PROBABILIDAD SIMPLE 1.1.2,

Transcripción

1 PROBABILIDAD SIMPLE..2, Resultado: Cualquier resultado posible o real de la acción considerada, como sacar un 5 en un cubo numverado estándar o salir cruz al arrojar una moneda. Evento: Un resultado o grupo de resultados deseados (o eitosos) de un eperimento, tales como sacar un número impar en un cubo numerado estándar. Espacio muestral: Todos los resultados posibles de una situación. Por ejemplo, el espacio muestral de arrojar una moneda es caras y cruzes; arrojar un cubo numerado estándar tiene seis resultados posibles (, 2, 3, 4, 5 y 6). Probabilidad: La probabilidad de que un evento ocurra. Las probabilidades se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes. Un evento que está garantizado a pasar tiene una probabilidad de o 00%. Un evento que no tiene ninguna posibilidad de ocurrir tiene una probabilidad de 0 o 0%. Eventos que podrían ocurrir tienen probabilidades entre 0 y o entre 0% y 00%. En general, mientras más probable que un evento ocurra, mayor su probabilidad. Probabilidad eperimental: La probabilidad basada en los datos recogidos en los eperimentos. número de resultados positivos en el eperiment Probabilidad eperimental = número total de resultados en el eperimento La probabilidad teórica es una probabilidad calculada basada en los resultados posibles cuando todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Probabilidad teórica = número de resultados (eventos) positivos número total de resultados posibles En el conteto de la probabilidad, eitoso por lo general significa un resultado (evento) deseado o especificado, tales como sacar un 2 en un cubo numerado (probabilidad de 6 ). Para calcular la probabilidad de sacar un 2, primero averigüe cuántos resultados posibles hay. Puesto que hay seis caras en el cubo numerado, el número de resultados posibles es 6. De las seis caras, sólo una de las caras tiene un 2 en él. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de sacar un 2, usted escribiría: P(2) = número de maneras de sacar 2 número de resultados posibles = 6 o 0.6 o aproimadamente 6.7%

2 Ejemplo Si usted arroja un cubo numerado justo de 6 caras, cuál es P(3), es decir cuál es la probabilidad de que usted arroja un 3? Debido a que los seis lados tienen la misma probabilidad de sacar, y sólo hay un 3, P(3) = 6. Ejemplo 2 Hay 2 canicas en una bolsa: 2 claras, 4 verdes, 5 amarillas y azul. Si una canica se elige al azar de la bolsa, cuál es la probabilidad de que sea de color amarillo? Ejemplo 3 P(amarillo) = 5 (amarillo) 2 (resultados) = 5 2 Joe arrojó una moneda 50 veces. Cuando graba sus lanzamientos, su resultado fue de 30 caras y 20 cruzes. La actividad de Joe proporcionó datos para calcular la probabilidad eperimental de arrojar una moneda. a. Cuál es la probabilidad teórica de que Joe saca cabezas? La probabilidad teórica es 50% o 2, porque sólo hay dos posibilidades (cara y cruz), y cada uno es igualmente probable que se produzca. b. Cuál era la probabilidad eperimental de arrojar una moneda y sacar cara basada en la actividad de Joe? La probabilidad eperimental es 30 obtuvo cuando se arrojó la moneda. Ejemplo 4 50, 3 5 o 60%. Estos son los resultados de Joe en realidad Decida si estas afirmaciones describen probabilidades teóricas o eperimentales. a. La posibilidad de sacar un 6 en un dado justo es 6. Esta afirmación es teórica. b. Arrojé el dado 2 veces y 5 ocurrió tres veces. Esta afirmación es eperimental. c. Hay 5 canicas en una bolsa; 5 azules, 6 amarillos y 4 verdes. La probabilidad de obtener una canica azul es 3. Esta afirmación es teórica. d. Cuando Veronika sacó tres canicas de la bolsa sacó 2 amarillo y azul, o 2 3 amarillo, 3 azul. Esta declaración es eperimental.

3 Problemas. Hay 24 lápices de colores en una caja: 5 negras, 3 blancas, 7 rojas, 2 amarillas, 3 azules y 4 verdes. Cuál es la probabilidad de elegir al azar un verde? Respondió con una probabilidad eperimental o teórico? 2. Una ruleta es dividida en cuatro secciones iguales numeradas 2, 4, 6 y 8. Cuál es la probabilidad de girar un 8? 3. Un cubo numerado justo marcado, 2, 3, 4, 5, y 6 es arrojado. Tyler arrojó el cubo 40 veces, y observó que 26 veces un número par mostró. Cuál es la probabilidad eperimental de que un número par se sacará? Cuál es la probabilidad teórica? 4. Sara está en un día de campo y mete la mano en una hielera, sin mirar, para agarrar una lata de refresco. Si hay 4 latas de naranja, 2 latas de jugo de frutas y 0 latas de cola, cuál es la probabilidad de que ella toma una lata de jugo de frutas? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? 5. Un promedio de bateo de béisbol es la probabilidad de que un jugador de béisbol golpea la pelota cuando batea. Si un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 266, significa que la probabilidad de que el jugador consegue un hit es Es un promedio de bateo de una probabilidad eperimental o teórico? 6. En 20, 39 personas perdieron la vida al ser alcanzado por un rayo, y 24 personas resultaron heridas. Había 30,000,000 personas en los Estados Unidos. Cuál es la probabilidad de ser una de las personas alcanzadas por un rayo? 7. En un estudio médico, 07 personas se les dio una nueva píldora de vitaminas. Si un participante se enfermó, fue retirado del estudio. Diez de los participantes se enfermaron con un resfriado común, 2 padecieron de la gripe, 8 se enfermaron del estómago y 77 nunca se enfermaron. Cuál era la probabilidad de enfermarse si usted participó en este estudio? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? 8. Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 300 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros encontró que personas eran mayores de 80 años cuando murieron, 82 personas murieron cuando tenían entre 70 y 80 años de edad, 52 murieron entre 60 y 70 años de edad y 55 murieron cuando eran menores de 60 años de edad. En este estudio cuál era la probabilidad de morir más joven de 70 años de edad? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? Respuestas. 6 ; teórico ; ; teórico 5. eperimental ,000, eperimental % eperimental

4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL..3 y AM de..4 Medidas de tendencia central son los números que sitúan o se aproiman al centro de un conjunto de datos, es decir, un valor típico que describe el conjunto de datos. La media y la mediana son las medidas más comunes de tendencia central. (Modo no será cubierto en este curso.) La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos. Sume todos los valores de un conjunto y divida esta suma por el número de valores en el conjunto. La mediana es el número intermedio de un grupo de datos organizados en orden numérico. Un valor atípico es un número que es mucho más pequeña o más grande que la mayoría de los otros en el conjunto de datos. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre los valores más altos y más bajos del conjunto de datos. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones..3 y..4 del teto Core Connections en español, Curso 2. La media se calcula hallando la suma del conjunto de datos y dividiéndolo por el número de elementos en el conjunto. Ejemplo Halle la media de este conjunto de datos: 34, 3, 37, 44, 38, 34, 42, 34, 43 y = = 37.8 La media de este conjunto de datos es Ejemplo 2 Halle la media de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95 y = = La media de este conjunto de datos es Problemas Halle la media de cada conjunto de datos.. 29, 28, 34, 30, 33, 26 y , 34, 35, 27, 3 y , 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 8 y , 04, 0,, 00, 07, 3, 8, 3, 0, 08, 09, 05, 03 y 9.

5 La mediana es el número intermedio de un conjunto de datos organizados en orden numérico. Si hay un número par de valores, la mediana es la media (promedio) de los dos números centrales. Ejemplo 3 Halle la mediana de este conjunto de datos: 34, 3, 37, 44, 38, 34, 43 y 4. Ponga los datos en orden: 3, 34, 34, 37, 38, 4, 43, 44. Encuentre el valor intermedio(s): 37 y 38. Puesto que hay dos valores intermedios, encuentre su media: = 75, 75 2 = Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es de Ejemplo 4 Halle la mediana de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95, 77 y 77. Ponga los datos en orden: 75, 77, 77, 78, 80, 82, 92, 92 y 95. Encuentre el valor intermedio(s): 80. Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 80. Problemas Halle la mediana de cada conjunto de datos , 28, 34, 30, 33, 26 y , 34, 27, 25, 3 y , 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 8 y , 04, 0,, 00, 07, 3, 8, 3, 0, 08, 09, 05, 03 y 9. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo. Ejemplo 5 Halle el rango de este conjunto de datos: 4, 09, 3, 96, 40 y 28. El valor más alto es 40. El valor más bajo es = 44. El rango de este conjunto de datos es 44. Ejemplo 6 Halle el rango de este conjunto de datos: 37, 44, 36, 29, 78, 5, 57, 54, 63, 27 y 48. El valor más alto es 78. El valor más bajo es = 5. El rango de este conjunto de datos es 5.

6 Problemas Halle el rango de cada conjunto de datos en problemas 5 a 8. Los valores atípicos son números en un conjunto de datos que sea mucho mayor o mucho menor que los otros números en el conjunto. Ejemplo 7 Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 88, 90 96, 93, 87, 2, 85 y 94. El valor atípico es 2. Ejemplo 8 Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 67, 54, 49, 76, 64, 59, 60, 72, 23, 44 y 66. El valor atípico es 23. Problemas Identifique el valor atípico en cada conjunto de datos , 77, 75, 68, 98, 70, 72 y , 22, 7, 6, 20, 6 y , 645, 783, 455, 3754, 790, 384, 643, 492 y , 65, 93, 5, 55, 4, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 9 y 76. Respuestas mediana: 30; rango: 8 6. mediana: 28.5; rango: 9 7. mediana: 82; rango: mediana: 07; rango:

7 ESCOGIENDO UNA ESCALA AM de.2.2 El eje (o ejes) de una gráfica tiene que estar marcado por tamaños iguales llamados intervalos. Marcando los intervalos en el eje se llama la escala de los ejes. La diferencia entre los marcados consecutivos nos dice el tamaño (escala) de cada intervalo. Note que cada eje de una gráfica bidimensional puede usar un escala diferente. A veces el eje o ejes no es provisto. Un estudiante debe contar el número de espacios utilizable en el papel cuadriculado. Cuantos espacios hay utilizable depende en que tan grande la gráfica estará y cuanto espacio se necesitará para etiquetar cada eje. Siga estos pasos para escalar cada eje en la gráfica.. Encuentre la diferencia entre el número más pequeño y el más grande (el rango) que necesita poner en el eje. 2. Cuente el número de intervalos (espacios) que tiene en el eje. 3. Divida el rango por el número de intervalos para encontrar el tamaño del intervalo. 4. Etiquete las marcas en el eje usando el tamaño del intervalo. A veces dividir el rango por los números de intervalos produce un tamaño de intervalo que hace difícil de interpretar la ubicación de puntos en la gráfica. El estudiante puede hacer uso del juicio y redondear el intervalo (siempre hacia arriba, si se tiene que redondear) a un número conveniente de usar. Las marcas de intervalos como, 2, 5, 0, 20, 25, 50, 00, etc., funcionan bien. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección.2.2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo. La diferencia entre 0 y 60 es La línea de números es dividida en 5 intervalos iguales dividido por 5 como Las marcas son etiquetados con múltiples del tamaño del intervalo de Ejemplo 2. La diferencia entre 300 y 0 es Hay 4 intervalos = El eje es etiquetado con múltiples de

8 Ejemplo 3. La diferencia en el eje vertical es = 750. (El origen es (0, 0)). En el eje horizontal el rango es 6 0 = Hay 5 espacios verticalmente y 3 horizontalmente. 3. El tamaño del intervalo vertical es = 50. El intervalo horizontal es 6 3 = Los ejes son etiquetados apropiadamente Ejemplo 4 A veces los ejes se etienden al lado negativo.. El rango es 20 ( 5) = Hay 7 intervalos en la línea = 5 4. Etiquete los ejes con múltiples de cinco Problemas Escale cada eje:

9 7. y 8. y Use fracciones. y y Respuestas. 2, 4, 6, 8, 0, , 6, 3, 0, 3, , 02, 8, , 8, 8, 28, ,, 0, , 4, 2, 0, 8 7. : 2, 4, 6, 8, 2 y: 4, 8, 2, 6, : 60, 20, 80, 240, 360 y: 40, 80, 20, 60, : 3, 6, 9, 5, 8 y: 4, 8, 2, 20, : 4, 2, 3 4, 4, 2 y: 2, 2, 2, 2 2, 3

10 FRACCIONES EQUIVALENTES.2.4 y.2.5 Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 2 3 = 6 9. Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número como 2 2, 5 5, etc. En este curso, llamamos estas fracciones el Uno Gigante. Multiplicar por no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección.2.8 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Halle tres fracciones equivalentes a = = = 4 8 Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para hallar una fracción equivalente a 7 2 usando fracciones en que los denominadores son 96: 7 2 =? 96 Cuál Uno Gigante va a usar? Como 96 2 = 8, el Uno Gigante es 8 8 : = Problemas Use el Uno Gigante para hallar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente Respuestas. 5 5, , , , , , 8

11 OPERACIONES CON FRACCIONES.2.6 y.2.8 SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones. MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso : Copie el problema Paso 2: Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa Paso 3: Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro. + Paso 4: Paso 5: Renombre las fracciones en setas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en setos en cada figura. Dibuja un rectangulo vacío con setos, luego cambie todos los setos sombreados al mismo número de setos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior

12 Ejemplo se puede modelar como: así que De este modo, = 9 0. Ejemplo seria: Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones Respuestas = 5 2

13 PROBLEMAS DE DIAMANTE 2.. En cada Problema de diamante, el producto de los dos números a los lados (izquierda y derecha) es el número arriba y la suma es el número de abajo. producto ab Los Problemas de diamantes son una ecelente manera de practicar sumas, restas, multiplicación y división de números enteros positivos y negativos, decimales y fracciones. Tienen el beneficio adicional de preparar a los estudiantes para la factorización de binomios en álgebra. a a + b suma b Ejemplo 20 0 El número de arriba es el producto de 20 y 0, o 200. El número de abajo es la suma de 20 y 0, o = Ejemplo El producto del número de la derecha y 2 es 8. Entonces si usted divide 8 por 2 resulta 4, el número de la derecha. La suma de 2 y 4 es 6, el número de abajo Ejemplo Para obtener el número de la izquierda, reste 4 de 6, 6 4 = 2. El producto de 2 y 4 es 8, el número de arriba Ejemplo La manera más fácil de encontrar los números a los lados en esta situación es buscar todos los pares de factores de 8. Son: y 8, 2 y 4, 4 y 2, y 8 y. Solamente uno de estos pares tiene una suma de 2: 2 y 4. Entonces los números a los lados son 2 y

14 Problemas Complete cada Problema de diamante y a 8b 2b 3a 7a Respuestas. 32 y y y y y y y y y y y y 3 3. y y + y 4. a y 2a 5. 6b y 48b a y 2a 2

15 OPERACIONES CON DECIMALES 2.. OPERACIONES ARITMÉTICAS CON DECIMALES SUMANDO Y RESTANDO DECIMALES: Escriba el problema en forma de columna con los puntos de una columna vertical. Escriba ceros para que todos los puntos decimales del número tengan los mismos dígitos. Sume o reste como con números enteros. Escriba el decimal en la respuesta alineada con los de arriba. MULTIPLICANDO DECIMALES: Multiplique como con números enteros. El producto tiene el número de lugares decimales igual al total de número de lugares decimales de los factores (los números que multiplicó). A veces se debe agregar ceros para poner el punto decimal. DIVIDENDO DECIMALES: Cuando se divide un decimal por un número entero, ponga el punto decimal en la respuesta directamente arriba del punto decimal en el número siendo dividido. Divida como con números enteros. A veces es necesario agregar ceros al número siendo dividido para completar la división. Cuando se dividen decimales o números enteros por un decimal, el divisor se debe multiplicar por un poder de diez para hacerlo en número entero. El dividendo se debe multiplicar por el mismo poder de diez. Después divida siguiendo las mismas reglas para las divisiones por números enteros. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Suma 47.37, 28.9, 4.56 y Ejemplo 2 Reste de Ejemplo 3 Multiplique por (2 puntos decimales) 4.53 (2 puntos decimales) (4 puntos decimales) Ejemplo 4 Multiplique 0.37 por (2 puntos decimales) (4 puntos decimales) (6 puntos decimales) Ejemplo 5 Divida 32.4 por ) Ejemplo 6 Divida por.2. Primero multiplique cada número por 0 o

16 Problemas

17 Divida. Si es necesario, redondee las respuestas a la centésima Respuestas o o o , , ,

18 EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 2.. y 2..2 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción palabras o imágenes decimal Representaciones de una porción porcentaje Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 2 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplos De decimal a porcentaje: Multiplique el decimal por 00. (0.8)(00) = 8% De fracción a porcentaje: Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 00 como el denominador. El numerador es el porcentaje. 4 5 = 00 así que 4 5 = = 80% De decimal a fracción: Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario. a. 0.2 = 2 0 = 5 b. 0.7 = 7 00 De porcentaje a decimal: Divida el porcentaje por % 00 = 0.43 De porcentaje a fracción: Use el 00 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario. 22% = = 50 56% = = 4 25 De fracción a decimal: Divida el numerador por el denominador. 3 8 = 3 8 = = 5 8 = = 3 = = 0.27 Para ver el proceso para convertir decimales periódicos a fracciones, ver problema 2-22 del teto Core Connections en español, Curso 2 o el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2..2 del teto Core Connections en español, Curso 2.

19 Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado.. Cambie 4 a un decimal. 2. Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos. 3. Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos. 4. Cambie 75% a un decimal. 5. Cambie 0.38 a un porcentaje. 6. Cambie 5 7. Cambie 0.3 a una fracción. 8. Cambie 8 a un porcentaje. a un decimal. 9. Cambie 3 a un decimal. 0. Cambie 0.08 a un porcentaje.. Cambie 87% a un decimal. 2. Cambie 3 5 a un porcentaje. 3. Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos. 4. Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos. 5. Cambie 9 7. Cambie 8 5 a un decimal. 6. Cambie 25% a una fracción en sus términos más bajos. a un decimal. 8. Cambie 3.25 a un porcentaje. 9. Cambie 6 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje. 20. Cambie 7 a un decimal. 2. Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal. 23. Cambie 8 7 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje. 22. Cambie a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción. 24. Cambie 0.2 a una fracción. 25. Cambie 0.75 a una fracción.

20 Respuestas % 6. 20% % % o % ; 6.25% ; %; ; 87.5% =

21 OPERACIONES CON ENTEROS SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y un número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos ( ). Para sumar los dos enteros empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos ( ) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo ( 4) = ( 4) = 6 Ejemplo ( 6) Empiece con los azulejos representando el primer número Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número Ejemplo = Circule los pares de azulejos de suma cero. es la respuesta ( 6) =

22 SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo. Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto. Ejemplo Para 4 + 2, 4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 2 = 2. La respuesta es 2, ya que 4, es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original. Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas ( 2) ( ) ( 7) ( 8) ( 2) 9. + ( 6) ( 0) + ( 3) ( 6) ( 65) ( 4) ( 3) + ( 2) + ( 8) ( 3) + ( 2) ( 3) ( 70) ( 7) + ( 8) ( 3) ( 3) ( 8) ( 3) ( 6) ( 70) ( 3) + ( 5) + 20

23 Respuestas

24 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Multiplique y divida dos números enteros a la misma vez. Si los signos son igual es producto será positivo. Si los signos son diferentes, el producto será negativo. Siga las mismas reglas para fracciones y decimales. Recuerde de aplicar el orden correcto de las operaciones cuando esté trabajando con más de una operación. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplos a. 2 3 = 6 o 3 2 = 6 b. 2 ( 3) = 6 o (+2) (+3) = 6 c. 2 3 = 2 3 o 3 2 = 3 2 d. ( 2) ( 3) = 2 3 o ( 3) ( 2) = 3 2 e. ( 2) 3 = 6 o 3 ( 2) = 6 f. ( 2) 3 = 2 3 o 3 ( 2) = 3 2 g. 9 ( 7) = 63 o 7 9 = 63 h = 7 o 9 ( 63) = 7 Problemas Use las reglas de arriba para encontrar cada producto o cociente.. ( 4)(2) 2. ( 3)(4) 3. ( 2)(5) 4. ( 2)(8) 5. (4)( 9) 6. (3)( 8) 7. (45)( 3) 8. (05)( 7) 9. ( 7)( 6) 0. ( 7)( 9). ( 22)( 8) 2. ( 27)( 4) 3. ( 8)( 4)(2) 4. ( 3)( 3)( 3) 5. ( 5)( 2)(8)(4) 6. ( 5)( 4)( 6)( 3) 7. ( 2)( 5)(4)(8) 8. ( 2)( 5)( 4)( 8) 9. ( 2)( 5)(4)( 8) 20. 2( 5)(4)( 8) 2. 0 ( 5) ( 3) ( 3) ( 6) ( 4) ( 25) ( 2) ( 223) ( 6) ( 24) ( 7) ( 53) ( 4)

25 Respuestas

26 OPERACIONES CON FRACCIONES y MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones. Ejemplo (es decir, 2 de 5 8 ) Paso : Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y etiquetelas como 5 8. Paso 2: Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 2 de 5 8 y etiquetelo. Paso 3: Escriba una oración en números = 5 6 La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo 2 a b

27 Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible Respuestas = = = = = = = = = = = 5 8

28 ORDEN DE LAS OPERACIONES 3.. y 3..2 Cuando a los estudiantes se les da una epresión como por primera vez, algunos estudiantes piensan que la respuesta es 4 y algunos piensan que la respuesta es. Por esta razón los matemáticos decidieron en un método para simplificar una epresión que usa más de una operación para que todos estuvieran de acuerdo en una respuesta. Hay un grupo de reglas que se deben seguir que establece una manera consistente para que todos puedan evaluar epresiones. Estas reglas se llaman Orden de las operaciones y se deben seguir para llegar a una respuesta correcta. Como indicada por el nombre, estas reglas declara en cual orden las operaciones matemáticas deben ser completado. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 5 en Core Connections en español, Curso 2. El primer paso es organizar la epresión numérica en partes llamadas términos, que son números singulares o productos de números. Una epresión numérica está formada de una suma o diferencia de términos. Ejemplos de términos numéricos: 4, 3(6), 6(9 4), 2 3 2, 3( ) y Para el problema arriba, , los términos están circulados a la derecha Cada término es simplificado por separado, dando Y después en términos se suman: =. De este modo, =. Ejemplo Para evaluar una epresión: (6 3) + 0 Circule cada término en la epresión. Simplifique cada termino hasta que sea un solo número siguiendo los pasos a continuación: Simplifique la epresión entre paréntesis. Evalué cada parte eponencial (ej., 3 2 ). Multiplique y divida de izquierda a derecha. Finalmente, combine los términos sumando o restando de la izquierda a la derecha (6 3) (3) (3)

29 Ejemplo (5 + 4) 5 2 a. Circule los términos. b. Simplifique lo entre paréntesis. c. Simplifique los eponentes. d. Multiplique y divida de izquierda a derecha. Por último, suma y reste de izquierda a derecha. a (5 + 4) 5 2 b (9) 5 2 c (9) 25 d Ejemplo a. Circule los términos. b. Multiplique y divida de izquierda a derecha, incluyendo eponentes. Suma y reste de izquierda a derecha. a b Problemas Circule los términos, luego simplifique cada epresión (9 4) (7 + 3) (8 + ) (4 5) (7 7) (5 2) 2 + (9 + ) (2) 6 + (6 ) (7 2) (9 3) (3 + 4) (6 + 4) 2 + 3(5 2) ( 5 ) (5 2) 2

30 Respuestas

31 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 3.2., y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS Las restas de números enteros también pueden ser representadas usando modelos concretos de las rectas númericas y azulejos (+) y ( ). La resta es lo opuesto de la suma, así que es obvio tener que seguir las instrucciones opuestas. Cuando use la recta númerica y se suma un número entero positivo, se mueve a la derecha. Así que cuando se reste un número entero positivo, se mueve hacia la izquierda. Para sumar números enteros negativos se mueve hacia la izquierda, así que cuando se resta un número entero negativo se mueve hacia la derecha. Cuando se usan los azulejos, la suma significa poner más piezas en la imagen y buscar ceros para simplificar. La resta significa que tiene que eliminar azulejos de la imagen. A veces tiene que poner pares de azulejos de suma cero en la imagen antes de tener suficientes números de las piezas deseadas para eliminar. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo ( 4) ( 4) = ( 4) = 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 6 ( 3) Estructure el primer número entero. Retire tres negativos. Quedan tres negativos. 6 ( 3) = 3 2 ( 3) Estructure el primer número entero Es imposible retirar tres negativos, así que agregue ceros. Ahora retire tres negativos y circule los ceros. Queda un positivo ( 3) =

32 Problemas Encuentre la diferencia. Use por lo menos uno de los modelos para las primeras cinco diferencias.. 6 ( 2) 2. 2 ( 3) 3. 6 ( 3) ( 3) (3) 8. 2 ( 0) ( 0). 6 ( 3) ( 3) ( 8) ( 9) Respuestas (y modelos posibles)

33 OPERACIONES CON DECIMALES MULTIPLICANDO DECIMALES Y PORCENTAJES Entender cuántos lugares decimales se debe mover a un punto decimal al multiplicar está conectado a la multiplicación de fracciones y el valor del lugar. Las computaciones que se calculan al porcentaje de un número son simplificados por medio de cambiar el porcentaje a un decimal. Ejemplo Ejemplo 2 Multiplique (0.2) (0.3). En fracciones esto es Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones. (décimo)(décimo) = centésimo Por esto, muévalo dos lugares Multiplique (.7) (0.03). En fracciones esto significa Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones. (décimo)(centésimo) = milésimo Por esto muévalos tres lugares Ejemplo 3 Calcule 7% de 32.5 sin usar una calculadora. Ya que 7% = 7 00 = 0.7, 7% de 32.5 (0.7) (32.5)

34 Problemas Identifique el número de lugares que va a mover el punto decimal hacia la izquierda del producto. No debes calcular el producto.. (0.3) (0.5) 2. (.5) (0.2) 3. (.23) (2.6) 4. (0.26) (3.4) 5. 7 (32.06) 6. (4.32) (3.46) Calcule sin usar una calculadora. 7. (0.8) (0.03) 8. (3.2) (0.3) 9. (.75) (0.09) 0. (4.5) (3.2). (.8) (0.032) 2. (7.89) (6.3) 3. 8% de % de % de % de % de % de 42 Respuestas

35 DIVISIÓN POR FRACCIONES 3.3. División por fracciones introduce tres métodos que ayudan a los estudiantes como se dividen por fracciones. En general, piense en la división 8 2 como, en 8, cuantos grupos de 2 hay? Similarmente, 2 4 significa, en 2, cuantos cuartos hay? Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.3. del teto Core Connections en español, Curso. Los primeros dos ejemplos demuestran como dividir por fracciones usando un diagrama. Ejemplo Use el modelo rectangular para dividir: 2 4. Paso : Paso 2: Usando el rectángulo, primero tenemos que dividirlo en dos partes iguales. Cada parte representa la 2. Sombree la 2. Después divida el rectángulo original en cuatro partes iguales. Cada sección representa 4. En la sección sombreada,, hay 2 cuartos Paso 3: Escriba la ecuación. 2 4 = 2 Ejemplo 2 En 3 4, cuantas 2 hay? En 3 4 hay una 2 sombreada Es decir, qué es 4 3 2? 2 2 y la mitad de la otra (es mitad de una mitad). Start Empiece 3 with con Entonces: = 2 (uno y mitad de la mitad)

36 Problemas Use el modelo rectangular para dividir Respuestas. 8 tercios setos 2. 2 mitades cuartos 3. 4 uno cuartos 8 setos 2 tres cuartos 4 cuartos cuartos mitades tercios novenos 2 2 mitades 24 novenos En los próimos dos ejemplos use denominadores comunes para dividir por una fracción. Eprese las dos fracciones con un denominador común, después divida el primer numerador por el segundo. Ejemplo 3 Ejemplo o o 8

37 Otra manera de dividir fracciones es usar el Uno Gigante del trabajo previo con fracciones para crear el Uno Súper Gigante. Para usar el Uno Súper Gigante, escriba una división en forma de fracción, con una fracción como numerador y denominador. Use el recíproco del denominador para el numerador y denominador en el Uno Súper Gigante. Multiplique las fracciones y simplifique el resultado cuando sea posible. Ejemplo 5 Ejemplo = 4 2 = 4 2 = = 8 4 = 9 2 = 4 2 Ejemplo 7 Ejemplo = = 8 9 = Comparado con: = 0 9 = 0 9 = 9 Problemas Complete cada división. Use cualquier método Respuestas

38 PROPIEDADES DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN En sumas y multiplicaciones, el orden de los números se puede cambiar: = y 2 5 = 5 2. Esto se llama Propiedad Conmutativa. En símbolos es: La Propiedad conmutativa de suma es : a + b = b + a y La Propiedad conmutativa de multiplicación es: a b = b a. Cuando se suman tres números o se multiplican tres números, el agrupamiento se puede cambiar: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) y (2 3) 5 = 2 (3 5). Esto es la Propiedad asociativa. En símbolos es: La Propiedad asociativa de suma es: (a + b) + c = a + (b + c) y La Propiedad asociativa de multiplicación es: (a b) c = a (b c). La Propiedad distributiva distribuye una operación sobre otra. Hasta el momento los estudiantes solamente han visto multiplicaciones distribuidas sobre sumas. En símbolos es: Para todos los números a, b y c, a(b + c) = a b + a c. Por ejemplo: 2(3 + 5) = Para más información vea el recuadro de los Apuntes de matemáticas en la Lección 4.. del teto en Core Connections en español, Curso 2. Las propiedades de multiplicación y suma permiten que las calculaciones sean reordenadas. Hacer esto ayuda cuando se hace la suma mentalmente. Nombre la propiedad o razón que justifica cada paso. Ejemplo Calcule mentalmente: 4 (7 25) Paso = 4 (25 7) Propiedad conmutativa de multiplicación Paso 2 = (4 25) 7 Propiedad asociativa de multiplicación Paso 3 = (00) 7 matemáticas mentales Paso 4 = 700 matemáticas mentales Ejemplo 2 Calcule mentalmente: 8(56) Paso = 8(50 + 6) renombre 56 como Paso 2 = 8(50) + 8(6) Propiedad distributiva Paso 3 = matemáticas mentales Paso 4 = 448 matemáticas mentales

39 Problemas Abajo hay una lista de posibles pasos para calcular un problema mentalmente. De las razones que faltan para justificar los pasos.. 5(29) = 5(30 + ( )) renombre 29 como 30 + ( ) 5(30 ) = 5(30) + 5( ) a 50 + ( 5) = 50 + ( 0 + 5) renombre 5 como 0 + ( 5) 50 + ( 0) + ( 5) = (50 + ( 0)) + ( 5) b 40 + ( 5) = 35 matemáticas mentales = a = ( ) b = ( ) + 77 c = 777 matemáticas mentales 3. 49(2) = 2(49) a 2(49) = 2(50 ) renombre 49 como 50 2(50 ) = 2(50) 2() b 2(50) 2 = (6 2)(50) 2 renombre 2 como 6 2 (6 2)(50) 2 = 6(2 50) 2 c 6(2 50) 2 = 6(00) 2 matemáticas mentales = 588 matemáticas mentales Respuestas. a. Distributiva b. Asociativa 2. a. Conmutativa b. Asociativa c. Asociativa 3. a. Conmutativa b. Distributiva c. Asociativa

40 ESCALAS DE FIGURAS Y FACTOR DE ESCALA 4.. y 4..2 Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcionalmente) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La razón de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una razón de escala, es decir, NUEVA ORIGINAL. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo utilizando una ampliación de 200% F C 26 mm 3 mm 5 mm 0 mm B A 2 mm E 24 mm D Razones de longitud de los lados: DE AB = 2 24 = 2 FD CA = 3 26 = 2 FE CB = 0 5 = 2 triángulo original nuevo triángulo El factor de escala para la longitud es de 2 a. Ejemplo 2 Figuras A y B a la derecha son semejantes. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuentre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la Figura B. 2 A B El factor de escala es 2 3 = 4. Las longitudes de los lados que faltan de la Figura B son: 4 (0) = 2.5, 4 (8) = 4.5, y 4 (20) = 5. 20

41 Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras semejantes en los problemas a 4.. Original Nueva 2. Original Nueva D A 8 6 C B H E 4 G 3 F Original Nueva 4. Original Nueva Un triángulo tiene lados 5, 2 y 3. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 300%. a. Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original? 6. Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y un ancho de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 25%. a. Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original? Respuestas. 4 8 = = a. 5, 36, 39 b a. 5 cm y 0 cm b. 4

42 RELACIONES PROPORCIONALES 4.2., y Una proporción es una ecuación que establece que las dos razones (fracciones) sean iguales. Dos valores están en una relación proporcional si una proporción puede ser configurada para relacionar los valores. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 4.2.3, y del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo El costo promedio de un par de pantalones vaqueros de diseño ha aumentado $5 en 4 años. Cuál es la tasa unitaria de crecimiento (dólares por año)? Solución: La tasa de crecimiento es denominador de uno. Usando un Uno Gigante: 5 dólares 4 años = dólares año. 5 dólares 4 años. Para crear una tasa unitaria necesitamos un 5 dólares 4 años = 4 4 dólares año 3.75 dólares año. Ejemplo 2 La famosa receta de chili de Ryan utiliza 3 cucharadas de chile en polvo para 5 porciones. Cuántas cucharadas se necesitan para la reunión familiar que necesita 40 porciones? Solución: La tasa es 3 5 cucharadas porciones 3 5 = 40 c. por lo que el problema puede ser escrito como una proporción: Un método de resolver la proporción es usar el Uno Gigante: Otro método es utilizar la multiplicación cruzada: Por último, ya que la tasa unitaria es 3 5 cucharada por porción, la ecuación c = 5 3 p representa la situación proporcional general y se podría sustituir el número de porciones que se necesitan en la ecuación: c = = 24. Con el uso de cualquier método, la respuesta es 24 cucharadas.

43 Ejemplo 3 Basándose en la tabla de la derecha, cuál es la tasa unitaria de crecimiento (metros por año)? Solución: +2 Altura (m) 5 7 Años Problemas Para los problemas a 0 encuentre la tasa unitaria. Para los problemas a 25, resuelva cada problema.. Teclear 73 palabras en 7 minutos (palabras por minuto) 2. Leer 258 páginas en 86 minutos (páginas por minuto) 3. Comprar 5 cajas de cereal por $43.35 (costo por caja) 4. Anotar 98 puntos en un partido de 40 minutos (puntos por minuto) 5. Comprar Comprar 2 3 libras de plátanos cuestan $.89 (costo por libra) libras de cacahuates por $2.25 (costo por libra) 7. Cortar 2 acres de césped en 3 4 de la hora (hectáreas por hora) 8. Pagar $3.89 por.7 libras de pollo (costo por libra) 9. peso (g) longitud (cm) Cuál es el peso por cm? 0. Para el gráfico de la derecha, cuál es la tasa en millas por hora?. Si una caja de 00 lápices cuesta $4.75, cuánto espera pagar por 225 lápices? 2. Cuando Amber hace su tarea de matemáticas, ella termina 0 problemas cada 7 minutos. Cuánto tiempo le tomará a ella en completar 35 problemas? Distancia (millas) Tiempo (horas) 3. Ben y sus amigos están teniendo un maratón de televisión, y después de 4 horas han visto 5 episodios de la serie. Cuánto tiempo se tardarán en completar la temporada, que tiene 24 episodios? 4. El impuesto de un jarrón de $600 es $54. Cuál debería ser el impuesto de un jarrón de $700?

44 5. Utilice la tabla de la derecha para determinar cuánto tiempo tomará el club Spirit en encerar 60 coches. carros encerados horas Al hornear, Evan descubrió una receta que requiere 2 tazas de nueces por cada 2 4 tazas de harina. Cuántas tazas de nueces se necesitará para 4 tazas de harina? 7. Basándose en el gráfico, qué sería el costo para rellenar 50 botellas? 8. Sam creció 3 4 pulgadas en 4 2 habrá de crecer en un año? meses. Cuánto 9. Al trotar en la tarde, Chris tardó 42 minutos en correr 3 3 millas. Cuántas millas puede correr 4 en 60 minutos? 20. Si Caitlin necesita latas de pintura para cada 3 cuarto de su casa, cuántas latas de pintura necesitará ella para pintar la casa de 7 cuartos? $ botellas rellenadas 2. Stephen recibe 20 minutos de tiempo de juego de video cada 45 minutos que camina con el perro. Si él quiere 90 minutos de tiempo de juego, cuántas horas tiene que trabajar? 22. La vid de uva de Sarah creció 5 pulgadas en 6 semanas, escriba una ecuación para representar su crecimiento después de t semanas. 23. En promedio, Ma hace 45 de los 60 tiros con el baloncesto, escriba una ecuación para representar el número promedio de tiros hechos de intentos. 24. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 4 anterior. 25. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 7 anterior. Respuestas. 43 palabras minuto gramos centímetros 2. 3 páginas minuto $ libra $ libra millas hora $ caja puntos minuto 7. 2 acre hora $ libra. $ min horas 4. $ horas tazas 7. $ pulgadas millas latas horas 22. g = 5 2 t 23. s = C = 3.5b 24. t = 0.09c

45 TASAS Y TASAS UNITARIAS y Tasa de cambio es la razón que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 6 onzas de harina cuestan $0.80, entonces el costo unitaria, es decir el costo por una onza, es $ = $0.05. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 5 personas. Al mismo tasa, cuánto arroz se necesitará para 40 personas? La tasa es: 6 tazas 5 personas así que, resuelve 6 5 = 40. El multiplicador necesario para el Uno Gigante es 40 5 o Usar este multiplicador produce Tenga en cuenta que la ecuación 6 5 = 40 Ejemplo 2 Organice estas tasas de menor a mayor: = 6 40 entonces se necesitan 6 tazas de arroz. también se puede resolver utilizando proporciones. 30 millas en 25 minutos 60 millas en una hora 70 millas en 2 3 hora Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 30 mi 25 min = = min mi 60 mi hr = 60 mi 70 mi 60 min 2 = 70 mi hora 00 min = = 42 mi 60 min Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 2 hora < 60 millas en una hora < 30 millas 3 en 25 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos epresar cada velocidad como una tasa unitaria: 42 mph, 60 mph y 72 mph. Ejemplo 3 Un tren en Francia viajó 932 millas en 5 horas. Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? 932 mi 5 hora = Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de hora, así: hora. Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de o división simple produce = 86.4 millas por hora.