2. TEORÍA DE LA DEMANDA (D)

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1 2. TEORÍA DE LA DEMANDA (D) SECCIÓN 1: EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio D.1 Siendo la función de utilidad de un consumidor en un universo de dos bienes, Xy Y U = X'/2Y't Defina y derive matemáticamente: La utilidad marginal de ambos bienes (UMg). La tasa marginal de sustitución (THSxy) Defina el concepto de curva de indiferencia y derive la ecuación de las mismas para los siguientes niveles de utilidad : U,= 100, UZ = 200 yu= Si los precios de los bienesxy Yy el ingreso monetario total del consumidor son, respectivamente, P = $3, P = $2 e 1T= $600, defina, derive matemáticamente y grafique la recta de presupuesto (o restricción presupuestaria) del consumidor correspondiente Señale y obtenga las condiciones de equilibrio del consumidor. Cuál será la cantidad consumida de Xy de Y, así como la utilidad máxima obtenida por el consumidor para esos precios e ingreso? Grafique sus resultados Obtenga otras dos combinaciones de Xy Yque den la misma utilidad que la resultante en la pregunta 1.4. Calcule los ingresos necesarios para alcanzar tales canastas de bienes a los precios dados Suponiendo que el precio del bien Xdisminuye a P = $1, defina, calcule matemáticamente y grafique el efecto total, ingreso y sustitución. Qué tipo de bien es X? 23

2 24 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez Solución: ejercicio D Utilidad marginal, 'Mg, es la utilidad o satisfacción que le brinda al consumidor el adquirir una unidad adicional de un bien (,Yo Y, en este caso). La utilidad marginal de un bien disminuye a medida que el consumidor adquiere mayor cantidad de él. Tasa marginal de sustitución de Ypor X, TMSxy, se define como el número de unidades del bien Yal que debe renunciar el consumidor a cambio de una unidad adicional del bien X, para mantener el mismo nivel de satisfacción. Utilidad marginal del bien X: UMgX = u= 1/2X-,Y" Utilidad. marginal del bien Y UMg, = =1, 2 XI/2y-1,12 8X La tasa marginal de sustitución es TMSxy = UMgx / UMg 1/2X--'/2Y'/2 _ y TMSxy = 1/2 X 1/2Y-"' X 1.2. Curva de indiferencia es el lugar geométrico de los puntos -combinaciones particulares o conjuntos de bienes- que rinden la misma utilidad (nivel de satisfacción) al consumidor, de modo tal que a éste le es indiferente la combinación particular que consume. U=100 U=200 U== =X12 y =X12 Y12 300=X12 Y "'- 10,000 = XY 40,000 = XY 90,000 = XY Y= 10,000 / X Y= 40,000 / X Y= 90,000 /x 1.3. La recta de presupuesto representa todas las canastas de bienes (Xy Y) posibles que el consumidor puede obtener gastando todo su ingreso, conocidos su ingreso y los precios de los bienes.

3 2. Teoría de la demanda (D) 25 FIGURA 1.1: RECTA DE PRESUPUESTO X IT=P X+P y x y Y=1/PIT-P/PX y x v Y= (1 / 2) * (3 / 2) Y= X 1.4. Las dos condiciones del equilibrio del consumidor son: 1a. TMSxy = UMgx / UMgy = Px / Py 2a. Las curvas de indiferencia deben ser convexas al origen. Como para este caso TMSxy = Y/ X, entonces, yp = XP y x Nota: en el presente texto el símbolo de multiplicación es *.

4 26 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez Al sustituir esta relación en la ecuación de presupuesto IT= XP + YP, obtenemos: por un lado, la ecuación de la demanda del bien X: IT= XP +XP X 11 IT= XP + XP f x IT=2(XP) X=ITI(2P) y, al sustituir IT= $600 y P = 3, obtenemos X=600/(2*3) X= 100 y, por otro lado, la ecuación de la demanda del bien ),' IT= YP + YP 11 j IT=2(YP,) Y=I1(2P,) y, al sustituir IT= $600 y P, = 2, obtenemos Y= 600 / (2 * 2) = 150 Y= 150 Al sustituir las cantidades de los bienes Xy Yen la función de utilidad, podemos obtener su nivel: U= 100"2 * 1501/2 U= 10 * U=

5 2. Teoría de la demanda (D) 27 FIGURA 2.1: EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR X Dado que U= = X112 Y'/2 Primer ejemplo, si Y= 100, entonces, / 10 =X'/ = X X= 150 IT= 150 * * 2 = 650 Segundo ejemplo, si Y= 225, entonces, / 15 = X =X X= IT= * * 2 = Siendo, ahora, P = $1, P,= $2 e IT= $600, la ecuación de la nueva recta de presupuesto es IT= 2 Y+ X Y=IT/2-1 /2X Y= X Al sustituir los valores del ingreso y los precios en las ecuaciones de las demandas respectivas (véase respuesta 1.4 anterior), obtenemos las cantidades que corresponden al nuevo equilibrio del consumidor: X=IT/(2P )=600/2=300 Y=IT/(2P)= 600/(2*2)=150

6 28 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez y, al sustituir estas cantidades en la función de utilidad, obtenemos su nivel: U= = Definiciones : El efecto total, ET, es la variación de la cantidad consumida de un bien ante cambios del precio del mismo. El efecto sustitución, ES es la variación de la cantidad consumida del bien ante cambios del precio del mismo, pero manteniendo el nivel de ingreso real del consumidor, o sea, igual nivel de satisfacción. El efecto ingreso, EI, representa la variación de la cantidad consumida por un cambio del ingreso real del individuo. La variación que representa el efecto sustitución se obtiene desplazando la nueva recta de presupuesto paralelamente hasta ser i:angente con la curva de indiferencia inicial. Esto implica la obtención de otro equilibrio que corresponde a U= , P = 1 y P = 2. Dados los precios de los bienes, al sustituir la condición de equilibrio YP = XP en la ecuación del ingreso IT= XP. + YP obtenemos IT=XP +XP =2XP =2X x x x IT=YP+YP=2YP=4Y V P V 4Y=2X Y= 0.5 X O bien, X=2 Y Sustituyendo esta relación en la ecuación de la curva de indiferencia inicial, U= =A"' Y12, podemos obtener las cantidades respectivas de los bienes = T` * (0.5X)12 = X X= = (2 Y)12 * Y 12 = Y Y=

7 2. Teoría de la demanda (D) 29 Con la información obtenida podemos calcular el efecto total (ET), el efecto sustitución (ES) y el efecto ingreso (El) cuando el precio del bien X baja de $3 a $ 1: ET= (C -A) = = 200 ES= (B -A) = = El= (C - B) = = El bien Xes normal dado que el efecto ingreso es del mismo signo que el efecto sustitución, ambos inversos a la variación del precio FIGURA 3.1: LÍNEA DE PRECIO-CONSUMO Y LOS EFECTOS SUSTITUCIÓN, INGRESO Y TOTAL 86.6h A B C X Ejercicio: D.2 PARTE I: Siendo la función de utilidad de un consumidor en un universo de dos bienes, Xy Y U=X2y

8 30 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez Defina el concepto de recta presupuestaria, escriba su ecuación y grafíquela indicando su pendiente y la ecuación de las cantidades cuando cruza la ordenada y la abscisa. 2.I.2. Defina los conceptos de función de utilidad, curva de indiferencia, utilidad marginal de los bienes y tasa marginal de sustitución de Y por X Calcule la función de utilidad marginal de ambos bienes y la tasa marginal de sustitución de la función de utilidad dada Defina y obtenga la condición de la elección óptima (o equilibrio del consumidor) y obtenga la función de demanda de los dos bienes para la función dada. Suponiendo que, en una primera situación A, el ingreso del consumidor y los precios de los dos bienes son : IT= $ , p^ = $1.00, P. = $ I.5. Calcule la canasta óptima que maximiza la utilidad del consumidor. 2.I.,6. Grafique la elección óptima o el equilibrio del consumidor señalando la función de la recta de presupuesto y su pendiente Calcule cuál es el nivel de utilidad en que se encuentra la canasta óptima. Suponiendo que, en una situación posterior B, el precio del bien X P baja a la mitad y se mantienen constantes el precio del bien Y, P, y el ingreso del consumidor IT Calcule la canasta óptima que maximiza la utilidad del consumidor dada la nueva relación de precios Exprese matemáticamente y grafique la nueva recta presupuestaria y el punto de elección óptima del consumidor. 2.I.10. Calcule el nivel de utilidad en que se encuentra esta nueva canasta óptima Defina los conceptos de efecto total, efecto sustitución y efecto ingreso Calcule el efecto total, el efecto renta y el efecto sustitución que resultan al cambiar de la situación A a la situación B. Grafique los resultados Explique qué tipo de bien es X. PARTE II: Siendo la ecuación de la curva de la demanda individual del consumidor 0' = X= P X Deduzca la curva inversa de la demanda.

9 2. Teoría de la demanda (D) Considerando las situaciones A y B de la parte 1, explique cómo se deduce la curva de la demanda mediante el método de las curvas de indiferencia y grafíquela Defina el concepto de excedente del consumidor y calcúlelo para las situaciones A y B De las situaciones A y B de la parte 1, explique y calcule la variación del excedente del consumidor cuando P. cambia de la situación,8 a la situación Siendo la ecuación de la curva de la demanda de mercado del bien X: Q', = X= P, 1) Defina el concepto de elasticidad -precio de la demanda y escriba su fórmula. 2) Calcule las elasticidades -precio de la demanda del consumidor del bien Xque corresponden a los precios de las situaciones A y B. 3) Calcule las elasticidades -precio de la demanda de mercado del bien X que corresponden a los precios de las situaciones A y B. Grafique la curva de la demanda. 4) Cómo es la demanda de este bien para el consumidor y para el mercado en ambas situaciones Defina los conceptos de ingreso total e ingreso marginal. Deduzca y grafique la curva de ingreso marginal que corresponde a la demanda de mercado. Solución: ejercicio D.2 PARTE 1: 211. La recta presupuestaria es el conjunto de cestas o canastas que cuestan exactamente el ingreso o el conjunto presupuestario del consumidor, IT. Su función es: Y = ITT - -- PxX Py Py

10 32 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez FIGURA 1.2: RECTA DE PRESUPUESTO 80 -^ i Y i IT/ Px X La función de utilidad es un instrumento para asignar un número a todas las cestas o canastas de consumo posible, de tal forma que las que se prefieren tengan un número más alto que las que no se prefieren. Curva de indiferencia: es el lugar geométrico de los puntos -particulares o conjuntos de bienes- que rinden la misma utilidad (nivel de satisfacción) al consumidor, de modo tal que a éste le es indiferente la combinación particular que consume. Utilidad marginal (UMg): la utilidad o satisfacción de una unidad adicional de un bien (Xo Y, en este caso). La relación o tasa marginal de sustitución de Ypor X(TMSxy) es el número de unidades de la mercancía Yal que debe renunciar el consumidor a cambio de una unidad adicional de la mercancía Xpara mantener el mismo nivel de satisfacción La función de utilidad marginal del bien Xes su = UMgx = 2XY 8

11 2. Teoría de la demanda (D) 33 La función de utilidad marginal del bien Yes 8 =UMgy=X2 La relación o tasa marginal de sustitución de la función de utilidad es TMSx _ 2XY 2Y La condición de la elección óptima o equilibrio del consumidor es que la tasa marginal de sustitución, TMSxy, debe ser igual a la pendiente de la recta presupuestaria o a la relación de intercambio, P / P, 2Y Px TMSxy = = Py X La función de demanda del bien Ves: X= a ^IT _ 2 IT a+b Px 3 Px y, la del bien Y, a IT 2 IT a+b Py 3Py donde a y b son los coeficientes asociados a los bienes X y Y de la función de utilidad. SITUACIÓN A: Dado que la renta y los precios de los dos bienes son: IT= $ , P=$1.00,P=$ 1.00: La canasta óptima que maximiza la utilidad del consumidor se obtiene de la siguiente manera: 1) De la condición de equilibrio, 2Y Px TMSxy =, obtenemos X = P y 2Y/X=1/1=1 2 Y= X

12 34 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez 2) Sustituyendo esta relación en la ecuación de presupuesto 1T= XP + YP, obtenemos las cantidades del bien Xy del bien Yque conforman esta canasta: 100=2 Y+Y=3 Y Y*=100/3== = X X* = Gráfica de la elección óptima o equilibrio del consumidor, EA: 120 FIGURA 2.2: EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR Y=(100I1)-(1I1 *x)=100-x Y Y* = U= 148, X* = x El nivel de utilidad en que se encuentra la canasta óptima es U=X2 y U= ( 33.33) U= 148, SITUACIÓN B: Dado que P, baja a la mitad, es decir, $0.5, y se mantienen constantes P = $1 y el ingreso del consumidor IT= $100.

13 2. Teoría de la demanda (D) La canasta óptima que maximiza la utilidad del consumidor se obtiene de la siguiente manera: 1) De la situación de equilibrio, TMSxy = 2Y _ Px,obtenemos X Py 2Y/X=0.5/1=0.5 4 Y= X 2) Sustituyendo la relación descrita en la ecuación de presupuesto Ir= X P + YP obtenemos las cantidades del bien X y del bien Y que conforman esta canasta: 100=4 Y(0.5)+Y=2 Y+Y=3 Y Y*= 100 / 3 = = (0.5 ) X X*= Exprese matemáticamente y grafique la nueva recta presupuestaria y el punto de elección óptimo del consumidor, EB: FIGURA 3.2: EQUILIBRIOS DEL CONSUMIDOR, EA Y Eo Y=(100/1)-(0.5/1 *X)= X 20-I o+ 0

14 36 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez El nivel de utilidad en que se encuentra esta nueva canasta óptima es U= ~y2 y U= (33.33) U= 593, El efecto total es la variación de la cantidad consumida de un bien ante cambios de precio del mismo. El efecto sustitución es la variación de la demanda provocada por una variación de la relación de intercambio entre los dos bienes, manteniendo constante el poder adquisitivo (A la Hichs: es la variación de la cantidad consumida del bien ante cambios de precio del mismo, pero manteniendo el nivel de ingreso real del consumidor, o sea, igual nivel de satisfacción). El efecto renta o ingreso es la variación de la demanda que experimenta un bien cuando variamos la renta, manteniendo fijo el precio de este bien (representa la variación de la cantidad consumida por un cambio en el ingreso real del individuo) El efecto total es la diferencia entre las cantidades de equilibrio del bien Xde las situaciones A y B.- ET= = Los efectos sustitución e ingreso se obtienen mediante el cálculo de la variación que representa el efecto sustitución. Esta variación se obtiene desplazando la recta de presupuesto de la situación.z? paralelamente hasta ser tangente con la curva de indiferencia de la situación A. Esto implica obtener un punto Cque representa otro conjunto de bienes X y Yen la curva de indiferencia de la situación A. La información que se tiene para esto es: 1) la función de utilidad, U= X 2 Y 2) el nivel de utilidad de la curva de indiferencia de la situación A U= 148, ; 3) la condición de equilibrio correspondiente a los precios P.= 0.5 y P,,- 1, 4Y= X, o bien, Y= 0,25X. Sustituyendo la condición de equilibrio en la ecuación de la curva de indiferencia que corresponde a la situación A, U= 148, =Al Y, se obtienen las cantidades respectivas de los bienes como sigue: 148, = X2 * (0.25X) = 0.25 X3

15 2. Teoría de la demanda (D) 37 X3 = 592, X= , = (4 Y)2 * Y= 16 Y3 Y3 = 9, Y= Con la información anterior podemos calcular los efectos sustitución e ingreso cuando el precio del bienxpasa de la situación A ala situación B. ES= (C - A) = = EI= (B - C) = = ET= (B -A) = ES + El = Para graficar los resultados tenemos, en primer lugar, que trazar la nueva recta de presupuesto. Para esto debemos obtener el nivel de ingreso que correspondería a esta situación y, a partir de éste, obtener las cantidades que corresponden al cruce de esta recta con la ordenada y la abscisa. El ingreso se obtiene sustituyendo las cantidades de los bienes y sus precios correspondientes en la ecuación de ingreso: 17-= (0.5) (1) = Las cantidades que corresponden a los puntos de cruce de la nueva recta de presupuesto con los ejes coordenados, Xy v, son IT/ P = / 0.5 = X 1,r/,P 11 = / 1 =

16 38 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez 120 FIGURA 4.2: LÍNEA DE PRECIO-CONSUMO Y LOS EFECTOS TOTALES, SUSTITUCIÓN E INGRESO 0! A C X B Xes un bien normal, puesto que el efecto sustitución y el efecto renta actúan en el mismo sentido. PARTE II: 2.H.1. Dado que la ecuación de la curva de la demanda individual de este consumidor (d-d') es Qd = X= P su inversa es P == X x 2.II.2. De acuerdo con el método de las curvas de indiferencia, la curva de la demanda de un bien se deduce por medio de la curva de precioconsumo, la cual resulta de unir los puntos de tangencia de las sucesivas rectas de presupuesto y de las sucesivas curvas de indiferencia cuando el precio del bien baja, manteniendo constantes los precios de los otros bienes y el ingreso del consumidor. En este caso los puntos

17 2. Teoría de la demanda (D) 39 son los que corresponde a EA, X= y P = 1, y EB, X= y P = 0.5 (véase gráfica anterior). Gráfica de la curva de la demanda del consumidor, d-d': 2.0 -t1 FIGURA 5.2: DEMANDA DEL CONSUMIDOR X Como se puede observar en la gráfica anterior, cuando X= , P = 1 y cuando X= , P = 0.5. Estos resultados se obtienen al sustituir X los valores -Y de X en la ecuación de la inversa de la demanda. 2.I1.3. El excedente de los consumidores es igual a la diferencia entre la cantidad de dinero que un consumidor paga efectivamente para adquirir una cierta cantidad de una mercancíaxy la cantidad que estaría dispuesto a pagar para no privarse de esa mercancía. Éste constituye así una medida de las ganancias individuales derivadas del comercio e indica la cantidad de dinero que sería necesario dar al consumidor para que renunciara a todo su consumo de un bien.

18 40 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez 1) Cuando X= y P = 1, el excedente del consumidor representa el área del triángulo ABC en la gráfica posterior y es igual a ( * 0.5) / 2 == ) Cuando X= y P = 0.5, el excedente del consumidor representa el área del triángulo DEB en la gráfica posterior y es igual a ( * 1 ) / 2 = La variación del excedente del consumidor cuando P cambia de la situación B a la situación A es igual a la diferencia entre el excedente del consumidor que corresponde a la situación B, es decir, , y el que corresponde a la situación,4, Variación del excedente = = 50. En la gráfica siguiente la variación del excedente del consumidor representa el área del trapecio CEB,4. Esta variación está compuesta de dos partes : 1) el área del rectángulo CEF,4, representada con la letra R, y 2) el área del triángulo,4fb, representado con la letra T. 2.0 FIGURA 6.2: VARIACIÓN DEL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR X d'

19 2. Teoría de la demanda (D) 41 R = (0.5) = mide la pérdida de excedente que se produce porque ahora está pagando más por las unidades que continúa consumiendo. T = (0.5) / 2 = mide la pérdida derivada de la reducción del consumo, o bien, el valor del consumo perdido del bien. 2.II.5. 1) La elasticidad-precio (puntual) de la demanda se define como el cambio proporcional de la cantidad demandada resultante de un cambio proporcional muy pequeño en el precio. Su fórmula es e =3QlQ-SQ*P SP/P SP Q Siendo que la curva de la demanda del consumidor (d-d') Q x = X= P y la curva de la demanda de mercado (D-D') Q _ X= 2, P son lineales, es decir, tiene la forma QX = bo - b1 P la fórmula de la elasticidad puntual de la demanda es: e=-b,p/q 2) Elasticidades de la demanda del consumidor: Situación,4: e = * (1 / ) = 2 Situación B. e = * (0.5 / ) = 0.5 ELÁSTICA INELÁSTICA 3) Para obtener las elasticidades de la demanda de mercado debemos calcular las cantidades del bien Xque se demandarían en ambas situaciones a los precios correspondientes : P = 1 y P = 0.5. Para la situación 4. X= 1, Para la situación B. X= 1, Situación A. e = * (1 / 1, ) = 0.5 INELÁSTICA Situación B. e = * (0.5 / 1, ) = 0.2 INELÁSTICA

20 42 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez FIGURA 7.2: ELASTICIDADES DE LAS DEMANDAS DEL CONSUMIDOR Y DEL MERCADO 3.5 Px ep=2> 1 (elástica) ' ep=0.5 <1 (inelástica) ' 0.5 (0.5) (1.0) ep = 0.5 < 1 (inelástica) -,! A o < 1 ( inelástica ) d g= 0 1, ,666.ED' ,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 X Curva de ingreso marginal (IMg) El ingreso total (I7) es el producto de la cantidad vendida por el precio: IT= P * X. Su ecuación la podemos obtener de la siguiente manera: como la ecuación de la demanda para P es P=bo/b1-1/b1X al hacer (b01 b1) = b*o y (1 / b1) = b*1, la podemos reescribir como P =b*o-b*1x x Al sustituir la ecuación anterior obtenemos IT= (b*o -b*1x)x= b*ox-b*1 X2 Para este caso : I7'= 3 X X2 El ingreso marginal (IMg) es el cambio del ingreso total proveniente de la venta de una unidad adicional de la mercancía : IMg = (P1 Q 1) - (P * Q1). Su ecuación se obtiene derivando la función de ingreso total con respecto a X.

21 2. Teoría dela demanda (D) 43 IMg=BIT/ BX= X De esta manera, la curva de ingreso marginal es una línea recta cuya ordenada (o abscisa) al origen es la misma que la de la curva de la demanda (véase su gráfica en la figura anterior). Ejercicio: D.3 Suponiendo que en una primera situación A.- 1) la función de la demanda de mercado de un bien Xes 7 = X= P 2) el precio de un bien Yes P = $20, y 3) el ingreso de los consumidores es IT= $ 10, Defina los conceptos de ingreso total e ingreso marginal de las empresas que venden este bien y, para esta función de demanda, escriba sus ecuaciones respectivas. En una primera gráfica, dibuje las curvas de la demanda y del ingreso marginal, señalando los diferentes valores y tipos de elasticidades de la demanda. En una segunda gráfica, dibuje la curva del ingreso total Para cada uno de los siguientes precios del bien X $17, $10 y $5, calcule la elasticidad puntual, el ingreso total y el ingreso marginal de las empresas mediante la ecuación que los relaciona Calcule la elasticidad arco de una caída en el precio del bien X, de $18 a $16 y de $6 a $ Cuál es la elasticidad correspondiente al ingreso total máximo? Cuál es la relación entre el ingreso total máximo y el ingreso marginal? 3.5. Calcule geométricamente la elasticidad puntual y el ingreso total correspondiente para el precio del bien X= $10 mediante el método de los ingresos marginales. Suponiendo que, en una segunda situación posterior B, el ingreso de los consumidores baja a $8,000 y como efecto de esto la cantidad demandada del bien Xcae de 400 X(situación A) a 200 X Defina el concepto de elasticidad ingreso de la demanda del bieni. Calcule esta elasticidad y señale qué tipo de bien es Xentre las situaciones,4 y B.

22 44 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez Suponiendo que, en una tercera situación posterior C el precio del bien Y sube de $20 a $25 y como efecto de esto la cantidad demandada del bien Xaumenta de 200 Xa 300 X Defina el concepto de elasticidad cruzada de la demanda del bien X. Calcule esta elasticidad y señale qué tipo de bien es A en relación con el bien Yentre las situaciones,9 y C. Solución: ejercicio D El ingreso total (I7) es el producto de la cantidad vendida por el precio: IT= P * X. Para esta demanda su ecuación es s IT=20X-0.01 X2 El ingreso marginal (IMg) es el cambio del ingreso total proveniente de la venta de una unidad adicional de la mercancía : IMg= (P * Q1) (P QX). Su ecuación se obtiene derivando la función de :ingreso total con respecto a X IMg=BIT/ 5X= X Gráficas de las curvas de la demanda, del ingreso total y del ingreso marginal 25 FIGURA 1.3: DEMANDA DE MERCADO E INGRESO MARGINAL ep = 00 (perfectamente elástica) Px ep=<1 (inelástica) 5 i \ ep = 0 (perfectamente ;IMg= 0 nlástica ,000', 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 Curva de ingreso marginal x

23 2. Teoría de la demanda (D) 45 12,000 FIGURA 2.3: CURVA DE INGRESO TOTAL ITmáximo 10,000 i ,000 4,000, ,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 X 3.2. Por un lado, la ecuación general de la elasticidad-preci- puntual es e = -(5X1 SP) (P / X). Como para esta función de demanda SX/ SP = -100, entonces e= 100 (P /X) Por otro lado, la fórmula que relaciona el ingreso marginal con la elasticidad-precio de la demanda es IMg=P* ((1-(1/e)) Si P = $17, entonces X= 300 e = -(-100) (17 / 300) = IT= $5,100 IMg=17*(( 1-(1/5.666))=$14 ELÁSTICA

24 46 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez Si P = $10, entonces X= 1,000 e = -(-100) (]0 / 1,000) = 1 IT= $ 10,000 IMg=10 *((1-(1/1))0 Si P = $5, entonces X= 1,500 e = -(-100) (.5 / 1,500) = IT= $7,500 -[Mg= 5 * (( 1 -- (1/0.333)) = -10 ELASTICIDAD UNITARIA INELÁSTICA 3.3. Elasticidad-precio arco = eparco = (M '/ 4P) * (P 1+P2) / (X+X) Si P = $18, entonces X= 200 Si P = $16, entonces X= 400 e (18_16) = -(-200 / 2) * ( ) / ( ) = ELÁSTICA Si P = $6, entonces X= 1,400 Si P = $4, entonces X= 1,600 e 200 / 2) * (6 + 4) / (1, ,600) = INELÁSTICA 3.4. Como el ingreso total máximo se encuentra cuando la pendiente de su curva es igual a cero, éste se puede calcular obteniendo, primero, la cantidad que corresponde al ingreso total máximo mediante la derivada de su ecuación e igualándola a cero y sustituyéndola en la ecuación del ingreso total. Esto es: SIT/ SX= X=0 S2IT/ 8X20.02 X= 20/0.02 = 1,000 17= (20 * 1,000) - (0. 01 * 1,0002) = 20,000-10,000 = $ 10,000 Dado que la fórmula del ingreso marginal es IMg= X, para X=1,000; IMg=20-(0.02 * 1,000)= 20-20=0 El ingreso total máximo corresponde al ingreso marginal igual a cero Gráficamente, la elasticidad puntual de una curva de demanda lineal está dada por el cociente de los segmentos, de la línea de la demanda, que se encuentran a la derecha y a la izquierda del punto en cuestión.

25 2. Teoría de la demanda (D) 47 Como para P = 10, el punto en cuestión esa de la figura más abajo, e = AD'/AD = 1 P dado que AD' = AD. O, lo que, por construcción, resulta en lo mismo: e = (2,000-1,000) / 1,000 = 1 o bien, e=10/(20-10)=1 25 FIGURA 3.3: DEMANDA DE MERCADO E INGRESO MARGINAL `,,- -C e^ - 1 (perfectamente elástica) 5{ 0 B D, ,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 5 Curva de ingreso marginal (IMg) X El ingreso total al precio, P =10, es IT= 10 * 1,000 = 10,000, que equivale al área OPAB de la figura anterior. Este mismo ingreso equivale a la suma de los ingresos marginales que representa el área ODB. IT= (OB * OD) / 2 = (1,000 * 20) / 2 = $10,000

26 48 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez 3.6. La elasticidad ingreso es definida como el cambio proporcional de la cantidad demandada resultante de un cambio proporcional del ingreso. Para su estimación se tendrá que utilizar la fórmula de la elasticidadarco ingreso de la demanda, puesto que los cambios no son pequeños: e,= (8XI 5I) * ((I,,+IB) l (XA+XB)). e,= (-200 / -2,000) * ((10, ,000) / ( )) = 0.1 * 30 = 3 Dado que la elasticidad ingreso es mayor que la unidad, Xes un bien suntuario La elasticidad cruzada de la demanda de un bien Xes definida como el cambio proporcional en la cantidad demandada de este bien como resultado de un cambio proporcional del precio de otro bien Y. Para estimarla se tendrá que utilizar la elasticidad -arco cruzada de la demanda, puesto que los cambios no son pequeños : et, = (5X/ 8P,) ((P B +P- 1) / (XI + Xc)). e,,,= (100 / 5) * (( ) / ( )) = 20 * 0.09 = 1.8 Dado que el signo de la elasticidad cruzada es positivo, el bien Xes sustituto del bien Y. SECCIÓN II: EJERCICIOS CUYAS SOLUCIONES SE PUEDEN VERIFICAR EN EL CAPÍTULO 8 Ejercicio D.4 Siendo la función de utilidad de un consumidor en un universo de dos bienes, Xy Y. U= X2Y Defina y derive matemáticamente: 1.1. La utilidad marginal de ambos bienes: UMgX y U.Vg, 1.2. La tasa marginal de sustitución: TMS.,

27 2. Teoría de la demanda (D) Derive matemáticamente las ecuaciones de las curvas de indiferencia para los niveles de utilidad : U = 1,000,000 y U, = 1,2 10, Si los precios de los bienes Xy Yson, respectivamente, P = $10 y $5, y el ingreso monetario del consumidor es 1= $500, derive matemáticamente la recta de presupuesto correspondiente Dados esos precios e ingreso, cuáles serán las cantidades demandadas de los bienes Xy Yque maximizan la utilidad del consumidor? y cuál es el nivel máximo de utilidad obtenido por el consumidor? 4.5. Suponiendo que el precio del bien Xdisminuye a Pr = $5, manteniéndose constantes el precio del bien v, P, y el ingreso del consumidor IT. a) derive matemáticamente la nueva recta de presupuesto, b) calcule las nuevas cantidades demandadas de los bienes Xy Yque maximizan la utilidad del consumidor, c) cuál es el nuevo nivel máximo de utilidad del consumidor? 4.6. Defina los conceptos de efecto total, efecto ingreso y efecto sustitución y calcúlelos para este cambio de P Grafique las curvas y los resultados de los puntos 4.3., 4.4., 4.5 y Deduzca y grafique la curva de la demanda del consumidor respecto al bien X. Si suponemos que esta demanda es la del mercado del bien X, deduzca y grafique la curva de ingreso marginal Ejercicio: D.5 Estime las elasticidades precio, ingreso y cruzada de la demanda para los bienes A y B entre las situaciones según lo indicado en el siguiente cuadro: Qa Pa Qb Pb l to 5.5 $ $15 $8,000 t 6.0 $ $15 $8, $9 5.1 $12 $8, $ $15 $3,000 t4 6.0 $9 3.5 $22 $8,000 t, 5.5 $ $15 $8,000 t, 5.5 $9 3.1 $15 $3,000 Recuerde que para la estimación estricta de las elasticidades: 1) es necesario que todos los valores no considerados permanezcan constantes y 2) cuando los cambios de los valores no son pequeños, se utilizan las fórmulas de las elasticidades-arco. A partir de los resultados obtenidos, indique qué tipo de bienes son A y A

28 50 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez SECCIÓN III: EJERCICIOS NO RESUELTOS Ejercicio D.6 Siendo la función de utilidad de un consumidor en un universo de dos bienes, Xy Y U=XY 6.1. Defina conceptualmente y derive matemáticamente: 1.1. La utilidad marginal de ambos bienes, UMgxy UMgy La tasa marginal de sustitución, TMSxy Defina el concepto de curva de indiferencia y derive la ecuación de las mismas para los niveles de utilidad U = 200, U2= 250 y U3= Si los precios de los bienes son P = $50 y P,= $20 y el ingreso monetario del consumidor es 1= $1,000, defina, derive matemáticamente y grafique la recta de presupuesto correspondiente Cuál será la cantidad consumida de X y de Y, así como la utilidad máxima obtenida por el consumidor para esos precios e ingreso? 6.5. Obtenga otras dos combinaciones de Xy Yque den la misma utilidad que la resultante en 1.4. y calcule los ingresos necesarios para alcanzar tales canastas de bienes a los precios dados Suponiendo que el precio del bien Xaumenta a P = 100, defina, calcule matemáticamente y grafique el efecto total, ingreso y sustitución. Qué tipo de bien es X.? 6.7. Deduzca la ecuación de la demanda del consumidor del bien X y grafíquela Calcule y analice las elasticidades precio (puntual) de la demanda del consumidor para los precios del bien X, P = $50 y P = $100. Ejercicio: D.7 Dados los bienes Xy Y, que son los únicos que comporten las canastas de alternativa de un consumidor, y para los que éste manifiesta sus preferencias según lo indicado en el siguiente cuadro: Situación P P Q, e Utilidad A $1.00 $ $ B $0.50 $ $ C $0.50 $ $

29 2. Teoría de la demanda (D) 51 donde: P = precio del bien X P, = precio del bien Y Qr = cantidad consumida del bien X Q = cantidad consumida del bien Y 1= Ingreso monetario nominal 7.1. Grafique las rectas de presupuesto y los puntos de equilibrio para las tres situaciones Cuando el precio de Y baja de $1 a $0.5, y el ingreso nominal permanece constante: 2.1. Defina conceptualmente los efectos sustitución, ingreso y total Cuáles son los efectos sustitución, ingreso y total del cambio del precio del bienxsobre la cantidad demandada del mismo? (Suponga que la situación C corresponde al ingreso nominal compensado que permite el mismo nivel de ingreso real inicial) Cuál es la elasticidad precio del bien X(calculada aplicando la fórmula de elasticidad arco)? Defina la elasticidad-precio de un bien. 7.3 Estando en la situación By disminuye el ingreso nominal a $300: 3.1. Cuál es el efecto de la variación en el ingreso? 3.2. Calcule la elasticidad ingreso del bien X (aplicando la fórmula de elasticidad arco). Defina la elasticidad ingreso de un bien Qué tipo de bien es X?