Hasta ahora habíamos resuelto problemas de electrostática en los que se especificaba

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1 Prolemas con Valores en la Frontera A. Zozaa S. 6 de marzo de 6. Introducción Hasta ahora haíamos resuelto prolemas de electrostática en los que se especificaa explicitamente la distriución de cargas en forma de una ρ ν (r mediante un procedimiento de integración se calculaa el potencial eléctrico V (r: V (r = 4πε ρ ν(r V r r dν (ver figura. Existe, sin emargo, un conjunto de otros prolemas en elec- trostática denominados prolemas con valores en la frontera, los cuales consisten, definida cierta región R, delimitada por cierta frontera R, en encontrar una función potencial V = V (r que satisfaga en R, o la ecuación de Laplace: V =, o la ecuación de Poisson: V = ρ ν, que satisfaga, a su vez, ciertas ε condiciones dadas en R. ρ ν ( r ' R r' o Figura : Distriución de cargas en un espacio ilimitado. r S V = S S ρ = ε V ν S a n V V o S V o a n V S a n V V o S ρ ν ( r ' R r' o r V o a n V S (a Región R delimitada por las superficies S, R. ( Situación similar a la anterior con una distriución de cargas presente. Figura : Prolemas con valores en la frontera. En los prolemas con valores en la frontera la región R consiste, en general, de un dieléctrico simple, la frontera R está conformada por las superficies exteriores de dos o más conductores inmersos en el dieléctrico. En la figura (a la zona en lanco, donde se ha escrito la ecuación de Laplace, constitue la región R de interés, las superficies S, exteriores de los dos cuerpos conductores presentes, constituen la frontera R de R. En la figura ( se ha recreado el mismo escenario se ha añadido una distriución de cargas lires según

2 una le ρ ν = ρ ν (r creando un nuevo prolema con valores en la frontera, que viene a ser la superposición de los prolemas representados por las figuras (a. Si se conviene en denominar V H (r la solución del prolema con valores en la frontera de la figura (a, V P (r = 4πε la figura ( será: V ρ ν(r r r dν la solución del prolema de la figura, la solución del prolema de V (r = V H (r + V P (r = V H (r + ρ ν (r 4πε V r r dν En los prolemas con valores en la frontera, en general, existen ciertas distriuciones de cargas sore S,, las cuales suelen llamarse «externas», porque no se encuentran en el interior de R, que no se conocen explícitamente que por tanto no pueden integrarse, pero que se especifican indirectamente mediante las denominadas condiciones de orde. Los prolemas con valores en la frontera tienen una de la siguientes apariencias matemáticas: V = V S, = V, en el que en la frontera se especifica el valor de V, se conoce como prolema de Dirichlet o del primer tipo. V } } V = S, = V, en el que en la frontera se especifica el valor de la derivada direccional de V respecto de la normal a la frontera, se conoce como prolema de Neumann o del segundo tipo. V = V S = V (3 V S = V en el que en parte de la frontera se especifica el valor de V, en el resto el de la derivada direccional de V respecto de la normal a la frontera, se conoce como prolema mixto. La solución de los prolemas del tipo esquematizado en la figura (a se reduce a resolver la ecuación de Laplace, lo cual será posile analítica o numéricamente según sea la geometría de R. Si la geometría de R es una geometría canónica, la solución del prolema se podrá hallar usando métodos analíticos. Si la geometría fuera aritraria, sin simetría alguna, se deerá estimar V (r utilizando métodos numéricos. A los fines académicos tiene sentido revisar, por ahora, solo aquellos prolemas con solución analítica posile. ( (. Teorema de la unicidad El teorema de la unicidad estalece que dos soluciones de la ecuación de Laplace (o de Poisson que satisfacen las mismas condiciones en la frontera son idénticas si se trata

3 de un prolema de contorno de Dirichlet o mixto, o difieren a lo sumo en una constante aditiva si se trata de un prolema de contorno de Neumann [,, 4]. Para demostrar este teorema supóngase que se dispone de dos soluciones de la ecuación de Laplace (o de Poisson: φ = φ (r φ = φ (r: o: φ = φ = φ = ρ ν ε φ = ρ ν ε tales que las mismas satisfacen ciertas condiciones de orde. Estas condiciones de contorno pueden ser del primer tipo (prolema de Dirichlet: φ S, = V, (4 φ S, = V, (5 del segundo tipo (prolema de Neumann: φ = V S, (6 S, φ = V S, (7 S, o mixtas. Se define una nueva función Φ = Φ(r dada por: Φ(r = φ (r φ (r. Facilmente se compruea que la nueva función satisface la ecuación de Laplace (a no la de Poisson: Φ = (φ φ = φ φ = Si se toma el gradiente de la función Φ se multiplica por la propia función Φ se compruea, aplicando el Teorema de la Divergencia, que la integral de la divergencia de la función producto resultante, (Φ Φ, en la región R del prolema es nula: (Φ Φ dν = Φ Φ dsa n R S, = Φ ( Φ a n ds S, = Φ Φ S, ds ( ( φ = φ S, φ S, φ ds S, S, S, = (8 3

4 La divergencia (Φ Φ puede, además, expandirse en la suma de dos términos: (Φ Φ = Φ Φ + ( Φ pero como Φ = sigue, tomando en cuenta la ecuación 8, que: ( Φ dν = R resultado que solo puede ser posile si Φ = en todos los puntos de R, lo cual implica, a su vez, que Φ sea constante en R, e inclusive sore la frontera S,. Que Φ sea constante en R + S,, llamando k esta constante, significa que φ φ = k. En un prolema de Dirichlet o mixto el valor de esta constante se puede determinar evaluando esta diferencia en algún punto donde se conozcan de antemano los valores φ,. Este punto puede ser uno cualquiera sore la frontera facilmente se compruea que k es nula, resultando idénticas las funciones φ, : φ = φ. En un prolema de Neumann resulta ovio, después de derivar: Φ = k S, φ φ S, = S, que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación de Laplace φ, es precisamente una constante aditiva, k, indeterminada. 3. Prolemas con valores en la frontera en una dimensión Existen en su totalidad 5 diferentes prolemas con valores en la frontera en una dimensión tomando como referencia los sistemas de coordenadas Cartesianas, cilíndricas esféricas. A saer [, 4]: Geometría del prolema Ecuación de Laplace Solución x d V = V (x = Ax + B dx ρ d ρ dρ ( ρ dv = V (ρ = A ln ρ + B dρ 4

5 Geometría del prolema Ecuación de Laplace Solución ϕ d V = V (ϕ = Aϕ + B ρ dϕ r r ( d dr r dv dr = V (r = A + B r ϑ r sin θ ( ( d dθ sin θ dv dθ = V (θ = A ln tan θ + B Las constantes indeterminadas A B se han de resolver evaluando la solución en la frontera para los prolemas de contorno de Dirichlet mixto. En el prolema de contorno de Neumann la constante B no se podrá resolver. Esta limitación no impide, sin emargo, el calculo del campo eléctrico como E = V en este tipo de prolema. Ejercicio Se desea calcular la capitancia del sistema que se muestra en la figura 3. Dicho sistema consiste de dos esferas conductoras concéna tricas rellenas con dos dieléctricos homogéneos distintos. c El cálculo de C se efectuará suponiendo conocida la diferencia de potencial entre los conductores, hallando la εε carga Q acumulada en el conductor a maor potencial como una función de : Q = Q( : Figura 3: Sistema ajo estudio. C = Q ( Para ello se hace necesario el planteamiento de dos prolemas con valores en la frontera, a partir de la fijación de la diferencia de potencial entre los conductores, estaleciendo apropiadas condiciones de orde. Los prolemas con valores en la frontera han de ser: ( d r dr r dv } dr =, a < r < (9 V (a = r ( r dv dr = V (c = d dr }, < r < c ( 5

6 Las soluciones de estos prolemas son, respectivamente: V (r = A r + B, a < r < ( V (r = C r + D, < r < c ( Vemos que al tener cuatro constantes indeterminadas las condiciones de frontera estalecidas no son suficientes: hacen falta dos condiciones de orde adicionales. Estas condiciones de orde han de ser añadidas por nosotros a la luz del comportamiento de V, (r de V, r en la frontera entre los dos dieléctricos, a saer: V r V ( = V ( (3 = ε V r= ε r (4 r= juntando las condiciones de frontera estalecidas en las ecuaciones (9 ( con las definidas mediante las ecuaciones (3 (4, se puede escriir: = A a + B = C c + D A + B = C + D de donde: A = A = ε ε C [ κc κ + a] donde κ = ε ε. De esta forma tenemos: V (r = V (r = B = [ + ] a κc κ a C = κ [ + ] κc κ a D = κ [ + κc κ a] c [ + ] a [ + κc κ a κc κ a] r, r/a r κ [ κc κ + a ] c κ [ + ] r, r/ r c κc κ a 6

7 El campo eléctrico E se puede calcular como E = V = dv dr a r: E = E = ε ε [ + ] a r r κc κ a [ + ] a r r κc κ a r/a r r/ r c Utilizando el campo D la carga Q se puede calcular mediante la integral Q = D.ds, S tomando S de tal forma que contenga la esfera conductora interior: Q = = finalmente se otiene: π π ε [ + κc κ a [ κc κ + a]ε 4π C = Q 4πε = [ + κc κ a] ] a r r r sin θdθdϕa r Facilmente se compruea que la capacitancia del sistema de la figura 3 se puede pensar como la capacitancia equivalente de dos sistemas esféricos en serie, cada uno con capacitancias asocidas de C = 4πε / (/ /a C = 4πε / (/c /: C = C C = = = C + C ( a 4πε + ( c 4πε 4πε [ + κc κ a] 4. Prolemas con valores en la frontera en dos dimensiones dominios rectangulares En coordenadas Cartesianas existe un prolema con valores en la frontera general que engloa cuatro prolemas particulares distintos pero mu parecidos entre sí. El prolema general se ilustra en la figura 4. En dicha figura se muestra una región rectangular definida por < x < a < <. En la misma figura se identifican cuatro fronteras en las que la función V asume valores distintos: V (a, = V, ], [, V (x, = V, x ], a[, V (, = V 3, ], [ V (x, = V 4, x ], a[. 7

8 El prolema con valores en la frontera resultante tiene la forma: V = V (a, = V V (x, = V V (, = V 3 V (x, = V 4 (5 V V 3 V = V V4 a x Figura 4: Domino rectangular. El prolema definido por la ecuación (5 se puede pensar como la superposición de los siguientes 4 prolemas menos generales ver figura 5 : V = V (a, = V V (x, = V V (, = V 3 V (x, = V 4 V = V (a, = V V (x, = V (, = V (x, = V = V (a, = V (x, = V (, = V 3 V (x, = = V = + V (a, = V (x, = V V (, = V (x, = V = + V (a, = V (x, = V (, = V (x, = V 4 (6 V V = V V = V4 a x (a a x ( V 3 V = V = a x (c V4 a x (d Figura 5: Sudivisión del prolema gloal dado en la figura 4 en cuatro prolemas particulares. 8

9 Se procederá a resolver el prolema particular siguiendo los desarrollos presentados en [, 3]: V + V = x V (a, = V V (x, = (7 V (, = V (x, = para ello se supondrá que la solución tiene la forma de un producto de dos funciones, X Y, las cuales dependen única respectivamente de las variales x : X = X(x Y = Y (, de tal suerte que V (x, = X(xY (x. Sustituendo este producto en la ecuación de Laplace: V x + V = Y d X dx d X } X {{ dx } F (x + X d Y d = d Y d }{{ } F ( + Y = (8 Para que la suma de F (x F ( se mantenga igual a cero en todos los puntos dentro del dominio rectangular se requiere que las funciones F F sean iguales mutuamente a una constante: F (x = α F ( = α, lo cual permite escindir la ecuación de Laplace en dos ecuaciones diferenciales unidimensionales: Por solución de la ecuación (9 se tomará: por solución de la ecuación ( se tomará: De este modo la solución uscada tiene la forma: d X X dx = α (9 d Y Y d = α ( X(x = A cosh(αx + B sinh(αx ( Y ( = C cos(α + D sin(α ( V (x, = [A cosh(αx + B sinh(αx] [C cos(α + D sin(α] (3 Las constantes indeterminadas A, B, C D se determinan evaluando V (x, en la frontera: V (x, = [X(x] [C] = C = V (x, = [X(x] [D sin(α] = α = mπ m =,,..., V (, = A [ D sin 9 ] = A =

10 oteniendo V (x, = V sinh x sin (4 con m =,,..., V = BC. Ciertamente la función V (x, = V sinh x sin no puede satisfacer la condición de orde V (a, = V. Sin emargo, a que la ecuación (4 representa en realidad una familia de soluciones, cualquier cominación lineal de los miemros de esta familia constitue, a su vez, una solución de la ecuación (7 satisface, además, las condiciones de orde V (x, =, V (x, = V (, = : V (x, = m= V m sinh x sin No es ilógico pensar que pueda existir una apropiada cominación lineal de estas soluciones que satisfaga la cuarta condición de orde: V (a, = V, condición de frontera que ninguno de los miemros de la familia (4 satisface individualmente: equivalentemente: V (a, = V donde c m = V m sinh a la sumatoria m= c m sin m= V m sinh a sin = V c m sin = V (5 m= es cierto número para cada valor de m. En la ecuación (5, puede verse como la expansión en serie de Fourier de la constante V, las constantes c m como los coeficientes de la serie. Los coeficientes c m pueden calcularse haciendo la función V (a, periódica, de período, de simetría impar mediante el siguiente producto interno: [ ] [ c m = de donde: siguiendo que: m= c m sin c m = V (x, = sin d+ [ V ] sin d + V m = m= c m = { 4V mπ m par 4V mπ sinh (mπa/, m= ] c m sin sin d [V ] sin d 4V ( mπ mπ sinh (mπa/ sinh x sin (6 (7

11 Prolema de contorno V = V (a, = V (x, = V V (, = V (x, = V = V (a, = V (x, = V (, = V 3 V (x, = V = V (a, = V (x, = V (, = V (x, = V 4 Figura 6: Grafica de V (x, para V =. CreateMesh ( V,, a,,,, m= m= m= Solución 4V mπ sinh(mπ/a sinh a sin a x 4V 3 sinh [ mπ ( x + a ] sin mπ sinh(mπa/ 4V 4 sinh [ mπ ( + ] sin x mπ sinh(mπ/a a a Cuadro : Soluciones particulares del prolema gloal expresado mediante la ecuación (6. En la figura 6 se muestra una gráfica de V (x, para V =. Las restantes soluciones particulares del prolema gloal (ecuación 6 se pueden componer a partir de la solución (7 permutando apropiadamente los valores a las variales x, rotando desplazando, apropiadamente, las funciones en x en. En la tala se muestran estas soluciones. Biliografía [] William H. Hat. Teoría electromagnetica. McGraw-Hill, Mexico, 99. [] V. V. Nikolski. Electrodinámica propagación de ondas de radio. MIR, Moscú, 98. [3] Simo Ramo, Jhon R. Whinner, and Theodore Van Duzer. Fields and Waves in Communication Electronics. John Wile and & Sons, Inc., USA, 965. [4] Reitz/Milford/Christ. Fundamentos de la teoría electromagnética. Addison-Wesle Ieroamericana, USA, 984.