UNIDAD I: ANALISIS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

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1 UNIDAD I: ANALISIS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 1. INTERÉS SIMPLE: Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del interés principal, el número de periodos y la tasa de interés. Los intereses no se capitalizan. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Los intereses no generan más intereses sino que se liquidan sobre el capital inicialmente invertido. Su fórmula está dada por: Para hallar el valor futuro a interés simple necesitamos de la siguiente fórmula: Dónde: El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el tiempo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Ejemplo: 1

2 1. Calcular en cuánto se convierten colocados durante 8 meses a una tasa de interés simple del 8% mensual? Lo que interesa en este caso es calcular el VF y tenemos entonces: VP= ip= 8% = 0.08 n= 8 meses VF= El día de hoy obtenemos un préstamo por $ y después de un año pagamos $5, Determinar la tasa de interés mensual. En este caso debemos calcular la tasa de interés, es decir ip para lo cual debemos despejamos de la fórmula de VF VF= VP= n= 12 ip = = 1.5% mensual 2

3 2. INTERÉS COMPUESTO Intereses sobre los intereses : La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Es el rendimiento de un capital tomado a préstamo, cuando al principal inicial van acumulándose los intereses generados sucesivamente, en un proceso de retroalimentación que ensancha, momento a momento, la base del capital. Valor Futuro a interés compuesto: Dónde: Ejemplo 1. Supongamos que el señor Álvaro Romero invierte en el Banco Bogotá $ en un CDT a 6 meses, con una tasa del 2% mensual de interés compuesto. Cuánto dinero recibirá el señor Romero al cabo de 6 meses? VP= n= 6 meses ip= 2% = La señora María Teresa Vargas necesita $ dentro de 10 meses Cuánto debe invertir hoy si le ofrecen una tasa del 1.5% bimestral compuesto para lograr su objetivo? 3

4 En este caso no es el valor futuro el que debemos calcular, sino el Valor Presente, para lo cual se hace necesario despejar VP de la fórmula El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el tiempo irá en meses, etc.). En este caso para no hacer aún conversión de tasas, es necesario adecuar el tiempo a la tasa que nos estén dando. 4

5 3. EQUIVALENCIA DE TASAS Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. Tasa de Interés Nominal Es una tasa cuyo uso está muy generalizado en nuestro medio y aunque tiene una cobertura de un año no se liquida anualmente sino que se fracciona para periodos menores a un año. Por ejemplo: 24% anual liquidable mes vencido. Esto significa que el 24% se debe fraccionar para periodos mensuales, ósea que en realidad se liquidará el 2% sobre saldos vencidos. ip= 0.24/12 =0.02 =2% mensual. Tasa efectiva anual de interés (ia) Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Representa el rendimiento real obtenido sobre una inversión. Observaciones a tener muy presentes: La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, porque es una función exponencial. Tasas nominales equivalentes entre sí, siempre tendrán la misma tasa de interés efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad que ofrezca la más alta (sin consideraciones por ahora del riesgo) y para endeudarse elegir aquella tasa que en términos efectivos sea la menor. Es decir una tasa del 36% anual liquidable trimestralmente sería: 5

6 Equivalencia de Tasas: 1. De una tasa nominal anual a una tasa efectiva anual Ejemplo: LA señora María Castro está realizando una inversión a una tasa nominal del 38% anual capitalizable semestralmente. La señora María Castro desea saber cuál es la tasa efectiva anual. (Número de liquidaciones en un año) 2. Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa periódica. Ejemplo. Dada una tasa anual efectiva del 24%, hallar la tasa mensual equivalente. m= Número de liquidaciones en un año 6

7 3. Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal anual equivalente pero con diferente periodicidad. Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo más expedito será hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada. Ejemplo: Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente. Como se mencionó, se encuentra la tasa efectiva equivalente al 24% nominal mes vencida: Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva: Nominal con capitalización trimestral vencida. 4. Dada una tasa periódica, hallar otra tasa periódica equivalente Ejemplo: Convertir el 3% mensual en una tasa semestral equivalente ip 1 = 0.03 m 1 =12 ip 2 = m 2 = 2 ip 2 = (1+0.03) 12/2-1 ip 2 = = 19.40% semestral 7

8 5. Dada una tasa periódica anticipada, hallar una tasa periódica vencida ip v = ip a /(1- ip a ) Con esta fórmula se convierte una tasa periódica anticipada a una tasa periódica vencida Ejemplo: Convertir el 3.5% mensual anticipado en una tasa mensual vencida. ip v = 0.035/( ) = =3.63% mensual vencido 8

9 4. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA 1 Ocurre con alguna frecuencia que por razones de liquidez las deudas no siempre se pueden cancelar en las fechas estipuladas inicialmente, siendo por tanto necesario acordar una nueva forma de pago. Para resolver esta situación se ha recurrido al uso de las llamadas ecuaciones de Valor o equivalencia, las cuales permiten cambiar el conjunto inicial de obligaciones por un nuevo conjunto equivalente. Para efectuar dicho cambio y establecer la equivalencia, se escoge una fecha que los autores llaman fecha focal (ff) y se plantea la ecuación: O sea que se traslada todo a la fecha focal y se igualan los resultados. Estas transacciones se pueden realizar a interés simple o a interés compuesto. Ejemplo: La señora Mariela Patiño debe al Banco Caja Social los siguientes pagarés: con vencimiento a 6 meses con vencimiento a 9 meses con vencimiento a 18 meses Acuerda con el Banco pagar a los 3 meses, y dos pagos iguales con vencimiento de 15 y 21 meses respectivamente. La señora desea saber el valor de dichos pagos sabiendo que para el cambio se pactó una tasa del 29% anual de interés simple. Tomamos como fecha focal el punto 0. 1 CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador. Universidad de Manizales 9

10 X X El valor de los pagos es de Nota: (Como la tasa es anual y el n es mensual, se necesita convertir los meses a años por lo tanto se divide en 12. Si en el ejercicio todo está en meses no es necesario dividir) Ahora vamos a cambiar la fecha focal y tomamos 12 meses como fecha focal 10

11 X X Ejemplo: Una persona debe pagar $ dentro de tres meses, $ dentro de diez meses y $ dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de $ para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es 11

12 del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago. La tasa de periódica es: Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso: n Tomemos como fecha focal el instante cero: Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x 30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete días. 12

13 5. SERIES UNIFORMES Las series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a Intervalos iguales de tiempo. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad. Valor presente, VP: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago único ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor C cada uno efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al final de cada intervalo de pago se llama serie uniforme ordinaria o vencida y si ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida. Tasa de interés periódica, ip: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa de interés. Es la misma tasa periódica de interés a la cual nos hemos referido en los temas anteriores. Valor de los pagos o cuotas iguales, C: La característica de las series uniformes es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago. Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o término de la serie uniforme, N: En el esquema de los pagos únicos de valor presente y valor futuro, N se refiere a los periodos de conversión. En las series uniformes, hace alusión al número de pagos o cuotas iguales. Valor futuro, VF: Constituye un pago único futuro al final del plazo de la serie y el cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de pago. 13

14 Valor Presente de una serie uniforme Amortizaciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto cancelar un capital. Las amortizaciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo. Valor Presente anualidad Vencida Ejemplo. Supongamos un préstamo por valor de , contratado a una tasa nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales iguales vencidas y durante un plazo de 15 años. Determinar el valor de las cuotas mensuales iguales: Despejamos el valor de la cuota de la ecuación para hallar el valor presente: En Excel: 14

15 15

16 Valor Presente anualidad Anticipada Ejemplo. Un carro usado se ofrece en venta con el siguiente plan de crédito. 36 cuotas mensuales anticipadas de y un interés mensual sobre saldos del 3%. Determinar el valor de contado. En Excel: 16

17 Ejemplo. VP= Crédito: plazo 8 meses, tasa interés 2.5%. Qué cuota mensual debe pagar el cliente si compra a crédito. Un computador cuyo precio de contado es de se adquirió dando una cuota inicial de El resto se financió mediante el pago de 12 cuotas mensuales vencidas con un interés vencido del 1.8% mensual. Determinar el valor de la cuota. Valor futuro de una serie uniforme Imposiciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto acumular un capital. Las imposiciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo. 17

18 Valor Futuro Anualidad Vencida Valor Cuota Imposición vencida Valor Futuro Anualidad Anticipada Valor Cuota imposición Anticipada Ejemplo: Ramón Molina al principio de cada mes ha depositado $ durante los últimos tres años. En una entidad que abona el 2,1% mensual sobre el saldo. Ramón desea saber Cuál es el capital que ha acumulado a los tres años? 18

19 En Excel: 19

20 Ejemplo: Cuánto debe depositar María López al principio de cada mes en el Banco Bogotá, el cual abona el 2,25% mensual para acumular en un período de 2 años. En Excel: 6. ANUALIDADES DIFERIDAS En muchas situaciones de la vida real se presentan casos en los cuales la primera cuota de la anualidad ocurre después de transcurrido un determinado número de periodos. Este lapso de tiempo en el cual no se presentan cuotas recibe el nombre de PERIODO DIFERIDO. Cuando se trata de amortización de créditos se le llama PERIODO DE GRACIA. 20

21 Las anualidades diferidas pueden ser también vencidas o anticipadas. ANUALIDAD VENCIDA ANUALIDAD ANTICIPADA Cuando se habla de un periodo de gracia, esto no significa que durante este tiempo el crédito esté exento de intereses; simplemente durante este periodo no se pagan cuotas. CÁLCULOS BÁSICOS En este tipo de anualidades nos interesa básicamente calcular el valor del préstamo o el valor de la cuota que permite amortizar dicho préstamo. 21

22 Valor Presente Anualidad diferida Vencida Valor Presente Anualidad Diferida anticipada Cuota vencida Cuota anticipada Ejercicio: Al nacer Julián Rodríguez su padre deposita cierta cantidad de dinero en una entidad financiera, con el propósito de asegurarle su educación universitaria. Si éste ingresa a la Universidad a la edad de 18 años y su carrera dura 6 años, determinar la cantidad depositada por el padre, teniendo en cuenta que el costo del semestre para esa época, se estima será de $4' y que la entidad le pagará en promedio durante todo este tiempo, un 8% semestral vencido. 22

23 Como no se especificó, asumimos aquí que las cuotas son vencidas. Por lo tanto, se trata de calcular el valor presente de una anualidad vencida. Series infinitas Las series infinitas constituyen unos conjuntos de pagos o cuotas que tienden a infinito, también denominadas rentas perpetuas. La mayor aplicación de estas series se encuentra en los fondos de pensiones, seguros de vida y modelos en valoración de empresas, entre otras. Las series uniformes y series gradientes puede ser infinitas, nuestro propósito es lustrarlas a continuación. El valor presente P de esta renta perpetua, lo compone un pago único ahora equivalente a la serie infinita de cuotas iguales. 23

24 Ejemplo. Supongamos que queremos establecer un fondo de pensiones, de tal manera que atienda a perpetuidad los retiros por cada $ mensuales para alguien que desea obtener su pensión de jubilación. Este fondo reconoce una tasa de interés efectiva anual del 18%. De la ecuación de valor presente de esta serie: C es el valor del retiro mensual de $ La tasa de interés está referida para el periodo anual, por lo tanto se debe establecer la tasa de interés periódica mensual. Este valor constituye el valor del fondo que permite a perpetuidad, retirar la suma de $ para atender la pensión. Realmente es un pago único ahora equivalente a la serie infinita de cuotas de valor C cada una. Naturalmente, al plan diseñado debemos de involucrarle crecimiento, el cual permita contrarrestar la pérdida del poder adquisitivo del dinero. 7. GRADIENTES En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto). 24

25 Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual) Gradiente geométrico Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en periodos consecutivos de pagos. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión. Valor Futuro Gradiente Geométrico Valor Presente Gradiente Geométrico Ejemplo: Calcular el valor presente y el valor futuro de la siguiente serie de pagos de un crédito emitido por el banco Colombia con un tasas periódica del 25% y comparar con el de Davivienda que tiene una tasa periódica del 27%. 25

26 Banco Colombia Davivienda 26

27 Gradiente aritmético o lineal Se presenta cuando los pagos en una serie aumentan o disminuyen de una cantidad constante. Si la constante es positiva, la serie es creciente, si es negativa la serie es decreciente. Valor Presente Gradiente Aritmético Valor Futuro Gradiente Aritmético Ejemplo: Necesito acumular un capital durante 15 meses. Tengo el siguiente plan de ahorro pero necesito saber si es suficiente. El primer mes el segundo y así sucesivamente hasta el mes 15, a una tasa 20% anual liquidable mes vencido. 27

28 Referencias AYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financieras.- - Mc Graw Hill, CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, CARDONA, Alberto Matemáticas financieras. -- Editorial Interamericana SA., CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador. Universidad de Manizales CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.- - Semiflash, CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión. 3R Editores, EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- - Prentice Hall, FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - merican Economic Review. Junio, NAVARRO, Castaño Diego. Matemáticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia. Recuperado de: VÉLEZ P., Ignacio Decisiones de inversión enfocado a la valoración de empresas. CEJA,