado con una zona lineal y otra horizontal como se aprecia en el diagrama siguiente. Dado que el valor del coeficiente de elasticidad (E) es igual para aceros de diferentes resistencias, la deformación específica a la cual el acero ingresa en el período de fluencia es diferente. En el caso del acero Tipo I la deformación específica es de 1.05 %o (uno coma cero cinco por mil) en tanto que en el acero Tipo III es del 2 %o (dos por mil). En este punto también nos encontramos con una diferencia sustancial respecto de lo desarrollado en el curso anterior. El acero en hormigón armado se considera que puede tener deformaciones máximas del orden del 5 %o (cinco por mil) con lo cual está trabajando en dentro del sector horizontal del diagrama y no dentro del rango de tensiones elásticas, característico de la curva inclinada, como ocurría en el caso del cálculo por tensiones admisibles. La consideración de deformaciones máximas en el acero al 5 %o obedece a que el acero controla el ancho de fisuras del hormigón que lo rodea. Una deformación superior a este valor permitiría el ingreso de los agentes atmosféricos que pueden corroer las barras y en un futuro provocar el colapso

10 10/20 de la pieza. Se señala que este valor es puramente convencional (se lo eligió) y no corresponde a ninguna modificación física del material. Por último, veamos nuevamente que hablamos de rotura cuando se alcanza una deformación determinada y no a una tensión en particular. METODO DE CÁLCULO POR ESTADOS LÍMITES Como ya hemos anticipado el método de cálculo determinando tensiones admisibles en un material no es aplicable para el hormigón armado ya que se trata no estamos hablando de un material homogéneo y elástico sino una combinación de dos materiales de comportamiento bastante diferente. Es cierto que históricamente se trató de adaptar procedimientos similares, pero hoy día han caído en desuso. Así se ha desarrollado para el hormigón armado un método de cálculo diferente llamado MÉTODO DE CÁLCULO POR ESTADOS LÍMITES O A LA ROTURA. El entrecomillado responde a lo señalado anteriormente en cuanto a que cuando falla el acero no ocurre una verdadera rotura de la sección solamente se considera que el ancho de las fisuras es excesivo. Por eso en primer lugar vamos a definir qué se entiende por estado límite rotura. Y en realidad tendríamos que hablar de roturas más que de rotura. En efecto, el hormigón armado no presenta una única forma de rotura. Como se trata de dos materiales diferentes, la falla de una sección se puede producir en el hormigón o en el acero o simultáneamente. Ahora las formas de rotura de uno y otro material son muy diferentes. En efecto, cuando rompe el hormigón, como ya dijimos, se produce un verdadero estallido de la sección de forma repentina, sin grandes deformaciones previas. Este tipo de rotura rompe la continuidad del material e inutiliza la pieza. A este tipo de rotura se lo denomina rotura frágil. Sin embargo, como anticipamos en párrafos anteriores, cuando falla el acero la situación es distinta porque el acero luego de grandes deformaciones. Estas deformaciones son de tal magnitud que previamente aparecen amplias fisuras apreciables por el ojo humano. Asimismo se producen grandes flechas en las piezas flexionadas, por ejemplo. Por esta razón, lo que se limita en el acero es la deformación. Lo que ocurre es que al deformarse a tracción el acero se van formando fisuras en el hormigón. Cuando estas fisuras son demasiado grandes los agentes atmosféricos pueden atacar las barras y corroerlas con lo cual en un tiempo largo el acero pierde su sección y la sección llega al colapso. Pero como estas fisuras suelen ser apreciables y van acompañadas por flechas muy pronunciadas es un tipo de rotura que avisa, es decir, permite advertir que una pieza se encuentra en malas condiciones y tomar medidas como por ejemplo apuntalar el elemento. A este tipo de rotura se lo denomina dúctil. Dado que en este caso no hay un límite preciso en el cual la pieza pase a estar en condiciones de rotura, este límite se debe establecer convencionalmente. El CIRSOC 201, establece que el acero está en condiciones de rotura cuando alcanza una deformación específica del 5 %o (cinco por mil). Por otra parte

11 11/20 tengamos presente que para deformaciones superiores al 2%o del acero nos encontramos en la zona de fluencia del hormigón. Por supuesto que es mucho más peligrosa la rotura frágil que la rotura dúctil. Por eso, la norma castiga a la sección con un coeficiente de seguridad mucho mayor a la primera que a la segunda rotura. Esto sentado, para el cálculo a la rotura se establecen una serie de hipótesis, algunas de las cuales también son válidas en el método elástico. 1. Se cumple la hipótesis de Bernouilli-Navier que dice que una sección plana se mantiene plana luego de la deformación y sólo giran alrededor de un punto. De esta forma las deformaciones son proporcionales a las distancias a un eje, llamado neutro, en el cual la deformación específica es igual a cero (ε = 0). 2. El hormigón no trabaja a tracción, todas las tracciones son absorbidas por las barras de acero. 3. Existe perfecta adherencia entre hormigón y acero. Eso significa que donde se alojan las armaduras las deformaciones específicas de ambos materiales son iguales. Como veremos existen infinitas condiciones para que una sección de hormigón armado se encuentre en estado de rotura. Para ello debe ocurrir que, o bien, el acero se encuentre con una deformación del 5 %o, o bien el hormigón se encuentre con una deformación del 3,5 %o si existe flexión dominante o se reduzcan hasta el 2 %o si existe compresión dominante. De hecho, hay un sólo caso donde se producen dos de las posibilidades. ESTADOS DEL HORMIGÓN Una pieza de hormigón armado sometida a flexión simple o compuesta con esfuerzos de muy baja magnitud, en realidad, comenzaría a generar tensiones de compresión y de tracción en la zona superficial de la pieza. Sí en la zona traccionada no existen fisuras, el hormigón comienza a desarrollar tensiones positivas en dicha zona y negativas en la zona opuesta. Cuando se incrementa la carga y se alcanza la resistencia a la tracción, aparece la primera fisura en la

12 12/20 zona traccionada. En ese momento el hormigón pierde toda capacidad resistente a este esfuerzo y comienza a abrir las fisuras. Cuando éstas pretenden abrirse, el acero controla su ancho comenzando a desarrollar esfuerzos. A partir de allí, el hormigón sólo trabaja a compresión y el acero controla los anchos de fisura y desarrolla esfuerzos de tracción. Si se incrementan las cargas y consiguientemente las deformaciones del acero y del hormigón, la sección puede alcanzar algunas de las condiciones de rotura o estado límite. Estas diferencias de comportamiento generan los diferentes estados en que se puede encontrar una pieza de hormigón armado. Estado I El estado I corresponde a un estado en el cual la sección no se encuentra fisurada. Como ya indicamos, en el caso de tracción o flexotracción o incluso flexocompresión con gran excentricidad este estado es teórico ya que ocurre hasta que se produce la primera fisura con lo cual el hormigón pierde toda resistencia a tracción y el acero absorbe esa carga. También existe estado I cuando la pieza posee compresión con pequeña excentricidad y toda la sección se encuentra comprimida. Estado II Es el estado de servicio normal del hormigón cuando una parte de su sección se encuentra traccionada. En la zona traccionada el hormigón está fisurado y el acero absorbe todas las tracciones. Estado III Es el estado límite o de rotura que ya hemos definido. Es decir, o bien el acero ha alcanzado una deformación del 5%o o bien el hormigón ha alcanzado su máxima deformación que va del 2 al 3.5%o, dependiendo de la existencia de compresiones o no. El método de cálculo a la rotura consiste en colocar a la sección de hormigón armado en Estado III y aplicándole un coeficiente de seguridad con lo cual la sección en la realidad se encuentra en Estado II. Matemáticamente, lo indicado previamente se puede, para el caso de flexión simple resumir en las siguientes fórmulas: M U = Mn M U = ν M g+p Donde M U es el momento último de la sección que surge de aplicar al momento que surge de la resolución estática (M g+p ) por un coeficiente de seguridad y Mn es el momento que es capaz de resistir la sección tomando en cuenta las tensiones que genera el hormigón a compresión y el acero a tracción:

13 13/20 M g+p = Db. z = Ze. z Donde Db es la resultante de compresión del hormigón, Ze la fuerza de tracción que absorben las barras de acero y z, la distancia entre ambas denominado brazo elástico. DOMINIOS Como ya hemos señalado existen infinitas condiciones de rotura. Es decir, condiciones en las cuales, o el acero, o el hormigón se encuentran en su estado último. Estas condiciones abarcan todo el rango de posibilidades de tracción, compresión, flexión simple y compuesta. De acuerdo con el tipo de solicitación se han agrupado todas las condiciones de rotura en 5 dominios cada uno de los cuales abarca infinitas condiciones de rotura. Esto se ha resumido en un diagrama que aparece a continuación. Lo que queremos llamar la atención es que este diagrama es un diagrama de deformaciones porque, como ya dijimos, las condiciones de rotura son condiciones de deformación. Dominio 1 Corresponde al estado de tracción y flexotracción con pequeña excentricidad. Ningún punto de la sección está comprimido. El acero se encuentra trabajando al 5 %o y todas las posibles condiciones de rotura son planos que giran en torno a un eje ubicado a la altura en la cual se encuentran las armaduras. El coeficiente de seguridad es ν = 1.75

14 14/20 Dominio 2 Corresponde al estado de flexotracción con gran excentricidad y flexión pura. El acero se encuentra trabajando al 5 %o y todas las posibles condiciones de rotura son planos que giran en torno a un eje ubicado a la altura en la cual se encuentran las armaduras. La fibra más comprimida del hormigón pasa de una deformación específica igual a 0 hasta el 3,5 %o. El coeficiente de seguridad es ν = 1.75 Dominio 3 Corresponde al estado de flexión pura y compuesta. La fibra extrema del hormigón se encuentra trabajando al 3,5 %o y todas las posibles condiciones de rotura son planos que giran en torno a un eje ubicado a la altura de la fibra más extrema del hormigón. El eje neutro desciende y el acero reduce su deformación. Dentro de este dominio existe una condición de deformación notable y es la que corresponde a una deformación específica del acero del 3 %o. En este punto la norma considera que la rotura puede ocurrir sin grandes deformaciones por lo cual comienza a incrementar linealmente el coeficiente de seguridad. Existe una solución para evitar aumentar este coeficiente de seguridad, consiste en colocar armadura en la zona comprimida que ayuda al hormigón y evita que el eje neutro baje más allá de este punto. Es decir, en este caso, se coloca armadura para tomar compresiones, no tracciones. Este estado de rotura a partir del cual aumenta el coeficiente de seguridad, pero no es límite del dominio. Este se encuentra cuando el acero posee una deformación igual a la del límite de fluencia. Con menores deformaciones el acero ingresa en el período elástico con lo cual una reducción de deformación implica necesariamente una reducción en la carga que toma el acero. Dominio 4 Corresponde al estado de flexocompresión. La fibra extrema del hormigón se encuentra trabajando al 3,5 %o y todas las posibles condiciones de rotura son planos que giran en torno a un eje ubicado a la altura de la fibra más extrema del hormigón. El eje neutro sigue descendiendo y el límite del dominio viene dado cuando la fibra extrema de la sección tiene deformación nula. A partir de aquí toda la sección se encuentra comprimida y el coeficiente de seguridad alcanza su máximo valor, ν = 2.1. Hay que tomar en cuenta que cuando el acero empieza a tener deformaciones negativas, la armadura deja de estar traccionada para estar comprimida. Por eso deja de ser relevante la altura h (distancia entre la fibra más comprimida y las armaduras más alejadas) y pasa a ser importante el valor d (la altura total de la sección) Dominio 5 Corresponde al estado de flexocompresión con pequeña excentricidad y compresión pura. La fibra extrema del hormigón va reduciendo gradualmente su deformación de 3,5 %o a 2 %o y todas las posibles condiciones de rotura

15 15/20 son planos que giran en torno a un eje ubicado en el interior de la sección. El coeficiente de seguridad se mantiene en ν = 2.1 MÉTODO DE CÁLCULO Para realizar el cálculo de las secciones de hormigón y de acero, recordemos que los esfuerzos característicos que actúan sobre la sección deben ser equilibrados por las fuerzas internas que se desarrollan en la sección. Las fuerzas y los momentos que se generan son producto del volumen de tensiones de compresión generados por las deformaciones de la cabeza comprimida, las fuerzas de tracción concentradas en las armaduras y por el brazo elástico interno que es la distancia entre la resultante de compresión y las armaduras.: De esta forma el método de cálculo a la rotura para flexión resultaría de las siguientes dos fórmulas: Meu = ν M = Dbu z = Zsu z Donde Dbu (resultante última de la cabeza comprimida) es igual a Zsu (esfuerzo último sobre las armaduras). A partir de ahora el problema a resolver es cómo determinar a partir de un plano de deformación dado, los valores de Dbu, Zsu y z La determinación de Dbu no es sencilla porque el diagrama de tensiones de compresión ya no tiene forma triangular sino que adopta la forma del diagrama parábola-rectángulo. Tampoco es sencillo determinar el brazo elástico porque si es difícil determinar el volumen de tensiones de compresión, más dificultoso aún es obtener la altura a la que se ubica.

16 16/20 Por ello a partir de resolver matemáticamente este problema, se han confeccionado tablas para la sección rectangular que es la más común en hormigón donde estos valores se expresan en función de las características geométricas de la sección (b, h) y brindan los parámetros necesarios para verificar la sección y dimensionar las armaduras. Ahora bien, dada la dificultad para determinar estos valores, la norma ha confeccionado tablas que permiten a partir de una sección determinada, verificar si el hormigón está en condiciones de absorber ese esfuerzo y determinar la sección de acero necesaria para absorber las tracciones. Antes de terminar quisiera hacer una aclaración. El CIRSOC 201 siguiendo a lo establecido por las normas alemanas ha normado dos métodos para la realización de este cálculo, uno llamado Kh y otro ms según el primer parámetro que se determina. Pero debe quedar claro que los métodos son conceptualmente idénticos y se basan en las mismas hipótesis de las que hemos hablado anteriormente. El término Kh surge del parámetro que se obtiene para determinar cuáles las correspondientes deformaciones últimas del hormigón y del acero para ese caso en particular. Este valor se obtiene del siguiente cálculo: Como se puede apreciar, el Kh es muy riguroso en cuanto a las unidades que se eligen, la altura deben estar en centímetros y el ancho en metros, el momento tiene obligatoriamente que expresarse en tonelámetros. A continuación se agrega a título ilustrativo una tabla donde se encuentran los valores según este método.

17 17/20 Si nos vamos al fondo de la tabla advertimos que lo que se indica en la deformación del acero y del hormigón, pero también hay otros parámetros. Así se indica el parámetro kz que permite determinar la longitud del brazo elástico, el kx que permite obtener la altura de la zona comprimida a partir de los siguientes cálculos sencillos: Así: x = kx h z = kz h Finalmente se indica el valor ks que permite dimensionar las armaduras de la siguiente forma: en tonelámetros. Aquí también hay que ser riguroso con las unidades ya que la altura tiene que estar, esta vez en metros, y el momento Como se puede advertir para este método se utiliza una tabla distinta para cada calidad de hormigón y de acero. El otro método es el ms ya que ese es el parámetro que se obtiene en primer término. En este caso se trata de un número adimensional lo que brinda amplia libertad en cuanto a las unidades. Así se pueden utilizar cm, m, Kg, Kgm, N, Kn, etc. siempre y cuando se puedan simplificar sin problemas. Pero además al ingresar el valor βr (tensión de cálculo del hormigón) nos independizamos de la calidad del hormigón. Una misma tabla sirve para diferentes hormigones, incluso aquellos no especificados en la norma.

18 18/20 También aquí se puede determinar en qué zona de los dominios nos encontramos, a partir de las deformaciones del hormigón y del acero y también obtener los parámetros kx y kh. Para la determinación de las armaduras se utiliza la siguiente fórmula donde ωm es la cuantía mecánica. Una cuantía es una relación entre acero y geometría pero existen dos tipos de cuantías: las mecánicas y las geométricas. Las primeras no sólo dependen de la geometría sino también de la calidad del hormigón y del acero. Las segundas permiten obtener el valor de las secciones de armadura de acero necesarias para garantizar la seguridad de la sección. Si dividimos la cuantía mecánica por βs/βr obtenemos la cuantía geométrica y las armaduras fácilmente.

19 19/20 Un detalle a tomar en cuenta es que estas tablas también brindan valores para los casos de flexión compuesta, pero para las compresiones, debe ser con gran excentricidad, es decir momentos muy preponderantes, ya que para los casos de compresión centrada o con flexocompresión donde toda la sección está comprimida, es preciso disponer armaduras dobles, tema que se desarrollará al abordarse el tema de elementos comprimidos. Por qué entonces existen dos métodos? Porque las normas en general tienen criterios conservadores. Con métodos anteriores se obtenía un parámetro similar al kh y se buscó un método que no generara inquietud entre los estructuralistas. Pero evidentemente es más cómodo el método ms. También se puede advertir, se señala que las tablas de ambos métodos terminan cuando el acero tiene una deformación del 3%o que para el caso de ms* corresponde al número y kh* para el método anterior cuyo valor varía en función de la calidad del hormigón. Esto ocurre porque a partir de allí comienza a incrementarse el coeficiente de seguridad. Qué hacer si superamos este límite? Existen dos caminos. Una posibilidad es aumentar las dimensiones de la sección, en particular la altura que se eleva al cuadrado y tiene mayor incidencia en la reducción. La otra posibilidad es agregar armaduras comprimidas. Lo que ocurre en este caso es que la sección de hormigón queda fijada en el caso de acero con deformaciones del 3%o. El resto del momento lo absorbe un par de tracción entre las armaduras comprimidas y traccionadas. En realidad, esta última opción debe aplicarse una vez que se verificó la imposibilidad de aumentar la altura ya que no sólo hay que agregar armadura comprimida, también hay un aumento importante de las armaduras traccionadas. Finalmente este también se resuelve por tablas. Sólo que aquí, además de la armadura traccionada, taimen hay que calcular la armadura comprimida. Otro dato que es relevante, es el recubrimiento de las armaduras comprimidas. Este valor se da en proporción de la altura. Finalmente se agrega a título ilustrativo, la nueva tabla que debe emplearse.

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