Universidad Nacional de Río Cuarto FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES INGRESO 2011 AREA MATEMÁTICA

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1 Universidad Nacional de Río Cuarto FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES INGRESO 2011 AREA MATEMÁTICA Técnico de Laboratorio y Microbiología Lic. y Prof. en Biología Lic. Prof. y Analista Químico Prof. en Física Lic. en Geología Lic. Prof. y Analista en Computación Coordinadoras: Mg. Flavia Buffarini - Mg. Cecilia Elguero

2 Construcción de fórmulas para contar Actividad 1: Dada la siguiente figura a) Calcular el número de cuadraditos sombreados en un cuadrado como el dado de 37 cuadraditos de lado. b) Explicar por escrito cómo es el método que permite calcular el número de cuadraditos sombreados cualquiera sea el número de cuadraditos por lado. c) Hallar una fórmula para poder calcular el número de cuadraditos sombreados para cuadrados de n cuadraditos por lado. d) Dos alumnos contaron los cuadraditos sombreados de un cierto cuadrado, uno obtuvo y el otro halló Se puede saber cuál de los dos contó bien? Justificar e) Existe algún valor de n para el cuál la cantidad de cuadraditos sombreados sean 584? y uno de ? Hallarlos en caso de ser posible Actividad 2 Se arma con fósforos un cuadrado cuadriculado de la siguiente forma: 1

3 a) Este cuadrado tiene 3 fósforos de lado, cuántos fósforos se han usado para armar esta figura? b) Cuántos fósforos se necesitan para hacer un cuadrado como el de la figura pero que tenga 10 fósforos de lado? Y uno de 56 fósforos de lado? Justificar c) Encontrar una fórmula que permita calcular la cantidad de fósforos que se necesitan para armar un cuadrado de n fósforos de lado. d) Con 1521 fósforos, es posible armar una figura como la anterior usándolos todos? Justificar Actividad 3 a) Dar una fórmula que permita calcular el área total de dos rectángulos iguales sabiendo que la altura de cada rectángulo supera en una unidad a su base. b) Comparar las expresiones que representan las situaciones de las actividades 2 y 3. Analizar el dominio de validez de ambas. Actividad 4 a) Si n personas asisten a una reunión y todas se dan la mano, cuántos apretones de mano hubo? Justificar b) Si se arma un campeonato de voley con n equipos, y se quiere que todos jueguen con todos, partido y revancha, Cuántos partidos debe haber en el campeonato? Justificar Actividad 5 Para separar un patio de un lavadero se colocan en línea canteros cuadrados rodeados de baldosas de la misma forma como indica el dibujo a) Cuántas baldosas serán necesarias si se tienen 18 canteros? Justificar. b) Hallar una fórmula que permita calcular la cantidad de baldosas necesarias si se tienen n canteros. c) Si la cantidad de baldosas utilizadas es 1763 Cuántos canteros fueron rodeados por baldosas? Justificar 2

4 Formulación y prueba de conjeturas Actividad 1 a) Para jugar con un compañero: Considerar tres números enteros consecutivos cualesquiera. Realizar diferencia entre el cuadrado del número del medio y el producto de los otros dos números. Gana el que llega al resultado más grande. b) Explicar lo que observa al jugar y justificar por qué sucede. Actividad 2 a) Si se suman cinco números naturales consecutivos cualesquiera, el resultado es siempre múltiplo de 5? Justificar. b) Si se suman seis números naturales consecutivos cualesquiera, el resultado es siempre múltiplo de 6? Justificar. Actividad 3 a) Si se suman 10 números naturales consecutivos da por resultado 75, cuáles números se han sumado? Justificar b) Es posible que la suma de 10 números naturales consecutivo de por resultado ? Y 18450? Por qué? Actividad 4: El problema del ilusionista a) Un ilusionista le dice a Juan y a Pedro lo mismo: Piensen un número y hagan las siguientes operaciones, les adivinaré a ambos el resultado final. Al número pensado súmale 8, multiplica el resultado por 3, réstale 4, súmale el número original, divide por 4, súmale 2, réstale el número original. Seguramente obtuvieron 7. i. Juan pensó el 49, no sabemos qué pensó Pedro pero sí que es un número distinto al de Juan y dice que también le dio 7. Podrá ser? Por qué? ii. Cuáles serán todos los números para los que el resultado de la rutina es 7? Justificar tu afirmación. 3

5 b) Ahora el ilusionista le dice la siguiente rutina a un participante: -Piensa un número natural, elévalo al cuadrado y réstale uno, al resultado obtenido divídelo por el consecutivo del número pensado y obtendrás el antecesor del número que pensaste. i. Siempre adivina el ilusionista? Justificar ii. Vale esta rutina en Z? Y en R? Justificar c) Encontrar todos los números que verifiquen la siguiente rutina: Al sumar el cuadrado de un número y su doble se obtiene el mismo número que al elevar al cuadrado el consecutivo del número pensado. Justificar. Actividad 5 a) Proponer dos ecuaciones, una que admita infinitas soluciones y otra que no tenga solución. Justificar b) Proponer una ecuación cuya única solución sea el número 8. Justificar 4

6 La función como modelo de situaciones problemáticas Actividad 1 Se tiene un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos miden 11 cm. Considerar los rectángulos que se pueden dibujar dentro de la figura de la siguiente manera: a) Cuál es el área del rectángulo de base dos? (es el rectángulo que está dibujado) b) Habrá algún rectángulo de este tipo que tenga un área mayor que el que está dibujado? Si es posible encontrar alguno, indicar el valor de la base. c) Habrá algún rectángulo de este tipo que tenga un área menor que el de base dos? Si es posible encontrar alguno, indicar el valor de la base. d) Habrá algún rectángulo de este tipo que tenga un área igual que el de base 2? Si es posible encontrar alguno, indicar el valor de la base. e) Para cada uno de los siguientes 6 gráficos, decidir si puede corresponder o no a la representación gráfica de la variación del área del rectángulo en función de la base del mismo. En cada caso, dar argumentos para justificar la respuesta. 5

7 f) Escribir una fórmula que permita calcular el área de cualquier rectángulo en función de su base. Cuál es el dominio de esa función? Actividad 2 Miguel y Ernesto se asociaron para desarrollar un micro emprendimiento como técnicos de computadoras. Para decidir qué precio cobrarán por hora consultaron a un amigo economista. Teniendo en cuenta los costos fijos y la relación entre el precio que cobrarían por hora y la cantidad de trabajo que tendrían, el amigo les presenta la siguiente fórmula: G(p) = (p 80) 2 que permite calcular la ganancia mensual en función del precio por hora. a) Miguel propone cobrar 56 $ por hora cuánto ganarían en ese caso? Justificar b) Ernesto quiere aumentar la ganancia a qué precio podrían cobrar la hora? Justificar c) Habrá otro valor de precio por hora con el cual se pueda obtener una ganancia de $2048? Justificar d) Es posible obtener una ganancia de $1400? y de 3500? Justificar e) Cuál es la máxima ganancia que se puede obtener? Qué precio por hora hay que cobrar para obtener esa ganancia? Justificar f) En la pregunta c) se analizó que existen dos valores de precios por hora en los cuales la ganancia que se obtiene es de $2048, cuál de los dos precios elegirían para obtener esa ganancia? Justificar g) Y si la fórmula de la ganancia fuera G(p)= 400 3(p 170) 2 i) Pueden dar dos valores de p que den la misma ganancia? Justificar ii) Cuál seria la máxima ganancia y para qué precio? Justificar Actividad 3 1 Dada la siguiente función f (x) = 2 x 1 a) Buscar, si existen, otros valores de dominio que tengan la misma imagen que x=0. Cuántos hay? Justificar b) Buscar, si existen, otros valores del dominio que tengan la misma imagen que x= 10 Cuántos hay? Justificar c) Proponer, si existen, valores del dominio cuya imagen sea 1/2. Cuántos hay? Justificar 6

8 d) Proponer, si existen, valores del dominio cuya imagen sea 2. Cuántos hay? Justificar e) Proponer, si existen, valores del dominio cuya imagen sea un valor mayor que 1. Cuántos hay? Justificar f) Existe algún x tal que f(x)<0? Justificar g) Analizar cuál/es de los siguientes gráficos podría corresponder con la función analizada 7

9 Bibliografía Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the learning of mathematics. Vol 14 FLM. Publishing association. Montreal. Canadá Buffarini F. (2005). La dimensión del álgebra como herramienta de modelización y validación: Las interacciones en el aula como medio para su evolución. Tesis de Maestría no publicada en Didáctica de la Matemática. Universidad Nacional de Río Cuarto. Río Cuarto. Ministerio de Educación. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. (2010) Aportes para la enseñanza. Matemática. Función cuadrática, parábola y ecuación de segundo grado. Versión preliminar Ministerio de Educación. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. (2001) Actualizacón curricular. Matemática. Algunos elementos para pensar la enseñanza de la matemática. Sessa C. (2005). Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectiva. Buenos Aires: Libros del Zorzal. 8