Área de la sombra en relación con la distancia de Iluminación 02/03/14

Transcripción

1 1 Área de la sombra en relación con la distancia de Iluminación 02/03/14

2 2 Introducción: Siempre he notado que cuando un objeto está mucho más cerca de la fuente de luz 1 que lo ilumina, su sombra 2 crece, pero no presenta un crecimiento lineal, y tampoco respeta las proporciones con respecto a la distancia de iluminación.mi curiosidad por este tema surge de diferentes situaciones en las que se ha podido contemplar este comportamiento, por ejemplo, manejando un auto de noche con un objeto delante, se puede ver como a medida que disminuye la distancia la sombra aumenta, pero cada vez más grande. O también cuando era pequeño y jugaba a hacer figuras con las sombras, tenía que tener cuidado con la distancia a la fuente de luz, porque un mínimo cambio podía representar un gran crecimiento en el área de esa figura. Me motivo a explorar la relación matemática entre la distancia de iluminación y el área de la sombra el hecho de que las sombras, a pesar de que el objeto que la genere no cambie su estructura, pueden variar mucho de la mano de diferentes factores, dentro de los cuales se encuentra la distancia de iluminación, que es el que se decidió escoger. Esto significa que previamente se ha observado que entre más cerca la fuente de luz más grande es el área de la sombra, siendo el crecimiento del área de la sombra siempre mayor. Pero para efectos de la exploración se trabajara con distancia y no la proximidad de la fuente de luz, en este caso la relación seria inversa, es decir a más distancia de iluminación menor será el área de la sombra. En esta exploración nos daremos cuenta específicamentela relación matemática de como afecta la distancia de la iluminación a el área de la sombra de un objeto,y la razón del comportamiento de los datos,es decir, por qué los datos a pesar de que la variación de las distancias de iluminación es lineal, se presentan con un decrecimiento acelerado y por supuesto se encontrara la ecuación debida para 1 Luz, La luz es una radiación que se propaga en forma de ondas. Las ondas que se pueden propagar en el vacío se llaman ondas electromagnéticas. La luz es una radiación electromagnética. 2 Sombra, Ausencia parcial de luz, o menor intensidad de luz reflejada sobre un objeto respecto a su alrededor, causada por una interrupción del viaje de las ondas de la luz.

3 3 este fenómeno con ayuda de los resultados extraidos de un experimento realizado por mi mismo. Las bases y algunos puntos claves de la exploración tienen sustento en la física. Cuando hablamos de luz hablamos de ondas longitudinaleselectromagnéticas que viajan por el espacio y cuando se ven interrumpidas por un sólido, dependiendo de su estado físico, no lo atraviesa al 100%. Por eso se crean las sombras, que no es más que la presencia de una menor intensidad de la luz. La exploración tiene por motivos físicos, limitaciones matemáticas con respecto al dominio de los datos, ya que a pesar de que ya se sabe que a menor distancia mayor área de la sombra, no puede haber una distancia negativa y además de eso a distancias muy pequeñas el área de la sombra ya es imperceptible, porque bloquea la mayoría de las ondas de luz. Al experimento también lo afecta el fenómeno de la penumbra 3, dependiendo de las características de la fuente de luz. Si la fuente de luz es de un diámetro grande en relación con el objeto que se ilumina, habrá una mayor penumbra, haciendo más dificultoso y errático el proceso de la medición del área, ya que se presentaran zonas donde se reflejan parte de las ondas de la luz, y no se logra determinar, si es, o no, una sombra. La toma de datos se efectuara con la ayuda de: En cuadro de papel de 5x5 colgado de superficie inferior, una linterna (diámetro pequeño) que actué como la fuente de luz, un soporte para la linterna(aprox 20cm verticales), una regla que determina la distancia de la linterna hasta el cuadro de papel y un metro para medir los lados de la sombra, que procederán a ser calculados para obtener finalmente el área de la sombra. Se establecerán diferentes distancias de iluminación que se medirán con la regla, cuyo origen es la posición del cuadro de papel de 5x5. El cuadro de papel y la linterna serán colocados a la misma altura para que el ángulo de iluminación no 3 Penumbra, Zona en los límites de la sombra que hacen perder la nitidez de la misma por culpa de aquellas ondas de luz que provienen desde un ángulo diferente que se logran reflejar en la superficie de la sombra

4 4 afecte el área de la sombra, para esto cuelga el cuadro de papel de un par de hilos desde la superficie inferior de un objeto hueco de alrededor de 25cm de alto y la linterna se apoya en un soporte móvil de 20cm de alto. Una vez colocada la fuente de luz a la distancia requerida se pasa a obtener el área de la sombra, cuya determinación se hace através de la medición del largo de uno de sus lados, que luego se eleva al cuadrado (ya que la figura es un cuadrado, donde área es base x altura), para obtener cm 2 que representa área. Se apoya la explicación con las siguientes fotos de mi autoría:

5 5 Resultados: Area de la sombra de un cuadro de 5x5 cm en relación con la distancia en la que se lo ilumina Distancia de Iluminacion en cm Largo de un lado (cuadrado) de la sombra Area de la sombra en cm ,5 132, ,5 156, ,5 182, ,5 210, ,5 240, ,5 342, ,5 420, A partir de estos datos brutos, sin un análisis todavía, se confirmó la hipótesis o la conclusión empírica que motivo el experimento, basada en observaciones pasivas del comportamiento del fenómeno de las sombras en el mundo. La relación entre distancia de iluminación y área de sombra es efectivamente inversa y no es lineal. Proceso matemático: Todas las mediciones directas fueron de los lados de la sombra, que al ser iguales porque la figura es un cuadrado, solo fue necesario tomar un lado y hacer el siguiente proceso matemático X = lado de la sombra Área de la sombra = X 2

6 6 Se proceden a reemplazar todos los datos: (11,5 cm) 2 = 132,25 cm 2 (12 cm) 2 = 144 cm 2 (12,5 cm) 2 = 156,25 cm 2 (13 cm) 2 = 169 cm 2 (13,5 cm) 2 = 182,25 cm 2 (14 cm) 2 = 196 cm 2 (14,5 cm) 2 = 210,25 cm 2 (15,5 cm) 2 = 240,25 cm 2 (17 cm) 2 = 289 cm 2 (18,5 cm) 2 = 342,25 cm 2 (20,5 cm) 2 =420,25 cm 2 (24 cm) 2 = 576 cm 2 (28 cm) 2 = 784 cm 2 (36 cm) 2 = 1296 cm 2 Grafico I: Area de la sombra de un cuadrado en relacion con la distancia de iluminacion y = 5797,4x -1,123 R² = 0,9958 Area de la sombra en cm Distancia de iluminacion en cm

7 7 Esta grafica presenta en el eje X la distancia entre la fuente de luz y el objeto que genera la sombra, representada en cm, la cual se muestra de a dos unidades y es la variable independiente. En el eje Y se muestran los cm 2 de sombra que genera el cuadrado de 5x5, dependiendo de la distancia de iluminación, es decir, presenta el área de la sombra, cuyo valor fue calculado y es la variable dependiente. Proceso matemático: La ecuación que se encuentra en el gráfico, y que se toma finalmente com acertada, fue formulada por medio de Excel, de mano de todos los datos de la gráfica. Sin embargo, se realizó el cálculo manual de los datos, basándose en la fórmula de un modelo potencial de la siguiente forma: Modelo potencial: y= ax b Se toman dos puntos de la gráfica, y se utilizan para hallar a y b (8, 576) y (30, 132,25) 576= a8 b 132,25= a30 b 576/132,25= (a8/a30) b 576/132,25= (8/30) b Ln(576/132,25) = Ln(8/30) b Ln(576/132,25) / Ln(8/30) = b b = -1, = a8-1, / 8-1,113 = a a= 5828,56 Se repite 4 veces más, con 8 puntos de la gráfica. Luego se halla el promedio de los resultados de a y b. (8, 576) y (6, 784)

8 8 b= -1,073 a=5363,37 (10, 420,25) y (20, 196) b= -1,100 a= 5290,63 (4, 1296) y (24, 169) b= -1,136 a= 6248,94 (6, 784) y (28, 144) b= -1,100 a= 5627,07 Promedios: (-1,100) + (-1,136) + (-1,100) + (-1,073) + (-1,113) /5 = b~ b~ = 1, , , , , ,56 /5= a~ a~ = 5671,714 La grafica muestra que cada 2 cm que se acerque al objeto la fuente de luz, se presentara un crecimiento acelerado de la sombra, que nunca será lineal, sino que en este caso, cumple con un modelo potencial En lagráfica se muestra como la reducción de área va disminuyendo, es decir que en algún momento la reducción del área será despreciable o cero, este será la asíntota en el eje x olímite mínimo de la función, sin embargo el limite matemático quizá no sea el mismo limite físico, ya que para ese hipotético caso la distancia entre el objeto que genera la sombra y la fuente de luz puede que sea tan grande

9 9 que las ondas de la luz no tengan la suficiente intensidad como para llegar al objeto a la superficie en donde se creara la sombra. Para la representación de los datos de este fenómeno de la sombra, el modelo potencial fue el más acertado y presento la siguiente ecuación: y = 5797,4x -1,123 Como vemos, el modelo potencial se ajusta tan bien a los datos, que el coeficiente de correlación es R² = 0,9958, cuyo valor no es perfecto posiblemente debido a pequeños errores en la medición de los lados de la sombra, a causa de la penumbra. Por otra parte el límite máximo matemático-físico debería en teoría llegar hasta cero, porque la distancia no puede ser menor que cero, pero las condiciones para que la distancia se acerque demasiado a 0 y aun se cree una sombra no siempre se dan (en el experimento tampoco) ya que las ondas de luz no tienen espacio suficiente para reflejar los bordes del cuadro de papel, y por lo tanto ni siquiera ilumina. Es decir en la realidad el límite máximo para el área se determinaría antes de llegar a 0cm de distancia con la fuente de luz. Sin embargo es también importante cuestionarse aquellos factores que también son determinantes para este tipo de fenómenos, que de permanecer desatendidos, puede cambiar el curso o la validez de la exploración. Imaginémonos cómocambiaría el área de la sombra, si a la misma distancia, el ángulo desde donde se ilumina el objeto varía? Podríamos argumentar basándonos en una situación común en los que frecuentan la playa, si te encuentras debajo de una carpa, depende de la inclinación de la iluminación del sol (la hora), que tan grande sea la sombra en la que te encuentras. La sombra será más pequeña a medida que la fuente de luz se aleje de los 90 con respecto a la superficie del objeto que genera la sombra,para este caso se podría decir que a las 12:00 pm se presentan las sombras más grandes con respecto a la superficie superior de un cuerpo. Es decir una iluminación perpendicular genera la sombra más grande. Por esta razón el experimento se llevó acabo con la linterna y el cuadro de papel perfectamente alineados.

10 10 Otras dos cuestiones de interés, serian Qué pasaría si no se midiera un cuadro, sino un circulo? Y Cómo afectaría los resultandos del experimento si la linterna tuviese un diámetro mayor a los lados del cuadrado?. La segunda pregunta se refiera a lo previamente mencionado, sobre la penumbra, en cuyo caso los bordes de la sombra pierden nitidez, porque la fuente de luz es tan grande que las ondas de luz llegan desde todos los ángulos y logran iluminar parcialmente el borde de la sombra. Para darle más peso a la exploración, y demostrar que es útil su realización, mencionare unas cuantas ideas, en las que se pudiesen usar la ecuación resultante del experimento. Se podría medir con ayuda de la formula el área de sombra parcial que creara un la luna eclipse solar en un eclipse solar, teniendo de antemano la distancia al sol y a la luna. Eso se utilizaría en el campo de la meteorología y/o en actividades que necesiten la confirmación luz solar para su desarrollo (lugares en donde usen energía solar). Otro uso podría ser un sensor, que con una superficie de reflejo (en donde se muestra la sombra) previamente establecida, pueda medir la distancia desde su punto de partida hasta un objeto solo con iluminarlo. El uso a mi juicio más interesante seria ser capaz de medir la distancia del sol a diferentes plantes, sea por el motivo que sea, si es solo por la adquisición del conocimiento o si se están llevando a cabo investigaciones de las condiciones de un planeta en busca de existencia de vida fuera de la Tierra. Para esto se debe mandar un dron 4 hacia ese planeta y esperar a el sol sea perpendicular a la superficie en la que se va a medir, el dron mide el área de la sombra y con ayuda de le ecuación se determina fácilmente la distancia al sol desde este planeta. Obviamente este ejercicio se podría mejorar, incluyendo pautas que referencien como se debería comportar la sombra debajo de cada ángulo, para que el dron solo tenga que medir el ángulo de iluminación, y no tenga que esperar a que el sol sea perpendicular. 4 El dron: Es un vehículo aéreo no tripulado, manejado a través de una computadora, que se encarga de tareas que no podría un humano debido a condiciones hostiles (espacio exterior).

11 11 Conclusión Al final de la exploración nos damos cuenta, que las hipótesis se confirmaron, se observó una disminución exponencial en el área de la sombra creada por un cuadro de 5x5 cm cuando la distancia entre él y la fuente de luz aumentabaque en este caso fue una linterna. Este comportamiento de los datos se graficaron con un modelo potencial cuya coeficiente de correlación fue de R² = 0,9958. Se concluyó en que la fórmula para este caso sería y = 5797,4x- 1,123. Además de eso se evaluaron las diferentes variantes que podría tomar exploración si se tenían en cuenta otros aspectos, como el ángulo de iluminación, el diámetro de la fuente de luz y la forma geométrica que generaba la sombra. También se mencionaron los diferentes usos que se le podían dar a esta exploración en campos como la meteorología, astrología y en la ciencia práctica. Bibliografía Cano, J. P. (s.f.). Educaplus. Obtenido de Cano, J. P. (s.f.). Educaplus. Obtenido de Ganslandt, R., & Hofmann, H. (1992). Como planificar con luz. Vieweg. Quimica web. (s.f.). Quimica web. Obtenido de