3 Tercera. 3.1 Parte básica. Unidad Didáctica "DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS"

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1 143 3 Tercera Unidad Didáctica "DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS" 3.1 Parte básica

2 Variables aleatorias En cualquier experimento aleatorio tenemos resultados cualitativos o cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio matemático, a cada uno de estos resultados le hacemos corresponder un número real. Por ejemplo, el resultado de tomar un español al azar y medir su estatura es un número; el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número de hijos es un número; el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y observar si se cura o no, es un dato cualitativo, que puede convertirse en cuantitativo asignando un "1" al enfermo que se cura y un "0" al enfermo que no se cura. En realidad lo que estamos haciendo es asignar a cada suceso del espacio muestral un número, pero esta asignación no tiene por qué ser única. Pongamos un ejemplo: lanzamos dos dados al aire y a cada suceso elemental le podemos asignar la suma, el producto, etc., de los números que aparecen en las caras superiores. Al igual que los resultados de un fenómeno aleatorio no son predecibles, los resultados de una variable aleatoria tampoco lo son, pero podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado suceso. A veces puede ocurrir que los valores que toma la variable aleatoria son los mismos, pero no ocurre lo mismo con las probabilidades. Pongamos un ejemplo. Se dispone de dos fármacos A y B distintos para curar una misma enfermedad; los resultados de la variable aleatoria solamente pueden ser 1 ó 0 y uno de ellos puede curar el 20% de los casos y el otro el 70%. Para tener identificada una variable aleatoria no basta con indicar los valores que pueda tomar, hay que indicar también sus probabilidades. Una variable aleatoria X es toda función que toma diversos valores numéricos (dependientes del resultado de un fenómeno aleatorio) con distintas probabilidades.

3 145 Cuando la variable aleatoria toma un número finito o infinito numerable * de valores, diremos que es una "variable aleatoria discreta". Veamos ejemplos: En el caso del lanzamiento de un dado perfecto, la variable aleatoria X= "número que sale en la cara superior" puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidades P(X)={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. Si consideramos la variable aleatoria X= "número de varones en una familia de dos hijos", X={0, 1, 2} y P(X)={1/4, 1/2, 1/4}. (Observar el espacio muestral del experimento aleatorio). En general diremos, que una variable aleatoria discreta estará identificada si conocemos sus posibles valores X = {x 1,x 2,...,x n } y sus respectivas probabilidades P(X = x i ) = P i Observemos que la suma de las probabilidades es 1: = 1 i P i A toda regla que permita asociar a cada valor x i de la variable aleatoria su probabilidad P i, la llamaremos "función de probabilidad". Tal función de probabilidad puede venir dada por una tabla: X P(X) 1/4 1/2 1/4 o bien por una fórmula matemática. También podemos definir la variable aleatoria a través de la "función de distribución". F(X) = P(X x) * Un conjunto infinito A se dice que es numerable si se puede establecer una aplicación biyectiva f entre el conjunto de los naturales y A.

4 146 F(X) no es más que la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x. En el ejemplo anterior: F(0) = P(X 0) = P(X = 0) F(1) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) F(2) = P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) De un modo general, a toda tabla, gráfica o expresión matemática que indique los valores que puede tomar una variable aleatoria y las probabilidades con que los toma, se llamará "distribución de probabilidad de dicha variable aleatoria". El concepto de variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa Esperanza, varianza y desviación típica de una variable aleatoria Se llama esperanza de la variable aleatoria discreta X, al número: E X [ ] = x 1 p 1 + x 2 p x n p n x 1, x 2,..., x n son los valores de la variable aleatoria y p 1, p 2,..., p n las probabilidades respectivas. La esperanza de una variable aleatoria X también se representa por µ, y se llama media de la distribución. Por tanto, "esperanza de la variable aleatoria" y "media de la distribución" son expresiones equivalentes. n µ = p i x i = E X i=1 [ ] El conocimiento de la media de la distribución no es suficiente para caracterizar la distribución, ya que hay distribuciones con la misma media y distintas unas de otras.

5 147 Para medir la dispersión de los valores de una variable aleatoria X respecto de su media µ, se define el siguiente estadístico llamado varianza: [( ) 2 ] V[ X] = E x µ Es decir: V[ X] = ( x 1 µ ) 2 p 1 + ( x 2 µ ) 2 p ( x n µ ) 2 p n Puesto que la varianza no podría medirse en las mismas unidades que la variable, utilizamos la raíz cuadrada de la varianza y a este número la llamamos desviación típica. Desv[ X] = V[ X] Desv[ X] = ( x 1 µ ) 2 p 1 + ( x 2 µ ) 2 p ( x n µ ) 2 p n EJEMPLO 3.1: Calcular la media y la varianza del número de hijos varones de una familia con dos hijos. Solución: E={VV, VH, HV, HH} X={0, 1, 2}= "número de hijos varones de una familia con dos hijos" P 1 = P(X = 0) = 1/ 4 # P 2 = P(X =1) = 2 / 4 =1 / 2" P 3 = P(X = 2) = 1/ 4 $ # 1 / 4 +1 / 2 + 1/ 4 =1 1/2. En promedio, una familia con dos hijos tiene un hijo varón con una varianza de

6 148 EJEMPLO 3.2: Tras una intervención quirúrgica de un tipo determinado, el equipo médico mantuvo en el hospital a unos pacientes cinco días y a otros ocho. De éstos últimos no regresó ninguno al hospital y el coste de cada uno ascendió a pts., mientras que de los dados de alta a los cinco días, las dos terceras partes no regresaron al hospital y el coste por cada individuo fue de pts. El otro tercio restante tuvo que regresar al hospital ocasionando unos gastos totales por individuo de pts. En términos puramente económicos, es preferible dar de alta a los enfermos a los cinco o a los ocho días?. Solución: Se trata de calcular el coste promedio en ambos casos. En el supuesto de que los pacientes estén ingresados 8 días, el coste promedio es de pts., y en el supuesto de que los pacientes estén 5 días, la variable aleatoria se distribuye de la siguiente forma: X P(X) 2/3 1/3 El coste promedio en este caso será: E[X] = = pts. Puesto que < , esto indica que es preferible, desde el punto de vista económico, tener ingresados a los pacientes cinco días. La varianza la calculamos de la siguiente forma: V[X] = ( ) ( )2 1 = 2,

7 Distribución Binomial Hay muchas situaciones en las que sólo interesa conocer si un determinado suceso se produce o no se produce. Si el suceso ocurre, diremos que hemos obtenido un éxito y lo simbolizamos por E y si no ocurre diremos que hemos obtenido un fracaso y lo simbolizamos por F. La probabilidad de éxito la llamamos p La probabilidad de fracaso la llamamos q Lógicamente p+q=1 Se trata de un experimento aleatorio que no tiene más que dos resultados posibles E y F tales que P(E)=p y P(F)=q Es interesante el caso en el que se repitan pruebas independientes del mismo experimento y la probabilidad de éxito se mantenga constante en todas ellas. Supongamos que el número de pruebas es cinco (n=5). Un posible resultado sería: EFFEE Si queremos calcular la probabilidad, teniendo en cuenta que las pruebas son independientes: P(EFFEE) = P(E) P(F) P(F) P(E) P(E) = p q q p p = p 3 q 2 Responden a este modelo experimentos como los siguientes: - Lanzar una moneda varias veces considerando éxito la obtención de cara. Entonces p=q=1/2 - Lanzar un dado varias veces, considerando éxito que salga el 6 y fracaso que no salga el 6. En este caso p=1/6 y q=5/6.

8 150 - La clasificación de las piezas fabricadas por una máquina, considerando éxito las piezas aceptables y fracaso las piezas defectuosas. En este caso p y q se asignan haciendo un estudio de gran número de piezas. Diremos que un experimento sigue un modelo binomial si, en cada ejecución, sólo hay dos posibles resultados (E y F), las pruebas son independientes y la probabilidad de éxito es constante. La idea es la de construir un modelo de asignación de probabilidades de estas características. Llamaremos variable aleatoria binomial a: X = "número de éxitos en n pruebas" Se pueden asignar probabilidades mediante un diagrama en árbol: COMIENZO 1ª PRUEBA 2ª PRUEBA 3ª PRUEBA RESUL. PROB. p E p q E F p q p q E F E F EEE EEF E F E EFF p 3 p 2 q p 2 q pq 2 q F p q E F p q p q E F E F FEE FEF F FE F F F p 2 q pq 2 pq 2 q 3

9 151 Construir el árbol puede ser una tarea larga y conviene buscar una fórmula general para un experimento binomial. Convengamos en identificar todos aquellos resultados que tienen el mismo número de éxitos. Tras n pruebas nos encontraríamos con: EE...E " p n EE...EF " np n#1 q EE...EFF " n( n #1)p n#2 q 2... EF...F " npq n#1 FF... F " q n Las distintas probabilidades son los sumandos del desarrollo del binomio (p+q) n, por lo que: ( ) = n " r P X = r # $ % pr q n& r Convenimos en designar al experimento binomial con n pruebas, siendo p la probabilidad de éxito, como B(n,p). EJEMPLO 3.3: Se lanza un dado 7 veces. Calcular la probabilidad de obtener 3 seises. p = P(E) = 1/6 n=7 q = P(F) =5/6 K=3 Solución: X = "número de seises que aparecen al lanzar un dado 7 veces". P(X = 3) = # 7 $ " 3% 1$ " 6% 3 5 $ " 6% 4 = 0' 08

10 152 EJEMPLO 3.4: Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara, al lanzar una moneda cinco veces. Solución: X = "número de caras que se obtienen al lanzar una moneda cinco veces" P(x>1) = P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5) Utilizando el suceso contrario: P(x>1) = 1-P(x 1) = 1-(P(x=0)+P(x=1)) = = 1-1/2 1/2 1/2 1/2 1/2-1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 EJEMPLO 3.5: Supongamos que en un departamento de control de calidad se examinan lotes de cuatro artículos y se sabe que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es P(D)=1/10 (por lo que la probabilidad de que sea aceptable es P(A)=1-P(D)=9/10). Definimos la variable aleatoria de manera que a cada elemento del espacio muestral, le asociamos el número de piezas defectuosas. x={0,1,2,3,4}. Calcular la probabilidad asociada a cada valor de la variable. Solución: Calculamos sus probabilidades: P(x = 0) = 9 " 4 4 # = 0, 6561 $ P(x =1) = 1 9 # 3 % 4# 10 " 10$ = 0, 2961 " 1$ Incluimos el número combinatorio posibilidades. # 4$ " 1% DAAA, ADAA, AADA, AAAD porque se pueden dar cuatro

11 153 P(x = 2) = 1 # " 10$ P(x = 3) = 1 # " 10$ P(x = 4) = 1 # " 10$ # " 10$ 2 4 % # = 0, 0486 " 2$ % 4# = 0, " 3$ = 0, 0001 EJEMPLO 3.6: Hallar las probabilidades del experimento binomial B(4,1/3). Solución: P(x = 0) = 4 0 # $ 1$ 2 4 $ = 0,1975 " 0% " 3% " 3% P(x =1) = 4 1 # $ 1$ 2 3 $ = 0, 3951 " 1% " 3% " 3% P(x = 2) = # 4 $ 1 2 $ 2 2 $ " 2% " 3% " 3% = 0, 2963 P(x = 3) = # 4 $ 1 3 $ 2 " 3% " 3% = 0, P(x = 4) = # 4 $ 1 4 $ " 4% " 3% = 0, 0123 EJEMPLO 3.7: En una empresa de fabricación de automóviles se ha observado que el 2% presenta algún defecto. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 5 automóviles se encuentren a lo sumo dos defectuosos. Solución: La variable X = "número de automóviles defectuosos", sigue una B(50,0'02). P( X 2) = P( X = 0 ) + P( X =1) + P( X = 2) = " $ 50% 0, 02 # 0 & ( ) 0 ( 0, 98 ) # 1 " $ % 0, 02 & ( ) ( 0, 98 ) # 2 " $ % 0, 02 & ( ) 2 ( 0, 98) 48

12 154 P(X 2) = 0' 9216 A medida que aumenta el valor de n se complican los cálculos y es conveniente utilizar tablas Manejo de tablas Las tablas están elaboradas con la siguiente estructura (figura 3.1): n r p Figura 3.1: Estructura de la tabla de la Distribución Binomial Si estamos en una B(5,0'45), buscaremos el 5 en la columna de n y si nos piden P(X=4), dentro del grupo n=5, buscamos r=4. En la fila de p buscamos 0'45 y en la confluencia de la horizontal y la vertical, tendremos el valor de la probabilidad. Podemos encontrarnos con un problema en el caso de ser p>0'5, pues no puede emplearse la tabla directamente, sino que tendremos que tener en cuenta la siguiente propiedad: ( ) = n " r P X = r # $ % pr q n& r n = # $ " n & r% pn& r q r Función de densidad de una variable aleatoria que siga una B(n,p) con n-r éxitos. P(X=r) en una B(n,p) = P(X=n-r) en una B(n,q)

13 Media y desviación típica de una variable Binomial MEDIA: µ = E[ x] = x 0 p 0 + x 1 p x n p n = = 0# n $ " 0% qn + 1# n $ " 1% pqn& n# n $ " n% pn = np VARIANZA: 2 = V x n [ ] = ( x " µ ) 2 # p i = npq i=1 DESVIACIÓN TÍPICA: = npq EJEMPLO 3.8: Supongamos que tenemos cinco instrumentos y que sabemos que en promedio un determinado instrumento está averiado uno de cada diez días. Cuál es la probabilidad de que en un día más de tres instrumentos estén averiados?. Cuál es el número esperado de instrumentos averiados al día?. Solución: Nuestra variable será: X = "número de instrumento averiados en un día" Sólo hay dos posibles sucesos: E: Estar averiado F: No estar averiado. X ~ B(n=5, p=0'1) La función de densidad será:

14 156 ( ) = 5 " r P x = r # $ % pr q 5&r = # 5 $ " r% 0,1r 0, 9 5& r P( x > 3) = P( x = 4 ) + P( x = 5) = 4 = # 5 $ " 4% p4 q + # 5 $ " 5% 0,15 0, 9 0 = 4, 6 10 &4 E[ x] = np = 5 0,1 = 0, 5 Se avería un instrumento cada dos días. EJEMPLO 3.9: La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Biología es 0'3. Hallar la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) Ninguno de los siete finalice la carrera. b) La finalicen todos. c) Al menos dos acaben la carrera. Asimismo, hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera. Solución: Los sucesos son: E(éxito): acabar la carrera P(E) = p = 0'3 F(fracaso): no acabar la carrera P(F) = q = 0'7 El número de pruebas es siete n = 7 Las pruebas son independientes, porque lo que ocurra con un alumno no tiene nada que ver con lo que le ocurra a otro. a) ( ) = n " r P X = r # $ % pr q n& r

15 157 b) c) P(x = 0) = # n $ " 0% p0 q n = # 7 $ " 0% q7 = 0, 7 7 = 0, 0824 P(x = 7) = # 7 $ " 7% 0, 37 q 0 = 0, 0002 Imposible P( X 2) = P( X = 2) + P( X = 3)+...+P( X = 7) = 1 " P(X # 1) =1 " ( P(r = 0) + P(r =1) ) = = 1 " 0, 0824 " 0, 2471 = 0, 6705 Parámetros: E[ x] = np = 7 0, 3 = 2,1 V[ x] = npq = 2, 1 0, 7 =1, 47 = 1, 47 EJEMPLO 3.10: En recientes estudios realizados sobre pacientes portadores de SIDA, se ha podido determinar que el 70% consume algún tipo de droga. En la sala de espera de una consulta especializada en esta enfermedad se encuentran en un determinado momento seis personas. Cuál es la probabilidad de que ninguno haya consumido droga?. Solución: E: "No consumir droga" P(E) = 0'3 = p F: "Consumir droga" P(F) = 0'7 = q Cada paciente es un caso distinto n=6 ( ) = 6 " 0 P x = 0 # $ % p0 q 6 = 0, 1176 EJEMPLO 3.11: Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el 14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al día 5 insectos. Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana queden, como mínimo, la mitad.

16 158 Solución: Suponiendo independencia se tiene: P(no comer insecto venenoso) = 1-0'14 = 0'86 P(un animal no se envenene en un día) = P(comer 5 insectos no venenosos) = = (0'86) 5 = 0'47042 P(un animal no se envenene en 7 días) = (0,47042) 7 =0,005 P(un animal se envenene en 7 días) = 1-0'005 = 0'995 Sea X: "número de animales envenenados en una semana. P( x 10) = X ~ B(20,0'995) 10 " $ 20% ' 0, 995 k 0, ( k = 2, (18 # k & k = Distribución de Poisson En este caso la variable aleatoria representa el número de sucesos independientes que ocurren, a una velocidad constante, en el tiempo o en el espacio. Su nombre lo debe al francés Simeón Denis Poisson, que fue el primero en describirla en el Siglo XIX. Veamos algunos ejemplos típicos de esta distribución: El número de personas que llega a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado. El número de solicitudes de seguro procesadas por una compañía en un período específico. El número de bacterias en un cultivo. La distribución de Poisson es el modelo de probabilidad que más se utiliza para analizar problemas de listas de espera. Podemos hablar de las siguientes características de una distribución de Poisson:

17 Debemos tener un fenómeno dicotómico (ocurrencia o no de un determinado suceso). 2- Las pruebas que se realicen han de ser independientes y la probabilidad de éxito se ha de mantener constante en todas ellas. 3- Los sucesos han de ser poco comunes, por eso se le conoce como "Ley de los sucesos raros". 4- Puesto que la probabilidad de éxito ha de ser pequeña, entendemos que p<0.05 y puesto que n ha de ser grande, entendemos n> Los sucesos ocurren en un intervalo de tiempo. 6- Se caracteriza por un parámetro, que es el número medio de ocurrencia del suceso aleatorio por unidad de tiempo. 7- Siempre que la media y la varianza sean similares, podemos pensar en un modelo de Poisson. Media: E[ x] = np = Varianza: V[ x] = = E[ x] Es importante el hecho de que una distribución binomial en la que n es grande y p pequeño tiene una aproximación excelente con la distribución de Poisson. La función de probabilidad será el límite de la función de densidad de la binomial cuando n ", p 0 y np " $ lim & n' n" % r( pr q n)r $ = lim & n' lim n" % r ( p0 pr lim q n)r n" p0 p0 np# Teniendo en cuenta que p = n

18 160 r n % $ lim ' lim n" r(n # r) & n( 1 # $ n#r % ' = n" & n ( n(n #1)...(n # r +1) = lim n" r = $r r $ r n(n # 1)...(n # r + 1) lim n" n r Calculamos cada uno de estos límites: n r lim n" % 1 # $ & n % 1 # $ & n n ' ( r ' ( lim 1 # $ n % ' n" & n ( lim 1 # $ r % ' n" & n ( [1] n lim n" n n # 1 n % lim 1 # $ ' n" & n( % lim 1 # $ ' & n( n" n r... n # r +1 n 1 + % - lim ' ) - * n" ) n * -& #$ (, 1 Sustituyendo en [1] tenemos: P() = r r e" Es la función de densidad de la distribución de Poisson. # n $ / #$ e #$ EJEMPLO 3.12: Un comprador de grandes cantidades de circuitos integrados ha adoptado un plan para aceptar un envío de éstos, que consiste en inspeccionar una muestra de 100 circuitos provenientes del lote. Si el comprador encuentra no más de dos circuitos defectuosos en la muestra, acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. Si se envía al comprador un lote que contiene el 1% de circuitos defectuosos, cuál es la probabilidad de que sea aceptado el lote?. Solución:

19 161 Nuestra variable es: X: "número de circuitos defectuosos en la muestra". X~B(n=100, p=0'01) np=1 Si n 50 y p 0,1 se comporta aproximadamente como una Poisson. P(aceptar el lote) = P( x 2) = P( x = 0) + P( x =1) + P( x = 2) = = e " e" e"1 1 2 = 0, EJEMPLO 3.13: P(aceptar el lote) = 90% Es conocido el hecho de que cierto tipo de bacterias poseen, además de sus cromosomas, otras estructuras de ADN llamadas factores de resistencia. Estos factores confieren a la bacteria resistencia a uno o varios antibióticos. En un determinado medio el 0,06% de las bacterias no poseen dicha propiedad. Sobre una población de se desea saber: a) La probabilidad de que el número de bacterias no poseyendo dicha resistencia sea superior a 6, pero inferior a 15. b) La probabilidad de que haya exactamente 5 sin resistencia antibiótica. Solución: Sea X el "número de bacterias que no poseen resistencia a los antibióticos". X~B(n=10.000, p=0'0006)~p( =np=6) a)p(6 < x <15) = P( x 14) " P( x 6) = 0, 9986 " 0, 6063 = 0, 3923 b)p( x = 5) = e = 0,1606 EJEMPLO 3.14: La probabilidad de que dos aminoácidos determinados se combinen para formar un dipéptido es muy pequeña y, en consecuencia, el número de dipéptidos de una

20 162 determinada composición que puedan observarse al analizar un conjunto de proteínas sigue una distribución de Poisson, que por otras investigaciones sabemos que tiene parámetro =0,4. Si denominamos como X el número de dipéptidos observados en una composición determinada: a) Calcular la probabilidad de no encontrar ninguno de tales dipéptidos en dicha composición. b) Probabilidad de encontrar dos o más. Solución: a) b) P( x = 0) = e " " 0 0 = e0,4 P(x 2) = 1" P( x <1) = 1 " P( x = 0) " P( x = 1) = = 1 " e "0,4 #0 0, 41 " e"0,4 0 1 = 1" 1 0, 4 e 0,4 " e 0,4 EJEMPLO 3.15: El número medio de automóviles que llega a una estación de suministro de gasolina es de 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de diez automóviles por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen a la estación de suministro más automóviles de los que puedan atender. Solución: La variable aleatoria X es el "número de automóviles que llegan a la estación de servicio en un minuto ". El suceso éxito (1) consiste en que en un instante cualquiera llegue un automóvil a la estación de suministro. p es la probabilidad de éxito y es suficientemente pequeña, sin embargo, la prueba puede repetirse un número suficientemente grande de veces.

21 163 Ocurre un determinado suceso en un intervalo de tiempo. Cumple las condiciones de Poisson. P( x = r) = r r e" es el número medio de veces que se da el suceso de probabilidad p. = = 3, 5 La estación no podrá atender si llegan más de 10 automóviles por minuto. ( ) = P( x = r ) P X >10 10 " = 1 # " P( x = r ) = r =11 r =0 $ = 1 # 3,50 % & 0 e #3, , e#3,5 ' ( ) =1 # 0, 9991 = 0, 0009 EJEMPLO 3.16: El número de clientes que llega a un banco es una variable de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes?. Solución: X: "número de clientes que llega a un banco en un minuto". E[x]=120 clientes por hora. E[X] = = 2 = [ ] = P( X 3) = 1" P( X < 3) = 1 " P( x = 0) + P( x =1) + P( x = 2) = 1 " 0,1353 " 0, 2707 " 0, 2707 = 0, 3233 La probabilidad es de un 33% aproximadamente.

22 164 EJEMPLO 3.17: Del volumen de producción diario en dos plantas diferentes de una fábrica, se sabe que la probabilidad de que resulten r unidades defectuosa es: fábrica. - en la 1 a planta: 4r r e4 para r = 0, 1, 2,... - en la 2 a planta: 6r r e6 para r = 0, 1, 2,... Determinar la probabilidad de que, en un día determinado: a) resulten cinco o más unidades defectuosas en la 1 a planta. b) resulten cuatro o menos unidades defectuosas en la 2 a planta. c) resulten ocho o más unidades defectuosas del total de la producción de la Solución: a) X 1 : "número de unidades defectuosas en la 1 a planta". P(4) P( X 1 5) = 1" P( X 1 < 5) =1 " P x 1 = 0 P( X 1 5) = 0, 3711 [ ( )+...+P( x 1 = 4) ] b) X 2 : "número de unidades defectuosas en la 2 a planta". P(6) P( X 2 4) = P( x 2 = 0)+...+P( x 2 = 4) = 0, 2851 c) X 3 : "número de unidades defectuosas del total de la producción." P( X 3 8) = 1" P( x 3 < 8) = 0, 7797 Da la impresión de que la empresa debería revisar su producción Distribución Hipergeométrica En la distribución binomial siempre aseguramos la independencia, es decir, el muestreo se realiza con reemplazamiento y la probabilidad de éxito es constante en cada

23 165 una de las pruebas. Supongamos que esto no ocurre, no hay reemplazamiento y la variable aleatoria sigue otro tipo de distribución. Veamos un ejemplo: Sea N el número de profesores de un Centro de Enseñanza Secundaria que deben elegir Director entre dos candidatos A y B. Sea n el número de profesores que apoyan al candidato A y N-n el número de profesores que apoyan al candidato B. Supongamos que queremos hacer un sondeo antes de la votación final, tomamos una muestra con K profesores y le preguntamos el candidato al que piensan votar. Supongamos que X es la variable aleatoria que nos mide el número de profesores de la muestra que piensan votar al candidato A. El interés está en calcular la probabilidad de que X=r, es decir, que en la muestra haya r personas que piensan votar al candidato A. Deduciremos la fórmula utilizando la Ley de Laplace. De cuántas maneras puedo elegir muestras de tamaño n entre N elementos que tiene la población?. # N$ casos posibles " n % De éstos, cuáles serán favorables a nuestro suceso?. Aquellas que tengan r éxitos y N-r fracasos. (r veces) EE # "...# $ E Np (n r veces ) FF # "... # $ F Nq Es preciso conocer la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso en la población. El número de casos favorables será: # Np$ # Nq $ " r %" n & r% Por consiguiente: # Np$ # Nq $ " r %" n & r% P( X = r ) = # N$ " n% ; r = 0,1,2,..., n Media: E[ x] = np

24 166 Varianza: V[ x] = npq N n N 1 Cuando n N 0, 05, la distribución hipergeométrica se aproxima a la binomial. EJEMPLO 3.18: Un fabricante asegura que sólo el 1% de su producción total se encuentra defectuosa. Supóngase que se ordenan 1000 artículos y se seleccionan 25 al azar para inspeccionarlos. Si el fabricante se encuentra en lo correcto, cuál es la probabilidad de observar dos o más artículos defectuosos en la muestra?. Solución: Tenemos una población de tamaño N=1000 X: "número de artículos defectuosos en la muestra". P(éxito)=0,0 l Tamaño de la muestra n=25 Si inspeccionamos uno de los 25, ese no lo volvemos a inspeccionar, luego no hay reemplazamiento, la p de las distintas pruebas no se mantiene constante. Se trata de una distribución hipergeométrica. [ ] P( x 2) = l " P( x < 2) = l " P( x = 0) + P( x = 1) P( X = 0 ) = P( X =1) = , 01 # $ , 99 # $ " 0 %" 25 % 1000 # $ " 25 % 10 # $ 990 # $ " 1 %" 24 % = 0, # $ " 25 % & ( = 0, 7754 ( ( ' P( X * 2) = 0, 0239 ( ( ( )

25 167 Puesto que n N = 25 = 0, 025 < 0, Podemos aproximar por una binomial: [ ] = P( x 2) = l " P( x = 0) + P( x =1) # = 1 " % 25 & $ 0 ' 0, 010 0, # " % 25 & $ 1 ' 0, 011 0, = 1 " 0, 7778 " 0,1964 = 0, 0258 EJEMPLO 3.19: Supóngase que se tienen 50 representantes de cierto estado, en una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes, cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A?. Solución: X: "número de personas de la muestra que apoyan al candidato A. N = 50 # n = 5 p = 3 " X % H & 50, 5, 3 ( ' # 5 ) 5 $ P( x 2) = l " P( x < 2) =1 " P( x = 0) + P( x = 1) P( X = 0) = P( X = 1) = # 50 3 &# 50 2 & ) % 5( % 5( + $ 0 ' $ 5 ' + # % 50& $ 5 ' + # 50 3 &# 50 2 * & % 5( % 5( + $ 1 ' $ 4 ' + # % 50& + $ 5 ', + [ ] P( X 2) = 0, 9241 del 92%. No hay duda de que al menos dos apoyarán al candidato A. con una probabilidad

26 168 EJEMPLO 3.20: En una clase en la que hay 20 estudiantes, 15 están insatisfechos con el texto que se utiliza. Si se le pregunta acerca del texto a cuatro estudiantes tomados al azar, determine la probabilidad de que: a) exactamente tres estén insatisfechos con el texto. b) cuando menos tres estén insatisfechos. Solución: Hay dos sucesos mutuamente excluyentes: P(estar satisfechos) = 5/20 = 1/4 P(no estar satisfecho) = 15/20 = 3/4 Las pruebas son sin reemplazamiento, no tiene sentido volver a preguntar al mismo estudiante que se le preguntó antes. X: "número de alumnos que están insatisfechos con el texto". Es una H 20;4, 3 # " 4$ a) b) # Np$ # Nq $ # 15$ # 5$ " r %" n & r% " 3 %" 1% P( X = 3) = = = 0, 469 # N$ # 20$ " n% " 4 % P( X 3) = P( x = 3) + P( x = 4) = 0, 75 EJEMPLO 3.21: Un equipo departamental incluye cinco biólogos especialistas en microbiología y nueve médicos. Si se eligen al azar cinco personas y se les asigna un proyecto, cuál es la probabilidad de que el equipo del proyecto incluya exactamente a dos biólogos?.

27 169 Solución: X: "número de biólogos incluidos en el proyecto". P(biólogo) = 5/14 P(médico) = 9/14 " X H 14;5, 5 $ # 14% P( X = 2 ) = # 5$ # 9$ " 2% " 3% # 14$ " 5 % = 0, 42 EJEMPLO 3.22: Considérese un fabricante de ordenadores que compra los microprocesadores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 microprocesadores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera aleatoria y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los microprocesadores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Suponiendo que el lote contenga dos microprocesadores con serios defectos, cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Solución: X: "número de microprocesadores defectuosos en la muestra". " X H 40;8, 20 $ # 40 % P( X = 0) = p = 1 20 q = "& 2$ "& 38$ # 0% # 8 % = 0, 6359 " & 40$ # 8 % Si la persona que vende sabe que le controlarán el producto, procurará que la empresa efectúe un control de calidad antes de iniciar las ventas. Aumentará la calidad del producto.

28 170 EJEMPLO 3.23: Una compañía dedicada a la producción de artículos electrónicos, utiliza un esquema para la aceptación de artículos, para su ensamblaje, antes de ser embarcados, que consiste en lo siguiente: Los artículos están embalados en cajas de 25 unidades y un técnico de la compañía selecciona aleatoriamente tres artículos, de tal manera que si no encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene tres artículos defectuosos'?. b) Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso regrese para su verificación?. Solución: X: "número de artículos defectuosos en la muestra". a) Si la caja contiene tres artículos defectuosos, la distribución es: N = 25 N 1 = 3 N 2 = 22 p = 3 q = # Np$ # Nq $ # 3$ # 22 $ " x P( X = 0 ) = i %" n & x i % " 0% " 3 & 0% = = 0, 6696 # N$ # 25$ " n % " 3 % Hay una probabilidad del 67% de que se embarque la caja. b) La caja sólo contiene un articulo defectuoso. N = 25 p = 1 q = $ $ # 25& # 25& " 0 %" 3 % P( X = 0 ) = = 0, 88 # 25$ " 3 % Lógicamente la probabilidad de que no embarque es: 1-0,88 = 0,12 Lo más probable es que las cajas que tengan un artículo defectuoso sean embarcadas.

29 171 EJEMPLO 3.24: Supongamos que una compañía hace el estudio de la calidad conforme a otro esquema. Se toma un artículo, se inspecciona y se devuelve a la caja; lo mismo ocurre con un 2º y un 3 er artículo. La caja no se embarca si cualquiera de los tres artículos es defectuoso. Solución: a) B 3, 3 # " 25$ b) B 3, 1 # " 25$ ( ) = 3 " 0 P x = 0 ( ) = 3 " 0 P x = 0 # $ 3 $ 0 22$ %" 25% " 25% # $ 1 0 $ 24 $ %" 25% " 25% 3 3 = 0, 6815 = 0, 8847 La probabilidad de no embarcar sería: 1-0,8847 = 0,1153 EJEMPLO 3.25: Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; contiene dos motores con serios defectos, cuál es la probabilidad de que sea aceptado?. Solución: X: "número de motores defectuosos en la muestra".

30 172 N = 40 n = 8 p = 2 40 P( X = 0) = H 40;8, 1 # " 20$ % 2# % 38# " 0$ " 8 $ = 0, 6359 % 40# " 8 $

31 173 "DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS" 3.2 Parte básica

32 Distribución normal Introducción La distribución Normal es la distribución continua más importante del Cálculo de Probabilidades y de la Estadística. Aparece por primera vez en 1733 en los trabajos de DE MOIVRE relativos al cálculo de la distribución límite de una variable binomial. Posteriormente, en 1809, GAUSS y más tarde, en 1812, LAPLACE la estudiaron en relación con la teoría de errores de datos experimentales, al tratar de hallar el valor correcto más probable entre una serie de medidas. Primero, GAUSS, pensó que la media aritmética de los valores sería el valor correcto. Más tarde, al dibujar la distribución de frecuencias, observaron cómo los valores extremos eran incorrectos y cada vez las medidas se hacen más iguales y más numerosas, hasta concentrarse en un valor medio que es el valor más frecuente. Por esto, la distribución normal se conoce también con el nombre de distribución de GAUSS-LAPLACE. Una primera aproximación de la distribución normal puede observarse con el experimento que realizó SIR FRANCIS GALTON, que construyó un ingenioso aparato, formado por un tablero inclinado, en el que se distribuyen regularmente un sistema de clavos, para acabar finalmente en compartimentos estrechos. Al deslizar muchas bolas desde un depósito superior, estas chocan con los clavos, y se alejan más o menos de la línea central de caída. Las alturas alcanzadas por las bolas en los compartimentos estrechos da una idea de la curva de la distribución normal (ver figura 3.2). Figura 3.2: Dispositivo de Galton

33 175 El nombre de distribución normal se debe al hecho de que una mayoría de las variables aleatorias de la Naturaleza siguen esta distribución, lo que hizo pensar que todas las variables continuas de la Naturaleza eran normales, llamando a las demás distribuciones "anormales". No obstante, hoy en día, ya no se piensa de la misma manera, ya que ningún estadístico dice que una distribución que no sea normal, es anormal. No obstante, la distribución normal es la más importante por sus propiedades sencillas, porque aparece frecuentemente en la Naturaleza, (fenómenos relacionados con psicología, biología, etc. ), y por una propiedad de algunos fenómenos que se aproximan asintóticamente a la distribución normal (Teorema Central del Límite) Definición De modo riguroso, se dice que una variable aleatoria sigue una distribución normal de media µ, y desviación típica σ, y se designará por N(µ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones: La variable recorre toda la recta real, y la función de densidad es de la forma: f(x) = 1 2" e# 1 2 ( x# µ )2 donde e = ; π= ; µ es la media de la distribución y σ es la desviación típica. Esta función de densidad que parece en principio con una expresión matemática aparentemente complicada, tiene la siguiente representación (figura 3.3): µ 0 Figura 3.3: Representación gráfica da la campana de Gauss conocida como campana de Gauss, y con las siguientes propiedades:

34 La curva tiene forma campaniforme y es simétrica respecto a la recta vertical x = µ. ya que el valor de la densidad es idéntico en µ + c y en µ - c, para todo valor de c, pues: f(µ + c) = f(µ # c) = (µ +c # µ) 1 2 2" e# 2 2 = (µ #c # µ) 1 2 2" e# 2 2 = c 1 2" e# c 1 2" e# 2.- La ordenada es máxima en x = µ. La derivada de la función de densidad es: f' (x) = 1 2" e# (x# µ) $ # 1 ' 2 (x # µ) % & 2 ( ) = # 1 3 2" e# (x# µ) (x # µ) como la exponencial es siempre distinta de cero, se verifica que: f' (x) = 0 (x " µ) = 0 x = µ como la derivada segunda es: 1 f'' (x) = " 3 2# e 2" 2 $ 1 ' $ + " 3 (x µ) %& 2# () & % (x µ) 2 1 = " 3 2# e $ 2" 2 1 % & (x µ) 2 (x µ)2 " 2 2(x µ) 2" 2 e ' ( ) (x µ) 2 2" 2 ' ) = ( como se verifica que : 1 f'' (µ) = " 3 2# e0 1 (1 0) = " 3 2# < 0 luego en x = µ la función de densidad presenta un máximo de valor f(µ) = 1 2"

35 El área del recinto encerrado bajo la campana y el eje x es igual a la unidad. Por tratarse de una función de densidad. Y al ser simétrica, deja igual área, 0,5, a la izquierda y a la derecha de la recta x = µ. Esto se verifica porque: +" # f(x) = " # +" " 1 $ 2% e (x µ) 2 2$ 2 dx = haciendo el cambio de variable x µ " = y, entonces dx = σ dy, y por lo tanto = % +$ 1 y 2 2" e# 2 dy = #$ 1 2" % +$ #$ e # y 2 2 dy = 1 2" 2" =1 ya que la última integral, conocida como la integral de Gauss vale 2, ya que: +" I = e y2 2 dy = +" 2 e # y 2 2 dy = 2I " # 1 0 y al multiplicar I 1 por sí misma, y mediante métodos de integración doble, resulta su cuadrado igual a π/ Presenta puntos de inflexión en los puntos de abscisas µ + σ y µ - σ, donde cambia de concavidad (lo que determina que cuánto mayor sea σ, más achatada sea la curva). El punto de inflexión se obtiene al igualar a cero la derivada segunda, por lo tanto: (x " µ)2 f'' (x) = 0 1 " # 2 = 0 x " µ # = ±1 x = µ ± # Así, pues, presenta puntos de inflexión en los puntos x = µ + σ y en x = µ - σ, donde las coordenadas de los puntos son: en x = µ + σ f(µ + ) = (µ + #µ ) 1 2 2" e# 2 2 = 1 2" e# = 1 2" e# 1 2 = 1 2"e y en el punto x = µ - σ

36 178 f(µ ") = (µ " µ ) 1 2 " 2# e 2" 2 = " 1 " 2# e 2 2" 2 = 1 " 2# e 1 2 = 1 " 2#e 5.- Es asintótica al eje de abscisas. Pues como e x tiende a 0 cuando x tiende a infinito, entonces: lim x+" f(x) = lim x+" (x% µ) 1 2 # 2$ e% 2# 2 = 0 es decir, el eje OX es una asíntota horizontal, e igual para x tendiendo a -. En la figura 3.4 puede observarse que para σ fijo, el variar µ tiene el efecto de desplazar la curva hacia la derecha o la izquierda; manteniendo µ constante, el cambio de σ tiene por efecto acercar o alargar del valor medio µ los puntos de inflexión, es decir, un apuntamiento o aplastamiento de la curva (ver figura 3.5). µ-a µ µ+a Figura 3.4: Efecto de la variación de µ en la distribución normal

37 179 Figura 3.5: Efecto de la variación de σ manteniendo µ constante La distribución normal estándar N(0,1) En las familias representadas por las distribuciones normales ocupa un lugar especial la distribución que tiene de media cero (µ = 0) y por desviación típica la unidad (σ = 1). Esta distribución se llama la distribución normal estándar, o reducida. Su función de densidad es: f(x) = 1 2 e" x2 2 x #("$,+$) y su función de distribución es la siguiente: F(x) = P( " x) = 1 2# x & e $ x2 2 dx $% y cuyas representaciones aparecen en las figura 3.6:

38 180 1,2 1,8,6,4 1 2,2 0 -, Figura 3.6: Representación de las funciones de densidad y distribución de la N(0,1). La función de distribución de la ley normal estándar proporciona el área del recinto que encierra la función de densidad, hasta el punto x, y con el fin de facilitar el cálculo de ésta superficie, y no tener que utilizar en todo momento el cálculo integral, se han elaborado unas tablas de fácil uso, entre las que se encuentran las que aparecen a continuación: x Tablas de la distribución normal estándar

39 Manejo de las tablas de la normal estándar Las tablas anteriores nos proporcionan directamente la función de distribución de la variable normal estándar, por lo que ellas nos darán directamente la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que un determinado valor (P(ξ x)). Veamos su utilización con un ejemplo sencillo. Si Z es una variable que sigue una distribución N(0,1), calcularemos la probabilidad de que la variable Z tome valores menores o iguales a La probabilidad pedida es el área sombreada de la figura 3.7. Figura 3.7: Área hasta el valor 1.37 y se encuentra directamente en la tabla sin más que buscar 1.3 en la primera columna, y 0.07 en la primera fila; su intersección nos da la probabilidad: Es decir: P(Z 1.37) = que quiere decir que el 91.47% de las observaciones se encuentran distribuidas entre - y 1.37.

40 182 Existen además de las tablas anteriores otros tipos de tablas publicadas de la distribución normal estándar. Quizá las más importantes sean las siguientes: 1.- Tabla de dos colas : Esta tabla da las áreas de las dos colas de la distribución, es decir, da la siguiente probabilidad P( Z a ) = P( - < Z -a ) + P( a Z < + ) -a 0 a Figura 3.8: Área de la tabla de dos colas 2.- Tabla de una cola : Nos da el área de la cola derecha de la distribución, es decir, la siguiente probabilidad P( Z a ) 3.- Tabla de valores : Que contiene todos los valores entre 0 e infinito.

41 Tabla de áreas acumuladas : Nos da la probabilidad de que un valor esté comprendido entre - y a, es decir, la siguiente probabilidad P( - < Z -a ) Este último tipo de tablas es el que hemos utilizado anteriormente, pues nos proporciona la función de distribución de la variable Tipificación de la variable Hemos indicado anteriormente que la distribución normal estándar N(0,1) se encuentra tabulada, lo que nos permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a ésta distribución. Pero no existen tablas para el cálculo de las probabilidades de otras distribuciones normales, además de que tendrían que existir infinitas tablas (una para cada posible par de combinaciones de media y desviación típica). Aprovechando que el comportamiento de las curva de las distribuciones normales es siempre el mismo, nos hace pensar que podría existir una distribución normal que permanezca invariable, sea cuál sea la variable. Esta es la distribución normal estándar, y el proceso de pasar de una distribución normal cualquiera a una distribución normal estándar se denomina tipificación de la variable, que equivale a cambiar la escala de partida de los valores de X en una nueva escala patrón. Esto se lleva a cabo en dos pasos: 1º Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas, lo que equivale a hacer µ = 0. 2º Reducir la desviación típica a 1, que equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución hasta que coincida con la gráfica de la función normal estándar. Esto se consigue mediante el cambio de variable siguiente: Z = X µ " que produce la siguiente transformación de escala de medidas:

42 184 µ -2 µ - µ µ + µ Valores de X Valores de Z Propiedades de la distribución normal SUMA O RESTA DE VARIABLES NORMALES Si X 1 es una variable que se distribuye normalmente N(µ 1, σ 1 ), y X 2 es otra variable que se distribuye normalmente N(µ 2, σ 2 ). Entonces la variable X = X 1 ± X 2 sigue también una distribución normal con media µ = µ 1 ± µ 2, y cuya varianza es σ 2 = σ σ 2 2. Es decir, la variable X sigue una distribución N(µ 1 ± µ 2, ) TEOREMA DE DE MOIVRE Si X es una variable binomial de parámetros n y p; entonces si n es grande y p, ni pequeño ni grande, (o sea, ni p ni q próximos a cero) podemos considerar que esa variable X sigue una ley normal de media np y varianza npq, y por lo tanto, la variable Z = X np npq sigue una distribución normal N(0,1). En este caso hemos de tener en cuenta que X era una variable aleatoria discreta y queremos tratarle cómo continua, por lo que es preciso hacer una corrección para continuidad. Así se verifica que: P(X = 3) = P(2.5 < X 3.5) P(X 3) = P(X 3.5) P(X < 3) = P(X 2.5)

43 185 Obviamente éstas no son igualdades ciertas, pero permiten tratar la variable discreta como continua. Si en lugar de trabajar con una variable aleatoria binomial partiésemos de una variable de Poisson o una Hipergeométrica, la aproximación sería absolutamente similar. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Si X es una variable aleatoria (no importa como se distribuya) con media µ y varianza σ 2, y tomamos una muestra de n elementos, entonces la distribución muestral de la media aritmética de la muestra es aproximadamente normal con media µ y varianza σ 2 /n, siendo mejor la aproximación a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Lógicamente, si X es una variable que se distribuye normalmente, la media muestral se distribuye exactamente como una distribución normal. Este teorema es importante en posteriores unidades, ya que nos dará pie a resultados fundamentales de la Inferencia Estadística.

44 Modelo Chi-cuadrado (de Pearson) Definición Es otra distribución de gran importancia en Estadística, que fue descubierta por HELMET (1876), pero cayó en el olvido hasta que en 1900 fue descubierta de nuevo por PEARSON. Es una variable obtenida al sumar los cuadrados de n variables aleatorias normales estándar, independientes entre sí. Recibe el nombre de χ 2 n de PEARSON, con n grados de libertad, o sea, χ 2 n = Z Z Z 2 n siendo cada Z i una variable normal N(0,1), e independientes. Esta variable depende, pues, del número de sumandos que la forman, llamado "grados de libertad", y el rango es el semieje real positivo (ya que es una suma de cuadrados). La función de densidad de una variable χ 2 n es la siguiente: $ 1 f(x) = 2 n 2 ( n 2 ) e"x 2 x n 2 "1 si x # 0 % & 0 si x < 0 * Para cada valor de n se tiene una curva distinta, como representación de su función de densidad. La figura 3.9 representa las funciones de densidad de variables Chi-cuadrado para diferentes valores de n. # * Γ(n) es la función gamma, que denota la siguiente integral: ( n) = x n"1 e "x dx 0 si n en entero Γ(n) = (n-1) ; además Γ(n/2) = π. $ que verifica, que

45 187 Figura 3.9: Comparación entre las funciones de densidad de la variable chi-cuadrado para distintos valores de n Propiedades de la distribución chi-cuadrado 1.- La variable solo puede tomar valores positivos. 2.- Es asimétrica. 3.- Depende del parámetro n (grados de libertad). 4.- Su esperanza matemática es n, y su varianza, 2n. 5.- Propiedad aditiva o reproductiva :Si χ2 n y χ2 m son dos variables Chicuadrado con n y m grados de libertad respectivamente, independientes entre sí, entonces la suma de las dos variables es una variable Chi-cuadrado con n+m grados de libertad. Esto se puede generalizar a la suma de cualquier número de variables Chi-cuadrado, independientes. 6.- Al aumentar el número de grados de libertad, la distribución Chicuadrado se aproxima asintóticamente a una distribución normal. Esta aproximación es de la siguiente forma: 2 para n > 30, la variable 2 n se aproxima asintóticamente a una variable N( 2n 1,1). 7.- En una variable aleatoria normal N(µ, σ), si tomamos una muestra de tamaño n se verifica que

46 188 ( n 1)ˆ " 2 es aproximadamente χ2 n-1 s 2 siendo ˆ s 2 la cuasivarianza muestral Manejo de las tablas de la chi-cuadrado A continuación aparecen las tablas en las que figuran tabuladas las distribuciones Chi-cuadrado. Dentro de la tabla figura el valor de la variable que en una distribución Chicuadrado con los grados de libertad que vienen indicados en la primera columna, deja un área α, indicado en la primera fila, a su derecha.

47 189 g.l \α g ] Tabla de la distribución Chi-cuadrado EJEMPLO 3.26: Si X sigue una distribución Chi-cuadrado con 12 grados de libertad. Cuál es el valor de la variable que deja a su derecha un área de 0.05? Solución: Buscando en la tabla: