Introducción a los Números Reales y a la Geometría Analítica

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1 Introducción a los Números Reales y a la Geometría Analítica Dr. Yoel Gutiérrez UNEXPO - Puerto Ordaz 1 Introducción Una teoría matemática cuenta en su origen con conceptos primitivos (no de nidos) a partir de los cuales pueden ser de nidos los otros conceptos que vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos los números reales como un concepto primitivo. Las proposiciones que, sin demostrar, se aceptan como ciertas se llaman axiomas y junto con los conceptos primitivos constituyen el punto de arranque y base de una teoría matemática. Muchos de los resultados más importantes en Matemáticas se llaman teoremas. En contraste con los axiomas o de niciones que se dan por supuestos, los teoremas si requieren de una demostración. Un teorema es una proposición compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la otra que se llama conclusión o tesis. La cadena de razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis constituye lo que se llama demostración del teorema. Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si mismo no tiene mucha trascendencia en la teoría que se esta desarrollando pero va a ser usado, inmediatamente después de su formulación, en la demostración de otro teorema de marcada importancia. Un teorema recibe el nombre de corolario de otro teorema cuando es una consecuencia inmediata de él. En algunos casos se nos pide si una a rmación como la siguiente: Para cualesquiera números reales a, b, c y d se cumple que si a > b y c > d; entonces a + c > b + d; es verdadera o falsa. Ante una situación como ésta es natural que comencemos probando con algunos casos particulares para observar si para ellos la proposición se cumple o no se cumple. Ahora bien, las consecuencias de esta forma de proceder son muy distintas según que las pruebas sean positivas o negativas. En efecto, si comprobamos que la proposición se cumple para todos los casos particulares que probemos a lo más que podemos llegar es a sospechar que es cierta, pero con ello no hemos demostrado que la proposición lo es, pues, qué sucede con los casos no considerados? Si por el contrario, comprobamos que para un caso particular la proposición no se cumple, este solo contraejemplo ya basta para refutarla. Mientras no se diga lo contrario, las letras a,b,c,...u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas y teoremas representan números reales cualesquiera. Axiomas de cuerpo Junto con el conjunto de los números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales que para cada par de números reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro número real designado por x + y y el producto de x por y designado por xy o x:y. Estas dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas: 1. C0nmutatividad:. x + y = y + x, xy = yx.. Asociatividad:. x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz) = (xy)z. 3. Distributividad:. x(y + z) = xy + xz. 4. Elementos neutros:. Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada número real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x y 1:x = x:1 = x. 5. Inverso aditivo:. Para cada número real x existe un único número real x tal que ( x) + x = x + ( x) = 0. Page 1

2 6. Inverso multiplicativo:. Para cada número real x 6= 0 existe un único número real x 1 = 1 x 6= 0 tal que x 1 x = xx 1 = 1: Las propiedades anteriores se han descrito, principalmente, en términos de suma y multiplicación. Ahora podemos de nir las operaciones básicas de resta y división en términos de las de suma y multiplicación, respectivamente. Resta La diferencia a de ne como b de dos números reales a y b, se a b = a + ( b) En forma alternativa decimos que División a b = c! c + b = a El cociente a b de dos números reales a y b, se de ne como a b = a: 1 b También podemos decir que b 6= 0 a b = c! c:b = a; b 6= 0: De los axiomas y de niciones anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del álgebra elemental. Las más importantes de ellas se recogen a continuación como teoremas. s 1. Cancelación para la suma: Si a + b = a + c, entonces b = c.. a = ( 1)a. 3. ( a) = a. 4. (a + b) = ( a) + ( b). 5. a(b c) = ab ac. 6. 0:a = a:0 = Cancelación para la multiplicación:. Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c. 8. Si a 6= 0, entonces (a 1 ) 1 = a. 9. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = Si aa = a, entonces a = 0 o a = ( a)b = (ab) y ( a)( b) = ab. Observaciones Las siguientes propiedades básicas de la igualdad se usan frecuentemente en el álgebra. 1. si a = b, entonces a + c = b + c.. si a = b, entonces ac = bc. 3. si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. 4. si a = b y c = d, entonces ac = bd..1 Potenciación.1.1 Potencia con exponente entero positivo Si a es un número real, se tiene a 1 = a a = a a a 3 = a a a y en general, si n es un entero positivo a n = n veces a a\ a ::: a que se denomina potencia de base a y exponente n..1. Potencia con exponente entero negativo La potencia de númers reales con exponente un entero negativo, se de nen de la siguiente forma: Si a R ; y n Z + ; entonces a n = 1 a n.1.3 Propiedades de la potenciación en R Si a; b R y m; n Z; entonces se veri ca 1. Productos de potencias de igual base. a n a m = a n+m. Potencia de una potencia. (a n ) m = a nm 3. Potencia de un producto. (ab) n = a n b n 4. Potencia de un cociente. ( a b )n = an b n ; b 6= 0 5. Cocientes de potencias de igual base. a n a m = a n m ; a 6= 0 6. Potencia de exponente cero: a 0 = 1; a 6= 0 Page

3 .1.4 Raíz n-ésima de un número real Sean a R y n un número natural mayor que 1. Un número x R tal que x n = a se llama raíz n-ésima de a. Se denota por x = np a donde, a es el radicando, n es el índice de la raíz y x es la raíz n-ésima de a. En general: 1. Cuando el radicando es positivo y el índice de la raíz es par, existen dos raíces reales, de signos opuestos.. Cuando el radicando es negativo y el índice de la raíz es par, no existe ninguna raíz real. 3. Cuando el radicando es cualquier real y el índice de la raíz es impar, existe una raíz real. Nótese que cuando se calcula una raíz de radicando positivo e índice par, tal como p 16; que tiene dos raíces 4 y -4, si no se antepone ningún signo al radical p ;se sobreentiende que se trata de la raíz positiva, así: p 16 = 4 si queremos indicar la raíz negativa, escribimos p 16 = 4 y si queremos indicar las dos raíces, escribimos p 16 = Potencia con exponente fraccionario Para esto se conviene en escribir los radicales como potencias con exponentes fraccionarios, así: np am = a m n Nótese que el numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando y el denominador del exponente fraccionario es el índice de la raíz. Al operar con potencias de exponentes fraccionarios se aplican las mismas raglas de la potenciación con exponentes enteros. Sin embargo, en algunos casos dichas reglas no son válidas y por lo tanto es preciso tomar precauciones. Por ejemplo: 1. = 4 1 = (( )( )) 1 = ( ) 1 ( ) 1 p p = Nóteses que p no tiene sentido ya que no es u nnúmero real.. p ( 4) 6 = p 4096 = 64 Si hacemos el cálculo pasando a exponente fraccionario, se obtiene p ( 4)6 = ( 4) 6 = ( 4) 3 = 64 Que no es igual al resultado anterior.. Ecuaciones cuadráticas Uno de los métodos para resolver ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0,con a 6= 0, es el de completar el cuadrado, el cual se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Resolver la ecuación x + 3x 10 = 0 solución. Sumamos 10 a cada miembro de la ecuación x + 3x = 10 1 Sumamos 3 = 9 4 a cada miembro x + 3x = Factorizamos el lado izquierdo x + 3 = 49 4 Aplicamos raíz cuadrada a cada lado y despejamos x Por consiguiente Observaciones x + 3 = r 49 4 x = 3 7 x = o x = 5 1. La técnica que acabamos de usar se llama completar al cuadrado. Este proceso se puede ampliar al caso en que el coe ciente de x sea un número distinto de 1.. El proceso de completar el cuadro se puede resumir como sigue: Para completar el cuadrado en expresiones cuadráticas, como x + bx, se suma el cuadrado de la mitad de b. Así x + bx + b = x + b 3. En la solución del ejercicio anterior aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros. La base para hacerlo es la siguiente propiedad: Si n = k, entonces n = p k o bien n = p k; esto es, n = p k Page 3

4 4. Aplicando el método de completar el cuadrado se obtiene la fórmula cuadrática: x = b p b 4ac a que permite resolver la ecuación ax +bx+c = 0, con a 6= 0, la cual se puede emplear en todos los casos. Si b 4ac > 0, entonces ax + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales. (b) Si b 4ac = 0, entonces ax + bx + c = 0 tiene una única solución real. (c) Si b 4ac < 0, entonces ax + bx + c = 0 no tiene soluciones reales..3 Productos notables y Factorización de polinomios Los productos notables son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuencia con que aparecen, se realizan en forma directa mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. A continuación se enumeran los más utilizados 1. (x + y) = x + xy + y.. (x y) = x xy + y. 3. (x + y)(x y) = x y. 4. (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab. 5. (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y (x y) 3 = x 3 3x y + 3xy y 3. Factorizar un polinomio signi ca escribirlo como el producto de varios polinomios más simples. Los principales casos de factorización son: 1. El proceso inverso de todos los productos notables dados anteriormente. Por ejemplo: x + xy + y = (x + y) :. Factor común. Es todo factor que se repite en cada uno de los términos de un polinomio y que constituye el máximo común divisor de ellos. Para aplicar esta factorización, expresamos el polinomio dado como el producto del factor común por otro polinomio de forma tal que la aplicación de la propiedad distributiva genere el polinomio inicial. En su forma más simple, se representa: ax + ay + az = a(x + y + z) 3. Suma y diferencia de cubos: x 3 + y 3 = (x + y)(x xy + y ) x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) 4. Fórmula cuadrática: Consideremos el polinomio P (x) = ax + bx + c; a 6= 0 Al factorizar P (x); aplicando la fórmula cuadrática, se obtienen tres casos: P (x) tiene dos raíces reales distintas, digamos m y n, entonces P (x) = a(x n)(x m) (b) P (x) tiene una única raíz real, digamos m, entonces P (x) = a(x m) (c) P (x) no tiene raíces reales, entonces no es factorizable en R: Ejercicios 1. Diga si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. Si es falsa, corrija el lado derecho para llegar a una igualdad correcta. 5 7 (b) x+y y x (c) 3ax 5b 6 = 3 = 3 4. x+y = ( x y ). ax 5b. (d) x+x 1 xy = x+1 x y : (e) x 1 + y 1 = y+x xy. (f) 3 = Descomponer en factores. 3b x + 6bx. (b) x(a + 1) a 1. (c) 4y 3 1 y + 4y. (d) a 6 a 3 b 3 + b 6. (e) 100m n x8. (f) x + xy + y 1. (g) x 4 + x. (h) t + t. (i) x 4 5x 50. (j) 1 (a b) Realice las operaciones indicadas y simpli- que. Page 4

5 x (b) x x 1 x 1 x. y x+y + x+y x y + 4xy x y. (c) x +y x 1 +y 1. (d) (e) x x 3 x 4x+3 5 x x 3 a+x b+x a x b x. a x b x (f) 1 x 1 x x x Racionalizar los denominadores. 10 p 5. (b) (c) (d) 4 (e) x y 3p p y 3 x. x p x+1 p x. 3+ p. 3 x 3p. 9x (f) 1 3 p x.. 5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. 5x 3 + 6x 3 = 3x 5 6. (b) 3x+1 = x 1 3. (c) 1 (x 1) (x 3) = 1 3 (x + 3) (d) (3 1 (e) 3x x ) (1 x 3 ) = x + x. (1 + x) = 4x Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles tiene 3 centímetros más de longitud que la base del triángulo. El perímetro mide 1 centímetros. Encuentre la longitud de cada lado. 7. La longitud de un rectángulo mide 1 centímetro menos que 3 veces la anchura. Si se le aumentan 6 centímetros a la longitud y se le aumentan 5 centímetros a la anchura, la longitud será el doble de la anchura. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 8. Tomas gana 475 dólares semanales más una comisión del 4% sobre sus ventas. Si en una semana sus ingresos totales fueron de 50 dólares. Cuáles fueron sus ventas en esa semana? 9. Tenemos las instrucciones de un truco matemático. Primero, trate de resolverlo. A continuación, use representaciones algebraicas de cada frase y explique por qué funciona este truco. Piense un número. Sume. Multiplique el resultado por 3. sume 9. Multiplique lo obtenido por. Divida el resultado entre 6. Reste el número con el que empezó. El resultado es Si ax + bx + c = 0, con a 6= 0, demuestre, aplicando el método de completación del cuadrado, que x = b p b 4ac : a 11. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. x x + = 0. (b) x 3x 10 = 0. (c) x + 3x = 0. (d) x x 4 = 0. (e) x 4 5x + 4 = 0. (f) 3x 4 13x 7 = 0. (g) x + p 3x + = La piscina en el patio posterior de una casa tiene forma rectangular, con 10 metros de anchura y 18 metros de longitud. Está rodeada por un pasillo de anchura uniforme, cuya área mide 5 metros cuadrados. Cuánto mide la anchura del pasillo? 13. La longitud de una pieza rectangular de cartón tiene centímetros más que la anchura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 centímetros de lado y doblando los lados hacia arriba. si el volumen de la caja es de 67 cm 3, encuentre las dimensiones de la pieza original de cartón. 14. La longitud de un rectángulo es 3 cm. mayor que su ancho. el área es de 70 cm. Determines las dimensiones del rectángulo. 15. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones 5 x + 6 x 4 = 5 (x ). (b) x+1 x 1 x x = 4 x. (c) 5 x x = 6. x+4 (d) x 10 = (e) 3x x+1 = 0. (f) x+1 x 1 (g) 5 x 9 = x+3 x(x 1) = 4 x. x 3. Page 5

6 16. Un tubo puede vaciar un tanque en dos horas. Otro tubo lo puede vaciar en 4 horas. cuánto tiempo se necesita para vaciar el tanque usando ambos tubos? 17. Trabajando juntas, Alma y Julia pueden pintar su cuarto en 3 horas. Alma tarda 5 horas en pintarlo sola. Cuánto tiempo tarda Julia en pintarlo ella sola? 18. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones p x + = p x 5. 1 (b) px = 3. (c) p x + 16 x = 4. (d) x = 1 + p 1 x. (e) p p p x 1 x 9 = x 4. (f) p x p x 4 = 5. (g) p 4 x p x =. 3 Axiomas de orden Este grupo de axiomas tiene que ver con un concepto que establece un orden entre los números reales. Este orden nos permite decidir si un número real es mayor o menor que otro. Supondremos que existe un cierto subconjunto R + R, llamado conjunto de números positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: 1. Si x e y pertenecen a R +, lo mismo ocurre a x+y y xy.. Para todo real x se cumple sólo una de las tres condiciones siguientes: x = 0; x R + o x R + : 3. 0 no pertenece a R +. Ahora se pueden de nir las relaciones <; >; y llamados respectivamente: menor que, mayor que, igual o menor que e igual o mayor que, de la manera siguiente: 1. x < y signi ca que y x es positivo.. y > x signi ca que x < y. 3. x y signi ca que x < y o x = y. 4. y x signi ca que x y. Observaciones 1. La relacones <; >; y se llaman desigualdades. R + = fx R=x > 0g. 3. Si un número real distinto de cero no pertenece a R +, entonces pertenece a los reales negativos, que se denota por R. Es decir R = fx R=x < 0g 4. El par de desigualdades simultáneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma más breve x < y < z; interpretaciones análogas se dan a las desigualdades compuestas x y < z, x < z y, x y z. De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales para operar con desigualdades, las más importantes se dan a continuación. s 1. Para a y b números reales cualesquiera se veri ca una y sólo una de las tres relaciones siguientes: a < b; b < a o a = b. Si a < b y b < c, entonces a < c. 3. Si a < b, entonces a + c < b + c. 4. Si a < c y b < d, entonces a + b < c + d. 5. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. 6. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. 7. Si ab > 0, entonces se tiene a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < Si ab < 0, entonces se tiene a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > Si a 6= 0, entonces a > Si a y b son reales positivos, entonces: a < b, si y sólo si, a < b. p p (b) a < b, si y sólo si, a < b. 3.1 Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta Para representar los números reales por medio de los puntos de una recta, se elige un punto para representar al 0 y otro a la derecha del 0 para representar el 1, como se indica en la gura. Page 6

7 p x 3 < x Esta elección determina la escala. Cada número real corresponde a uno y sólo un punto de la recta y, recíprocamente, cada punto de la recta a un número real y sólo uno. Por esta razón la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real, y es costumbre utilizar las palabras número real y punto como sinónimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto correspondiente al número real x. 3. Intervalos Son subconjuntos de R que se usan frecuentemente para describir soluciones de desigualdades de una variable. Dados dos números reales a y b tales que a < b, el intervalo abierto (a; b) es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b; este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b. El intervalo cerrado [a; b] es el conjunto de los números reales entre a y b, y, además, los extremos a y b. A continuación se indican la amplia variedad de posibilidades. (a; b) = fx R : a < x < bg [a; b] = fx R : a x bg (a; b] = fx R : a < x bg [a; b) = fx R : a x < bg (a; 1) = fx R : x > ag [a; 1) = fx R : x ag ( 1; b) = fx R : x < bg ( 1; b] = fx R : x bg ( 1; 1) = R 3.3 Inecuaciones Es de mucha importancia resolver desigualdades como las siguientes x + 5 > 3 3x 4x < x x Tales desigualdades se llaman inecuaciones. Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo connjunto solución, en general, consta de un número o un conjunto nito de números, el conjunto solución de una inecuación habitualmente consta de un intervalo o, en algunos casos, de una unión de intervalos.. El procedimiento para resolver inecuaciones consiste en transformarla en una inecuación cuyo conjunto solución sea obvio. Las herramientas principales son las reglas usuales para operar con desigualdades. Para abordar las inecuaciones cuadráticas y de grado superior es importante señalar que: 1. Si el polinomio ax +bx+c tiene dos raíces reales distintas, digamos x 1 y x, entonces ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Un factor de la forma x x 1 es positivo para x > x 1 y negativo para x < x 1 : Se sigue que un producto (x x 1 )(x x ) puede cambiar de positivo a negativo sólo en x 1 o en x : Estos puntos en los que un factor se anula se llaman puntos de separación. Son la clave para determinar el conjunto solución de las inecuaciones cuadráticas y de grado superior. 3. Si el polinomio ax + bx + c tiene una única raíz real, digamos x 1, entonces ax + bx + c = a(x x 1 ) 4. Si el polinomio no tiene raíces reales se cumple que b 4ac < 0. Completando el cuadrado se tiene que ax + bx + c = a(x + b b 4ac a ) 4a de lo cual se concluye que Si a > 0, entonces ax + bx + c > 0 para todo x R. (b) Si a < 0, entonces ax + bx + c < 0 para todo x R. Ejercicios 1. Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas. Page 7

8 Si x <, entonces x es negativo. (b) si 0 < x, entonces x < x. (c) si a < b, entonces a < b. (d) Si x < 0, entonces p ( x) = x. (e) p x = x. (f) Si x > 1 y y >, entonces x + y > 3. (g) Si x < 5 y y < 6, entonces xy < 30. (h) Si a < b y c < d, entonces a c < b d.. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. 4x 7 < 3x + 5. (b) < 1 5x 4. (c) + 3x < 5x + 1 < 16. (d) 3 (x ) + 1 > (x 4). (e) x+1 4x+4 4 x+1 3. (f) x + x 3. (g) 3 (x 1) 1 3 x 1. (h) (x + )(x 5) < (x + 1). (i) 5 3x Considere el conjunto de todos los rectángulos cuyo largo es una unidad menos que tres veces su ancho. Encuentre los anchos posibles de todos los rectángulos cuyos perímetro sean menores que 150 centímetros. 4. Las temperaturas Fahrenheit (F) y las temperaturas Celsius (C) están relacionadas por la fórmula C = 5 9 (F 3). Durante un determinado periodo, la temperatura en grados Celsius varió entre 5 y 30. Cuál fue la variación en grados Fahrenheit durante dicho periodo? 5. En un pequeño negocio, una familia emplea a dos trabajadores que sólo colaboran unas horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados varía de 18 a 146 Dólares por semana. Si un empleado gana 18 Dólares más que el otro. cuáles son las posibles cantidades ganadas semanalmente por cada uno de los empleados? 6. Una tienda tiene tres empleados de tiempo parcial a los cuales se les paga un total semanal de 10 a 5 dólares. Dos de ellos ganan lo mismo y el tercero gana 1 dólares menos que los otros. Determine los sueldos posibles semanales que gana cada uno de ellos. 7. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones (b) ( (x 1)(x 3 + ) < x 4 x 3 8 < : 3x + 1 > 0 x (x+1) 6 > x x 1 + 3x 1 3 < x 1 8. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. x + x 1 < 0. (b) x 5x + 6 > 0. (c) x < x. (d) x 4 x 0. (e) (x 6) (x 3) > 0. (f) x < x 3. 1 (g) x < 5 4 x. (h) (x + )(x 1)(3x + 7) 0 (i) (x + 3)(3x 1) (x 1) > 0 (j) x 3 5x 6x < 0 (k) x 3 x x + 1 > 0 9. Se construye una caja recortando unos cuadrados de lado x unidades en cada esquina de una pieza de carton de 1o cm de ancho y de 15 cm de largo. Determine el valor de x para que el volumen de la caja sea menor que 63 cm Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones (b) (c) ( x + 5 > 0 x 3x + > 0 ( x p x + > 0 8 < : x + 3x 1 < 0 x +3 3 x < x + 1 3x + x 1 3 < x Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. 5 3 x < 0. (b) x 1 x 3 > 1. (c) 5 x < 3 4. (d) x+1 > 0. (e) 3 (x ) > 0. Page 8

9 (f) x + > 0. (g) 4x 1 3 x 3. (h) x x. (i) x x+1 + 3x > 3x +1 x La Ley de Boyle establece que para un cierto gas a temperatura constante P:V = 400, donde P es la presión a la que esta sometida el gas y V su volumen. Si tenemos que el volumen del gas varía a un rango de valores mayores o iguales que 0 y menores ques que 49.? Cuál es el rango correspondiente de variación para la presión P? 13. La fórmula 1 R = 1 R R + 1 R 3 da la resistencia total R de un circuito eléctrico que contiene tres resistencias R 1, R y R 3 conectadas en paralelo. Si 10 R 1 0, 0 R 30 y 30 R 3 40, encuentre el rango de valores para R. 14. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. p x 1 < 1. (b) p 4x + > 5. (c) 1 + q x < 1 + x. (d) p x p 1 x p + x. (e) p x+3 x 1 < Valor absoluto En el cálculo es frecuente tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto. Si x es un número real, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se designa por jxj y se de ne como sigue: jxj = ( x; si x 0; x; si x < 0: Si los números reales están representados geométricamente en la recta real, el número jxj se denomina distancia de x a 0. Observaciones 1. ja bj representa la distancia entre los puntos a y b sobre la recta numérica.. Si x 1 e x son los extremos de un intervalo de la recta numérica, la coordenada del punto medio es x 1 + x s 1. jxj = j xj.. jxj = jyj, si y sólo si, x = y o x = y. 3. Si a 0, entonces jxj = a, si y sólo si, x = a o x = a. 4. jxj = x. 5. jxj = p x. 6. jxj x jxj. 7. jxyj = jxjjyj. 8. = jxj, con y 6= 0. x y jyj 9. jx + yj jxj + jyj. 10. jjxj jyjj jx yj. 11. jxj < a, si y sólo si, a < x < a. 1. jxj > a, si y solo si, x < a o x > a. Ejercicios 1. Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas. Si tanto x como y son negativos, entonces jx + yj = jxj + jyj. (b) Si x < 5, entonces jxj < 5. (c) jaj jbj = a b. (d) Si a < b, entonces ja bj = b a.. Demuestre la regla del producto, jxyj = jxjjyj para el caso en que x < 0 y y > Demuestre la regla del cociente, j x y j = jxj jyj para el caso en que x < 0 y y < 0. 4.? Bajo que condiciones jx + yj = jxj + jyj?? Cuándo no es cierta esa igualdad? 5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. j4x 3j = 7. (b) jx + 1j = 1. Page 9

10 (c) j4 xj = 0. (d) j7xj = 4 x. (e) jx 5j = j3x + 5j. (f) x + 3 = j4x + 1j. (g) jxj x = 1. (h) jxj x = 1. (i) x jxj 3 = 0. (j) jx 4j x =. 6. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. jx + j < 3. (b) jx 6j 10. (c) jx 5j < jx + 4j. (d) j x 1j 1. (e) j6 10xj < 1. (f) j3x 1j. (g) jxj > + x. (h) x 1 jx 1 j <. (i) j3x 4j x 5 0. (j) jx 1j x+1. (k) 1 j4 xj <. 7. resuelva los sistemas de ineecuaciones siguientes. ( jxj < x (b) jx + j > 1 ( jxj > x x 1 > 3 8. Demuestre que cada implicación es verdadera jx 3j < 0:5! j5x 15j < ; 5 (b) jx + j < 0:3! j4x + 8j < 1: (c) jx j < " 6! j6x 1j < " (d) jx + 4j < "! jx + 8j < " 9. En cada caso encuentre (que depende de ") de modo que la implicación sea verdadera jx 5j <! j3x 15j < " (b) jx j <! j4x 8j < " (c) jx + 6j <! j6x + 36j < " (d) jx + 5j <! j5x + 5j < " 5 Sistema de coordenadas rectangulares El sistema coordenado rectangular, indicado en la gura, consta de dos rectas reales X y Y, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. La recta X se llama eje X o eje de las abscisas, La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas; y su punto de intersección 0, el origen. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes tal como se indica en la gura. La dirección positiva del eje x es hacia la derecha; la dirección positiva del eje Y, hacia arriba. II(,+) III(, ) y 1 Y I(+,+) 0 1 x IV(+, ) P(x,y) A cada punto P del plano se le puede asignar un par de números, llamados coordenadas del punto. Si una recta horizontal y una vertical que pasen por P intersecan los ejes X e Y en x e y, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (x; y). Llamaremos a (x; y) un par ordenado de números debido a que tiene importancia cual de los dos va primero. El primer número, x, es la abscisa; el segundo número, b, es la ordenada. Recíprocamente, tómese un par ordenado de números cualesquiera (x; y). La recta vertical que pasa por x en el eje de las abscisas y la horizontal que pasa por y en el eje de las ordenadas se cortan en un punto P, cuyas coordenadas son (x; y). Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponden uno y solamente un par de coordenadas (x; y). Recíprocamente, un par de coordenadas (x; y) cualesquiera determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. 5.1 Distancia entre dos puntos Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q, con coordenadas (x 1 ; y 1 ) y (x ; y ), respectivamente. Junto con R; el punto de coordenadas (x ; y 1 ); P y Q, son los vértices de un triángulo rectángulo, como se muestra en la gura. X Page 10

11 P y y 1 Y x 1 0 x Las longitudes de los segmentos P R y RQ son jx x 1 j y jy y 1 j, respectivamente. Cuando se aplica el teorema de Pitágoras obtenemos que la distancia d entre los puntos P y Q es d = p (x x 1 ) + (y y 1 ) Q R X 5. Punto medio de un segmento Sean P (x 1 ; y 1 ) y Q(x ; y ), con x 1 < x, los extremos del segmento P Q como en la gura. y y y 1 Y P M Q A B C x 1 x x Sea M(x; y) el punto medio de dicho segmento. Los tres segmentos paralelos P A, MB y QC, determinan dos segmentos P M y MQ de igual longitud, por los tanto; por la geometría elemental; los segmentos AB y CB también tienen la misma longitud, esto es: x x 1 = x x: De donde, despejando x se tiene que x = x1+x : En forma análoga se deduce que y = y1+y : De esto se concluye que las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P (x 1 ; y 1 ) y Q(x ; y ) son x1 + x ; y 1 + y Ejercicios 1. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1; 3), (7; 3), (9; 8) y (3; 8). Demuestre que el cuadrilátero es un paralelogramo. X. Demuestre que los puntos ( 5; 0), (0; ) y (0; ) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Demostrar que los puntos (; ), ( 8; 4) y (5; 3) son los vértices de un triángulo rectángulo. 4. Demuestre que los puntos (; + p p 3), (5; ) y (; 3)son los vértices de un triángulo equilátero. 5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3; ). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. (dos soluciones.) 6. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7; 8), y su punto medio es (4; 3). Hallar el otro extremo. 7. Los vértices de un triángulo son A( 1; 3), B(3; 5) y C(7; 1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC. 6 Grá ca de una ecuación o lugar geométrico Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables, x e y, que podemos escribir, brevemente, en la forma f(x; y) = 0: En general, hay un número in nito de pares de valores de x e y que satisfacen esta ecuación. Cada uno de tales pares de valores reales se toman como las coordenadas (x; y) de un punto en el plano real. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuación f(x; y) = 0, se llama grá ca de la ecuación, o bien, su lugar geométrico. La ecuación f(x; y) = 0 se llama ecuación de un lugar geométrico plano. Sus soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que de nen el lugar geométrico. En lo sucesivo haremos un estudio de la ecuación genera de segundo grado, Ax + Bxy + cy + Dx + Ey + F = 0: En particular, consideraremos el caso en que B 6= 0: Page 11

12 7 La recta 7.1 Pendiente de una recta Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Así, el ángulo de inclinación de la recta L (Ver gura ) es, y de L 1 es 1. L 1 α 1 Evidentemente, puede tener cualquier valor comprendido entre 0 o y 180 o ; es decir, su intervalo de variación está dado por o Se llama pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Por tanto, podemos escribir Y m = tan : La pendiente puede tomar todos los valores reales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta L e la gura anterior; si 1 es obtuso, como para la recta L 1, la pendiente es negativa; Si = 0 0 o = 180 o, la pendiente es cero. Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90 o. Como tan 90 o no está de nida, la pendiente de una recta paralela al eje Y no existe. Si P 1 (x 1 ; y 1 ) y P (x ; y ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es α m = y y 1 x x 1 ; x 1 6= x : Prueba: Consideremos la recta L de la gura, determinada por los puntos P 1 y P, y sea su ángulo de inclinación. L X y α y 1 Y P 1 α P x 1 x En el triángulo rectángulo P 1 P A que se muestra en la gura, la longitud del segmento P 1 A es x x 1 y, la longitud del segmento P A es y y 1. Por trigonometría, tendremos A m = tan = y y 1 x x 1 ; x 1 6= x : El valor de m dado por la fórmula anterior no está de nido analíticamente para x 1 = x. En este caso, la interpretación geométrica es que una recta determinada por dos puntos diferentes con abscisas iguales es paralela al eje Y, por tanto, como se a rmó anteriormente, no tiene pendiente. El orden en que se toman las ordenadas en la fórmula anterior no tiene importancia, ya que y y1 y 1 y x 1 L X x x 1 = x. Se debe evitar, en cambio, el error muy frecuente de tomar las ordenadas en un orden y las abscisas en el orden contrario. Ya que esto cambia el signo de m. 7. Diferentes formas de la ecuación de una recta 1. Forma punto y pendiente.. La recta que pasa por el punto dado P 1 (x 1 ; y 1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por ecuación y y 1 = m(x x 1 ). Una recta que coincide o es paralela al eje Y no tiene pendiente. Por la tanto, la ecuación anterior no puede representar a una recta de tal naturaleza. Para este caso, la ecuación de la recta es de la forma x = a en donde a e una constante real y representa la intersección de la recta con el eje X (Abscisa en elorigen). Una recta es o no paralela al eje Y. Si es paralela al eje Y su ecuación es de la forma x = a ; Page 1

13 si no es paralela a dicho eje, su pendiente está de nida y su ecuación es de la forma punto pendiente. Como todas las rectas caen bajo una de estas clasi caciones, cualquiera otra forma de la ecuación de una recta debe deducirse, necesariamente, a una de estas dos formas anteriores. 3. Una recta que coincide o es paralela al eje X tiene pendiente 0. Por lo tanto, aplicando la fórmula punto y pendiente, se deduce que la ecuación de una recta de esta naturaleza es de la forma y = b en donde b es una constante real y representa la intersección de la recta con el eje Y (Ordenada en el origen) 4. Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersección con el eje Y, es b tiene por ecuación y = mx + b: 5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La recta que pasa por dos puntos dados P 1 (x 1 ; y 1 ) y P (x ; y ) tiene por ecuación y y 1 = y 1 y x 1 x (x x 1 ); x 1 6= x : Si x 1 = x, la ecuación no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje Y, y su ecuación es x = x Ecuación simétrica de la recta. La recta cuyas inteanterior rsecciones con los ejes X e Y son a 6= 0 y b 6= 0, respectivamente, tiene por ecuación x a + y b = 1: Si a = 0, entonces también b = 0, y la forma simétrica no puede usarse. En este caso, solamente se conoce un punto, el origen, y no es su- ciente para determinar una recta. Como una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos, la manera más conveniente de trazar una recta a partir de su ecuación es determinar las dos intersecciones con los ejes. Si la recta pasa por el origen, basta determinar otro punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación. 7.3 Forma general de la ecuación de una recta Hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal Ax + By + C = 0; en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuación anterior se llama la forma general de la ecuación de una recta. Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal Ax + By + C = 0, representa siempre una linea recta? Para contestar a esta pregunta examinaremos las dos formas posibles de la ecuación con respecto al coe ciente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 6= 0. CASO I. B = 0. Si B = 0, entonces A 6= 0, y la ecuación Ax + By + C = 0 se reduce a la forma x = C A ; que es la ecuación de una recta paralela al eje Y. CASO II. B 6= 0. Si B 6= 0, podemos dividir la ecuación Ax + By + C = 0 por B, y entonces por transposición se reduce a la forma y = A B x C B ; que es la ecuación de una recta cuya pendiente es C y cuya ordenada en el origen es B. En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuación Ax + By + C = 0 representa una recta. Toda ecuación de la forma linea Ax + By + C = 0, donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero, representa una recta, y recíprocamente, la ecuación de toda recta del plano real se puede escribir de esa forma. Observación Ya que dos puntos determinan una recta, para trazar la grá ca de una recta a partir de su ecuación, únicamente es necesario determinar las coordenadas de dos puntos en la recta, situar ambos puntos y luego trazar la recta. Cualesquiera dos puntos bastan, pero conviene generalmen utilizar aquellos donde la recta corta a los ejes. En general. supongamos que se nos da una ecuación de dos variables, x e y, que podemos escribir, brevemente, en la forma A B Page 13

14 f(x; y) = 0: Como la intersección con el eje X es la abscisa de un punto que está sobre el eje de las X, la ordenada de ese punto es cero. Por tanto, haciendo y = 0 en la ecuación anterior las soluciones reales de la ecuación resultante en x nos darán las intersección con el eje de las X. Análogamente, haciendo en la ecuación anterior x = 0, las soluciones reales de la ecuación resultante en y nos darán las intersecciones con el eje Y. 7.4 Paralelismo y perpendicularidad Si L 1 y L son dos rectas no verticales diferentes con pendientes m 1 y m, respectivamente, entonces L 1 y L son paralelas si y sólo si m 1 = m. Prueba. Sean las ecuaciones de L 1 y L ; respectivamente y = m 1 x + b 1 y y = m x + b La gura muestra las dos rectas cortando al eje Y en los punto A(0; b 1 ) y B(0; b ): B A Y 0 D C X=1 La recta vertical x = 1 corta a la recta L 1 en C(1; m 1 + b 1 ), y a L en D(1; m + b ): Entonces, las rectas L 1 y L son paralelas si y sólo si d(a; B) = d(c; D) L b b 1 = m + b (m 1 + b 1 ) 0 = m m 1 m 1 = m Por consiguiente, L 1 y L son paralelas sólo cuando m 1 = m : Observación L X Dos puntos distintos cualesquiera determinan una recta. Tres puntos distintos pueden o no encontrarse en la misma recta. Si tres o más puntos se localizan en la misma recta, se dice que son colineales. Por lo tanto, tres punto A; B y C son colineales si y sólo si la recta que pasa por los puntos A y B es la misma que la que pasa por los puntos : Como la recta que pasa por A y B y la que pasa por B y C contienen ambas el punto B, so la misma recta si y sólo si sus pendientes son iguales. Si L 1 y L son dos rectas no verticales diferentes con pendientes m 1 y m, respectivamente, entonces L 1 y L son perpendiculares si y sólo si m 1 m = 1. Prueba. Se seleccionan ejes coordenados tales que el origen coincida con el punto de intersección de L 1 y L ; como se muestra en la gura 0 B A X=1 L L Sean las ecuaciones de L 1 y L ; respectivamente y = m 1 x + b 1 y y = m x + b Puesto que ninguna de las rectas es vertical cortana la línea x = 1; en los punto A(1; a) y B(1; b), respectiuvamente. Puesto que L 1 contiene los puntos O(0; 0) y A(1; a); y su pendiente es m 1 = a entonces a = m 1 : De manera análoga se obtiene que b = m : A partir del de Pitágoras y su recíproco, la recta L 1 y L son perpendiculares si y sólo si (d(o; A)) + (d(o; B)) = (d(a; B)) 1 + m m = (m 1 m ) + m 1 + m = m 1 m 1 m + m m 1 m = 1 Page 14

15 Puesto que m 1 m = m 1 = 1; se tiene que 1 m y m = 1 m 1 Por lo tanto, el teorema indica que dos rectas no verticales son perpendiculares entre sí si y sólo si la pendiente de una de ellas es la inversa negativa de la pendiente de la otra. 7.5 Ecuaciones factorizables Si la ecuación f(x; y) = 0 es f actorizable, es decir, se puede escribirse como el producto de dos o más factores variables, su grá ca constará de las grá cas de las ecuaciones obtenidas al igualar a cero cada uno de estos factores. 7.6 Intersecciones de curvas Consideremos dos ecuaciones independientes f(x; y) = 0; g(x; y) = 0 :Si sus grá cas se cortan en uno o más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección. Como un punto de intersección de las dos curvas está sobre cada una de dichas curvas, sus coordenada deben satisfacer, simultáneamente, ambas ecuaciones. La interpretación analítica de un punto de intersección es obvia, es un punto cuyas coordenadas representan una solución común de las dos ecuaciones. Como las coordenadas de un punto deben ser ambas números reales, una solución común (x; y) de las dos ecuaciones no puede representar un punto de intersección en el sistema coordenado real a menos que ambos valores de x e y sean reales. Además, si las dos ecuaciones son incompatibles, es decir, no tienen solución común, sus grá cas no se cortan. 7.7 Posiciones relativas de dos rectas Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( Ax + By + C = 0; A 0 x + B 0 y + C 0 = 0; 1. El sistema tiene solución única, si y sólo si, las dos rectas se cortan en uno y solamente en un punto.. El sistema tiene solución in nita, si y sólo si, las dos rectas son coincidentes. 3. El sistema no tiene solución, si y sólo si, las dos rectas son paralelas y no coincidentes. 7.8 Distancia de una recta a un punto dado La distancia d de una recta, cuya ecuación es Ax + By + C = 0, a un punto dado P 1 (x 1 ; y 1 ), viene dada por d = jax 1 + By 1 + Cj p : A + B Geométricamente, d representa la longitud del segmento de recta perpendicular de la recta al punto P Familia de rectas Una recta y su ecuación quedan determinadas perfectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condición no es una recta única; hay in nidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tienen la propiedad común asociada con esa única condición. La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas. Por ejemplo, consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5. La totalidad de estas rectas forman una familia de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad común de que su pendiente es igual a 5. Analíticamente esta familia de rectas puede representarse por la ecuación y = 5x + k; en donde k es una constante arbitraria, llamada parámetro, que puede tomar todos los valores reales. Así, podemos obtener la ecuación de cualquier recta de la familia asignando únicamente un valor particular a k en la ecuación. Este número k representa la ordenada en el origen de cada recta. 8 Inecuaciones en el plano Trataremos inecuaciones cuya soluciones se representan geométricamente como una región en el plano. Toda recta Ax + By + C = 0 divide al plano en dos semiplanos. Para saber el signo que tiene el primer miembro de la ecuación de la recta para los puntos del plano que no pertenecen a ella, Page 15

16 basta hallar su valor numérico para un punto M de algunos de los dos semiplanos. Los valores numéricos correspondientes a los puntos del mismo semiplano que contiene a M tienen el mismo signo que el hallado para M. Los valores numéricos correspondientes a los puntos del semiplano que no contiene a M tienen signo contrario. Ejercicios 1. Demostrar que los tres puntos (1; 1), ( 3; ) y (; 1) son colineales.. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; ). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. 3. Halar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ; 4) y Tiene pendiente (b) Es paralela a la recta 5x 3y = 3. (c) Es perpendicular a la recta 5x 3y = 3. (d) Es paralela al eje X. (e) Es paralela al eje Y. (f) Pasa por el origen. 4. Una recta L 1 pasa por los puntos (3; ) y ( 4; 6) y otra recta L pasa por el punto ( 7; 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que L 1 es perpendicular a L. 5. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas x + y 8 = 0 y 3x y + 9 = Hallar el valor de k para que la recta kx + (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = En las ecuaciones ax + ( b)y 3 = 0 y (a 1)x + by + 15 = 0 hallar los valores de a y b para que representan rectas que pasen por el punto (; 3). 8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) y por el punto de intersección de las rectas x a + y b = 1 y x b + y a = Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x 4y + 8 = 0 y 6x 8y + 9 = La distancia de la recta 4x 3y + 1 = 0 al punto P es 4. Si la ordenada de P es 3, hallar su abscisa. (Dos soluciones.) 11. Escríbase la ecuación de la familia de rectas que poseen la propiedad dada en los ejercicios siguientes. En cada caso asignase dos valores al parámetro y grafíquese las rectas correspondientes. Pasan por (3; 4). (b) La intersección con el eje Y es el doble de la intersección con el eje X. (c) Son perpendiculares a la recta 3x 4y = 5. (d) La abscisa al origen es igual a 3. (e) La suma de las intersecciones con los ejes coordenados es igual a Trazar la representación grá ca de las siguientes ecuaciones. x+ 3 + y 1 = 1. (b) (y x + )(y + x 4) = 0. (c) jxj + jyj = 1. (d) jxj jyj = Las medidas de temperaturas Fahrenheit (F ) y Celcius (C) están relacionadas por una ecuación lineal. Hallar la ecuación que relaciona F y C, teniendo en cuenta que C = 0 cuando F = 3 y C = 100 cuando F = 1. (b) Existe alguna temperatura para la que C = F? De ser así, qué temperatura es?. 14. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y trazar la representación grá ca correspondiente a cada ecuación. ( x y 1 = 0 3x + y 9 = Dibuje la región que contiene los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad dada. y > 1. (b) x > 3. (c) 1 < y < 1. (d) x y >. (e) x y <. (f) jxj + jyj < 1. (g) jxj jyj Represente grá camente el conjunto solución del sistema de inecuaciones indicado a continuación. ( x + y > 1 (b) x y < 1 ( y 1 > 0 (x + 3) > x + y Page 16

17 9 La circunferencia Una Circunferenci a es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto jo de ese plano. El punto jo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Designemos por C y r, como se muestra en la gura, el centro y el radio de una circunferencia, respectivamente. Y C. La circunferencia cuyo centro es el punto (h; k) y cuyo radio es la constante positiva r, tiene por ecuación (x h) + (y k) = r :Para el caso particular en que el centro C está en el origen, h = k = 0, y tenemos la ecuación r x + y = r Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones ordinarias o formas ordinarias de la ecuación de una circunferencia. En general, designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus características importantes. Así, por ejemplo, en el caso de la ecuaciones anteriores, podemos obtener, inmediatamente, las coordenadas del centro y el radio. (Forma general de la ecuación de una circunferencia) Si los coe cientes A y C son iguales y no nulos, la ecuación Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0; representa una circunferencia, un punto, o no representa ningún lugar geométrico real. X Si se da la ecuación de una circunferencia en la forma general es conveniente que se reduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de completar cuadrados, para obtener el centro y el radio. Observación Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la circunferencia (x h) + (y k) = r son soluciones de la inecuación (x h) + (y k) > r y los pares de coordenadas de los interiores lo son de Ejercicios (x h) + (y k) < r : 1. Para cada caso, encuentre la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas. Centro (3; 4) y radio 6. (b) El segmento que une (0; 0) con (6; 8) es un diámetro. (c) Pasa por ( 3; 5) y el centro está en (1; 3).. Una cuerda de la circunferencia x +y = 5 está sobre la recta cuya ecuación es x 7y + 5 = 0. Hallar la longitud de la cuerda. 3. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá ca correspondiente para cada una. x + y + 1 = y. (b) x + y 6x + 10y + 7 = 0: (c) 4x + 4y + 8x 8y + 53 = 0. (d) 16x + 16y 64x + 8y = Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y trazar la representación grá ca correspondiente a cada ( ecuación. (x ) + (y + 1) = 8 (b) y = x 1 ( x + y x + 6y = 6 x + y + 4x + y = 8 5. Dibuje la región que contiene los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad dada. x + y < 4. (b) (x 1) + (y + ) > Represente grá camente el conjunto solución del sistema ( de inecuaciones indicado a continuación. x + y > 1 x + y < 1 Page 17

18 10 La elipse Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos jos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, mayor que la distancia entre los focos. P V 1 F 1. C. F V D 1 D B 1 L A A 1 B E En la gura anterior se ha dibujado una elipse. Los focos están designados por F 1 y F. La recta L 1 que pasa por los focos se llama eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V 1 y V, llamados vértices. La porción del eje focal comprendido entre los dos vértices, el segmento V 1 V, se llama eje mayor. El punto medio C del eje mayor se lama centro. La recta L que pasa por C y es perpendicular al eje focal, se llama eje normal. El eje normal corta a la elipse en dos puntos, A 1 y A, el segmento A 1 A se llama eje menor. El segmento B 1 B que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por un foco, tal como D 1 D se llama cuerda focal. una cuerda focal, tal como E 1 E, perpendicular al eje focal se llama lado recto; evidentemente, por tener dos focos, la elipse tiene dos lados rectos. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos F 1 P y F P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P. La ecuación de una elipse de centro en el origen y eje focal el eje x es x a + y b = 1 :si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, la ecuación de la elipse es x b + y a = 1 :Para cada elipse, a es la longitud del eje mayor, b la del eje menor, y a, by c están ligadas por la relación a = b + c : E 1 L 1 Donde c es la distancia del centro a cada foco. También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto y la excentricidad e está dada por la fórmula es b a e = c a = p a b a < 1: La ecuación de la elipse de centro el punto (h; k) y eje focal paralelo al eje X, es (x h) (y k) a + b = 1: Si el eje focal es paralelo al eje Y ; su ecuación es (x h) (y k) b + a = 1: Si los coe cientes A y C son no nulos del mismo signo, la ecuación Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real. Observación Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la elipse (x h) (y k) a + b = 1 son soluciones de la inecuación (x h) (y k) a + b > 1 y los pares de coordernadas de los interiores lo son de: (x h) (y k) a + b < 1: Ejercicios 1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Dibujar cada curva. Centro en (0; 0), un foco en ( 3 4 ; 0), un vértice en (1; 0). (b) Centro en ( 3; 4), semiejes de longitud 4 y 3, eje mayor paralelo al eje X. Page 18

19 (c) Vértices en ( 1; ) y ( 7; ), eje menor de longitud. (d) Vértices en (3; ) y (13; ), focos en (4; ) y (1; ).. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá ca correspondiente para cada una. x + 4y 6x + 16y + 1 = 0. (b) 4x + 9y + 3x 18y + 37 = 0. (c) x + 4y 10x 40y = 0. (d) 9x + 4y 8y 3 = 0. (e) 3x + y 6 p x 4 p 3y + 6 = 0. (f) (x + 4y)(x + 4y 4) = 0. (x 1) (g) 4 + ( y) = Represente grá camente el conjunto solución del sistema de inecuaciones indicado a continuación. 8 < : x 9 + y 4 < 1 x + y > 4 11 La parábola Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta ja, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto jo del plano y que no pertenece a la recta. El punto jo se llama foco y la recta ja directriz de la parábola. en particular, una cuerda que pasa por el foco como C 1 C, se llama cuerda focal. La cuerda focal D 1 D perpendicular al eje se llama lado recto. Si E es un punto cualquiera de la parábola, el segmento F P se radio radio focal de E, o radio vector. La ecuación de un parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es y = 4px; en donde el foco es el punto (p; 0) y la ecuación de la directriz ea x = p. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es x = 4py; en donde el foco es el punto (0; p), y la ecuación de la directriz es y = p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto es j4pj. La ecuación de un parábola de vértice (h; k) y eje paralelo al eje X, es de la forma (y k) = 4p(x h); L 1 D 1 E L A V F C 1 B 1 siendo jpj la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el eje de la parábola es paralelo al eje Y, y el vértice es el punto (h; k), su ecuación es de la forma (x h) = 4p(y k): C D Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. Designemos por F y L 1 (ver gura anterior), el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta L que pasa por F y es perpendicular a L 1 se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y de la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por de nición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta B 1 B, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; B 11.1 Forma general de la ecuación de una parábola 1. Toda ecuación de la forma Ax + Dx + Ey + F = 0; donde A 6= 0 y E 6= 0, representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincidente con el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la ecuación toma la forma Ax + Dx + F = 0; Page 19