Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales

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1 Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 224, pp Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales Optimal Quadrature Formulas in Integral Varieties Yohan Díaz Ferrer Lelis Raúl Vaillant Pascual Departamento de Matemática, Facultad de Matemática y Computación Universidad de Oriente, Patricio Lumumba S/N Santiago de Cuba, CP 95, Cuba. Abel Velázquez Pratts Departamento de Matemática, Facultad de Ingeniería Eléctrica Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba. Resumen En este trabajo se da un método para obtener fórmulas de cuadratura optimales en clases de funciones diferenciables con una estructura dada. Palabras y frases clave: Integración numérica, fórmulas de cuadratura. Abstract In this paper we present a method to obtain optimal quadrature formula in a class of differentiable function with a given structure. Key words and phrases: Numerical integration, quadrature formulas. 1 Planteamiento del Problema Sean el intervalo [, T ] de R 1 y F, T el conjunto de funciones que satisfacen en [, T ] la ecuación diferencial a i f i t ξt 1 i Recibido 23/7/15. Aceptado 23/11/12. MSC 2: 65D3, 65D32.

2 14 Yohan Díaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Velázquez P. donde a i, i, 1,, n 1 son constantes conocidas, a n 1, n 1 y ξt es una función desconocida de un conjunto E L 2, T. Para algunas funciones f F se conocen valores aproximados de las mismas en los puntos t 1, t 2,, t N, o sea, ft i y i, i 1, 2,, N, 2 donde < t 1 < t 2 < < t N < T. Supongamos también que se cumplen las desigualdades ft i y i 2 ε 2, ξ 2 tdt ζ 2. 3 i Para los datos {a i } n i, {y i, t i } N, ε, ζ, se exige calcular la integral If ρtftdt 4 donde ρt L 2, T es una función de peso dada, no idénticamente nula. Para el cálculo de la integral 4 usualmente se utiliza una fórmula de cuadratura del tipo ρtftdt N C k y k 5 en la que la suma de la derecha aproxima con cierta precisión a la integral de la izquierda. Ahora bien, definiendo el error de la aproximación como RC 1,, C N sup f F ρtftdt N C k y k, 6 podemos plantearnos el problema de hallar los coeficientes C k, k 1, 2,, N, para los cuales RC 1,, C N R N C sea mínimo, o sea, R N C mín C k RC 1, C 2,, C N. 7 Si el mínimo existe, entonces, los coeficientes que lo alcanzan definen una fórmula de cuadratura optimal en la clase de funciones dada F. Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

3 Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales Problema Conjugado Tomemos una función arbitraria ψt, la cual tiene en el intervalo t j, t j+1 derivada hasta el orden n inclusive Integrando por partes obtenemos tj+1 t, t N+1 T, j, 1,, N. i 1 ψf i dt 1 ν ψ ν f i ν 1 t j+1 tj i ψ i fdt. 8 t j t j + t j ν Debido a las relaciones 1 y 2 se cumplen las identidades n ψt a i f i t ξt dt, i N C i y i ft i + ε i. Aquí los C i son números arbitrarios, ε i ft i y i son errores desconocidos de los datos 2. Sumando formalmente las identidades 9, usando la relación 8 y la identidad 4 y luego igualando los coeficientes de f ν, t [, T ], ν,, n 1, obtenemos las siguientes condiciones para la función ψ : n 1 ψ n + 1 n ν a ν ψ ν 1 n 1 ρt, t t i, t i+1, i 1, N 1 ν ψ ν ψ ν T, ν, n 1 ψ ν t i + ψ ν t i, ν, n 2, i 1, N 11 ψ n 1 t i + ψ n 1 t i 1 n C i, i 1, N 12 si tal función ψt existe, entonces la integral 4 toma la forma If N C i y i + ε i ψtξtdt. 9 Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

4 142 Yohan Díaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Velázquez P. De este modo, llegamos a la siguiente fórmula de cuadratura If ρtftdt el error de la cual tiene la expresión If S N y Rf, C, ε N C i y i S N y 13 N C i ε i ψtξtdt 14 El problema de frontera 1 12 se llama problema conjugado del problema de búsqueda de la fórmula de cuadratura 13, la que es exacta en el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea de 1ξ. Para la existencia de la solución del problema conjugado es suficiente que N n. Es fácil calcular, para las condiciones 3 el valor exacto del error 6 de 14. Rf, {C i } ε N Ci 2 + ξ ψ 2 tdt RC. 15 De esta forma, la solución del problema sobre la búsqueda de la forma de cuadratura optimal 13, se reduce a la solución del problema con las condiciones mín RC 16 C 1,,C N 3 Solución del Problema Conjugado Usando el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea de 1ρt, el problema de frontera 1 12 se puede reducir a un sistema de ecuaciones lineales relativo a las incógnitas C 1, C 2,, C N, a través de las cuales se puede expresar el valor de RC. Denotemos por ψ 1 t la solución particular de la ecuación no homogénea 1 con las condiciones nulas ψ i, i, 1,, n Ahora sea ψ 2 t la solución de la ecuación homogénea de 1 con condiciones iniciales ψ i, i, 1,, n 2, ψ n 1 1 n. 18 Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

5 Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales 143 Entonces, la solución de la ecuación 1 con condiciones iniciales 17 y condiciones de saltos 11 y 12 tiene la forma Nt ψt ψ 1 t + C i ψ 2 t t i ψt; C 1, C 2,, C N ψt; C, 19 donde Nt máx j : t j < t. De este modo, el problema de frontera 1 12 se reduce a la búsqueda de las constantes C 1, C 2,, C N de las condiciones N ψ j T ψ j 1 T + C i ψ j 2 T t i, j, 1,, n 1. 2 Ahora, la solución del problema 16 consiste en la búsqueda del mínimo de la función suave convexa RC, definida por la fórmula 15 para las relaciones 19 y 2. Este problema se puede resolver con ayuda de los multiplicadores de Lagrange. Para ello formemos el funcional de Lagrange n 1 LC, l RC + l j ψ j T, C, hallando su primera variación tenemos δl γ N C i δ i + γ 1 j n 1 ψt, Cδψt, Cdt + l j δψ j T, C 21 donde l l, l 1,, l n 1 es el vector de multiplicadores de Lagrange. De acuerdo a 19 tenemos δψ j t, C Nt j δc i ψ j 2 t t i, j, 1,, n 1 22 N 1/2 1/2 T γ ε/ Ci 2, γ 1 ζ/ ψ tdt Poniendo la expresión 22 en 21 e igualando a cero los coeficientes de δc i, obtenemos la condición necesaria de extremo del problema 16 γ 1 b i + γ C i + γ 1 N s1 n 1 C s b is l j ψ j 2 T t i, i 1, 2,, N, 24 j Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

6 144 Yohan Díaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Velázquez P. donde y b i t i ψ 1 tψ 2 t t i dt, b b 1, b 2,, b N b is ψ 2 t t i ψ 2 t t s dt, t is máx{t i, t s }. t is Sin perder generalidad puede considerarse que γ 1, entonces el sistema 24 puede escribirse en forma matricial como E + γ 1 BC Ψl γ 1 b, donde E es la matriz identidad y las matrices B B {b is } N i,s1 y Ψ {ψ j 2 T t i} N,n 1,j son transformaciones conocidas del sistema paramétrico 24. Como γ 1, entonces la matriz E + γ 1 B es no singular por lo que C E + γ 1 B 1 Ψl + γ 1 b. 25 Como la condición 22 en forma matricial toma la forma Ψ t C ψ 1T. Poniendo en ella la ecuación 25, hallamos la ecuación para los multiplicadores de Lagrange Ψ t E + γ 1 B 1 Ψl + γ 1 b ψ 1T. 26 Aquí denotamos ψ 1T ψ 1 T, ψ 1 1 T,, ψn 1 1 T. Para resolver el problema debemos escoger el parámetro γ 1 apropiado. Esto puede hacerse a través de un método iterativo aplicado a la ecuación que resulta de dividir las relaciones de 23 γ γ 1 1 γ 1 ε ψ ζ C, 27 donde la norma de ψ se toma sobre el espacio L 2, T y la de C es la norma euclidiana. El vector C y la función ψ se consideran dependientes del parámetro γ 1 a través de la fórmula 25 y la solución l del sistema 26. De esta forma, resolviendo la ecuación C γ 1 ε ψ ζ C, podemos hallar una aproximación a γ 1 y por supuesto una aproximación a C. Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

7 Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales Fórmulas de Cuadratura Particulares Consideremos que el polinomio característico de 1 n 1 λ n + 1 n k a k λ k 28 k tiene raíces reales distintas λ 1, λ 2,, λ n y supongamos además que ρt 1. Entonces ψ 2 t como solución de la ecuación homogénea con condiciones iniciales ψ k 2, k, n 2, ψn n se expresa en la forma ψ 2 t g i e λit, k, n 1, como ψ k 2 t n g iλ k i etλ i, k, n 1 entonces g g 1, g 2,, g n se determina como solución del sistema de ecuaciones ψ k 2 de aquí obtenemos que g i λ k i, k, n 2, ψ n 1 2 g i g i λ n 1 i 1 n 29 1 n+i, i 1, n 3 i 1 n x i x k x k x i ki+1 ahora ψ 1 t es la solución particular de la ecuación 1 con condiciones iniciales ψ k, k, n 1 31 y puede escribirse como ψ 1 t g i e tλi + K y es evidente que K 1 a, teniendo en cuenta las condiciones 31 ψ 1 g i + 1 a n, ψ k 1 g i λ k i, k 1, n 1 Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

8 146 Yohan Díaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Velázquez P. de aquí obtenemos g g 1, g 2,, g n. La solución ψt se puede escribir en la forma ψt g k e tλ k 1 Nt n + c k g i e λit t k 32 a donde Nt entonces Sean ψ kq ψ q t máx {j : t > t j }, derivando q veces obtenemos t j t t j+1 Nt n g k λ q k eλ kt + c k g i λ q i eλit t k, q 1, n 1 ψt ψ q T g k e λkt 1 N n + c k g i e λ it t k a N n g k λ q k eλ kt + c k g i λ q i eλit t k, q 1, n 1 N n c k g i e λ it t k g k e λkt a N n c k g i λ q i eλit t k g k λ q k eλ kt, q 1, n 1 34 g i λ q i eλ it t k, q 1, n 1, k 1, N, ψ ψ q g i e λit 1, a g i λ q i eλit, q 1, n 1, ψ 1T ψ, ψ 1,, ψ n 1 i recordemos que Ψ t C ψ 1T, C E + γb 1 Ψl + γb, Ψ t E + γb 1 Ψl + γb, Ψ t E + γb 1 Ψl + γb ψ 1T, Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

9 Fórmulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales 147 b i ahora tenemos que y b i b is b b 1, b 2,, b n, b i ψ 1 tψ 2 t t i dt, i 1, N, t i n g k e λkt 1 n g k e λ kt t i dt, a t i ψ 2 tdt + N Nt ψ 1 t + c i ψ 2 t t i dt 2 ψ 2 1tdt + 2 c i N c j N c i ψ 1 tψ 2 t t i dt t ij ψ 2 t t i ψ 2 t t j dt N N N ψ1tdt c i b i + c i c j b ij ψ cb + C t BC, t ij máx{t i, t j }, T n ψ 1 tψ 2 t t i dt g k e λkt 1 n g j e λjt ti dt t i t i a g k e λ kt g j e λ jt t i dt 1 g j e λ jt t i dt a t i g k g j e λ kt λ jt t i e λ kt i λ k + λ j 1 a t i g j e λjt ti 1 λ j ψ 2 t t i ψ 2 t t s dt g k e λ kt t i g j e λjt ts dt t is t is g k g j e λ kt t i +λ j t t s dt t is e λ k+λ jt λ k t i λ jt s e λ k+λ jt is λ k t i λ jt s. λ k + λ j Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp

10 148 Yohan Díaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Velázquez P. Referencias [1] Andersson, J. E. Optimal quadrature of H p functions, Math. Z , [2] Andersson, J. E., Bojanov, B. D. A note on the optimal quadrature in H p, Numer. Math , [3] Bajvalov, N. S. Métodos numéricos, edit. Mir, Moscú, [4] Bojanov, B. D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions, Zastosowania Mathematyki Applications Mathematicae, XIV, , [5] Rabinowitz, P., Davis, P. J. Methods of numerical integration, Academic Press, New York, [6] Gansca, I. On an optimal quadrature formula with high degree of exactness, Rev. Roum. de Mathematiques Pures et Appliquees, XXI [7] Issacson, E., Keller, H. B. Analysis of numerical methods, John Wiley & Sons, New York, [8] Kirin, N. E. Valoración de sistemas en problemas de teoría de control, Edit. FAN, Taskent, 199. [9] Korneichuk, N. P. Splines en teoría de aproximación, Edit. Ciencias, Moscú, [1] Krylov, V. I. Cálculo aproximado de integrales, Edit. Ciencias, Moscú, [11] Nikolski, S. Fórmulas de cuadratura, Edit. MIR, Moscú, 199. [12] Tijomirov, V., Galeev, E. Breve curso de la teoría de problemas extremales, Edit. MIR, Moscú, Divulgaciones Matemáticas Vol. 12 No. 2 24, pp