PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II 2º BACHILLERATO

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1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II 2º BACHILLERATO LEGANÉS

2 ÍNDICE OBJETIVOS:... 3 Contenidos... 4 Contenidos temporalizados... 6 UNIDAD 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss... 7 UNIDAD 2. Álgebra de matrices UNIDAD 3. Resolución de sistemas mediante determinantes UNIDAD 4. Programación lineal UNIDAD 5. Límites de funciones. Continuidad UNIDAD 6. Derivadas. Técnicas de derivación UNIDAD 7. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 8. Representación de funciones UNIDAD 9. Integrales UNIDAD 10. Azar y probabilidad UNIDAD 11. Las muestras estadísticas UNIDAD 12. Inferencia estadística. Estimación de la media UNIDAD 13. Inferencia estadística. Estimación de una proporción METODOLOGÍA DIDÁCTICA MATERIALES Y RECURSOS PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN CRITERIOS DE CALIFICACIÓN RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES PRUEBAS EXTRAORDINARIAS DE SEPTIEMBRE INFORMACIÓN PARA ALUMNOS Y FAMILIAS ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ADAPTACIONES CURRICULARES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES ACTIVIDADES PARA EL FOMENTO DE LA LECTURA EVALUACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y LA PRÁCTICA DOCENTE

3 OBJETIVOS: El área de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2º Bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que les permitan: 1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss, interpretar geométricamente sus soluciones para 2 y 3 incógnitas y aplicar estos conocimientos a la resolución de problemas algebraicos. 2. Conocer las matrices, sus operaciones y aplicaciones y utilizarlas para resolver problemas. 3. Conocer los determinantes y su cálculo y aplicarlos al manejo de las matrices (rango, inversa) y a la resolución de sistemas de ecuaciones (Rouché, Cramer). 4. Conocer los fines y métodos de la programación lineal y aplicarlos a la resolución de sencillos problemas con dos variables. 5. Revisar los conceptos y procedimientos ligados a los límites de funciones y ampliarlos con nuevas técnicas. 6. Profundizar en la continuidad de funciones con el teorema de Bolzano y las propiedades que del mismo se derivan. 7. Revisar el concepto y ampliar los métodos para el cálculo de las derivadas de funciones. 8. Aplicar las derivadas para obtener información sobre aspectos gráficos de las funciones (crecimiento, concavidad...) y para optimizar funciones. 9. Conocer el papel que desempeñan las herramientas básicas del análisis en la representación de funciones y dominar la representación sistemática de funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, con radicales, exponenciales 10. Conocer las integrales en su doble vertiente, primitivas e integral definida. Relacionarlas mediante el teorema fundamental del cálculo y dominar sencillos procedimientos para la obtención de primitivas y para calcular áreas. 11. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad «a posteriori» y utilizarlos para calcular probabilidades 12. Conocer el papel de las muestras, su tratamiento y el tipo de conclusiones que de ellas pueden obtenerse para la población. 13. Tomando como base la curva normal y el conocimiento teórico de la distribución de las medias muestrales, realizar inferencias estadísticas sobre el valor de la media de una población a partir de una muestra. 14. Tomando como base la distribución binomial y su aproximación a la curva normal, deducir la distribución de proporciones muestrales y, a partir de ella, inferir una proporción (o una probabilidad) en una población a partir de una muestra. 3

4 CONTENIDOS TEMPORALIZADOS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN, ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS CLAVE Contenidos Bloque 1. Álgebra 1. Las matrices como expresión de tablas de datos y grafos. Terminología y clasificación. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales. 2. Matrices cuadradas. Matriz inversa. 3. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos. 4. Determinantes de orden dos y tres. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y al cálculo de matrices inversas. 5. Regla de Cramer. 6. Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres ecuaciones e incógnitas y un parámetro. 7. Resolución de problemas con enunciados relativos a las ciencias sociales y a la economía que pueden resolverse mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres incógnitas. 8. Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. 9. Iniciación a la programación lineal bidimensional. Aplicación a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. 10. Interpretación de la solución obtenida. 11. Utilización de distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos, etcétera) como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices, sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. Bloque 2. Análisis 1. Límite de una función en un punto y en el infinito. Continuidad. 2. Estudio de la continuidad en funciones elementales y en funciones definidas a trozos. Determinación de asíntotas en funciones racionales. 3. Tasa de variación. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Recta tangente a una curva en un punto. Función derivada. 4. Problemas de aplicación de la derivada en las ciencias sociales y en la economía: Tasa de variación de la población, ritmo de crecimiento, coste marginal, etcétera. 5. Cálculo de derivadas de funciones elementales sencillas, que sean sumas, productos, cocientes y composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. 4

5 6. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales y globales de las funciones elementales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. 7. Estudio y representación gráfica de una función f polinómica, racional, raíz, exponencial o logarítmica sencilla, a partir de sus propiedades locales y globales obtenidas del estudio de f y de f. 8. El problema del área: La integral definida. Concepto de primitiva. 9. Regla de Barrow. Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Primitivas inmediatas, de funciones polinómicas, y de funciones que son derivadas de una función compuesta sencilla (salvo, quizá, un factor constante). 10. Aplicación de la integral definida en el cálculo de áreas planas. 11. Utilización de distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos) como apoyo en el análisis de las propiedades de funciones pertenecientes a las familias más conocidas y a los procedimientos de integración. Bloque 3. Probabilidad y estadística 1. Probabilidad. Asignación de probabilidades: Ley de Laplace, diagramas de árbol, etcétera. 2. Probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. 3. Consecuencias prácticas del Teorema central del límite, del teorema de aproximación de la binomial por la normal y de la Ley de los grandes números. 4. Muestreo. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. 5. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. 6. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. 7. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida. 5

6 Contenidos temporalizados PRIMER TRIMESTRE Unidad 1. S. de ecuaciones. Método de Gauss Unidad 2. Álgebra de matrices Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes Unidad 4. Programación lineal SEGUNDO TRIMESTRE Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas Unidad 8. Representación de funciones Unidad 9. Integrales TERCER TRIMESTRE Unidad 10. Azar y probabilidad Unidad 11. Las muestras estadísticas Unidad 12. Inferencia estadística. Estimación de la media Unidad 13. Inferencia estadística. Estimación de una proporción 6

7 UNIDAD 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss Temporalización: Segunda quincena de septiembre Contenidos 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Sistemas escalonados 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 7

8 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Sistemas de ecuaciones lineales - Sistemas equivalentes. - Transformaciones que mantienen la equivalencia. - Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado. - Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con 2 o 3 incógnitas según sea compatible o incompatible, determinado o indeterminado. Sistemas escalonados - Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado. Método de Gauss - Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss. Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro - Concepto de discusión de un sistema de ecuaciones. - Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas dependientes de un parámetro. Resolución de problemas mediante ecuaciones - Traducción a sistema de ecuaciones de un problema, resolución e interpretación de 1. Dominar los conceptos y la nomenclatura asociados a los sistemas de ecuaciones y sus soluciones (compatible, incompatible, determinado, indeterminado ), e interpretar geométricamente sistemas de 2 y 3 incógnitas. 2. Conocer y aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas de ecuaciones lineales. 3. Resolver problemas algebraicos mediante sistemas de ecuaciones Reconoce si un sistema es incompatible o compatible y, en este caso, si es determinado o indeterminado Interpreta geométricamente sistemas lineales de 2, 3 o 4 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Discute sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro por el método de Gauss Expresa algebraicamente un enunciado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelve e interpreta CAA, CMCT, CCL, CSYC CMCT, CCL, CSYC CAA, CMCT, CCL

9 la solución. la solución dentro del contexto del enunciado. 9

10 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Resolver problemas seleccionando los datos y las estrategias apropiadas. Comprender el sentido de los textos escritos y orales. Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Mostrar respeto hacia el patrimonio cultural mundial en sus distintas vertientes (artísticoliteraria, etnográfica, científico-técnica ), y hacia las personas que han contribuido a su desarrollo. Reconocer riqueza en la diversidad de opiniones e ideas. Contagiar entusiasmo por la tarea y tener confianza en las posibilidades de alcanzar objetivos. Planificar los recursos necesarios y los pasos que se han de realizar en el proceso de aprendizaje. - Integra los conocimientos previos sobre álgebra y resolución de problemas y los aplica para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales. - Identifica los datos y deduce la situación problemática planteada por el problema de la lectura del enunciado. - Realiza los ejercicios propuestos en formato digital para amplicar y consolidar conocimiento. - Identifica y aprecia las contribuciones históricas de las distintas civilizaciones al desarrollo del álgebra. - Tiene en cuenta las ideas de sus compañeros y compañeras y las considera para resolver ejercicios de distinta manera a la que había planteado inicialmente. - Asume la resolución de un problema como un reto personal y transmite su motivación a sus compañeros y compañeras por conseguir la solución. - Elabora un plan personal para abordar cada ejercicio o problema, y lo explica argumentadamente. 10

11 UNIDAD 2. Álgebra de matrices Temporalización: Primera quincena de octubre. Contenidos 1. Matrices 2. Operaciones con matrices 3. Matrices cuadradas 4. n-uplas de números reales 5. Rango de una matriz 11

12 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Matrices - Conceptos básicos: matriz fila, matriz columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular... Operaciones con matrices - Suma, producto por un número, producto. Propiedades. - Resolución de ecuaciones matriciales. Matrices cuadradas - Matriz unidad. - Matriz inversa de otra. - Obtención de la inversa de una matriz por el método de Gauss. n-uplas de números reales - Dependencia e independencia lineal. - Obtención de una n-upla combinación lineal de otras. - Constatación de si un conjunto de n-uplas son L.D. o L.I. Rango de una matriz - Obtención del rango de una matriz por observación de sus elementos (en casos evidentes). - Cálculo del rango de una matriz por el método de 1. Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y sus propiedades. 2. Conocer el significado de rango de una matriz y calcularlo mediante el método de Gauss Realiza operaciones combinadas con matrices (elementales) Calcula la inversa de una matriz por el método de Gauss Resuelve ecuaciones matriciales Calcula el rango de una matriz numérica Calcula el rango de una matriz que depende de un parámetro Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o de sus CCL, CAA, CMCT, SIEP CAA, CMCT, SIEP, CD 12

13 Gauss. columnas. 3. Resolver problemas algebraicos mediante matrices y sus operaciones Expresa un enunciado mediante una relación matricial y, en ese caso, lo resuelve e interpreta la solución dentro del contexto del enunciado. COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS CCL, CAA, CMCT, SIEP Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Expresarse con propiedad en el lenguaje matemático. Comprender el sentido de los textos escritos y orales. Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Elaborar trabajos y presentaciones con sentido estético. Mostrar disponibilidad para la participación activa en ámbitos de participación establecidos. Ser constante en el trabajo, superando las dificultades. Generar estrategias para aprender en distintos contextos de aprendizaje. - Integra y utiliza con precisión nuevos términos matemáticos. - Sigue de manera autónoma y comprende los pasos de los ejercicios guiados de aplicación de conceptos nuevos para él. - Emplea los recursos digitales facilitados o busca otros por iniciativa propia, para facilitar la comprensión de nuevos contenidos. - Cuida la presentación estética y el orden en la realización de ejercicios. - Muestra interés por la unidad, participa de manera voluntaria y realiza preguntas de aclaración o profundización. - Se muestra perseverante en la realización de los ejercicios del álgebra de matrices. - Desarrolla estrategias personales para abordar temas o contenidos novedosos. 13

14 UNIDAD 3. Resolución de sistemas mediante determinantes Temporalización: Segunda quincena de octubre. Contenidos 1. Determinantes de órdenes dos y tres 2. Determinantes de orden cuatro 3. Rango de una matriz mediante determinantes 4. Teorema de Rouché 5. Regla de Cramer 6. Sistemas homogéneos 7. Discusión de sistemas 8. Cálculo de la inversa de una matriz 14

15 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Determinantes de órdenes dos y tres - Determinantes de orden dos y de orden tres. Propiedades. - Cálculo de determinantes de orden tres por la regla de Sarrus. Determinantes de orden cuatro - Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Propiedades. - Desarrollo de un determinante de orden cuatro por los elementos de una línea. Rango de una matriz mediante determinantes - El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos. - Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores. Teorema de Rouché - Aplicación del teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones. 1. Conocer los determinantes, su cálculo y su aplicación a la obtención del rango de una matriz. 2. Calcular la inversa de una matriz mediante determinantes. Aplicarlo a la resolución de ecuaciones matriciales. 3. Conocer el teorema de Rouché y la regla de Cramer y utilizarlos para 1.1. Calcula determinantes de órdenes 2 2 y Reconoce las propiedades que se utilizan en igualdades entre determinantes (casos sencillos) Calcula el rango de una matriz Discute el rango de una matriz dependiente de un parámetro Reconoce la existencia o no de la inversa de una matriz y la calcula en su caso Expresa matricialmente un sistema de ecuaciones y, si es posible, lo resuelve hallando la inversa de la matriz de los coeficientes Aplica el teorema de Rouché para dilucidar cómo es un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos. CCL, CAA, CMCT, SIEP. SIEP, CAA, CMCT CAA, CCL, SIEP, CD 15

16 Regla de Cramer - Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas determinados. - Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas indeterminados. Sistemas homogéneos - Resolución de sistemas homogéneos. Discusión de sistemas - Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y resolución de sistemas dependientes de un parámetro. Cálculo de la inversa de una matriz - Expresión de la inversa de una matriz a partir de los adjuntos de sus elementos. Cálculo. la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones Aplica la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales con solución única Estudia y resuelve, en su caso, un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro. 16

17 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Expresarse con propiedad en el lenguaje matemático. Expresarse oralmente con corrección, adecuación y coherencia. Aplicar criterios éticos en el uso de las tecnologías. Apreciar los valores culturales del patrimonio natural y de la evolución del pensamiento científico. Evidenciar preocupación por los más desfavorecidos y respeto a los distintos ritmos y potencialidades. Dirimir la necesidad de ayuda en función de la dificultad de la tarea. Gestionar los recursos y las motivaciones personales en favor del aprendizaje. - Escribe matrices y determinandes de manera correcta y distingue con claridad su nomenclatura. - Explica con precisión los pasos realizados para resolver un sistema. - Hace uso de los recursos digitales (calculadora, web ) con criterio y poniéndolos al servicio del aprendizaje. - Identifica las aportaciones históricas del uso de determinantes en la resolución de sistemas lineales. - Respeta los ritmos de aprendizaje ajenos y trabajo en el aula. - Intenta resolver las dificultades o dudas que surgen en la realización de los ejercicios de manera autónoma. - Emplea sus motivaciones personales para afrontar las tareas complejas con actitud positiva. 17

18 UNIDAD 4. Programación lineal Temporalización: Primera quincena de noviembre. Contenidos 1. Elementos básicos 2. Representación gráfica de un problema de programación lineal 3. Álgebra y programación lineal 4. Traducción al lenguaje algebraico de enunciados susceptibles de ser interpretados como problemas de programación lineal y su resolución. 18

19 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Elementos básicos - Función objetivo. - Definición de restricciones. - Región de validez. Representación gráfica de un problema de programación lineal - Representación gráfica de las restricciones mediante semiplanos. - Representación gráfica del recinto de validez mediante intersección de semiplanos. - Situación de la función objetivo sobre el recinto de validez para encontrar la solución óptima. Álgebra y programación lineal - Traducción al lenguaje algebraico de enunciados susceptibles de ser interpretados como problemas de programación lineal y su resolución. 1. Dados un sistema de inecuaciones lineales y una función objetivo, G, representar el recinto de soluciones factibles y optimizar G. 2. Resolver problemas de programación lineal dados mediante un enunciado, enmarcando la solución dentro de este Representa el semiplano de soluciones de una inecuación lineal o identifica la inecuación que corresponde a un semiplano A partir de un sistema de inecuaciones, construye el recinto de soluciones y las interpreta como tales Resuelve un problema de programación lineal con dos incógnitas descrito de forma meramente algebraica Resuelve problemas de programación lineal dados mediante un enunciado sencillo Resuelve problemas de programación lineal dados mediante un enunciado algo complejo. CEC, CCL, CAA, SEIP, CMCT CD, CMCT, CCL, CAA 19

20 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Aplicar estrategias de resolución de problemas a situaciones de la vida cotidiana. Comprender el sentido de los textos escritos y orales. Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Mostrar respeto hacia el patrimonio cultural mundial en sus distintas vertientes (artísticoliteraria, etnográfica, científico-técnica ), y hacia las personas que han contribuido a su desarrollo. Desarrollar la capacidad de diálogo con los demás en situaciones de convivencia y trabajo y para la resolución de conflictos. Optimizar recursos personales apoyándose en las fortaleas propias. Seguir los pasos establecidos y tomar decisiones sobre los pasos siguientes en función de los resultados intermedios. - Contextualiza el aprendizaje del tema en situaciones reales, encuentra ejemplos y aplicaciones cercanos. - Identifica los datos relevantes del problema y expresa con sus propias palabras la situación problemática. - Refuerza y consolida el aprendizaje con herramientas digitales. - Identifica aplicaciones reales y aportaciones a la vida cotidicana de la programación lineal. - Muestra una actitud dialogante y abierta ante ideas diferentes para resolver los problemas planteados. - Identifica y pone en juego de manera eficaz sus fortalezas en el contexto de la resolución de problemas. - Sigue los pasos establecidos en el planteamiento de un problema y evalúa la coherencia y aportación de cada paso, adaptando el método de manera pertinente conforme a cada situación. 20

21 UNIDAD 5. Límites de funciones. Continuidad Temporalización: Segunda quincena de noviembre. Contenidos 1. Límite de una función 2. Expresiones infinitas 3. Cálculo de límites 4. Continuidad. Discontinuidades 21

22 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Límite de una función - Límite de una función cuando x, x o x a. Representación gráfica. - Límites laterales. - Operaciones con límites finitos. Expresiones infinitas - Infinitos del mismo orden. - Infinito de orden superior a otro. - Operaciones con expresiones infinitas. Cálculo de límites - Cálculo de límites inmediatos (operaciones con límites finitos evidentes o comparación de infinitos de distinto orden). - Indeterminación. Expresiones indeterminadas. - Cálculo de límites cuando x o x : Cocientes de polinomios o de otras expresiones infinitas. Diferencias de expresiones infinitas. Potencias. - Cálculo de límites cuando x a, 1. Comprender el concepto de límite en sus distintas versiones de modo que se asocie a cada uno de ellos una representación gráfica adecuada. 2. Calcular límites de diversos tipos a partir de la expresión analítica de la función Representa gráficamente límites descritos analíticamente Representa analíticamente límites de funciones dadas gráficamente Calcula límites inmediatos que solo requieren conocer los resultados operativos y comparar infinitos Calcula límites (x o x ) de cocientes, de diferencias y de potencias Calcula límites (x c) de cocientes, de diferencias y de potencias distinguiendo, si el caso lo exige, cuando x c + y cuando x c. CAA, CMCT, CEC CCL, CMCT, CAA, CSYC, SIEP 22

23 x a +, x a: Cocientes. Diferencias. Potencias sencillas. Continuidad. Discontinuidades - Continuidad en un punto. Causas de discontinuidad. - Continuidad en un intervalo. 3. Conocer el concepto de continuidad en un punto, relacionándolo con la idea de límite, e identificar la causa de la discontinuidad. Extender el concepto a la continuidad en un intervalo Reconoce si una función es continua en un punto o, si no lo es, la causa de la discontinuidad Determina el valor de un parámetro para que una función definida «a trozos» sea continua en el «punto de empalme». CMCT, CD, CAA, CSYC, SIEP 23

24 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Resolver problemas seleccionando los datos y las estrategias apropiadas. Comprender el sentido de los textos escritos y orales. Seleccionar el uso de las distintas fuentes según su fiabilidad. Elaborar trabajos y presentaciones con sentido estético. Valorar la interculturalidad como una fuente de riqueza personal y cultural. Tomar conciencia de los procesos de aprendizaje. Identificar potencialidades personales como aprendiz: estilos de aprendizaje, inteligencias múltiples, funciones ejecutivas - Aplicar con rigor las estrategias trabajadas en el aula para resolver los ejercicios planteados, seleccionando la más adecuada en cada momento con criterio. - Entiende las indicaciones y explicaciones orales en el cálculo de límites y estudio de continuidad y las aplica cuando corresponde. - Reflexiona sobre cuáles son sus fuentes de información y establece criterios propios para discernir su fiabilidad. - Cuida la presentación de los ejercicios en cuanto a limpieza y claridad, lo que facilita la comprensión de los contenidos trabajados en ellos. - Identificar las aportaciones de diversas culturas y de científicos en el desarrollo de la disciplina de análisis matemático. - Identifica las aportaciones para su aprendizaje que proponen los problemas guiados del tema. - Desarrolla y aplica estrategias para realizar un menor número de errores en el desarrollo de los ejercicios a la hora de calcular límites o estudiar la continuidad de una función. 24

25 UNIDAD 6. Derivadas. Técnicas de derivación Temporalización: Primera quincena de diciembre. Contenidos 1. Derivada de una función en un punto 2. Derivabilidad de las funciones definidas «a trozos» 3. Función derivada 4. Reglas de derivación 25

26 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Derivada de una función en un punto - Tasa de variación media. - Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales. - Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición. - Estudio de la derivabilidad de una función en un punto estudiando las derivadas laterales. Derivabilidad de las funciones definidas «a trozos» - Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos en el punto de empalme. - Obtención de su función derivada a partir de las derivadas laterales. Función derivada - Derivadas sucesivas. - Representación gráfica aproximada de la función derivada de otra dada por su gráfica. Reglas de derivación - Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos. 1. Dominar los conceptos asociados a la derivada de una función: derivada en un punto, derivadas laterales, función derivada Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra Asocia la gráfica de una función a la de su función derivada Halla la derivada de una función en un punto a partir de la definición (límite del cociente incremental) Estudia la derivabilidad de una función definida «a trozos», recurriendo a las derivadas laterales en el «punto de empalme» Halla la derivada de una función en la que intervienen potencias, productos y cocientes Halla la derivada de una función compuesta. CCL, CD, CMCT, CAA CCL, CD, CMCT, CAA 26

27 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Expresarse con propiedad en el lenguaje matemático. Respetar las normas de comunicación en cualquier contexto: turno de palabra, escucha atenta al interlocutor Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Elaborar trabajos y presentaciones con sentido estético. Evidenciar preocupación por los más desfavorecidos y respeto a los distintos ritmos y potencialidades. Ser constante en el trabajo, superando las dificultades. Generar estrategias para aprender en distintos contextos de aprendizaje. - Utiliza con precisión y corrección la nomenclatura y simbología matemática de las derivadas. - Respta las normas de comunicación en las interacciones con sus compañeros y compañeras en el aula (respeta el turno de palabra, se dirige con respeto al alumnado, el tono empleado es adecuado...). - Utiliza los recursos digitales para entrenar y afianzar el cálculo de derivadas. - Cuida el orden en sus ejercicios y lo valora. - Ayuda a sus compañeros y compañeras a resolver sus dificultades en el cálculo de derivadas, bien en la aplicación de fórmulas, bien en la simplificación algebraica de resultados. - Acepta el aprendizaje como un reto y es constante en su esfuerzo. - Elabora y aplica estrategias de creación propia para deducir y recordar las fórmulas de las funciones derivadas. 27

28 UNIDAD 7. Aplicaciones de las derivadas Temporalización: Segunda y tercera semanas de enero. Contenidos 1. Aplicaciones de la primera derivada 2. Aplicaciones de la segunda derivada 3. Optimización de funciones 28

29 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Aplicaciones de la primera derivada - Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos. - Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente (decreciente). - Obtención de máximos y mínimos relativos. Aplicaciones de la segunda derivada - Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa. - Obtención de puntos de inflexión. Optimización de funciones - Cálculo de los extremos de una función en un intervalo. - Optimización de funciones definidas mediante un enunciado. 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. 2. Conocer las propiedades que permiten estudiar crecimientos, decrecimientos, máximos y mínimos relativos, tipo de curvatura, etc., y saberlas aplicar en casos concretos. 3. Dominar las estrategias necesarias para optimizar una función Dada una función, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos Dada una función, sabe decidir si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, en un punto o en un intervalo, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión Dada una función mediante su expresión analítica o mediante un enunciado, encuentra en qué casos presenta un máximo o un mínimo. CAA, CMCT, CCL CAA, CCL, SIEP, CD CAA, CCL, SIEP, CD 29

30 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Aplicar métodos científicos rigurosos para mejorar la comprensión de la realidad circundante en distintos ámbitos (biológico, geológico, físico, químico, tecnológico, geográfico...). Expresarse oralmente con corrección, adecuación y coherencia. Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Apreciar la belleza de las expresiones artísticas y las manifestaciones de creatividad y gusto por la estética en el ámbito cotidiano. Reconocer riqueza en la diversidad de opiniones e ideas. Generar nuevas y divergentes posibilidades desde conocimientos previos de un tema. Evaluar la consecución de objetivos de aprendizaje. - Elabora hipótesis sobre la función después de un estudio analítico de la misma. - Describe con claridad las características de la función estudiada utilizando derivadas. - Se apoya en los recursos digitales facilitados o buscados por él mismo para profundizar en las aplicaciones de la derivada al estudio de una función. - Aprecia y disfruta la estética que presenta la resolución de problemas, como una argumentación lógica y una exposición de manera ordenada. - Acepta de buen grado otras opiniones o ideas sobre los problemas que está realizando e integra sus aportaciones en su método de trabajo. - Integra conocimientos previos en la resolución de ejercicios. - Realiza autoevaluaciones adaptadas a su nivel de conocimientos de manera crítica y constructiva. 30

31 UNIDAD 8. Representación de funciones Temporalización: Cuarta semana de enero y primera de febrero. Contenidos 1. Herramientas básicas para la construcción de curvas 2. Representación de funciones 31

32 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Herramientas básicas para la construcción de curvas - Dominio de definición, simetrías, periodicidad. - Ramas infinitas: asíntotas y ramas parabólicas. - Puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes... Representación de funciones - Representación de funciones polinómicas. - Representación de funciones racionales. - Representación de otros tipos de funciones. 1. Conocer el papel que desempeñan las herramientas básicas del análisis (límites, derivadas...) en la representación de funciones y dominar la representación sistemática de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, trigonométricas 1.1. Representa funciones polinómicas Representa funciones racionales Representa funciones trigonométricas Representa funciones exponenciales Representa otros tipos de funciones. CCL, CMCT, CAA, CSYC. 32

33 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Comprender e interpretar la información presentada en formato gráfico. Utilizar el vocabulario adecuado, las estructuras lingüísticas y las normas ortográficas y gramaticales para elaborar textos escritos y orales. Aplicar criterios éticos en el uso de las tecnologías. Apreciar los valores culturales del patrimonio natural y de la evolución del pensamiento científico. Concebir una escala de valores propia y actuar conforme a ella. Dirimir la necesidad de ayuda en función de la dificultad de la tarea. Dirimir la necesidad de ayuda en función de la dificultad de la tarea. - Describe con precisión las características de una función representada y aplica este conocimiento en el proceso inverso para su representación. - Expresa con corrección lingüística y claridad cada paso realizado en el estudio de una función para su representación y describe el proceso con su propio lenguaje. - Utiliza las correcciones de las autoevaluaciones y los ejercicios en formato digital para realizar una evaluación crítica de sus aprendizajes. - Aprecia la evolución de las matemáticas de representación de funciones y el impacto que ello ha tenido en el desarrollo de otras disciplinas. - Demuestra tener un hábito de trabajo, entrega sus tareas, realiza las actividades encomendadas, mostrando sentido de responsabilidad y no por obligación. - Identifica con antelación las necesidades de recursos y apoyos que va a necesitar para realizar los ejercicios propuestos. - Solicita ayuda a sus compañeros y compañeras o al profesorado solo después de intentar resolver las dificultades por sí mismo, consultar el texto, buscar información 33

34 UNIDAD 9. Integrales Temporalización: Segunda y tercera semanas de febrero. Contenidos 1. Primitiva de una función 2. Área bajo una curva 3. Teorema fundamental del cálculo 4. Regla de Barrow 5. Área encerrada por una curva 34

35 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Primitiva de una función - Cálculo de primitivas de funciones elementales. - Cálculo de primitivas de funciones compuestas. Área bajo una curva - Relación analítica entre la función y el área bajo la curva. - Identificación de la magnitud que representa el área bajo la curva de una función concreta. (Por ejemplo: bajo una función v-t, el área significa v t, es decir, espacio recorrido.) Teorema fundamental del cálculo - Dada la gráfica de una función y f (x), elegir correctamente, entre varias, la gráfica de y F (x), siendo F x x f x dx. - Construcción aproximada de la a x gráfica de f x dx a a partir de la gráfica de 1. Conocer el concepto y la nomenclatura de las primitivas (integrales indefinidas) y dominar su obtención (para funciones elementales y algunas funciones compuestas). 2. Conocer el proceso de integración y su relación con el área bajo una curva. 3. Dominar el cálculo de áreas comprendidas entre dos curvas y el eje X en un intervalo Halla la primitiva (integral indefinida) de una función elemental Halla la primitiva de una función en la que deba realizar una sustitución sencilla Asocia una integral definida al área de un recinto sencillo Conoce la regla de Barrow y la aplica al cálculo de las integrales definidas Halla el área del recinto limitado por una curva y el eje X en un intervalo Halla el área comprendida entre dos curvas. CAA, CCL, CMCT, CEC CAA, CCL, SIEP, CMCT, CD CD, CAA, CEC, CSYC, SIEP

36 y f (x). Regla de Barrow - Aplicación de la regla de Barrow para el cálculo automático de integrales definidas. Área encerrada por una curva - El signo de la integral. Diferencia entre integral y área encerrada por la curva. - Cálculo del área encerrada entre una curva, el eje X y dos abscisas. - Cálculo del área encerrada entre dos curvas. 36

37 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Competencia para aprender a aprender Expresarse con propiedad en el lenguaje matemático. Expresarse oralmente con corrección, adecuación y coherencia. Manejar herramientas digitales para la construcción de conocimiento. Elaborar trabajos y presentaciones con sentido estético. Reconocer riqueza en la diversidad de opiniones e ideas. Ser constante en el trabajo, superando las dificultades. Desarrollar estrategias que favorezcan la comprensión rigurosa de los contenidos. - Emplea la simbología matemática de la unidad con precisión, aplicando conocimientos previos y nuevos sobre el tema. - Explica los pasos realizados en la resolución de ejercicios de cálculo de integrales o resolución de problemas de áreas con precisión y coherencia. - Utiliza los recursos digitales a su disposición para entrenar las estrategias de integración de funciones. - Cuida el orden y la estética en la realización de los ejercicios (sitúa los símbolos de integración a la altura adecuada, escribe con claridad ). - Respeta y aprecia diversas maneras de abordar los ejercicios propuestos y comparte sus ideas. - Persiste en el cálculo de integrales superando bloqueos y dificultades y no abandona el ejercicio sin intentar otros caminos para la resolución. - Elabora estrategias personales para la resolución de integrales y las expone razonadamente. 37

38 UNIDAD 10. Azar y probabilidad Temporalización: Cuarta semana de febrero y primera de marzo. Contenidos 1. Sucesos 2. Ley de los grandes números 3. Ley de Laplace 4. Probabilidad condicionada 5. Fórmula de la probabilidad total 6. Fórmula de Bayes 7. Tablas de contingencia 8. Diagrama en árbol 38

39 CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Sucesos - Operaciones y propiedades. - Reconocimiento y obtención de sucesos complementarios incompatibles, unión de sucesos, intersección de sucesos... - Propiedades de las operaciones con sucesos. Leyes de Morgan. Ley de los grandes números - Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso. - Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números. - Propiedades de la probabilidad. - Justificación de las propiedades de la probabilidad. Ley de Laplace - Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de probabilidades sencillas. - Reconocimiento de experiencias en las que no se puede aplicar la ley de Laplace. Probabilidad condicionada - Dependencia e independencia de dos sucesos. - Cálculo de probabilidades condicionadas. 1. Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesos y la probabilidad asociada a ellos así como sus operaciones y propiedades. 2. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y 1.1. Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos. CCL, CAA, CMCT, CD CCL, CAA, CMCT, CD 39

40 Fórmula de la probabilidad total - Cálculo de probabilidades totales. Fórmula de Bayes - Cálculo de probabilidades «a posteriori». Tablas de contingencia - Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos: tablas de contingencia. - Manejo e interpretación de las tablas de contingencia para plantear y resolver algunos tipos de problemas de probabilidad. Diagrama en árbol - Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos. - Utilización del diagrama en árbol para describir el proceso de resolución de problemas con experiencias compuestas. Cálculo de probabilidades totales y probabilidades «a posteriori». probabilidad «a posteriori» y utilizarlos para calcular probabilidades Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia Calcula probabilidades totales o «a posteriori» utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes. 40

41 COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia en comunicación lingüística Competencia digital Conciencia y expresiones culturales Competencias sociales y cívicas Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Manejar los conocimientos sobre ciencia y tecnología para solucionar problemas, comprender lo que ocurre a nuestro alrededor y responder preguntas. Comprender el sentido de los textos escritos y orales. Aplicar criterios éticos en el uso de las tecnologías. Mostrar respeto hacia el patrimonio cultural mundial en sus distintas vertientes (artístico-literaria, etnográfica, científicotécnica ), y hacia las personas que han contribuido a su desarrollo. Evidenciar preocupación por los más desfavorecidos y respeto a los distintos ritmos y potencialidades. Asumir riesgos en el desarrollo de las tareas o los proyectos. - Define de manera crítica y argumentada su visión personal sobre el azar y el cálculo de probabilidades aplicado a contextos reales, pone ejemplos y da razones para apoyar sus argumentos. - Reformula los enunciados de los problemas con sus propias palabras mostrando comprenderlos. - Muestra tener criterio para el uso adecuado de las herramientas tecnológicas al servicio de la resolución de problemas de probabilidad. - Conoce los autores más relevantes en la historia del cálculo de probabilidades, sus aportaciones y motivaciones para trabajar esta disciplina. - Muestra una actitud respetuosa ante los distintos ritmos de aprendizaje y trabajo que se dan en la clase. - Afronta los problemas de probabilidad como un reto asumiendo riesgos a la hora de inicar los procesos de resolución, utilizando estrategias divergentes o ideas propias. 41