Notas de Cálculo Numérico. Curso

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1 Notas de Cálculo Numérico. Curso María Jesús Vázquez Gallo 21 de octubre de 2005

2 2 Notas de Cálculo Numérico. Curso María Jesús Vázquez Gallo

3 Capítulo 1 Introducción Introducción Empecemos con un ejemplo: imagina que necesitamos conocer el área de un campo limitado por dos carreteras y un río. No disponemos de una fórmula con la que calcular el área de esa figura plana, porque no es una circunferencia, ni un rectángulo, ni un cuadrado, ni un triángulo, etc. qué podemos hacer? Si supiéramos que la orilla del río, como curva, es la gráfica de una función f(x), el Cálculo vendría en nuestra ayuda y podríamos obtener el área de la figura haciendo una integral b a f(x) dx, donde a = 0 y b sería la distancia a la que el río cruza a la carretera horizontal. Si tenemos la función y sabemos hacer la integral, problema resuelto... pero, en general, no tenemos esa función (incluso si la tuviéramos, a veces la integral no se puede expresar en términos de funciones elementales como polinomios, senos, cosenos, exponenciales, etc.). Abandonamos?... No, espera, el Cálculo Numérico puede resolver el problema porque nos da métodos para aproximar el valor de esa integral a partir de un conjunto finito de datos: unos cuantos valores de f, es decir, unas cuantas medidas de la distancia entre la carretera horizontal y el río. Es verdad que entonces sólo tendremos un valor aproximado del área que, en general, no será exacto. Estaremos cometiendo un error... pero el método utilizado nos dirá en cuánto nos hemos equivocado como mucho, es decir, de qué orden es el error cometido. A lo mejor el error es menor que un mm 2 en un área de cientos de Héctareas. Conclusión: el error es despreciable. 3

4 4 Capítulo 1. Introducción. En resumen, el Cálculo Numérico (o Análisis Numérico) es una rama de las Matemáticas que diseña y estudia métodos para obtener efectivamente soluciones numéricas de problemas matemáticos. Efectivamente significa aquí que no basta con métodos que, en principio, permitan calcular la solución (porque queremos ponerlos en práctica). Para qué podemos necesitar resolver problemas matemáticos (si nos vamos a dedicar a la ingeniería, por ejemplo)? Acabamos de ver una situación práctica en la que nos hacía falta calcular una integral. Las Matemáticas son la base del lenguaje científico y tecnológico. Desde el diseño de un puente, un coche, un avión o cualquier tipo de estructura hasta el envío de imágenes vía satélite, pasando por la realización de un TAC (Tomografía Axial Computerizada) o la seguridad de las tarjetas bancarias o el comercio electrónico... en todas esas tareas se utilizan técnicas y modelos matemáticos. En muchos casos, además, es necesario simular estos modelos y analizar datos experimentales y para ello hace falta resolver problemas matemáticos. El Cálculo Numérico es útil para resolver problemas matemáticos? Como hemos visto en el ejemplo inicial, para resolver un problema matemático en el que, en general, queramos calcular algo, los métodos del Análisis no son siempre los más adecuados. De hecho, en la práctica, su utilidad es restringida. Desde cuándo se emplea el Cálculo Numérico? Nació como disciplina en los años 40 y 50, porque no había máquinas para calcular de forma barata y rápida. En esa década y precisamente por las necesidades de cálculo intensivo, se empezaron a construir los primeros ordenadores. Con los ordenadores a su disposición, el Cálculo Numérico floreció. A la inversa, cuantas más necesidades de cálculo surgen del propio Cálculo Numérico y sus métodos, se van fabricando mejores y más potentes ordenadores. Eficiencia. Si disponemos de varios métodos numéricos que se podrían aplicar para resolver el mismo problema, cuál elegiremos? Una posible respuesta sería el que menos errores dé, pero y si tardamos 10 días en usar éste y, sin embargo, con otro que da más errores tardamos 10 minutos? En la práctica, valoraremos la situación y, generalmente, emplearemos el que, dando errores dentro de unos límites razonables para nuestro problema, requiera menor tiempo, es decir, menor costo operativo. En resumen, trataremos de maximizar la eficiencia del método.

5 1.1. INTRODUCCIÓN 5 Los problemas matemáticos que trataremos de resolver en este curso utilizando métodos numéricos, serán los siguientes: 1. Aproximación. Se trata de sustituir una función f(x) por otra función g(x) que se le parezca, cerca de un valor de x, con la condición de que la diferencia entre las dos funciones esté controlada. 2. Interpolación. Teniendo una función f(x), buscamos otra función g(x) que coincida con f en ciertos valores de x, que se llaman abcisas o nodos de la interpolación. Se dice entonces que g interpola a f, cuando la usamos en lugar de f en un valor de x entre los nodos y que g extrapola a f, si la usamos en vez de f en un valor de x fuera del intervalo en el que se encuentran los nodos. 3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales. En muchos problemas prácticos, por ejemplo, al estudiar la estructura que sostiene un puente, al diseñar una red de carreteras, de telefonía o un circuito eléctrico, etc., necesitamos resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo 2x 3y = 5 x + 2y = 1 de dos ecuaciones lineales (las incógnitas aparecen elevadas a exponentes 0 ó 1) con dos incógnitas: 2 2, o de 3 3, o de y en la práctica real quizá de ! 4. Resolver ecuaciones en general. Además de ecuaciones lineales, podemos necesitar resolver ecuaciones cuadráticas 4x 2 2x = 0, cúbicas 7x 3 + 5x 2 x + 3 = 0, etc. Para las de grado 2, todos recordamos la famosa fórmula de las soluciones de una ecuación ax 2 + bx + c = 0, x = b ± b 2 4ac 2a Para las de grado 3 y 4, también existen fórmulas con radicales que datan de los tiempos del Renacimiento. Pero, sorprendemente, no existe este tipo de fórmula para las de grado 5 o mayor (se demostró, tras los esfuerzos de muchos matemáticos, nada menos que en el siglo XIX). Hay además otros tipos de ecuaciones que no son polinómicas, como por ejemplo, sen x x + 3 2e x = 0

6 6 Capítulo 1. Introducción. para las que, en principio, no tenemos método para hallar las soluciones exactas. En todos estos casos, estudiaremos métodos numéricos para aproximar las soluciones. 5. Derivación numérica En general, podemos aplicar reglas de derivación para obtener la derivada de una función f(x) pero qué hacer si no disponemos de una expresión para la f y sólo conocemos su valor en unos cuantos puntos? Los métodos numéricos permiten obtener la derivada de orden p de una función en un punto bajo ciertas hipótesis. 6. Integración numérica o cuadratura numérica Como vimos en el ejemplo inicial, podemos necesitar calcular b a f(x) dx, y no conocer la función f o no saber expresar la integral en términos de funciones elementales. Estudiaremos métodos para calcular la integral de la función f conocido su valor en unos cuantos puntos. 7. Resolver ecuaciones diferenciales En muchas situaciones prácticas, por ejemplo, en mecánica de fluidos: los procesos de fundido en un alto horno, las turbulencias que se producen alrededor de un avión, el comportamiento de una bolsa de petróleo, etc., los procesos se modelizan con ecuaciones en las que aparecen derivadas de funciones. Se trata entonces de resolver ecuaciones diferenciales como f 2 + 4f 1 2 = 0 y para ello emplearemos métodos numéricos apropiados Representación de numeros en el ordenador. En general, los números con los que trabajamos en problemas prácticos son números reales: 1, 0, -3, 3 8 = 0 375, 2 3 = 0 ˆ6, π = (que aparece, por ejemplo, en la fórmula del área de un círculo), 2 = , etc. Para manejar este tipo de números, el formato decimal no siempre es el más cómodo, especialmente cuando los números son muy grandes o muy pequeños.

7 1.2. REPRESENTACIÓN DE NUMEROS EN EL ORDENADOR. 7 Un ejemplo típico es el número de Avogadro ( ) que da la cantidad de moléculas que hay en un mol: En vez de escribir los 16 ceros finales, es mucho más breve utilizar Esta representación se llama de punto flotante (también coma flotante), en inglés: floating point y es la que usan internamente los ordenadores. Y por qué no emplear o ? Por nada en especial, simplemente se elige una de las posibles formas de hacerlo, es decir, se normaliza diciendo que para representar un número real x 0, su primera cifra no nula se escribe a la izquierda del punto decimal y se multiplica por la potencia de 10 adecuada. Al coeficiente de la potencia de 10 se le llama mantisa y al exponente, exponente. O sea que la mantisa del número de Avogadro es y el exponente es 23. Ejemplo. Se te ocurre algún número que no pueda expresarse así? Ejemplo. La masa de un electrón es aproximadamente kg Cómo la escribirías en aritmética de coma flotante? Entonces, en general, en aritmética de coma flotante los números se escriben m 10 N con m la mantisa y N el exponente, pero tanto los exponentes como las mantisas no pueden ser tan grandes o pequeños como queramos. Los exponentes se mueven en cierto rango N 0 < N < N 1 que varía de unas máquinas a otras; por ejemplo, en cierto ordenador puede que N 0 = 1000 y N 1 = 1200 y en otro, N 0 = N 1 = 800. En cuanto a las mantisas, los ordenadores sólo pueden manejar mantisas de longitud finita y cada ordenador la mantiene fija, es decir, que en su representación de los números la mantisa tiene siempre el mismo número de dígitos. La consecuencia inmediata es que el ordenador no puede representar de manera exacta todos los números reales. Ejemplo. Si un ordenador utiliza mantisa de 6 dígitos, representará al número π = como = que evidentemente es distinto de π. Ejemplo. Si un ordenador utiliza mantisa de longitud 2 cuántos números reales del 1 al 2 podrá manejar? Pues sólo 11: , , ,..., , , , y hay infinitos!

8 8 Capítulo 1. Introducción. Aunque la mantisa fuera más larga, como su longitud es finita, ocurre como en este ejemplo, es decir, un ordenador sólo puede manejar intervalos discretos y no continuos. Esto tiene el desagradable efecto de que en la aritmética de coma flotante no se cumple la propiedad asociativa de la suma o del producto de números reales. Así que, en general, en esta aritmética: x + (y + z) (x + y) + z x (y z) (x y) z Ejemplo. Si x = , y = y z = , un ordenador con mantisa de dos dígitos daría como resultado para (xy)z y, sin embargo, para x(yz). Ejemplo. Ojo! Entonces en aritmética de coma flotante puede ocurrir: (A + B) A B. Si la mantisa es de dos dígitos, A = y B = son un ejemplo de esta desigualdad Redondeo simétrico. En aritmética de coma flotante, al utilizar mantisas de longitud finita para representar un número real, se prescinde de algunas de sus cifras decimales. Claramente el método para hacerlo no es cortar por lo sano porque entonces, por ejemplo, si la mantisa es de longitud 4, el número quedaría representado por y este número está muy cerca de mientras que el número original lo está de El proceso para decidir cuál es la última cifra decimal de la mantisa se llama redondeo simétrico. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo. Redondeo en la cifra decimal de las unidades (de orden k = 0). Queremos redondear los números 3 214, y 3 51 a la cifra decimal de las unidades; como están entre 3 y 4: los que quedan más cerca de 3, es decir, y que viven en el intervalo [3 10 0, ) redondean a 3 y los que están más cerca de 4, o sea 3 51, en el intervalo ( , ] redondean a 4. Ejemplo. Redondeo en la cifra decimal de las décimas (de orden k = 1). Queremos redondear los números , a la cifra decimal de las décimas; como están entre 0 7 y 0 8: los que quedan más cerca de 0 7, es decir, que vive en el intervalo [7 10 1, ) redondean a 0 7 y los

9 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES. 9 que están más cerca de 0 8, o sea , en el intervalo ( , ] redondean a 0 8. Y cuándo nos encontramos en el punto medio del intervalo correspondiente? Si decidimos ir a la izquierda, estaremos redondeando por defecto y, en caso contrario, por exceso? En general, sea x 0 un número real, el redondeo simétrico de x en la cifra decimal de orden k es: si x [n 10 k, (n ) 10k ), n 10 k ; si x ((n ) 10k, (n + 1) 10 k ], (n + 1) 10 k si x = (n ) 10k, n 10 k por defecto ó (n + 1) 10 k por exceso. Ejercicio. Cuál sería el redondeo simétrico de un número real x 0? 1.3. Errores: Procedencia del Error y Definiciones Procedencia del error En todo cálculo numérico cabe esperar un error por qué? Veámoslo: 1. Por el planteamiento del problema. Se estudian modelos ideales de fenómenos reales y, por tanto, siempre hay una desviación del modelo respecto a la realidad (por ejemplo, se supone que el rozamiento en cierto sistema es nulo cuando no lo es). 2. Error inicial procedente de la medición de los datos del problema que sólo es aproximada porque medimos números reales con instrumentos de precisión finita. 3. Errores de redondeo. Se deben a la utilización de un número finito de decimales, es decir, a que se usan mantisas y exponentes de longitud finita. Por ejemplo, si la mantisa es de longitud 6, el número se representa de forma exacta como , pero si el número es , su representación es que es distinto del número original. Hemos visto que esto tenía la consecuencia importante de la no asociatividad de la suma y la multiplicación de números reales. Otra consecuencia importante es la llamada pérdida de significación al restar dos cantidades cercanas: se pueden perder cifras significativas.

10 10 Capítulo 1. Introducción. Notación: Las cifras significativas de un número son las de su mantisa, es decir, todas sus cifras no nulas más los ceros a la derecha del número que formen parte de la mantisa, es decir: tiene 3 cifras significativas (los ceros de la izquierda no lo son) tiene 3 cifras significativas si la mantisa es de longitud 3 ( ) pero tiene 4 si la mantisa es de longitud 4 ( ) y 5 si es de longitud 5 ( ). El redondeo de a 4 cifras significativas es = Ejemplo. Consideramos la función f(x) = x( x + 1 x). Comparemos el valor de f(x) que daría una calculadora con muchas cifras decimales con el utilizado en aritmética de coma flotante de 6 dígitos. Para valores pequeños de x, el resultado es prácticamente el mismo pero, por ejemplo, para x = , la primera daría como resultado y la segunda 100 y si x = 10 6 = , la primera daría y la segunda daría 0! El problema es que, a medida que x aumenta, en aritmética de 6 dígitos x + 1 y x se parecen cada vez más, de hecho llegan a ser iguales y por eso, al restar, el resultado es 0 cuando en realidad f(x) 0. Cómo evitar este problema de pérdida de significación al restar cantidades próximas? Una posibilidad es utilizar más dígitos en los cálculos pero si esto no es posible o no soluciona el problema, entonces trataremos de cambiar nuestra expresión por otra equivalente en la que no aparezca esa diferencia. Para ello se multiplica y se divide en la expresión por el conjugado de dicha diferencia, es decir, por la suma correspondiente. Ejemplo. f(x) = x( x + 1 x)( x x) ( x x) = x(x + 1 x) x x = x x x Ejercicio. Halla una expresión equivalente a 1 cos x x 2 problema de pérdida de significación. que no plantee el

11 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES Error residual, de truncamiento o de discretización debido al método numérico utilizado que, por lo general, discretiza el problema (como vimos en la introducción con el ejemplo de la integral) o también, utiliza una aproximación de una función que consiste en quedarse con un número finito de términos de una suma infinita (como en la aproximación por Taylor que estudiaremos en el Cap. 2). 5. Error de operación. Las operaciones se realizan con números aproximados y, como consecuencia, se van acumulando errores. El análisis de la propagación del error relacionado con la llamada estabilidad del método queda fuera de nuestro programa Definiciones sobre errores Hemos visto qué tipos de errores pueden producirse pero concretamente a qué llamamos error? Definición. Error absoluto de un resultado. Si A es un número real y a es un valor aproximado de A, el error absoluto es = a A. Las barras verticales significan valor absoluto del número real que aparece dentro de ellas. Recordamos que el valor absoluto de un número real x se define como: { x si x 0 x = x si x 0 Es decir, 7 = 7 y 7 = 7, así que el valor absoluto de un número real es su distancia al 0, su tamaño. Entonces el error absoluto de una aproximación a de un valor exacto A es el tamaño de la diferencia entre ambos valores. Si a > A se dice que la aproximación es por exceso y si a < A por defecto. Observación. Para algunos autores, el error absoluto se define como la diferencia a A sin tomar valor absoluto. En este caso, la aproximación es por exceso si el error absoluto es positivo, y por defecto si es negativo. Ejemplo. Al escribir con aritmética de coma flotante el número A = , un ordenador con mantisa de 6 dígitos utilizará el valor aproximado a = 6, En este caso, el error absoluto de la aproximación es = a A = 7. Es un error grande?... 7 unidades en más de 64 millones de unidades no parece tanto.

12 12 Capítulo 1. Introducción. Lo que importa, habitualmente, no es el error en sí, sino su tamaño relativo respecto al valor exacto. Si nos cobran un euro de más al comprar leche el error es más significativo que si nos ocurre lo mismo al pagar un coche. Se define entonces el error relativo de un valor aproximado como la proporción entre el error absoluto y el valor real: Definición. Error relativo de un resultado. Si A 0 es un número real y a es un valor aproximado de A, el error relativo de la aproximación es δ = A. Como en la práctica, el valor real suele ser desconocido, se utiliza el error relativo aproximado: Definición. Error relativo aproximado de un resultado. Si A es un número real y a 0 es un valor aproximado de A, el error relativo aproximado es δ ap = a. Cualquier error relativo suele expresarse como un porcentaje, así que si, por ejemplo, sobre un valor real de 100 se comete un error absoluto igual a 5, diremos que el error relativo es del 5 %. Ejemplo. En el ejemplo anterior, el error relativo de la aproximación es δ = = Observación importante: En la práctica, no es posible determinar el error absoluto con exactitud (porque si lo fuera, conocido el error y el valor aproximado a, como = a A, tendríamos que: - si la aproximación es por exceso, a > A y por tanto = a A con lo cual A = a, - si la aproximación es por defecto, a < A y por tanto = A a con lo cual A = a + ). Lo que se conocerá o se buscará serán límites para el tamaño de error, es decir, cotas para el error. Definición. Si A es un número real, a es un valor aproximado de A y el error absoluto de la aproximación, un número E tal que E se llamará cota del error absoluto y a la cantidad e = E se la denominará cota a del error relativo aproximado.

13 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES. 13 Ejemplo. Volviendo al caso anterior una cota para el error absoluto = 7 es, por ejemplo, 10, pero también lo es 8 ó Evidentemente, cotas puede haber muchas pero nos interesará encontrar la menor posible. Ejercicios. 1. A una cinta métrica le falta el primer cm. Después de medir una longitud con ella se obtiene una medida de 15cm. cuál es la verdadera longitud?, y el error absoluto?, y el relativo?, y el relativo aproximado? Da una cota del error absoluto y otra del error relativo aproximado. (Respuesta: Los datos son a = 15 y = 1. La verdadera longitud es A = 14, el error absoluto era un dato = a A = 1, el error relativo es δ = A = 1 14 = es decir un error del 7 1 % mientras que el error relativo aproximado es δ ap = = 1 = a es decir un error del 6 7 %. Una cota del error absoluto puede ser E = 1 (o cualquier E 1) y una cota del error relativo aproximado es e = 1 15 (o cualquier e 1 15 )). 2. Si para x = = se toma como valores aproximados 0 26 y 0 27, determinar en cada caso el error absoluto y dar cotas para dicho error. (Respuesta: Como A = , si: a = 0 26, entonces = = = y como = , una cota para este error es E = Hacer el caso a = 0 27 como ejercicio.) 3. Se anota una pesada de 2 5 kg y se supone que existe un error en la balanza menor que 0 05 kg. Dar una cota del error absoluto. En qué intervalo se encuentra el verdadero valor? (Respuesta: Sabemos que a = 2 5 y que = a A < 0 05, así que una cota del error absoluto es E = 0 05 y el verdadero valor A cumple a E < A < a + E es decir que < A < , o sea A (2 45, 2 55). Cifras exactas de un valor aproximado. Otra manera de describir el error que se comete al aproximar cierto valor, es hablar de cuántas cifras exactas tiene el valor aproximado. Para ello, conviene recordar lo que se entiende por cifras significativas de un número (ver pág. 10). Definición. Dado un valor aproximado a, llamemos m al orden de su última cifra significativa. Se dice que la aproximación a tiene todas sus cifras exactas si el error absoluto cometido cumple: < 1 10 m

14 14 Capítulo 1. Introducción. (Esta fórmula se lee diciendo que el error absoluto es menor que una unidad del orden de la última cifra significativa) Ejemplos. 1. El valor aproximado a = 7 de cierto valor real A, tendrá sus cifras exactas si el error absoluto cumple < , ya que el orden de la última cifra significativa de a (el 7) es 0 (porque el 7 es la cifra de las unidades y 1 = 10 0 ). Así, el valor a tendrá todas sus cifras exactas como aproximación de A = o de A = , pero no las tendrá si A = 6 ó A = 8 o, claramente, si A < 6 ó A > El valor aproximado a = 1 4 como aproximación de cierto valor real A, tendrá sus cifras exactas si el error absoluto cumple < , ya que el orden de la última cifra significativa de a (el 4) es -1 (al ser la cifra de las décimas). Si, por ejemplo, supiéramos que en este mismo caso A = 1 47 entonces = 0 07 = < con lo cual a = 1 4 tendría todas sus cifras exactas, mientras que si A = 1 08, entonces a = 1 4 no tiene todas sus cifras exactas como aproximación de A ya que = 0 32 > = 0 1 (a = 1 sí las tendría porque el error absoluto en este caso sería = 0 08 = < ). 3. El valor a = como aproximación de A = (observa que A es, a su vez, una aproximación del número π) tiene todas sus cifras exactas porque en este caso el orden de la última cifra significativa de a es 4 (es el 6 que está colocado en el lugar de las diezmilésimas) y se cumple: = A a = = < Observación. Te habrá llamado la atención que en las fórmulas de la definición y en los ejemplos anteriores, aparezca un uno multiplicando a la potencia de diez correspondiente. La razón de escribir ese uno, aparte de que así leemos la fórmula diciendo error absoluto menor que una unidad del orden de la última cifra significativa, es la analogía con la definición que aparece en algunos libros: Dado un valor aproximado a, llamemos m al orden de su última cifra significativa. Se dice que la aproximación a tiene todas sus cifras correctas si el error absoluto cometido cumple: < 5 10 m 1 = m Con esta otra definición para decir que una aproximación a tiene todas sus cifras correctas, estamos exigiendo que el error cometido sea más

15 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES. 15 pequeño que con la definición anterior. Por ejemplo: a = 7 que tenía todas sus cifras exactas como aproximación de A = (aunque ni siquiera el redondeo simétrico de A a una cifra significativa sea a), no tiene todas sus cifras correctas como aproximación del mismo valor real A porque = > = 0 5. Sin embargo, a = 7 sí tiene sus cifras correctas como aproximación del valor real A = 7 48 puesto que ahora = 0 48 < = 0 5. Observa que el redondeo simétrico de A a una cifra significativa es precisamente el valor a. En este sentido, la segunda definición es más coherente con la idea de redondeo simétrico (salvo quizá en los casos extremos, por ejemplo, qué ocurre si a = 7 y A = 7 5?) Cuando el error cometido es suficientemente pequeño, pueden cumplirse a la vez las dos definiciones. Si recordamos el ejemplo 3 anterior, en ese caso, a = era una aproximación (de A = ) con todas sus cifras exactas porque = A a = = < y también podemos decir que tiene todas sus cifras correctas porque = < = (el redondeo simétrico de A a cinco cifras significativas es a). En algunas ocasiones, en vez de conocer una aproximación de un valor real y querer decidir cuántas cifras exactas tiene, lo que se conoce es un intervalo en el que vive cierto valor real, es decir, los datos son una pareja de valores entre los que está comprendido el valor real A, y lo que se quiere encontrar es una aproximación de A con todas sus cifras exactas. a). Un caso posible es que las primeras cifras no comunes de esos dos valores sean consecutivas. En este caso, las cifras comunes y la mayor de las primeras no comunes nos dan un valor con cifras exactas. Por ejemplo, supongamos que < A < , es decir, A (2 1318, ). Entonces, 2 14 con < = 0 01 es una aproximación con cifras exactas (ya que: = < 0 01, = < 0 01). Lo que no sabemos es si la aproximación es por defecto o por exceso y, por ello, decimos que el valor encontrado tiene sus cifras exactas sin saber el sentido de la aproximación (s.s.s.).

16 16 Capítulo 1. Introducción. En nuestro ejemplo: 2 14 tiene sus cifras exactas ( < ) s.s.s. b). Otro caso posible es que las primeras cifras no comunes no sean consecutivas. Entonces, el valor que proporcionan las cifras comunes es una aproximación por defecto con todas sus cifras exactas. Supongamos ahora que < A < Entonces 2 1 tiene sus cifras exactas ya que = < = 0 1. Y el valor que se obtiene al aumentar en uno la última de las cifras comunes es una aproximación por exceso con todas sus cifras exactas. De nuevo en el ejemplo: 2 2 tiene sus cifras exactas puesto que = < = 0 1. c). En los casos en los que no existen cifras comunes entre los extremos del intervalos, los datos no necesariamente sirven para obtener una aproximación con cifras exactas de la forma anterior. Por ejemplo, si A (5, 7), entonces no hay cifras comunes y 5 y 7 no son consecutivas y si pensamos que 5 y 7 se escriben como 05 ó 07, ni 0 da una aproximación por defecto con cifras exactas al valor A (ni siquiera se le puede aplicar bien la definición) ni 1 la da por exceso con cifras exactas. Qué ocurre en el caso de A (0 005, 0 007)? Ejemplo. Supongamos que c = es una aproximación de un valor real C de la que sabemos < Hallar un valor aproximado de C con cifras exactas. El valor E = es una cota del error absoluto y por tanto C c < < E c E < C < c + E luego el verdadero valor C cumple C (c E, c + E) = (8 5530, ). Como los extremos de este intervalo tienen unas cuantas cifras comunes y las primeras no comunes no son consecutivas, entonces: es una aproximación por defecto con cifras exactas ( < ) es una aproximación por exceso con cifras exactas ( < ) Propagación de errores Vimos al comienzo de esta sección que una de las posibles fuentes de errores era la acumulación de estos al operar con valores aproximados. No

17 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES. 17 haremos un estudio exhaustivo de esta cuestión, pero nos será útil considerar unos cuantos casos básicos. Supongamos que un valor real A se aproxima por a y que queremos calcular -3A Qué error se comete al evaluar 3A mediante 3a? En general, si f es una funcion cuyo valor en A deseamos calcular qué error cometemos al aproximar f(a) mediante f(a)? Veamos primero un caso sencillo. Producto por una constante. Si aproximamos ka por ka, entonces el error absoluto se multiplica por el valor absoluto de k y el error relativo (o el error relativo aproximado) no cambia, es decir: (ka) = k (a). δ(ka) = δ(a). δ ap (ka) = δ ap (a). Comprobemos la primera igualdad: (ka) = ka ka = k(a a) = k A a = k (a). La segunda es aún más fácil: δ(ka) = (ka) ka = k (a) k A = (a) A = δ(a). La tercera se comprueba igual que la segunda. Házlo como ejercicio. Ejemplo. Supongamos que A = ; a = y k = 2. Qué relación hay entre ( 2a) y (a)?, qué ocurre con los errores relativos? Antes de multiplicar por 2, el error absoluto es (a) = A a = Ahora el valor real es 2A = y el aproximado es 2a = , por tanto: ( 2a) = 2A ( 2a) = = = ( 2) = = = 2 (a). Los errores relativos (el usual y el aproximado) no cambian ya que: δ( 2a) = ( 2a) 2A = 2 (a) 2 A = (a) A = δ(a). δ ap ( 2a) = ( 2a) 2a = 2 (a) 2 a = (a) a = δ ap (a).

18 18 Capítulo 1. Introducción. En general, por el Teorema del Valor Medio -que se estudia en profundidad en Cálculo- se tiene la igualdad f(a) f(a) = f (ξ)(a a) donde ξ es un punto intermedio entre A y a (cuando se cumplen las hipótesis del Teorema, en este caso: f debe ser continua en el intervalo cerrado de extremos a y A y también derivable en el intervalo abierto correspondiente). Por tanto (f(a)) = f (ξ) (a) y el error se amplifica o disminuye segun el tamaño de la derivada. Ejemplo: Si A = , a = y f(x) = cos x, entonces el error absoluto cometido al aproximar cos A por cos a cumple: (cos a) = cos A cos a = sen ξ A a , ya que el tamaño de la derivada -en este caso, el valor absoluto del senoestá acotado por 1. En cuanto al error relativo: δ(cos a) cos(1,473) = = = 0 04 %. Otros dos casos interesantes en la propagación de errores son: a). Suma. Si aproximamos A 1 +A 2 por a 1 +a 2, entonces el error absoluto cumple: (a 1 + a 2 ) (a 1 ) + (a 2 ). Lo comprobamos: (a 1 + a 2 ) = A 1 + A 2 (a 1 + a 2 ) = A 1 a 1 + A 2 a 2 Ahora podemos aplicar la desigualdad triangular: a + b a + b, con lo cual: (a 1 + a 2 ) A 1 a 1 + A 2 a 2 = (a 1 ) + (a 2 ). En cuanto al error relativo δ(a 1 + a 2 ), se puede obtener una fórmula que lo relaciona con δ(a 1 ) y δ(a 2 ) pero es bastante más complicada y no la utilizaremos. b). Producto. Si aproximamos A 1 A 2 por a 1 a 2, entonces el error relativo (y también el relativo aproximado) cumple: δ(a 1 a 2 ) δ(a 1 ) + δ(a 2 ).

19 1.3. ERRORES: PROCEDENCIA DEL ERROR Y DEFINICIONES. 19 (se demuestra que δ(a 1 a 2 ) δ(a 1 ) + δ(a 2 ) + δ(a 1 )δ(a 2 ) y el último término se considera despreciable frente al resto). En este caso, la fórmula del error relativo es más manejable que la del error absoluto.