PROBLEMAS RESUELTOS ESTÁTICA

Transcripción

1 PBLEMAS ESUELS ESÁICA

2 PBLEMA Una varilla rígida de longitud L =.80 m y masa M = 6 kg está unida a una articulación (punto de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ángulos entre el cable, la varilla y la pared son = 60º y = 50º respectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla. a) Dibuje el diagrama de sólido libre para la varilla ( p). b) Calcular la tensión en el cable y las componentes rectangulares de la reacción en el punto ( p). M L m Y x X y 90 DSL L Mg mg Mg L sin 80 x mglsin80 Lsin80 0 x sin M m g sin 90 0 cos y y y x sin sin sin 90 Mg mg 0 sin sin cos M sin M mg m g M m g N; x 57.0 N; 50. y N

3 PBLEMA Un atleta de 60 kg y.70 m de estatura realiza el ejercicio de anillas denominado el Cristo, en el que mantiene su cuerpo inmóvil con los brazos extendidos orizontalmente según se muestra en la fotografía. El ángulo con la vertical de los cordones de los que cuelgan las anillas es = 0º (véase esquema ). Se pide: a) La tensión de los cordones que sujetan las anillas. b) Considerando cada brazo del atleta como una barra rígida orizontal sometida a las fuerzas indicadas en el esquema, calcular el valor de las componentes X y Y, el valor de la reacción y del ángulo. es el peso del brazo, aplicado en la mitad de su longitud. es la reacción en la articulación del ombro. X y Y son las componentes orizontal y vertical respectivamente de la reacción aplicada en la articulación del ombro. Esquema Y Esquema X Considere que la masa de cada brazo del atleta es 3% de la masa total, y que la longitud del brazo es igual al 35% de su estatura. Y a) Para mantenerse inmóvil en la posición indicada, el peso del atleta tiene que estar compensado por las tensiones de los cordones que sujetan las anillas. Véase el DSL a la dereca. (Nótese que estamos considerando como sistema a estudiar el cuerpo del atleta y en este DSL solo aparecen las fuerzas exteriores que actúan sobre él) X Equilibrio de fuerzas en el eje vertical (por simetría las dos tensiones son de igual magnitud) Mg Y cos Mg N cos cos0º Mg DSL del atleta 3

4 PBLEMA (Continuación) b) Cuando consideramos un brazo como sistema, planteamos el equilibrio estático de la barra rígida que lo representa teniendo en cuenta las fuerzas exteriores que actúan sobre dica barra. Aora esas fuerzas exteriores serán: la tensión del cordón que sujeta la anilla correspondiente, el peso del brazo, y la reacción ejercida por la articulación del ombro (es decir, la fuerza de reacción ejercida por el resto del cuerpo). Y 0º X Masa y longitud del brazo (indicaciones del enunciado) Equilibrio de fuerzas: Y X m 0.03 M kg L sin cos0º 0 cos sin0º m sin cos0º cos sin0º Peso del brazo mg 7.64 N cos0º tan sin0º cos0º º 98.5 sin0º X cos sin0º 98.5 sin0º 5.8 N Y sin cos0º cos0º 76.4 N X Y N 4

5 PBLEMA 3 Se desea determinar la posición del centro de gravedad de un paciente de 76 kg que se encuentra tendido en una camilla orizontal. Para ello medimos los pesos registrados por las dos balanzas mostradas en la figura (las dos balanzas están taradas a cero antes de que el paciente se coloque en posición). a) Dibujar el diagrama de sólido libre del sistema. b) Calcular a qué distancia de los pies del paciente se encuentra el centro de gravedad, si las lecturas de las dos balanzas son = N y = N. a) El peso del paciente está aplicado en su centro de gravedad. En cada uno de los puntos de apoyo situados en los extremos de la camilla ay fuerza de reacción debido al peso que tiene encima. Como las balanzas están taradas a cero, las lecturas y son iguales a las fuerzas de reacción debidas en cada extremo al peso del paciente ( y, respectivamente). La suma de ambas reacciones es igual al peso del paciente: N x d pies x0 x x m d pies m.70 m d.40 m x0 0.5m.70m x d pies d.40 m b) Para determinar la distancia pedida usaremos la ecuación de momentos tomando origen en el punto de aplicación de la fuerza de reacción. Llamamos x a la distancia asta el C.G. y escribimos la ecuación de momentos: d x M x d 0.05 m Llamando x 0 y a las distancias desde el origen que emos tomado asta la cabeza del paciente y a la estatura del mismo, respectivamente, puede verse en la figura que se cumple la relación: 5

6 PBLEMA 4 Una mesa de ospital que se emplea para servir las bandejas de comida a los pacientes consta de un cajón principal como soporte y un tablero desplegable de las dimensiones y masas indicadas en la figura. (a) Dibujar el diagrama de sólido libre del conjunto suponiendo que colocamos una bandeja de masa m kg bien centrada encima del tablero. Identifique y represente en su lugar todas las fuerzas que intervienen. (b) Si se colocase una bandeja de peso excesivo encima del tablero, la mesa podría volcar. Explicar razonadamente qué criterio deberemos adoptar para determinar la máxima masa posible a colocar sobre el tablero sin que la mesa vuelque, y determinar el valor de dica masa. Soporte8 kg ablero kg 40 cm 50 cm 30 cm Bandeja m kg Soporte m S 8 kg 0 m S g N Bandeja m kg m g m g odas las cotas en cm ablero m kg (a) Por la simetría del problema, los pesos del soporte m S g, del tablero m g y de la bandeja m g están aplicados sobre los ejes centrales de las dos partes de la mesa, véanse en el DSL sus posiciones y las distancias significativas. (La bandeja se dibuja separadamente por claridad en la parte superior, pero debe entenderse que está en contacto con el tablero). Esos tres pesos, dirigidos verticalmente acia abajo, an de estar compensados por las reacciones normales en los dos puntos de apoyo de la mesa (las ruedas, () y ()), que denominaremos N y N. Condición de equilibrio de fuerzas: m g m g m g N N 0 S N bservación importante: las reacciones normales N y N son diferentes, porque el peso total está distribuido de forma asimétrica. Cuanto mayor sea el peso de la bandeja, la reacción N se irá aciendo mayor y la reacción N se irá aciendo menor, porque el apoyo () soportará una fracción cada vez mayor del peso total. Así, a medida que el valor de m g se incremente, tanto mayor será la diferencia entre N y N. Como los valores de m, N y N no son independientes, tenemos que preguntarnos qué relación a de aber 6 entre ellos para que se produzca el vuelco de la mesa. Véase apartado siguiente.

7 PBLEMA 4 (continuación). Una mesa de ospital que se emplea para servir las bandejas de comida a los pacientes consta de un cajón principal como soporte y un tablero desplegable de las dimensiones y masas indicadas en la figura. (a) Dibujar el diagrama de sólido libre del conjunto suponiendo que colocamos una bandeja de masa m kg bien centrada encima del tablero. Identifique y represente en su lugar todas las fuerzas que intervienen. (b) Si se colocase una bandeja de peso excesivo encima del tablero, la mesa podría volcar. Explicar razonadamente qué criterio deberemos adoptar para determinar la máxima masa posible a colocar sobre el tablero sin que la mesa vuelque, y determinar el valor de dica masa. Soporte8 kg Bandeja m kg ablero kg 40 cm 50 cm 30 cm (b) Escribimos la ecuación de momentos tomando como origen el apoyo (): N 35 ms g 5 m Bandeja m kg N 5 5 m g 5 m g 5 5 m g S g 30 m g 30 0 Soporte m S 8 kg 0 m S g N N m g m g odas las cotas en cm ablero m kg Momento de N respecto a () = 0, pues N pasa por dico punto de apoyo. Cuando m m S m N se anula elación entre N y m: N ms g m g m g El mínimo valor posible para N es cero: cuando la masa m de la bandeja sea lo bastante grande, la reacción N se anulará. La masa m necesaria para que esto ocurra es: Si N 0 m g ms g m g m m S m La interpretación física es que cuando m es lo suficientemente grande para anular N, el peso del soporte, del tablero y de la bandeja gravita únicamente sobre el apoyo (), y es en ese momento cuando el conjunto está a punto de volcar, porque la suma de los momentos en sentido orario de los pesos de bandeja y tablero es igual al momento en sentido antiorario del soporte. Valor máximo de la masa de la bandeja: m 8 7 kg

8 PBLEMA 5 La figura muestra un brazo (masa m = 3.50 kg) sosteniendo una bola de masa M. Se indican las fuerzas que actúan y sus respectivos puntos de aplicación. Si el músculo deltoides, que se inserta formando un ángulo = 5.4º, puede soportar como máximo una tensión = 500 N, calcular cuál es el máximo valor de la masa M que puede sostenerse con el brazo extendido y cuál es el valor de la fuerza de reacción indicada en la figura (módulo y ángulo respecto a la orizontal). a a mg b Mg a 5 cm b 40 cm Equilibrio de momentos respecto al punto : M 0 De esta ecuación despejamos la masa máxima M correspondiente a la máxima tensión : a b Mg 0 a sin a mg a sin a mg sin5.4º M 3 kg a b g Equilibrios de fuerzas: Eje X Eje Y Y a a mg b Mg X 0 Y 0 X a 5cm b 40cm sin sin mgmg 0 cos cos 0 sin sin mgmg cos cos sin mgmg tan cos cos cos 46N.7º 8

9 PBLEMA 6 Una bailarina de 584 N de peso se pone de puntillas. El diagrama de las fuerzas que actúan sobre su pie se presenta en la figura adjunta. El vector 0 es la reacción normal del suelo sobre el pie, es la tensión ejercida por el tendón de Aquiles, y es la fuerza ejercida por los uesos de la pierna sobre el pie. Las líneas de acción de las tres fuerzas concurren en el punto. Considerando que el peso del cuerpo se reparte por igual entre ambos pies, ágase un diagrama de las tres fuerzas concurrentes en y determinar el valor de y de. 45º 75º 45º Como el peso del cuerpo se reparte equitativamente sobre ambos pies, la reacción normal será igual a la mitad del peso: 0 / 584 / 9 N 0 75º Y 0 45º 5º Equilibrio estático: suma de fuerzas igual a cero X X cos5º sin 45º 0 Y 0 sin5º cos 45º 0 cos5º cos 45º sin 45º cos 45º 0 0 sin 45º sin5º sin 45º cos 45ºsin 45º 0 sin5º sin 45º cos5º cos 45º 0 0 sin 45º 45º 0 cos5º sin5º 0 cos5º sin5º N cos5º cos5º 0 sin 45º sin 45º cos5º sin5º N 9

10 PBLEMA 7 Un accidentado requiere que se le aplique tracción en la pierna, lo cual se consigue mediante un sistema de poleas como el mostrado en la figura. (a) Dibujar el diagrama de fuerzas sobre la polea central, y para un ángulo = 60º, determinar qué peso ay que colgar para que la tracción sea de 50 N. (b) Si el ángulo fuese de 45º y se mantiene colgada la misma pesa del apartado anterior, cuál sería la tracción sobre la pierna? (a) Como la situación es estática (poleas en reposo, no giran) la tensión de la cuerda es la misma en todos los tramos. Las poleas únicamente sirven para cambiar de dirección. odas las poleas están en reposo, luego la suma de las fuerzas que actúan sobre cada una debe ser cero. Diagrama de fuerzas equisito del enunciado: polea central 50 N 50 N X X cos 0 50 cos / cos 0 50 N 50 N Y 60º X 60º (b) Mismo = 50 N, distinto ángulo = 45º, la nueva tracción es cos 50 cos 45º 50 N Diagrama de fuerzas 0

11 PBLEMA 8 Un atleta de 68 kg y 75 cm de estatura está aciendo flexiones sobre un suelo orizontal. Calcular las reacciones y (en las manos y en las punteras de las deportivas, respectivamente) cuando adopta la postura indicada en el diagrama, en la que el eje de su cuerpo forma un ángulo de 9º con la orizontal. 9º b cos9º cos9º a 5 b 75 9º a a 5 cos9º 08.7 cm b 75 cos9º 65.5 cm 9º Suma de fuerzas 0 5 cm 0 cm b a Ecuación de momentos b 5 0 a 0 0 a b N 47.8 kgf (kp) N 0. kgf (kp) Los valores de y así calculados corresponden a las reacciones sobre las dos manos y los dos pies; la reacción en cada mano y cada pie será la mitad de dicos valores.

12 PBLEMA 9 Un tambor de radio r que une simétricamente dos cilindros de radio lleva arrollado un ilo del cual se tira orizontalmente según se muestra en las figuras. El conjunto de tambor y cilindros está colocado sobre una plataforma plana y apoyado sobre un escalón de altura. El peso del conjunto es, y se supone que el ilo arrollado sobre el tambor no se desliza cuando se somete a tensión. Se pide: a) Calcule el ángulo que forma con la orizontal la fuerza que el escalón ace sobre el sólido. b) Determine el valor de la reacción normal de la plataforma sobre el sólido cuando la tensión del ilo es newton. c) Calcule qué tensión mínima ay que aplicar al ilo para que el sólido remonte el escalón. r Valores numéricos A B C D/E r (m) = 0,5 0,05 0,08 0,05 (m) = 0,30 0,0 0,0 0, (m) = 0,05 0,0 0,04 0,04 (kp) = 0,00 0,00 0,00 0,00 (kp) = 0,050 0,050 0,050 0,050

13 PBLEMA 9 (CNINUACIÓN) a) Calcule el ángulo que forma con la orizontal la fuerza que el escalón ace sobre el sólido. Se trata de un sistema plano de fuerzas concurrentes que proceden de tres direcciones distintas (la vertical, la orizontal y la dirección de la fuerza que el escalón aplica sobre el sólido). Por tanto, abrá equilibrio estático cuando las tres direcciones sean concurrentes: el punto común es la parte superior del tambor, y a partir de aí determinaremos la dirección de la fuerza aplicada por el escalón sobre el sólido. L y x sin cos N r Punto de concurrencia tan r L / L r cos r tan r tan r 3

14 PBLEMA 9 (CNINUACIÓN) b) Determine el valor de la reacción normal de la plataforma sobre el sólido cuando la tensión del ilo es newton. Y X 0 N 0 Y X N N tan N tan A B C D/E r (m) = 0,5 0,05 0,08 0,05 0,05 (m) = 0,30 0,0 0,0 0, 0,5 (m) = 0,05 0,0 0,04 0,04 0,06 (kp) = 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 (kp) = 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 Y X tan y x r a) b) c) (N) =,960,960,960,960,960 (N) = 0,490 0,490 0,490 0,490 0,490 θ (rad) =,778,690,057 0,968 0,86 θ (º) = 67,5 7,7 60,3 55,5 49,4 N (N) = 0,778 0,386,03,48,388 N (kp) = 0,079 0,039 0,3 0,7 0,4 min (N) = 0,83 0,60,0,349,680 min (kp) = 0,083 0,06 0,4 0,38 0,7 c) Calcule qué tensión mínima ay que aplicar al ilo para que el sólido remonte el escalón. N El sólido remonta cuando el módulo de la normal es nulo (en ese momento la componente vertical de la fuerza equilibra al peso) min tan 4

15 PBLEMA 0 Una pesa = 0.50 kp está colgada de una anilla A sujeta por un muelle AB y un cable AC. El muelle sin tensión tiene una longitud natural l 0 = 3 cm, mientras que cuando sujeta la anilla en la situación mostrada en la figura.a su longitud es l = 36 cm. El cable AC es inextensible y su longitud es d = 40 cm. La anilla se encuentra situada una altura = 0 cm por debajo de la línea orizontal BC. Se pide: a) Determinar la tensión del cable AC y la constante elástica del muelle (en N/m). b) Si la misma pesa se cuelga de la anilla según muestra la figura.b, abiendo reemplazado el cable AC por un muelle idéntico al AB de tal manera que la anilla está aora a una distancia = 5 cm por debajo de los puntos de fijación de ambos muelles cuál será aora la longitud de cada muelle y qué ángulo forman entre sí? C d l igura.a igura.b 5

16 PBLEMA 0 (CNINUACIÓN) Apartado a) Datos d, l, l,, 0 Y C d X l k Y Una vez obtenido el valor de, la constante elástica del muelle se determina de l l 0 sin sin d l sin sin 0, conocidos sin sin X cos cos 0 cos sin sin cos 0 k cos 0 sin l l cos Unidades sistema internacional A B C D A B C D (cm) = ,0 0,0 0,0 0,0 d (cm) = ,40 0,40 0,40 0,40 l (cm) = ,36 0,36 0,36 0,36 l 0 (cm) = ,3 0,3 0,3 0,3 (kp) = 0,50 0,40 0,30 0,0 4,90 3,9,94,96 θ (rad) = 0,536 0,536 0,536 0,536, d, l, l0, θ (º) = 30,00 30,00 30,00 30,00 θ (rad) = 0,5890 0,5890 0,5890 0,5890 θ (º) = 33,75 33,75 33,75 33,75 (N) = 4,73 3,79,84,89 k (N/m) = 8,3 94,6 7,0 47,3 (N) = 4,54 3,63,73,8 d l sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin 6

17 PBLEMA 0 (CNINUACIÓN) Apartado b) Datos, k, l0, Se pide l, Aora la fuerza en cada muelle es la misma, dada la simetría del problema. Sea dica fuerza. l l cos / / Ecuación del muelle Suma de fuerzas en el eje vertical Geometría del problema sin 90 - / k l l l 0 (**) cos / (*) l Sustituyendo las ecuaciones (*) y (**) en la suma de fuerzas en el eje vertical k l l0 0 l l l 0 k l l l k k l l l k k l l Puesto que cos / l k cos / k l cos 0 k k l0 A B C D Unidades sistema internacional ' (cm) (m) = A B C D ' (m) = 0,5 0,5 0,5 0,5, k, l0, l 0 (m) = 0,3 0,3 0,3 0,3 k (N/m) = 8,3 94,6 7,0 47,3 (N) = 4,90 3,9,94,96 l' (m) = 0,35 0,35 0,35 0,35 cos(f/) = 0,765 0,765 0,765 0,765 f (rad) =,5440,5440,5440,5440 f (º) =