Unidad II. Movimiento en una dimensión

Transcripción

1 Unidad II. Movimiento en una dimensión

2 Cinemática de una dimensión Discutiremos el movimiento en una dimensión, es decir, en una línea recta. Primero, daremos las definiciones de posición, desplazamiento, rapidez, velocidad, aceleracion, y derivaremos las ecuaciones del movimiento de partículas que se mueven en una dimensión con aceleración constante. Aplicaremos estas ecuaciones al movimiento denominado de caída libre, aquel bajo la influencia de la gravedad.

3 Mecánica Cinemática Dinámica Cinemática es la rama de la física que describe el movimiento, sin examinar las causas que lo producen. Dinámica, trata además de las causas que producen el movimiento, es estudio de las fuerzas.

4 Distancia y desplazamiento Distancia es la longitud total de la trayectoria o camino recorrido por la partícula. Siempre es positiva Se mide en unidades de longitud. Posición es la coordenada de la partícula. Desplazamiento se definie como el cambio en la posición de un objeto. Δ x x f x i x f = valor final de x, x i = valor inicial de x El cambio puede ser positivo, negativo o cero. El desplazamiento es un vector. (Delta)=cambio o variación

5 Distancia o desplazamiento? La distancia puede ser igual, pero no necesariamente igual, a la magnitud del desplazamiento. Desplazamiento Distancia

6 Ejemplo, iniciando en x i = 6 m y terminando en x f = 15 m, el desplazamiento es igual a Δ x = x f - x i = 15 m - 6 m = 9 m Δx > ya que x i < x f. Ejemplo, iniciando con x i = 15 m y finalizando en x f = 6 m, el desplazamiento es Δx = x f - x i = 6 m - 15 m = -9 m Δx < porque x i > x f.

7 Rapidez media y velocidad Rapidez y velocidad no significan lo mismo en física! Rapidez es la tasa de cambio de la distancia. Es un escalar. rapidez media distancia tiem po tiem po (siempre es positiva) Velocidad es la tasa de cambio del desplazamiento: desplazam iento x x (positiva, f i velocidad m edia negativa o cero) La velocidad es un vector Más adelante veremos que esta es la componente x de la velocidad respecto al movimiento en tres dimensiones. t f t i

8 Gráfico posición- tiempo La velocidad media entre los dos tiempos es la pendiente de la línea recta que conecta ambos puntos. La velocidad media de a 3 s es positiva La velocidad media de a 3 s es negativa

9 Velocidad instantánea La velocidad instantánea o velocidad es el límite de la velocidad media para intervalos de tiempo cada vez más pequeños: v lim Δ t Δx Δt dx dt Pendiente = velocidad media entre t 1 y t Pendiente = velocidad media entre t y t 3 Pendiente de la tangente= velocidad instantánea en t 3 El velocímetro indica la velocidad instantánea ( t 1 s). En un gráfico x vs t, la pendiente de la línea tangente a la curva en un punto en el tiempo es la velocidad instantánrea en ese tiempo

10 La velocidad media de una partícula se define como el cociente del desplazamiento en el intervalo de tiempo. La pendiente entre t 1 y t es la velocidad media de este intervalo. v Δx Δt x t f f x t i i La pendiente= velocidad media entre t 1 y t La velocidad instantánea de una partícula está definida como el límite de la velocidad promedio en el intervalo en el límite que el intervalo tiende a cero. v lim Δ t Δx Δt dx dt La pendiente de la recta tangente = velocidad en el instante t

11 Movimiento de un carro (considerado como una particula)

12 Grafico posicion=tiempo del carro

13 Movimiento del carro: velocidad instantanea

14 Grafico posicion tiempo para una particula

15 Ejemplo: Una partícula se mueve en el eje x de conforme a la siguiente expresión x (t) 1- determine el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo entre t=s a t=1s x()= y x(1)=- m x - Calcule la velocidad media en el intervalo en intervalo t= a t=1 v x t 1 m m / s 3- Encuentre la velocidad instantánea de la partícula en t=.5 segundo v 4t dx dt En t=.5s, t 4 v 4 t 6m / s

16 Acceleración Con frecuencia, la velocidad no es constante, sino que cambia en el tiempo. La tasa de cambio de la velocidad se denomina aceleración. a av Δv Δt v t f f v t i i positiva, negativa o cero Esta es la aceleración media. La aceleración es un vector. Tiene dimensiones LT - La unidad de aceleración en el SI: m/s

17 Aceleración instantánea La aceleración instantánea se define como: a lim Δ t Δv Δt dv dt Para indicar el eje de coordenadas:

18 Relacion gráfica entre velocidad y aceleracion

19 Relación gráfica entre posición, velocidad y aceleración en función del tiempo

20 Diagramas de movimiento

21 Velocidad, m/s Gráfico velocidad-tiempo Gráficamente, la aceleración puede encontrarse a partir de la pendiente del gráfico velocidad vs. tiempo. Para estas curvas, la aceleración media y la aceleración instantánea son iguales porque la aceleración es constante.

22 Ejemplo Un carro se mueve de la posición +4. m a la posicion de 1. m en. s. La velocidad inicial del carro 4. m/s y la velocidad final es 1 m/s. (a) Cuál es el desplazamiento del carro? (b) Cuál es la velocidad media del carro? (c) Cuál es la aceleración del carro? Respuesta: (a) x = x f x i = 1. m (+4. m) = 5 m (b) v av = x/ t = ( 5. m)/(. s) =.5 m/s (c) a av Δv Δt v t f f v t i i 1 m s ( s 4 m s ) 1.5 m/s

23 Ejemplo: La velocidad de una partícula que se mueve según la expresión v (4 5t )m / s 1) Encuentre la aceleración media en el intervalo de tiempo t= a t=s v() 4 m / s v() m / s a v t 4 1 m / s ) Determine la aceleración en t=s dv a 1 t m / s dt En, t= entonces a m / s

24 Significado fisico de la pendiente y el area en los graficos de posicion, velocidad -tiempo Grafico posicion tiempo Pendiente= Velocidad ( Grafico velocidad-tiempo Pendiente= Aceleracion Area=desplazamiento Esta área da el cambio en la velocidad Esta área da el cambio de posición

25 Relacion entre los graficos posicion tiempo, velocidad tiempo y aceleracion tiempo

26 Dimensiones y unidades Variable cinematica Dimensiones Distancia L m Posición L m Desplazamiento L m Rapidez LT -1 m/s Velocidad LT -1 m/s Aceleración LT - m/s Unidades SI

27 Movimiento con aceleración constante

28 Movimiento con aceleración constante Si la aceleración es constante, se describe por las siguientes ecuaciones donde x, velocidad v, aceleracion a en el tiempo t: v x x v v at v = velocidad inicial(en x ( v v) t t=) x v 1 v t 1 a ( x at x ) v a (En vez de x f, x i, usamos x y x ) x x = posicion inicial(en t=) t = tiempo inicial se asume aqui igual a s. Si t, remplazamos t en estas formulas con t t

29 Aceleración constante Como la aceleración es un vector, para que sea constante es necesario que a. La magnitud de la aceleración no cambie b. La dirección de la aceleración sea la misma en todo instante

30 Deduccion de las formulas del movimiento rectilineo con aceleracion constante Si la aceleracion es constante, la aceleracioin media es: a t f f t i i Hagamos, t i, t f t entonces, i f Tambien, a t at, (1)

31 Si a = constante, entonces el grafico velocidad vs. tiempo es una variacion lineal: Entonces Pero x x x x t t v v t El área debajo del gráfico es el desplazamiento. Se puede considerar como un rectángulo más un triángulo o un trapecio x x t ( ), ()

32 Sustituyendo ec.(1) en las ec.() Por tanto, 1 x x ( v at o ) t 1 x x t at, (3)

33 Finalmente, sustituyendo el valor de t de la ec. (1) en la ec. () De la ec. (1) v v t a Asi que x x ( )( ) a x x ( ) a o a ( x x ), (4)

34 Resumen Las ecuaciones del movimento solo son validas cuando la aceleracion es constante El movimiento esta restringido a una linea recta. Las ecuaciones del movimiento con aceleracion constante en una dimimension son Ecuacion No. Ecuacion Relación Ec. 1 Ec. Ec. 3 v =v + at x =x + v t + ½ at v =v + a(x x ) Velocidad - tiempo desplazamiento- tiempo velocidad- desplazamiento

35 Movimiento rectilíneo uniformemente variado: Pregunta: cuál ecuación utilizaría para buscar el desplazamiento si conoce el tiempo, la velocidad inicial y la velocidad final? Parabola

36 Deducción de las ecuaciones del movimiento con aceleración constante Para a= constante dv dv adt adt v v v o o o at t t v v at v v at

37 Movimiento con a const (cont.) dx vdt dx vdt dx ( v at ) dt o o dx v dt a tdt x x t t a x v t t x x o o t 1 x x v t at o o t t t

38 Ejemplo: Una particula se mueve de la posición (A) a la posicion (B) en. s. La velocidad inicial del carro es 1. m/s y la velocidad final es 4. m/s. (1) Calcule la aceleracion. Solucion v 1 m/s, v = v + at 4 m/s = 1 m/s + a( s) 3 m/s = a( s) v a = 1.5 m/s 4 m/s, t s

39 () Encuentre la distancia que recorre la particula en los primeros s Tomemos el origen en la posicion inicial: x x x x 1 t at m Ejemplo: Un carro desacelera a. m/s y se detiene despues de recorrer 5 m. Encuentre a) La velocidad del carro al iniciar la desaceleracion y b) El tiempo requerido para detenerse. Solucion: (a= -. m/s) a) De v = v + ax tenemos que v = 1 m/s. b) De v = v + at tenemos que t = 5 s.

40 Ejemplo: Un electrón en un tubo de rayos catódicos de un televisor entra a una región donde acelera uniformemente de una 4 velocidad de a 6 en una distancia de cm 3 1 m / s 5 1 m / s (a) qué duración tiene el electrón en esta región donde acelera? t ( x x ) s (b) cuál es la aceleración de un electrón en esta región? a t m / s

41 Caída libre Es un movimiento debido únicamente a la aceleración de la gravedad. Es un movimiento con aceleración constante. Cerca de la superficie de la Tierra, a=-g=-9.8 m/s, y la magnitud de la aceleración es g=9.8 m/s.

42 Caída libre de objetos Cerca de la superficie de la Tierrra, la aceleración debida a la gravedad es aproximadamente constante: g = a supercie terrestre = 9.81 m/s con dirección al centro de la Tierra Varía entre un mínimo de 9.78 m/s en el Ecuador a 9.83 m/s en los polos. Un cuerpo que cae libremente es aquel que se mueve únicamente debido a la influencia de la gravedad. Se desprecia la resistencia del aire. Un objeto se encuentra en caída libre cuando se libera desde cierta altura, ya sea que se lance hacia arriba o hacia abajo o desde el reposo. Pregunta: Qué relación existe entre la masa del objeto y la caída libre? Respuesta: La aceleración de la gravedad es la misma para todos los objetos cerca de la superficie de la Tierra, sin importar la masa.

43 Variaciones de la aceleración de la gravedad Geode generado por el sáttélite GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer)

44 La manzana y la pluma caen con la misma aceleración de la gravedad en el vacío.

45 Caída libre Caso de un cuerpo que se deja y caer, la velocidad inicial es cero Marco de referencia: tomemos hacia arriba como positivo Sustituya en las 4 ec. anteriores Se utiliza y en vez de x ya que el movimiento es vertical v o = a = -g x a y 1 at 9.8m s

46 Caída libre un objeto que se lanza a = g hacia abajo Tomemos como positivo el eje y hacia arriba, la aceleración será negativa, g = -9.8 m/s² Si la velocidad inicial Si hacia arriba es positivo, la velocidad inicial será negativa.

47 Caída libre objeto que se lanza hacia arriba La velocidad inicial es hacia arriba, por tanto positiva La velocidad instantánea en la máxima altura es cero a = g en cualquier instante del movimiento g siempre apunta hacia abajo, es negativa v =

48 Lanzamiento hacia arriba El movimiento es simétrico entonces t arriba = t abajo entonces v f = -v o El movimiento puede que no sea simétrico si: El movimiento se descompone en varias partes Generalmente hacia arriba y hacia abajo

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50 Movimiento de caída libre no simétrico Es necesario dividir el movimiento en segmentos Puede ser que: Haya porciones hacia arriba y hacia abajo La porción simétrica de regreso al punto de liberación y luego una porción no simétrica.

51 Ejemplo: Una piedra se deja caer desde el reposo desde la azotea de un edificio como se muestra en la Figura. Después de 3s de caída libre, cuánto es el desplazamiento y de la piedra? 1 Solución: y y t gt y 1 (9.8)(3) 44.1 m Ejemplo: Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacia arriba a otro estudiante colocado en una ventana a 4 m por encima como se muestra en la Figura. Las llaves las captura 1.5s después. (a) Con qué velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? (b) Cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser capturadas?

52 Solución: a)sea y o = y y = 4m en t =1.5s luego encontramos y = y o + v o t - 1/ g t 4 = v o (1.5) v o = 1 m/s b) La velocidad en cualquier instante t > es v = v o - gt v = (1.5) = m/s

53 Ejemplo gráfico: Una bola es lanzada hacia arriba desde el nivel del terreno. a b a b a b x = altura de la bola por encima del terreno La velocidad es positiva cuando la bola va hacia arriba Por qué la aceleración es negativa?

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55 Discusion

56 [1] La posicion vs tiempo de cierta particula que se mueve en el eje x se muestra en la Figura. Encuentre la velocidad media en los intervalos de tiempo: (a) a s, (b) a 4 s, (c) 4 s a 5 s, (d) 4 s a 7 s, (e) a 8 s. a) a s b) a 4 s c) 4 a 5 s x x 1 1 m x 5m / s t 5 1 5m x 5 m / s t x 5 x t 5 d) 4 a 7 s x m 3.3m / s

57 [] El grafico posicion-tiempo de una particula que se mueve en el eje x se muestra en la Figura. (a) Halle la velocidad promedio en el intervalo de tiempo t = 1.5 s a t = 4 s. (b) Para qué valor de t la velocidad es cero? Solución: (a) m / s (b) En el tiempo t = 4 s

58 [3] Una partícula se mueve en el eje x. Su posición está dada por la ecuación x= t + 3t con x en metros y t en segundos. Calcule la velocidad y aceleración en t=3 s. Solución: Primero, la velocidad instantánea en t=3s v dx dt 6 t v t m / s La aceleracion instantánea en t=3s a a dv dt t 3 6 6m / s

59 1- [4] Considere el movimiento de un objecto cuyo gráfico velocidad-tiempo se muestra en el diagrama 1- Cuál es la aceleración de un objeto entre los tiempos t= y s? - Cuál es la aceleración del objeto entre los tiempos t=1 a 1s? 3- Cuál es el desplazamiento neto de un objeto entre los tiempos a 16s? Solución: - 3- El desplazamiento es igual al área debajo del gráfico v-t =1m. Verifíquelo (área de cada sección del gráfico)

60 [5] Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x = + 3t - t donde, x está en metros y t está expresada en segundos. En t= 3 s, encuentre (a) la posición de la partícula, (b) su velocidad, y (c) su aceleración. Solución: (a) La posición de la partícula x t 3s m (b) su velocidad, v dx dt 3 t v t 3 9m / s (c)su aceleración a dv dt a t 3 m / s

61 [6] Un camión recorre 4m en 8.5 s mientras desacelera suavemente hasta una velocidad final de.8 m/s. (a) Encuentre su velocidad inicial. (b) Encuentre su aceleración. Solución (a) Tomemos el origen como la posición inicial x = x x 4 (.8 ( 6.61 m / s ) )t 8.5 (b) at a t m / s

62 [7] Un muchacho lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio con una velocidad inicial de. m/s. El edificio tiene una altura de 5 metros. Determine (a) el tiempo requerido para que la pelota alcance la máxima altura (b) la altura máxima (c) el tiempo requerido para que la bola lleve a nivel del lanzador (d) la velocidad de la bola en ese instante (e) la velocidad y posición de la bola después de 5. s (f) la velocidad de la bola cuando llega al piso del edificio. Solution: (a) En la máxima altura v =, así que Datos: g = 9.8 m/s v o = m/s y o = 5 m v v gt (9.8)( t) t.4 s

63 (b) La máxima altura es y y t 1 gt y (.4 ) y 7.4m (c) El tiempo requerido para que la bola llegue al nivel del lanzador Nota :el tiempo para llegar al tope es de regreso al lanzador es el mismo por tanto, (.4) = 4.8 segundos (d)la velocidad de la bola en ese instante v v v v gt (9.8)(.4 ) m / s Que es la misma que la velocidad inicial con que fue lanzada hacia arriba, excepto que ahora es negativa lo que quiere decir que se mueve a velocidad de m/s hacia abajo.

64 (e) La velocidad de la bola después de 5. s v v gt y y t 1 gt v v 9 m / (9.8)(5) s y y 5 7.5m (5) (f) La velocidad de la bola justo antes de llegar al terreno v v ( ) g ( y 37.1m / s y ) (9.8)( 5 ) Pero, el contexto del problema nos permite elegir, m/s porque la bola se mueve hacia abajo

65 [8] Suponga que una avioneta se mueve a 35 m/s, y se desacelera al lanzar retro proyectiles, tal que a= -1 m/s. Cuál es la velocidad de la avioneta después de viajar 15km? Solución: a (y y ) v (35 ) ( 1 )( ) v m / s

66 [9] Un carro puede frenar para detenerse en una distancia de 11 pie desde una rapidez de 6. milla/hora. Para frenar y detenerse desde una rapidez de 8. mi/h necesita una distancia de 11 pies. Cuál es la aceleración media para frenar a (a) 6 milla/h hasta el reposo, (b) 8 mi/h hasta el reposo, (c) 8 mi/h hasta 6 mi/h? Exprese las respuestas en m/s. 1 milla = 169 m = 1.69 km 1 pie=.34 8 m = 3.48 cm 1 m = plg. = 3.81 pie 1 plg. =.5 4 m =.54 cm 11 pie m m 11 pie m 64.31m m illa 169 m m h 6 6 s s m illa 169 m m h 6 6 s s

67 ( a ) v v a x (6.8) a a 9.75 m s ( b ) v v a x (35.76) a a 9.94 m s ( c) v 6milla / h & v 8milla / h tarea

68 Movimiento relativo Todo movimiento es relativo a un marco de referencia definido. Un marco de referencia consiste en un sistema de coordenadas y un reloj (medición del tiempo). Por ejemplo, un marco de referencia puede estar en reposo respecto a la Tierra o móvil respecto a la Tierra.

69 Movimiento relativo Consideremos dos partículas A y B en trayectoria rectilínea Sean las coordenadas x x x A B BA coordenada de A (respecto al origen O ) coordenada de B (respecto al origen O ) coordenada de la partícula B respecto a la partícula A x A x B De la figura se observa que: x x x B A BA o más explícitamente, x x x BO AO BA Si la partícula B está a la derecha de A, x AB es positivo, si la partícula B está a la izquierda, X AB es negativo. x AB x BA

70 Movimiento relativo Derivando la posición respecto al tiempo t dx dx dx B A A B dt dt dt v v v B A B A v v v B A B A Derivando la velocidad respecto al tiempo t, dv dv dv B A BA dt dt dt a a a B A BA a a a BA B A Si las partículas A y B se mueven el mismo sentido, entonces: v BA v B v A Si las partículas A y B se mueven en sentidos opuestos: v BA v B v A

71 Preguntas

72 [1] La posición vs tiempo de cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x se muestra en la Figura. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo (a) to s, (b) to 4 s, (c) 4 s to 5 s, (d) 4 s to 7 s, (e) to 8 s. [] Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición está dada por x= t + 3t donde x está en metros y t en segundos. Calcule la velocidad y aceleración en t=3s.

73 [3] La Figura muestra el gráfico posicion-tiempo de una particula que se mueve a lo largo del eje x. (a) Halle la velocidad media en el intervalo de tiempo t = 1.5 s a t = 4 s. (b) Para qué valor de t es cero la velocidad? [4] Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x = + 3t - t donde, x está en metros y t en segundos. Para t= 3 s, halle (a) la posición de la partícula, (b) su velocidad,y (c) su aceleración.

74 [5] Considere el movimiento de un objeto con un gráfico velocidad-tiempo como el diagrama 1- Cuál es la aceleración del objeto entre los tiempos t= a s? - Cuál es la aceleración del objeto entre t=1 a 1s? 3- Cuál es el desplazamiento neto del objeto entre los tiempos a 16s? [6] Un camión recorre 4m en 8.5 s mientras suavemente desacelera hasta alcanzar una velocidad final de.8 m/s. (a) Halle su velocidad inicial. (b) Halle su aceleración.

75 [7] Un niño lanza una bola hacia arriba desde la azotea de un edificio con una velocidad inicial de. m/s. El edificio tiene una altura de 5 m. Determine (a) el tiempo requerido por la bola para alcanzar la altura máxima (b) la altura máxima (c) el tiempo requerido para que la bola alcance el nivel del niño que la lanzó (d) la velocidad de la bola en ese instante (e) la velocidad y posición de la bola después de 5. s (f) la velocidad de la bola cuando alcanza el piso. [8] Suponga que un transbordador viaja a 35 m/s, y los retroproyectiles lo desaceleran, con aceleración a= -1 m/s. Cuál es la velocidad del transborador espacial después que ha viajado 15km?

76 [9] Un carro puede frendar hasta detenerse en una distancia de 11 pies desde una velocidad de 6. milla/h. Para frenar hasta detenerse desde una velocidad de 8. milla/h requiere una distancia de 11 pie. Cuál es la aceleración de frenado promedio para (a) 6 mill/h hasta el reposo, (b) 8 milla/h hasta el reposo, (c) 8 milla/h hasta 6 milla/h? Exprese las respuestas en m/s. [1] Una piedra se lanza desde la azotea de un edicio con una cuando viene hacia abajo velocidad inicial de. m/s hacia arriba. El edificio es de altura de 5. m, y la piedra llega justo al borde del techo,como ose muestra en la Figura. Utilice t A = como el tiempo en que la piedra deja las manos del lanzador en la posición A, determine (A) El tiempo para el cual la piedra alcanza su máxima altura (B) La máxima altura, (C) El tiempo en el cual la piedra retorna a la altura desde la cual fue lanzada, (D) La velocidad de la piedra en este instante, y (E) La velocidad y posición de la piedra en t = 5. s.

77 [11] Un carro se mueve km al Este y 6 km al Oeste en horas. Cuál es la velocidad media? Resp. [ m/s ] [1] Un carro se mueve km al Este y 7 km al Oeste. Cuál es la distancia? Resp. [ 9m/s ] [13] Si un carro acelera desde 5 m/s a 15 m/s en segundos, cuál es la aceleracion media del carro? Resp. [ 5m/s ] [14] Cúánto tarda en acelerar un objeto desde el reposo hasta 1 m/s si la aceleración fue de m/s? Resp. [ 5s ] [15] Si un carro acelera desde 5 m/s a 5 m/s en 1 segundos, qué tan lejos viajará? Resp. [ 15m ] [16] Cuál es el desplazamiento de un carro cuya velocidad inicial es de 5 m/s y luego acelera a m/s por 1 s? Resp. [ 15m ]

78 [17] Cuál es la velocidad inicial de un carro que acelera 1 m/s desde el reposo y viaja 18m? Resp. [ 6m/s ] [18] Cuánto tarda en caer una mango desde un árbol de altura de 9.4m hasta llegar al suelo? Resp. [.4s ] [19] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x =. + 3.t -1.t, donde x está en metros y t en segundos. En t = 3. s, halle(a) la posición de la partícula (b) su velocidad, y (c) su aceleración. [] Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la ecuación x(t) = (3.t -.t + 3.) m. Determine (a) la velocidad media entre t =. s y t = 3. s, (b) la velocidad instantánea en t =. s y en t =3. s, (c) la aceleración mediaentren t =. s y t = 3. s, y (d) la aceleración instantánea en t =. s y t = 3. s. [1] Una parícula se mueve a lo largo del eje x. Si la posición está dada la ecuación x = + 3t - 4t con x en m y t en segundos. Determine (a) su posición cuando cambia la dirección y (b) su velocidad cuando retorna a la posición que tenía en t =.

79 [] Una bola es lanzada hacia abajo, con una velocidad inicial de 8. m/s, desde una altura de 3. m. Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea el suelo? [3] Una bola se deja caer desde el reposo desde una altura de h encima del terreno. Otra bola es lanada verticalmente hacia arriba desde el terreno en el instante que la primera bola fue liberada. Determine la velocidad de la segunda bola si las dos bolas se juntan a una altura de h/ encima del terreno. [4] La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x es v=1+5t, v expresada en m/s y t en segundos. a) determine la aceleración instantánea para t=5 s, b) determine el desplazamiento entre t=1 s y t=3 s, c) determine la ecuación de la posición, d) determine la posición en t=1 s y t=3 s.