1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 N 1º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA 1.- NÚMEROS-2 PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Números reales(r) 1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS N úm e ros natu :Ejemplo:7 E l n úm e ro 0 rales Números enteros(z) N úm eros enteros negativos:ejemplo: 4 Decimales exactos.ejemplo:2,75 Racionales(Q) Periódicospuros.Ejemplo:5, = 5,3 Decimalesperiódicos Periódicosmixtos.Ejemplo:7, = 7,46 Irracionales (decimales no periódicos).ejemplo:3, Los números irracionales no se pueden expresar en forma de fracción porque tienen infinitas cifras no periódicas. Ejemplos de números irracionales: * El número π = 3, Se obtuvo al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Las primeras cifras de π se pueden obtener con la calculadora así: SHIFT EXP = El resultado es 3, * El número 2 = 1, Se obtuvo al calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1. + * El número de oro o número áureo: φ = 1 5 = 1, Se obtuvo al dividir la diagonal del pentágono regular entre su lado Las raíces cuadradas no exactas de números naturales son números irracionales. Por ejemplo, 2, 3, 5, 6,etc son números irracionales También son números irracionales: 3, ; 0, ;... pues tienen infinitas cifras no periódicas. 2.- APROXIMACIONES DECIMALES Redondeo de números Para redondear un número a una determinada cifra: - Dejamos igual las cifras anteriores a esa cifra. - Si la cifra que le sigue es menor que 5, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando y si es mayor o igual que 5, le sumamos 1. - Sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen Ejemplos: 31,52 7, redondeado ala cifra delas unidades 32,00 = 32, pues la cifra después del 1 es 5 redondeado ala cifra de las milésimas 7,5320 = 7,532, pues la cifra después del 2 es 4 redondeado ala cifra de las centenas 3200, pues la cifra después del 1 es 6 Truncamiento de números Algunas veces, en lugar del redondeo se usa el truncamiento que consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada. Por ejemplo, el truncamiento del número 3,72634 a las centésimas es 3,72000 = 3,72 - Página 1 -

2 Errores en una aproximación Siempre que tomemos una medida esta nunca puede ser exacta. Cualquier instrumento de medida que cojamos siempre tendrá una precisión limitada por lo que siempre habrá un error, por muy mínimo que sea. A ese número le llamamos error absoluto. En una aproximación, llamamos error absoluto (E) a la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor real (V R ) y el valor aproximado (V A ): E = V R V A Se expresa en las mismas unidades que el valor exacto. Cuanto menor es el error absoluto, mejor es la precisión de la aproximación. E E = El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real: R V El error relativo no lleva unidades y se suele expresar en forma de porcentaje (llamado error porcentual ). Para ello se multiplica el valor obtenido por 100. Siempre es más precisa la aproximación que nos dé menor error relativo. Si no conocemos el valor real del número (por ejemplo, porque tenga infinitos decimales), en vez de tomar el error absoluto se suele tomar una cota de error absoluto: c = 0,5.10 k. El valor de k depende de la última cifra no nula que se deja al aproximar: Si es la de las unidades, k = 0 ; para las decenas, k = 1; centenas, k = 2, etc. Si es la de las décimas, k = 1 ; centésimas, k = 2, etc. Actividad 1 Juan ha redondeado el número 2,75 a las décimas y Ana ha redondeado el número 283 a las decenas. Calcula el porcentaje de error relativo que ha cometido cada uno y explica qué aproximación es la mejor, la de Juan o la de Ana 2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS Representación de fracciones en la recta Para representar la fracción propia 3 en la recta dividimos el segmento [0,1] en 7 partes iguales 7 y tomamos 3 partes a partir de 0 R También se pueden representar fracciones impropias (numerador > denominador) pasándolas a forma mixta. Se puede pasar a forma mixta con la calculadora científica usando la tecla a b/c Por ejemplo, para pasar a forma mixta la fracción 31/6 el proceso es 31 a b/c 6 =. Da 5 + 1/6 5 unidades y 1 del segmento [5,6] 6 - Página 2 -

3 Representación de decimales en la recta Para representar números decimales se divide el segmento correspondiente en 10 partes iguales Ejemplos: Números decimales en el segmento [0, 1] Números decimales en el segmento [ 1, 0] Números decimales en el segmento [2, 3] Números decimales en el segmento [ 4, 3] Números decimales en el segmento [1,4 ; 1,5] Observaciones: Se pueden representar fracciones pasándolas a decimal y luego representando los decimales, redondeándolos. Esto se suele hacer cuando el decimal tiene más de dos cifras decimales o cuando queramos representar un número irracional Representación de números irracionales en la recta Algunas raíces cuadradas se pueden representar de forma exacta en la recta numérica siempre que el radicando se pueda expresar como suma de dos cuadrados. Ejemplo: 2 1 5= = hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos2 y1 Actividad 2 Representa en la recta los siguientes números, cada uno en una recta diferente: a) 3 5 b) 19 7 c) 29 d) INTERVALOS Un intervalo es un segmento o una semirrecta de la recta real. Hay 8 tipos de intervalos: Segmentos - Página 3 -

4 Semirrectas Intervalos en forma de valor absoluto Observa: x < 3 Números cuyo valor absoluto es menor que 3 ( 3, 3) En general, x < a corresponde al intervalo ( a, a) Unión de intervalos Es el conjunto formado por todos los puntos de ambos intervalos. La unión de dos intervalos A y B se representa por A U B y se lee A unión con B Ejemplo: Si A = [ 5, 1 ], B = [ 3, 2 ) A U B = [ 5, 2 ) Intersección de intervalos Es el conjunto formado por los puntos comunes a los intervalos. La intersección de dos intervalos A y B se representa por A B y se lee A intersección con B Ejemplo: Si C = (, 1 ], D = (0, ) C D = ( 0, 1 ] Observa: x > 3 Números cuyo valor absoluto es mayor que 3 (, 3) U (3, ) En general, x > a corresponde a (, a) U (a, ) 4.- PORCENTAJES Puesto que un porcentaje es una fracción, para hallar el porcentaje de una cantidad podemos usar la fracción como operador. Ejemplo: 2,5 2,5% de 300 = de 300 = 2,5 : = 0, = 7,5 100 Actividad 3 Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene bacterias y adquiere una enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%. Cuántas bacterias forman la población finalmente? - Página 4 -

5 5.- MATEMÁTICA COMERCIAL Interés simple Cuando metemos dinero en el Banco se generan unos intereses que se pueden calcular con la fórmula I Crt =, donde C es el capital (dinero que metemos), r es el rédito (% al que colocamos el 100 dinero) y t es el tiempo en años que lo tenemos. ACTIVIDADES Actividad 4 Cuántos meses debe estar colocado en un Banco un capital a un rédito del 8% a interés simple para que se triplique? Actividad 5 A qué tanto por ciento se han depositado en un banco a interés simple, si en 2 meses produjeron unos intereses de 36? Interés compuesto anual Supongamos que colocamos un capital en un Banco de forma que los intereses que se producen cada año se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el siguiente año. r t En este caso, el capital final se puede calcular usando la fórmula C = C (1 + ) f 0, siendo C el capital inicial, r el rédito y t el tiempo en años Actividad 6 Se invierten al 2,15% de interés compuesto anual. Cuánto dinero tendremos al cabo de 15 meses? Actividad 7 Qué capital se ha invertido al 3% de interés compuesto anual si al cabo de 2 años tenemos un capital final de 4000? ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS 1 Clasifica los siguientes números reales en naturales, enteros, decimales exactos, periódicos puros, 36 periódicos mixtos e irracionales: a) 5, b) 1, c) d) 64 e) 2, f) 8 g) 3, h) 1 i) 2π j) 2,3555. k) 5 l) 3, m) 16 2 n) 12 2 Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) 5 Q b) 7 Z c) 4 N 2.- APROXIMACIONES DECIMALES 3 Realiza la siguiente operación con tu calculadora y redondea el resultado tomando una cifra decimal La fachada de la casa de Rosa mide exactamente 10 m pero Rosa al medirla obtiene 10,5 m La altura de una torre es exactamente 100 m pero Juan al medirla obtiene 99,5 m. a) Halla el error relativo que ha cometido cada persona y exprésalo en forma de porcentaje b) Explica cuál de ellos ha sido más preciso en su medición, Rosa o Juan 5 Indica una cota de error absoluto al redondear un número irracional: a) A las décimas b) A las milésimas c) A las centésimas d) A las diezmilésimas - Página 5 -

6 2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS 5 6 Representa en la recta los siguientes números, cada uno en una recta diferente: a) b) 15,4 9 c) 2,84 d) 70 redondeando a las décimas e) 3 7 j) 2 7 k) Página 6 - f) 18 5 g) 4 3 h) 12 5 l) 45 redondeando a las décimas m) 32 redondeando a las centésimas n) 13 ñ) 2 o) 10 p) 18 q) INTERVALOS 7 Representa gráficamente los siguientes intervalos y exprésalos con las distintas notaciones: a) 5 x < 0 b) x 3 c) [ 3, 4) d) ( 2, ) e) ( 5, 1] f) x 1 g) 1 < x < 2 h) (, 0] i) x 1 j) (, 10) k) x > 0 l ) x 1/2 m) [ 5, 1] n) [3, 4) ñ) ( 4, 2) o) (1, ) p) 2 < x 0 q) x < 2 8 Representa los siguientes intervalos con valor absoluto y exprésalos con las notaciones estudiadas: a) x < 5 b) x 4 c) x 1 d) x < 1/3 9 Calcula la unión e intersección de los intervalos A y B en los casos: a) A = ( 3, 5) B : 1 x 7 b) A = ( 5, ) B = (, 0] c) A = [3, ) B = (5, ) d) A = [3, ) B = (, 3] 10 Dados los intervalos: A: números reales x que cumplen x 5 B: números reales x que cumplen 3 x < 7 C: (, 1 ] D: números reales que cumplen x > 0 a) Represéntalos en la recta numérica y exprésalos de todas las formas posibles b) Determina A U B y C D 11 Expresa en forma de unión de intervalos los números que verifican: a) x > 7 b) x 1 c) x > 3/5 4.- PORCENTAJES 12 En agosto el precio del m 2 de solar era, en una determinada ciudad, de 500 ; en septiembre subió un 2% y en octubre bajó un 3% con respecto al precio que tenía en Septiembre. Halla el precio del m 2 en octubre. 13 En un tienda hemos comprado un televisor de 510, pero nos han hecho un descuento del 20%, también le tenemos que añadir el IVA del 16%, por último debemos de pagar el 8% para que nos lo traigan hasta casa. Cuánto tenemos que pagar al final por el televisor? 5.- INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 14 Calcular el capital que debe imponerse 3 años al 5% para que los intereses sean de Cuánto tiempo hay que tener en un Banco al 2,75% de interés simple para que se conviertan en 9 320? 16 Se invierten al 3,5% de interés compuesto anual. Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años? 17 Qué capital se ha invertido al 2,5% de interés compuesto anual si al cabo de 3 años tenemos un capital final de 5 400? i) 5