CÓMO EXPRESAR UN DECIMAL EXACTO EN FORMA DE FRACCIÓN

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1 Tema Nº aritmética y álgebra! REFLEXIONA La siguiente lista consta de todos los números escritos en la pizarra y algunos más: 0; ; -; 0,; ; ; ; ; ; ; - ; 8 ; 8 ;, ; π; Sitúalos, en tu cuaderno, sobre un cuadro como el de abajo Ten en cuenta que un mismo número puede estar en más de uno de los con untos NATURALES(N 0; ; 8 ENTEROS(Z 0; ; -; ; ; 8 ; 8 RACIONALES(Q 0; ; - ; 0,; ; ; ; ; 8; 8;,; NO RACIONALES ; ; ; π Te conviene recordar CÓMO EXPRESAR UN DECIMAL EXACTO EN FORMA DE FRACCIÓN Halla la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales y descompón en factores primos sus denominadores: aa,88 bb 0,008 88, , Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales exactos: aa es exacta pues el denominador es una potencia de bb es exacta pues 0, sólo contiene y como factores, basta multiplicar el 0 numerador y el denominador, por para obtener como denominador 0, una potencia de 0 cc da lugar a una fracción decimal exacta ya que el denominador contiene como factores sólo y, multiplicando numerador y denominador por, este último sería 00

2 Tema Nº aritmética y álgebra! dd que es la misma fracción del apartado anterior CÓMO EXPRESAR UN DECIMAL PERIÓDICO EN FORMA DE FRACCIÓN Halla la fracción generatriz de: aa 0,0 000N, 0N 0, N 0,0 N 0 0N bb, 00000N, 00N, N, N 00N cc, 000N, 00N, N, N N Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales periódicos: aa bb cc La descomposición en factores de la tres fracciones contiene factores que no son o Actividades ( pág Expresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades:! Visitantes anuales a una exposición de pintura: 8 personas! Asistentes a una manifestación ecológica: personas! Bacterias existentes en dm de cierto preparado: 0 0 bacterias! Número de gotas de agua que hay en una piscina: 8 gotas! Número de granos en un saco de arena: 8 granos

3 Tema Nº aritmética y álgebra!! 8 personas personas! personas 000 personas! millones de bacterias! 8 gotas 8 0 millones de gotas! 8 granos millones de granos Actividades ( pág Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las cantidades que has expresado en el ejercicio de la página anterior! 8 personas personas " Cota del error absoluto ε Mitad del número que se forma con la primera cifra significativa 0 000/ 000 ( El sombreado ppp indica la primera cifra significativa ε 000 " Cota del error relativo 0, 00 Medida 0000! personas 000 personas " Cota del error absoluto ε 000/ 00 ε 00 " Cota del error relativo 0, 00 Medida 000! millones de bacterias " Cota del error absoluto ε / ε " Cota del error relativo 0, 00 Medida ! 8 gotas 8 0 millones de gotas " Cota del error absoluto ε / ε " Cota del error relativo 0, 000 Medida ! 8 granos millones de granos " Cota del error absoluto ε / ε " Cota del error relativo 0, Medida

4 Tema Nº aritmética y álgebra! Actividades ( pág Calcula: aa (,8 0 - (,8 0,8,8 0 -+, 0 8, 0 bb, 0 8 +, 0, 0 +, 0 (,+, 0, 0, 0 8 Actividades ( pág Escribe en cada caso un número racional y otro irracional comprendidos entre M y N - aa M / N / M 8 8 N 0, < 0, < M N y un irracional 0,0 0, 8 0,, un racional intermedio es / 0, bb M 0,8; N 0, cc M 0,; N 0, M 0,8 < Racional 0,8 < N 0,; Irracional 0, Racional 0,; Irracional 0, 0 Podrías encontrar siempre un racional y un irracional que estén comprendidos entre dos números cualesquiera? Razona tu respuesta Sí, pues entre dos números cualesquiera hay infinitos números racionales e irracionales, el conjunto de los números reales es un conjunto denso Representa en la recta numérica los siguiente números: 0 +, luego en un triángulo rectángulo, un cateto ha de ser y el otro :

5 Tema Nº aritmética y álgebra! Para dibujar 0 dividimos el segmento anterior en tres partes iguales y tomamos la primera: Para dibujar el 0 sólo tenemos que hallar el opuesto con una circunferencia con centro en el 0 y radio 0 ( figura anterior Actividades ( pág 0 Representa en la recta real los números, de forma exacta: aa Convertimos los decimales en fracciones para representarlos:! -, directamente!, ; dividimos la unidad en cuatro partes iguales y contamos 00! 0,, dividimos la unidad en tres partes iguales y tomamos! +

6 Tema Nº aritmética y álgebra! bb Φ,8 Actividades ( pág Expresa en forma exponencial: dd Sabemos que aa m n m a n a, luego: x x bb a a a a a 0 0 ee x x x x x x f f cc a a a k n m k mn k mn a a a Calcula: aa bb cc dd 8 8 ( 8 ee Expresa en forma radical: aa x x bb ( n ( m n m cc a b a b dd x x ( x

7 Tema Nº aritmética y álgebra! Actividades ( pág Utilizando la tecla, calcula:! 0 0,0! 8 8,80! 8 0 0,! 0,0 0,0 0,008! 0, 0 0,0 0,! 8 0, 0 0,0 0,8 Utilizando la tecla x y, halla:! x y 0! 00 x y 00,0 0 0!, 0, x y 0,0 Utilizando la tecla x y, halla:! x y /x,! x y /x,8! x y { },08 y Utilizando la tecla x o bien x, halla:! y x,0

8 Tema Nº aritmética y álgebra! 8! y x,800! y 8 8 x! y x,80 Actividades ( pág Simplifica: aa x x x x bb 8 8 x x x x cc 0 0 y y y dd 8 ee 8 8 f f 8 8 Cuál de los dos es mayor en cada caso?: aa Como > 8 8 > bb 0 > 0 Reduce: aa bb + + ( cc 0 a b a b

9 Tema Nº aritmética y álgebra! Saca del radical todos los factores que sea posible aa bb cc x x x x x x x x 8 a b c a b c a b b c a b b c ab b c Simplifica: aa bb cc a b c a b c a b c a dd ab c a a b c a b c bc c bc a (a a a a 0 8 ( ( ee + + x x x x x x x x x x x x 8 f f 8 8 Efectúa: aa ( + bb 0a 8a a a a a ( a a

10 Tema Nº aritmética y álgebra! 0 Racionaliza los denominadores: aa bb cc ( ( ( + dd ( + + ( + ( ( ( ( ( ( + ( ( ( + ( + ee f f + Ejercicios de la unidad ( pág PRACTICA Aprroxi imación y errrrorress Expresa con un número adecuado de cifras significativas: aa Audiencia de un programa de televisión: 0 8 espectadores bb Tamaño de un virus: 0,008 mm cc Resultado de dd Fuerza de atracción entre dos cuerpos: 8 N ee Presupuesto de un ayuntamiento: 8 f Porcentaje de votos de un candidato a delegado:,8% gg Capacidad de un pantano: 8 000

11 Tema Nº aritmética y álgebra! aa Audiencia de un programa de televisión: 0 8 espectadores espectadores bb Tamaño de un virus: 0,008 mm 0,008 mm cc Resultado de dd Fuerza de atracción entre dos cuerpos: 8 N 000 N ee Presupuesto de un ayuntamiento: f Porcentaje de votos de un candidato a delegado:,8% % gg Capacidad de un pantano: l l Calcula, en cada uno de los apartados del ejercicio anterior, el error absoluto y el error relativo de las cantidades dadas como aproximaciones Error absoluto Valor real Valor de la medición Error relativo Error absoluto Valor real aa Error absoluto Error relativo 8 0, bb Error absoluto 0,008 0,008 0,000 0,000 Error relativo 0, 0 0,008 cc Error absoluto Error relativo 0, dd Error absoluto Error relativo 0, 0 8 ee Error absoluto Error relativo 0, 0 8 f f Error absoluto,8 0,8

12 Tema Nº aritmética y álgebra! 0,8 Error relativo 0, 00,8 gg Error absoluto Error relativo 0, Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes aproximaciones: aa Radio de la Tierra: 00 km bb Distancia Tierra-Sol: km cc Habitantes de España: millones dd Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,00 segundos ee Volumen de una gota de agua: 0, mm " Cota del error absoluto ε Mitad del número que se forma con la primera cifra significativa ε " Cota del error relativo Medida Se ha sombreado con --- la primera cifra significativa 00 aa 0 0 ε ; Cota del error relativo 0, bb ε ; Cota del error relativo 0, cc ε ; Cota del error relativo 0, ,00 0,000 dd ε 0, 000 ; Cota del error relativo 0, 0 0,00 0, 0,0 ee ε 0, 0 ; Cota del error relativo 0, 0,

13 Tema Nº aritmética y álgebra! Nottaci ión cienttí íffi ica Expresa con todas las cifras: aa, bb, 0-0,000 cc 0-0,00000 dd, ee, 0-0, f , Escribe en notación científica: aa , 0 bb 0, cc , 0 dd -0,000 -, 0 - Expresa en notación científica: aa Recaudación de las quinielas en una jornada de liga de fútbol: bb Toneladas de CO que se emitieron a la atmósfera en en Estados Unidos: 8, miles de millones cc Radio del átomo de oxígeno: 0, m aa 8 000,8 0 bb 8, miles de millones,8 0 cc 0, m, 0 - m

14 Tema Nº aritmética y álgebra! 8 Halla una cota del error absoluto y otra del error relativo de los siguientes redondeos dados en notación científica: aa, 0 bb, 0 8 cc,8 0 - dd 8, 0 - ee, 0 f,8 0-8 Sombramos gg para indicar la primera cifra significativa aa, ; ε 0 ; Cota del error relativo 0, bb, ; ε ; Cota del error relativo , cc,8 0-0, ,000008; ε 0, ; Cota del error relativo 0, ,0,8 0 dd 8, 0-0,00 0,000 0,008; ε 0, 000 ; Cota del error relativo 0, 0 8, 0 ee, ; ε 000 ; Cota del error relativo 0, 00, 0 Calcula con lápiz y papel y comprueba después el resultado con la calculadora: aa ( 0 (, 0 (, bb ( 0-8 (, 0 (, 0-8+, 0 - cc (, 0 - ( 0 (, dd (, 0 - ( 0 - (,

15 Tema Nº aritmética y álgebra! EJERCICIOS DE LA UNIDAD 0 Efectúa y expresa el resultado en notación científica, sin utilizar la calculadora: aa ( l0 - ( , 0 bb ( 0 - ( ,0 0 - cc ( 0 : ( 0 - (: 0 +, 0 dd ( 0 (0 0 8, 0 ee ( ( , 0 - f, ( , 0 Expresa en notación científica y calcula: aa (0,00 (0,000 (, 0 - ( 0 - (, (0 - (0 - (, (, ,8 0-8, bb ( 800 : ( 000 (,8 0 : (, 0 (,8 :, 0 0-8, 0 8, 0 + 0, , 0,08 0 (,,08 0,808 0 cc, ,000, 0,0 0 (,,0 0, , 0, 0, 0 0 (, 0 0, 0 dd 0,0000 0,000 0, 0 0, 0, 0 (0,, 0, 0 8,8 0 0 Utiliza la calculadora para efectuar las siguientes operaciones y expresa el resultado con dos y con tres cifras significativas aa (, 0 (8, 0 - EXP x 8 EXP ±, 0 Con dos cifras,8 0 y con tres, 0 bb (, 0 - (, 0 - EXP ± x EXP ±, 0 - Con dos cifras, 0 - y con tres, 0 - cc (8, 0 : (, 0-8 EXP EXP ±, 0 Con dos cifras, 0 y con tres, 0

16 Tema Nº aritmética y álgebra! dd (,8 0-8 EXP ± SHIFT x, 0 - Con dos cifras significativas:, 0 - y con tres, 0 - Efectúa y expresa el resultado en notación científica: aa bb , (0, + 0, 0, 0, 0 0, , 0 0 0, 0 0 +, 0 (0 0, 0 0 cc (, 0,0 0 (, (, 0, 0, 0 Númerross rreal less aa Clasifica los siguientes números racionales o irracionales: 0 ; ;,;, 0 ; ; bb Alguno de ellos es entero? cc Ordénalos de menor a mayor aa Racionales: ; ;,;, 0 bb Sí es entero 0 Irracionales : ; cc Para ordenarlos pasamos a decimales los que no lo están y después comparamos: 0,0; ;,;, 0 ;,0;,00 <, 0 < < 0 < <,

17 Tema Nº aritmética y álgebra! Di cuáles de los siguientes números son irracionales: ;,; ; π; ; + Son irracionales: + ; π ; φ Ordena de menor a mayor: aa,;,; bb ; ; Hallamos las expresiones decimales para comparar aa,;,;, <, <, bb,;,;, < < aa Observa el diagrama y completa en tu cuaderno el cuadro adjunto bb Sitúa los siguientes números en el lugar que les corresponda en el diagrama y en el cuadro: cc Cómo se llaman los números de DEE'D'?

18 Tema Nº aritmética y álgebra! 8 aa N: ABB' ; ; 08 Z: ACC' ; ; 08; ; ; 8 Q: ADD' ; ; 08; ; ; 8; 8 ;,; ; 0, R: AEE' ; ; 08; ; ; 8; 8 ;,; ; 0,; ; ;0,; bb, 8 Q, R, 8 CDD'C' N, Z, Q, R ABB' 8 R 8 DEE'D' Z, Q, R BCC'B' cc En esa región ( DEED se colocan los irracionales 8 Clasifica estos números según pertenezcan a los conjuntos N, Z, Q y R N ; 0; ; 8; Z ; 0; ; 8; ; ; ; ; Q ; 0; ; 8; ; ; ; ; ; ;,; ; ;, 8 R ; 0; ; 8; ; ; ; ; ; ;,; ; ;,8; ; π;+ ;,0,0,0 IIntterrval loss 0 Escribe simbólicamente y representa los siguientes intervalos: A {x / - x } [-, ] B {x / - < x } (-, ] C {x / x} [, + D {x / 0<x<} (0,

19 Tema Nº aritmética y álgebra! E {x / x >-} (-, + F {x / 0 x} (-, 0] Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: aa 0 < x < (0, bb x - (-, -] cc x > 0 (0, + dd x < [ -, ee < x ( -, + f f x < [, Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: P (;, {x R / < x <,} Q [-, ] {x R / - x } R [-, 0] {x R / - x 0} S [-, + {x R / x - }

20 Tema Nº aritmética y álgebra! 0 T (, + {x R / x > } I (-, ] {x R / - < x } Pottenci iass y rraí ícess Expresa como potencia única: + aa bb cc 8 dd a a a a ee f f a a a a a a a a a a a a a