Es la relación que existe entre la utilidad obtenida en un periodo y el capital que inicialmente se comprometió para producir dicha utilidad.

Transcripción

1 M a t e m á t i c a F i n a n c i e r a CAPITAL En esta clase el capital es el dinero que se invierte o es prestado. INTERES Para definir el interés nos podemos remitir a algunas definiciones: Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo. Utilidad o ganancia que genera un capital. Alquiler que se paga por hacer uso del capital ajeno. Retribución económica que le devuelve el capital inicial al inversionista. TASA DE INTERES Es la relación que existe entre la utilidad obtenida en un periodo y el capital que inicialmente se comprometió para producir dicha utilidad. Ejemplo: si una persona invierte hoy la suma de $ y al final del año recibe la suma de $ , cuál fue la tasa de interés que estuvo involucrada en esta inversión? DATOS: CAPITAL INICIAL (VP) = $ CAPITAL FINAL (VF) = $ INTERES EN PSOS ( I ) = VF VP = $ $ $ I = $ Denotemos la tasa de interés con la letra i i= I / VP = $ / $ i= 0.20 = 20 % TIEMPO Es el lapso durante el cual se hace uso o se cede el capital y según las partes se puede dividir en años, meses, semestres, trimestres, días, entre otras. POSTULADO DE LAS FINANZAS Este principio establece que el interés producido por una inversión está en función de tres variables: El capital inicial: mientras más grande sea el capital mayor será el interés producido por éste.

2 La tasa: ésta depende de las fuerzas del mercado, y esta sujeta al juego de la oferta y la demanda. Cuando hay escasez de dinero las tasas aumenta y cuando hay abundancia de él, las tasas tienden a disminuir. El tiempo: mientras mayor sea la duración de la inversión, mayor será el interés producido. Lo anterior nos permite concluir que para cualquier cálculo de intereses, es absolutamente necesario establecer los valores de las tres variables mencionadas. TIPOS DE INTERES 3.1. INTERES SIMPLE Se dice que una operación financiera está sujeta al concepto de interés simple, cuando los intereses liquidados periódicamente no se suman al capital, es decir los intereses no generan intereses; por lo cual el capital inicial (VP) permanece constante durante la vigencia de crédito o de la inversión. NOTA: La tasa de interés simple se aplica sobre el capital inicial, lo que hace que los intereses sean iguales en todos los periodos. EJEMPLO 1: Una persona presta $ al 3% mensual, durante 7 meses. Cuánto se espera recibir de intereses? DATOS: VP = $ i= 3% mensual = 0.03 TIEMPO (n) = 7 meses I =? Solución: Tenemos que I = VP. i. n I = $ I = $ Respuesta, el interés producido por $ al 3% mensual durante 7 mess es $

3 Nota: la tasa de interés y el tiempo tienen que estar en la misma base, es decir, si los intereses son mensuales el tiempo tiene que ser mensual; si es bimestral el tiempo es bimestral. EJEMPLO 2: Un CDT de $ paga un interés del 2.8% trimestral simple; cuánto genera en concepto de intereses en un año. DATOS VP = $ i= 2.8 % trimestral n = 1 año = 4 trimestres. Solución I = $ I = $ Respuesta, un CDT de $ colocados al 2.8% trimestral durante un año genera un interés de $ EJEMPLO 3: Una inversión generó un interés de $ durante 3 años, si la tasa de interés que se reconoció por esta inversión fue el 2.3% mensual, cuál fue el capital que inicialmente se invirtió? DATOS: I = $ i= 2.3% mensual n = 3 años = 36 meses Solución Por formula general tenemos que I = VP.i.n Se despeja de la formula VP, VP = I / (i.n) entonces, VP = $ / ( ) VP = $ / VP = $ , 84

4 Respuesta, para que una inversión produzca un $ de interés, durante tres años a una tasa del 2,3% su capital inicial debe ser $ EJEMPLO 4: Durante cuanto tiempo estuvo invertido un capital de $ para que al 4% bimestral produjera $ de intereses. DATOS VP = $ I= $ i= 4% bimestral = 0.04 n =? Por fórmula general tenemos que Despejamos de la formula, I = VP.i.n n= I / (VP.i) entonces n = $ / ($ ) n = $ / $ n= bimestres Respuesta, el tiempo que se necesita para un capital de $ produzca $ de interese a una tasa de 4 % bimestral es de 16,75 bimestres. EJEMPLO 5: Una persona realizo una inversión de $ y al año y medio recibió de intereses la suma de $ , cual fue la rentabilidad mensual de esta inversión. DATOS: VP = $ I = $ n = 1, 5 años = 18 meses i=? Por formula general tenemos que I = VP.i.n Despejamos i i= I /( VP.n) Entonces, i= $ / ($ )

5 i = $ / $ i = equivalente a 0.634% mensual. NOTA: Cuando la respuesta sea en tasa de interés, esta se debe dar en términos porcentuales. EJEMPLO 6: Qué suma tendrá que pagar una persona al término de 3 años, si en este momento le prestan $ al 5% semestralmente y se debe pagar al final los intereses y el capital? Antes de solucionar el ejercicio, cabe aclarar que en ocasiones no se pagan periódicamente los intereses sino que se pacta desde el inicio, entre las partes, el pago de los intereses y el capital al finalizar el vencimiento del plazo, esto es conocido como monto o valor final o valor futuro y lo denominamos VF. Se denomina monto o valor futuro al capital inicial (VP) más los intereses (I), entonces: VF = VP + I Recordar que I = VP.i.n Reemplazamos en la fórmula, VF = VP + (VP.i.n) VF = VP.(1+ (i.n)) Solución del ejercicio DATOS: n = 3 años = 6 semestres. VP = $ i= 5% semestral 0,05 VF =? Tenemos que VF = VP.(1 + (i.n)) VF = $ ( 1 + ( 0,05. 6) VF = $ ( 1 + ( 0,3)) VF = $ ,3 VF = $ Respuesta, al termino de tres años, una persona que presta $ al 5% semestral debe pagar al vencimiento $ 9,

6 EJEMPLO 7: Calcule el monto a recibir en nueve meses por ahorrar $ hoy, con una tasa de interés del 8,5% anual. DATOS. VP = $ i= 8,5% anual 0,085 n = 9 meses = 9/360 = 0,025 VF=? Utilizamos la fórmula VF = $ ( 1+ (0,085.0,025)) VF = $ VF = $ Respuesta, por ahorrar $ hoy, a una tasa de interés del 8,5% anual por nueve meses recibe $ EJEMPLO 8: Un crédito tiene un valor al vencimiento de $ Cuál será el valor presente en 60 días antes del vencimiento? Suponga una tasa de interés del 28% anual. DATOS VF = $ n= 60 días = 60 / 360 = 0, i= 28% 0,28 VP =? Solución Sabemos que VF = VP. (1 + (i. n)) Despejamos de la fórmula VP = VF / (1+ (i.n)) entonces, VP = $ / (1+ (0,28. 0, )) VP = $ / (1, ) VP = $ , 26 Respuesta, el valor presente de un crédito que estaba al 28% en 60 días es de $85.987, 26.

7 FORMULAS DE INTERES SIMPLE Fórmula 1 Interés simple I = VP. i. n Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = I /( i. n) Fórmula 3 Tasa de Interés i = I / ( VP.n) Fórmula 4 Número de Periodos n = I / (VP. i) Fórmula 5 Monto o Valor Futuro VF = VP. (1 + i. n ) G u í a 1 : I n t e r é s s i m p l e 1) Durante cuánto tiempo fue necesario dejar depositados $ 7200, con una tasa trimestral del 6 %, para obtener una ganancia de $ 2160? Rta: 15 meses 2) Por depositar $ 2700 durante un año y medio se obtiene una ganancia de $ Cuál es la tasa de interés trimestral?. Rta: 12 % 3) Qué suma se deberá depositar, por el lapso de 15 meses para obtener un rédito de $ 3333, en un banco que ofrece el 12 % mensual?. Rta: $ 1851,67 4) Qué inversión es necesario hacer para que durante dos años y medio de depósito, al 15 % semestral produzca una ganancia de $ 1500?. Rta: $ ) En qué tiempo $ 3500, depositados en un banco que ofrece una tasa del 4 % mensual, producen un beneficio de $ 1960?. Rta: 14 meses 6) A qué tasa de interés trimestral es necesario depositar $ 4500 durante dos años para que produzcan una ganancia de $ 1800?. Rta: 5 % 7) A qué tasa de interés anual se deben depositar $ para que produzcan un interés exacto de $ 176, después de 73 días de depositados?. Rta: 22 % 8) Realizamos un depósito de $ , al 2,5% bimestral, y obtenemos una ganancia de $ En qué tiempo se produjo dicha ganancia?. Rta: 30 meses 9) Si queremos que $ 7.200, depositados al 18 % anual, produzcan una ganancia de $ 245, utilizando año exacto. Durante cuántos días debemos dejar el depósito?. Rta: 69 días 10) Qué inversión es necesario hacer para que durante 1 año y medio de depósito, al 5 % trimestral produzca una ganancia de $ 1.296,30?. Rta: $ ) Cuántos días de depósito son necesarios para que $ produzcan una ganancia de $ 134,79, si la tasa anual es 0,08, (año exacto)?. Rta: 123 días

8 12) Qué suma de dinero se obtendrá como beneficio si se prestan $ 5.600, durante 8 meses, al 6 % bimestral?. Rta: $ ) Cuánto dinero nos han prestado si a los 65 días debemos pagar un interés comercial de $ 116,93 y hemos trabajado con una tasa de interés de 0,28 anual?. Rta: $ 2.312,90 14) A qué tasa de interés semestral es necesario depositar la suma de $ 7.800, para que en 3 años y medio produzca un beneficio de $ 2.730?. Rta: 5 % G u í a 2 : I n t e r é s s i m p l e Completar los espacios vacíos siendo la capitalización anual Ejerc Capital Razón t (días) Is Año comercial Is Año exacto 15) $ % 75 16) 24 % 45 $ 166,65 17) 18 % $ 133,32 18) $ % 72 19) Calcular el interés que producen $ en 9,5 meses al 2% mensual. Rta: $ ) Cuál es el interés que ha producido por $ en 3 meses al 1,5% mensual. Rta: $ 652,50 21) Calcular el interés que ha ganado una colocación de $17000 que permaneció invertida durante 15 meses al 12% semestral. Rta: $ ) Determine cual es el capital que en 120 días produce $ 1224 de interés al 18% anual. Rta: $ ) Calcule el capital que en 5 meses y 20 días produce $1.020 de interés al 18% anual. Rta: $ ) Si las 2/3 partes de un capital producen $ de interés en 7 meses y 10 días al 24% anual. Cuál es el valor del mencionado capital?. Rta: $ ) Calcule el capital inicial de un deposito si el duplo del mismo produce, en 5 meses y 20 días, un interés de $ al 18% anual. Rta: $ ) El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de interés durante 9 meses. El resto de ese capital se coloca en la misma fecha

9 al 24 % anual durante el mismo lapso. Si el interés total al 15 de diciembre es de $ , Cuál es el capital originario?. Rta: $ ) A qué porcentaje anual se colocaron $ si en 14 meses ganaron $ 5.903,33?. Rta: 22% 28) Un capital de $ permaneció colocado durante 8,5 meses ganando en concepto de intereses la suma de $4.151,40. A qué tasa de interés se colocó?. Rta: 18 % anual. 29) A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $ que en 7 meses y 15 días se incremento en $ 7.032,75?. Rta: 24 %. 30) Calcule la tasa de interés anual que en 8 meses hizo que un capital de $ produjera una ganancia de $9.034,50. Rta: 19 % 31) Las 2/3 partes de un capital de $ se colocaron durante 6 meses al 10 % anual, mientras que el resto de ese capital se colocó durante el mismo lapso a una tasa de interés distinta. Si el interés producido por ambas partes del capital inicial es $ 560, Cuál es la tasa a la que se colocó la tercera parte restante? Rta: 12% anual. 32) Se tienen dos capitales de $ y $ , respectivamente; el primero se coloca durante 9 meses al 18 % anual, mientras que el segundo se coloca durante medio año a una tasa de interés tal que, al final del plazo, el interés ganado asciende en total a $2.850, Cuál es la tasa de interés a la que se colocó el segundo capital?. Rta: 20% anual 33) Cuanto tiempo debe permanecer depositado un capital de $ colocado al 24% anual para ganar $8 400 de interés?. Rta: 14 meses 34) Calcule en cuanto tiempo $ ganan $3.333,33 de interés si se colocan al 20% anual. Rta: 8 meses 35) Calcule en cuanto tiempo $ ganan $ de interés si se colocan al 24% anual. Rta: 4,16 Años = 4 años,1 mes y 28 días 36) En cuanto tiempo $ , se incrementan en $7.800 si permanecen colocados al 20 % anual. Rta: 1 año 6 meses 22 días 37) En cuanto tiempo $47.000, colocados al 20% anual, ganan $ de intereses?. Rta: 6 meses 11 días 38) Una persona posee $ Las 2/3 partes de ese capital consigue colocarlas al 24 % anual durante 6 meses, mientras que el resto lo coloca al 20% anual durante un periodo de tiempo tal que, finalizado el mismo, se obtiene una ganancia total de $ Cuál es el tiempo de colocación del tercio del capital inicial?. Rta: 9 meses.

10 3.2. INTERES COMPUESTO La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitalización de Intereses. La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada período y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo. Supongamos que una persona invierte $ en un CDT a 4 meses, a una tasa del 0.9% mensual, con liquidación mensual de intereses. Cuánto dinero recibirá la persona al cabo de los 4 meses cuando se haya madurado el CDT? El cálculo puede ilustrarse en la siguiente tabla: Valor del CDT ,00 Número total de períodos 4 Tasa de interés mensual 0,90% Período Saldo Inicial Intereses Saldo Final , x 0,9% = , , x 0,9% = , , x 0,9% = 9.162, , , ,73 x 0,9% = 9.245, ,92 Observemos el procedimiento paso por paso para que tratemos de deducir una fórmula que nos permita calcular directamente el monto final n / / / / / VP VF 1 = VP + I VF 2 = VF 1 + VF 1.i.n VF 3 = VF 2 + VF 2.i.n I VF 1 = VP + VP. i.n VF 2 = VF 1. (1+ i) VF 3 = VF 2. (1+ i) VF 1 = VP. (1 + i) VF 2 = VP (1+i). (1+i) VF 3 = VP (1+i) 2. (1+i) VF 2 = VP (1+ i) 2 VF 3 = VP (1+ i) 3 Como se acumula período a período, la n va tomando el valor de uno, y los intereses de cada período se liquidan sobre el monto anterior. De acuerdo al anterior desarrollo, si continuamos y llegamos al periodo 15 el valor futuro es:

11 VF 15 = VP (1+ i) 15 Podemos concluir que a los n periodos el monto o valor futuro será: VF = VP (1 + i) n EJEMPLO 9: Un capital de $ estuvo invertido 3 años, al 28% anual compuesto. Cuál fue su monto o valor futuro? DATOS: VP = $ n= 3 años i= 28% 0,28 VF =? Solución Sabemos que VF = VP (1+ i) n Reemplazamos en la fórmula. VF = $ (1 + 0,28) 3 VF = $ , VF = $ Respuesta, un capital de $ invertido hoy al 28% anual durante 3 años equivale a $ EJEMPLO 10: Una persona desea disponer de $ dentro de dos años. Cuánto debe invertir hoy para cumplir su objetivo, si la tasa de interés que le reconoce la entidad financiera es del 18% anual con capitalización mensual? DATOS. VF = $ n = 2 años 24 meses i = 18% anual con capitalización mensual 18%/12 = 1.5% mensual

12 Nota: recordemos que la tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar en la misma base. Cuando se habla de capitalización se esta indicando que los intereses se suman al capital de acuerdo al periodo de referencia. Ejemplo. Si decimos que se tiene una tasa de interés del 30% anual con capitalización bimestral, entonces los periodos de referencia son 6 bimestres puesto que seis corresponde a los bimestres que tiene un año. Solución al ejercicio Sabemos que VF = VP (1+ i) n Despejamos la fórmula, VP = VF / (1+ i) n Entonces, VP = $ / ( ) 24 VP = $ / 1, VP = $ , 75 Respuesta, si una persona quiere disponer de $ dentro de dos años a una tasa del 18% anual con capitalización mensual debe invertir hoy $ ,75 EJEMPLO 11: Una persona invierte $ durante año y medio con intereses liquidados y capitalizados mensualmente y le entregan al final $ Cual fue la tasa de interés que le reconocieron en esta inversión? DATOS VP = $ VF = $ n= 1, 5 años = 18 meses i=? Sabemos que: VF = VP (1+ i) n Despejamos de la fórmula, VF / VP = (1 + i) n Para poder despejar el interés se saca raíz cuadrada de n a ambos lados. n VF/ VP = (1+i)

13 i= ( n VF/ VP ) 1 i = ( 18 $ / $ ) 1 i = i = 0, = 1, 2474% mensuales. Respuesta, la tasa de interés que se reconoce en una inversión de $ a un año y medio con periodos de capitalización mensuales, es de 1,2474% mensual. EJEMPLO 12: Una persona tomo prestado $ a una tasa de interés del 2% mensual compuesto, y al final del crédito pagó $ , 75 qué plazo le concedieron? DATOS: VP = $ VF = $ ,75 i= 2% mensual n =? Sabemos que VF = VP (1+ i) n Despejamos la variable n, VF / VP = (1 + i) n Por las propiedades de la potenciación, para despejar la n debemos utilizar los logaritmos, así. Log (VF/VP) = n log (1+i) n = log (VF/ VP) / log (1+ i) n = log ($ ,75/ $ ) /log ( 1+ 0,02) n = 72 meses = 6 años Respuesta, el tiempo que le concedieron en este crédito es de 72 meses equivalente a 6 años.

14 FORMULAS DE INTERES COMPUESTO Fórmula 1 Monto o Valor Futuro VF = VP x (1 + i ) n Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = VF /( 1 + i ) n Fórmula 3 Tasa de Interés i = ( VF / VP) 1/n 1 Fórmula 4 Número de Periodos n = log (VF/VP)/log (1+i) Formula 5 Interés compuesto I = VP ((1+i) n 1) Todas los ejemplos anteriores se pueden realizar utilizando Calculadora Financiera o las funciones financieras del Excel. Estas herramientas deben considerarse con un instrumento para facilitar los cálculos pues su manejo, más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el sentido de que la clave está en plantear adecuadamente el problema que se requiere resolver, para luego plasmarla en forma de instrucciones a la maquina o computador. Para conocer como se manejan las fórmulas en la calculadora financiera, se deja documento en la fotocopiadora de la Universidad. Para conocer como se maneja las funciones financieras en Excel, se hace una simulación con el desarrollo de los ejercicios de interés compuesto mencionados en este capitulo, con un video que usted encontrará en la página web, que se le enviará por correo posteriormente. Sin embargo, se explica a continuación las herramientas básicas de Excel y el manejo de la calculadora financiera.

15 G u í a 3 : M o n t o c o m p u e s t o 39) Calcular el monto que ha producido una inversión de $ que ha permanecido depositada durante 6 meses al 1% mensual de interés. R: $10.615, 20 40) Calcular el monto obtenido a los 14 meses de haber depositado un capital de $ al 1,5 % mensual. R: $ ,07 41) Un capital de $ se colocó al 2,30 % mensual durante 17 meses Cuál es el monto final obtenido?. R: $16.927,14 42) Calcular el valor inicial de una inversión que, permaneciendo colocada durante 8 meses al 1,5% mensual de interés, permitió retirar un capital final o monto de $ R: $ ) Cuál es el capital que se ha colocado hace 14 meses al 2% mensual de interés, si hoy pudo retirarse la suma final de $ ? R: $51.535,50 44) Luego de 2 años y 3 meses de haber estado colocado un capital al 11% semestral de interés, se pudo retirar un monto total de $ Calcular el valor del depósito inicial. R: $ ,89 45) Calcular cuantos meses permaneció colocado un capital de $ si, ganando un 1,5% mensual de interés, produjo un monto total de $ R: 27 meses. 46) En cuántos meses $ se transforman en $ , si se lo coloca al 3 % mensual. R: 31 meses 47) Calcular en cuántos meses un capital de $ se transforma en un monto de $ , colocado al 2,5% mensual. R: 20 meses y 19 días. 48) Calcular cuántos bimestres estuvo colocado un capital de $ , si,al 3,5% bimestral, permitió retirar un monto de $ R: 20 meses y 14 días. 49) A qué tasa mensual de interés se colocó un capital de $ , si, luego de 27 meses, se transformó en un monto de $38.956?. R 2,5% mensual. 50) Calcular la tasa mensual a la cual se colocaron $ durante 25 meses, sabiendo que el monto total retirado fue de $ R: 2% mensual 51) Durante 14 meses he colocado la suma de $ a una tasa mensual tal que al cabo del plazo de colocación, pude retirar un capital total de $ Calcular el valor de la tasa mensual. R: 5,071% mensual

16 52) Durante 11 meses coloqué $ en una cuenta y, al momento de retirar el total producido, el saldo final era equivalente al importe de la inversión original aumentada en un 50%. Deseo saber a qué tasa mensual de interés se realizó la operación. R: 3,75% mensual 53) Realizamos una inversión de $ al 5 % mensual durante 20 meses. A los 15 meses del depósito la tasa de interés aumenta en un punto, pero a los 10 meses de la inversión inicial se retiró una suma de dinero. Luego de todo esto se pudo retirar al final la suma de $ Cuál fue la suma de dinero que se retiró a los 10 meses?. R: 23795,45 Ejerc C R t Mc Ic 54) ,45% mensual 22 meses ) ,75% mensual 14 meses 56) % semestral 18 meses 57) 2,40% mensual 26 meses ) 8% trimestral 2.5 años ) 1,5% mensual 1 año y 7 m ) % mensual ) % bimestral ) ,30 % mensual ) ,25% bimestral ) 7,5% trimestral ) % semestral ) ? trimestral 17 trimest ) ? trimestral 19 trimest ) ? mensual 14 meses ) ? mensual 21 meses ) ? bimestral 7 bimestres ) ? bimestral 14 bimestres ) % semestral 8 años 73) 9% cuatrim 6 años y 8 m ) % semestral ) ? mensual 16 meses

17 G u í a 4 : T a s a s Completar los espacios en blanco, Calculando los valores de tasas que corresponden en cada caso: Ejerc Tasa de interés periódica Subperíodos 76) 0,24 anual m = 12 ( meses) 77) 0,20 anual m = 4 (trimestres) 78) 0,12 anual m = 6 (bimestres) 79) 0,18 anual m = 2 ( semestres) 80) 0,15 anual m = 3(cuatrimestres) 81) 0,20 anual m = 4 (trimestres) 82) 0,18 anual m = 6 (bimestres) 83) 0,27 anual m = 3 (cuatrimestres) 84) 0,16 anual m = 4 ( trimestres) Tasa efectiva periódica Tasa equivalente subperiódica a la tasa i 85) Indicar, uniendo con flechas, cuáles tasas de interés de la primera columna se corresponden con alguna tasa de la segunda columna, según el concepto de TASAS EQUIVALENTES. Tasa periódica Tasa subperiódica 24% anual, capitalizable bimestralmente; 3,923% 20% anual, capitalizable por trimestre; 1,96% 12% semestral, capitalizable mensualmente; 4,661% 8% cuatrimestral, capitalizable por bimestre; 1,9427% 6% trimestral, capitalizable mensualmente; 3,65% 4% bimestral, capitalizable mensualmente; 1,9804% 8% cuatrimestral, capitalizable mensualmente 1,9069% 86) Una entidad ofrece una tasa nominal del 17 %, calcular la tasa efectiva si la capitalización se realiza con tasa proporcional: a) bimestral; b) semestral

18 87) Se realiza una inversión de $ al 16 % anual, durante 3 años y medio, hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa proporcional cuatrimestral; c) se trabaja con tasa efectiva; d) se trabaja con tasa equivalente cuatrimestral. 88) Sabiendo que la tasa nominal anual des del 24 %, hallar: a) la tasa equivalente mensual; b) la tasa equivalente semestral. 89) Sabiendo que la tasa nominal anual es del 25 %, hallar: a) la tasa equivalente trimestral; b) la tasa equivalente semestral. 90) Se realiza un depósito de $ al 18 % anual durante 3 años, hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa proporcional trimestral; c) se trabaja con tasa efectiva; d) se trabaja con tasa equivalente trimestral. 91) Se realiza una inversión de $ al 17 % anual, durante 3 años, hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa equivalente bimestral; c) se trabaja con tasa proporcional bimestral; d) se trabaja con tasa efectiva anual. 92) Dada una tasa nominal anual del 16 %, calcular la tasa anual efectiva si la capitalización se realiza con tasa proporcional: a) trimestral; b) mensual. 93) Sabiendo que la tasa nominal anual es del 16 %, hallar: a) la tasa equivalente trimestral; b) la tasa equivalente cuatrimestral. Respuestas: 120) a) i = 0,18251 b) i = 0, ) a) Mc= $12776,64 b) Mc= $13114,59 c) i = 0,16869 Mc= $13.114,79 d) i(3) = 0,05072 Mc= $12.776,95 122) a) i(12) = 0,01809 b) i(2) = 0, ) a) i(4) = 0,05737 b) i(2) = 0, ) a) Mc= $ 5257,70 b) Mc= $ 5426,82 c) i = 0,19252 Mc= $ 5426,84 d) i(4) = 0,04225 Mc= $ 5257,91 125) a) Mc= $ 9930 b) i(6) 0,02651 Mc= $ 9929,54 c) Mc= $ 10251,85 d) i = 0,18251 Mc= $ 10251,94 126) a) i = 0,16986 b) i = 0, ) a) i(4) = 0,0378 b) i(3) = 0,05072

19 G u í a 5 : M á s E j e r c i c i o s s o b r e t a s a s 94) Sabiendo que la tasa nominal es del 19 %, hallar: a) la tasa equivalente mensual; b) la tasa equivalente trimestral. 95) Sabiendo que la tasa proporcional trimestral es del 5 %, hallar la tasa efectiva anual. 96) Se realiza una inversión de $ al 15 % anual, durante 2 años y medio, hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa proporcional cuatrimestral; c) se trabaja con tasa efectiva anual. d) se trabaja con tasa equivalente cuatrimestral; 97) Una entidad ofrece una tasa nominal anual del 21 %, calcular la tasa efectiva si la capitalización se realiza: a) trimestral; b) semestral. 98) Se realiza un depósito al 15 % anual, durante 5 años, obteniendo un monto de $ 9.800, calcular el valor de la inversión efectuada si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa proporcional trimestral; c) se trabaja con tasa efectiva anual. d) se trabaja con tasa equivalente trimestral. 99) Dada una tasa nominal anual del 25 %, hallar: a) tasa equivalente trimestral; b) la tasa equivalente semestral. 100) Dada una tasa nominal anual del 27 %, calcular la tasa efectiva anual si la capitalización se realiza con tasa proporcional: a) cuatrimestral; b) mensual. 101) Se realiza una inversión de $ al 21 % anual, durante 3 años, hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa equivalente bimestral; c) se trabaja con tasa proporcional bimestral d) se trabaja con tasa efectiva anual. 102) Sabiendo que la tasa nominal es del 23 %, hallar: a) la tasa equivalente semestral; b) la tasa equivalente cuatrimestral. 103) Si depositamos una suma de dinero por el tiempo de 4 años, al 25 % anual y deseamos obtener un monto de $ 8.700, calcular el valor de la inversión efectuada, si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa equivalente bimestral.; c) se trabaja con tasa proporcional bimestral d) se trabaja con tasa efectiva anual. Respuestas: 128) a) i12= 0,0146; b) i4= 0, ) i = 0, ) 131) a) i = 0,22712 b) i = 0, ) a) C= $ 4872,33 b) C= $ 4693,14 c) i = 0,15865 C = $ 4693,15 d) i4 = 0,03556 C = $ 4872,15 133) a) i4 = 0,05737 b) i2 = 0, ) a) i = 0,29503 b) i = 0, ) a) Mc= $ 15058,29 b) i6 = 0,03228 Mc= $ 15058,24 c) Mc= $ 15788,66 d) i = 0,22926 Mc= $ 15788,84 136) a) i2= 0,10905; b) i3= 0, ) a) C = $ 3563,52 b) i6 = 0,03789 C = $ 3563,59 c) = $ 3266,09 d) i = 0,27753 C = $ 3266,14

20 G u í a 6 : D e s c u e n t o S i m p l e Descuento comercial Año comercial 104) Calcular el descuento operado sobre un valor futuro de $ 1.000, efectuado al 2 % mensual, 5 meses antes de su disponibilidad. Rta: $ ) Un documento de $ 800, que fue firmado con un vencimiento que operará dentro de 5 meses, se descontó hoy al 4 % bimestral. Se desea conocer el valor del descuento. Rta: $ ) Un documento de $ 1.000, que vence dentro de 4 meses y medio, se ha descontado hoy al 2 % mensual. Calcular el valor del descuento. Rta: $ ) Por un documento, que desconté hoy, me cobraron un interés total de $ 70,40 (descuento operado). Sabiendo que el vencimiento se produce dentro de 6 meses y que la tasa mensual es del 2 %, deseo conocer el valor por el cual el documento fue originariamente firmado. Rta: $ 586,66 108) Por un documento, que vence dentro de 8 meses, me descontaron hoy $ 151,20, tomando una tasa bimestral del 4,5 %. Por cuánto ha sido firmado el documento?. Rta: $ ) A qué tasa mensual se descontó un documento de $ si 7 meses antes de vencer sufrió un descuento de $ 262,50?. Rta: 2,5 % 110) Un documento de $ 700 se descontó 5 meses y medio antes de vencer en una entidad que aplicó un descuento de $ 115,50. Se desea conocer la tasa mensual a la que se efectuó la operación. Rta: 3 % 111) Cuántos bimestres antes de vencer se descontó un documento de $ 900 por el cual se han descontado $ 162 con una tasa bimestral del 4,5 %?. Rta: 4 bimestres 112) Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ si al aplicarle un 2 % mensual el importe total del descuento realizado fue de $ 108? Rta: 4 meses y medio 113) Calcular cuánto se recibe al descontar 2 meses antes de vencer un documento de $ La tasa mensual aplicada es del 2 %. Rta: $ ) Un documento se descontó 3 meses antes de vencer al 2 % mensual de interés. Sabiendo que se ha recibido la suma de $ 3.280, se desea calcular el importe por el cual se ha firmado la deuda documentada. Rta: $ 3.489,36 115) Un documento de $ se descontó 3 meses antes de vencer, recibiendo por el descuento operado un valor actual de $ Calcular la tasa de interés mensual a la cual se efectuó el descuento. Rta: 4 % 116) Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ 800 si, al aplicársele el 5,5 % mensual, se recibió la suma de $ 624 en concepto de valor actual. Rta: 4 meses Año exacto

21 117) Calcular el descuento operado sobre un cheque que se extendió a 45 días de plazo, si se procedió a descontarlo al 32,5 % anual de interés. El importe del cheque es de $ Rta: $ 212,36 118) Por un documento que vence dentro de 21 días me han descontado en concepto de intereses la suma de $ 70,89. Calcular el importe por el cual se firmó el documentos. Rta: $ ) A qué tasa anual de interés se descontó un documento de $ 5.300, que vence dentro de 40 días, si el importe de intereses descontados fue de $ 151?. Rta: 26 % 120) Calcular cuántos días antes de vencer se descontó un documentos de $ 4.300, sabiendo que se le aplicó el 22,5 % anual de interés y que la suma total de intereses descontados ascendió a $ 111,33. Rta: 42 días 121) Una deuda de $ se documentó a 15 días de plazo. Cuánto se recibe hoy, si el documento se lo descuenta al 38,5 % anual. Rta: $ 2.214,40 122) Por haber descontado un documento 30 días antes de vencer con una tasa anual del 26 %, se ha recibido la suma de $ 5.088,90 como valor actual. Calcular el valor nominal del documento firmado. Rta: ) Un documento de $ se descontó 23 días antes de vencer, recibiendo un valor actual de $3.372,82. Calcular la tasa de interés anual a la cual se efectuó el descuento. Rta: 48 % 124) Se ha recibido la suma de $ 4.253,57, por haber descontado al 30 % anual un documento que se ha firmado por valor de $ Se desea saber cuántos días antes de vencer se ha realizado la operación. Rta: 19 días Descuento racional Completar los espacios en blanco, aplicando los conceptos de Descuento racional. Resolver los ejercicios. Ejerc Vr R t Año com Año ex 125) ,5 % mensual 2 meses ) ,25 % mensual 3 meses 127) % anual 40 días 116,82 128) % anual 50 días 129) 28 % anual 35 días 107,40 130) ? anual 45 días 120,25 131) % anual...? días 147,95 132) % anual...? días 112,77 Año comercial 133) Un documento de $ 2.180, que vence dentro de 3 meses, se ha descontado al 3 % mensual. Calcular el valor actual. Rta: $ ) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $ si, 3 meses antes de vencer, permitió obtener un valor actual $ Rta: 3 % Dr

22 135) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $ si, 3 meses antes de vencer, permitió obtener un valor actual $ Rta: 3 % 136) Cuántos meses antes de vencer se descontó un documentos de $ 3.960, si, al 2,5 % mensual, permitió obtener un valor actual de $ 3.600?. Rta: 4 meses Año exacto 137) Un documento de $ 3358,77 se descontó 25 días antes de vencer al 26 % anual de interés. Calcular el valor percibido luego de descontarlo. Rta: $ ) He recibido en mano $ por haber descontado un documento 42 días antes de vencer, al aplicar una tasa anual de interés del 26 %. Cuál es el valor nominal por el cual el documento se extendió? Rta: $ ) Por descontar un documento 60 días antes de vencer con una tasa anual del 25 %, he recibido un valor actual de $ Calcular el valor nominal del documento. Rta: $ 5.309,59 140) A qué tasa anual de interés se descontó un documento de $ 3.872,88, si, 25 días antes de vencer, hizo percibir un valor actual de $ Rta: 28 % 141) Una deuda de $4.138,10 se documentó al 28 % anual. Al descontarlo, se percibió un valor actual de $ Se desea saber cuántos días antes de vencer se ha negociado ese documento. Rta: 45 días 142) Calcular el valor por el cual se firmó una deuda, si 8 meses antes de vencer, al descontarse al 4 % mensual, permitió obtener un descuento de $ ) Por un documento que vence dentro de 10 meses se descontaron hoy $ 162, tomando una tasa trimestral de 5 %. Por cuánto se ha firmado el documento?. 144) Por un documento que vence dentro de 6 meses, se descontaron hoy $ 245, con una tasa bimestral de 8 %. Por cuánto se firmó el documento?. 145) Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ 1.980, si, al 2,5 % mensual, permitió obtener un valor actual de $ 1.800?. Más de Descuento comercial 146) Por un documento, que se descontó 68 días antes de vencer al 32 % anual de interés, se ha recibido la suma de $ Calcular el importe por el cual se firmó dicho documento (Descuento comercial, año exacto). 147) Por un documento, que se descontó 52 días antes de vencer al 35 % anual de interés, se ha recibido la suma de $ Calcular el valor del descuento efectuado (Descuento comercial, año exacto). 148) A qué tasa anual se descontó un documento de $ , que vence dentro de 40 días, si el importe descontado fue $ 302?. (Desc comercial año exacto).

23 G u í a N º 8 : D e s c u e n t o C o m p u e s t o Con tasa d N V t d D 183) ,74 16 meses 0,02 mensual 184) ,73 23 meses 0,027 mensual 185) ,78 1 año 8 m 0,045 bimestral 186) ,75 14 meses 0,05 mensual 187) año 0,0566 mensual 188) 7427, año 3 m 0,07 trimestral 189) 8324, año 6 m 0,045 bimestral 190) meses 0,07 mensual 191) 7600? 0,0275 mens ) ? 0,055 bimest 193) meses? mensual ) meses? mensual 1100 Con tasa i Ej N V t i D 195) ,5 0,24 196) 10982, meses 0,02 mensual 197) 12277, año 9 m 0,06 trimestral 198) ,23 1 año 4 m 0,08 cuatrim 199) ,29 13 meses 0,02 mensual 200) m 20 d 0,02 mensual ) m 21 d 0,0275 mens ) m 24 d 0,055 bimest 203) meses 0,06 mensual ) meses 0,0136 mensual 1100

24 G u í a 9 : M á s s o b r e I n t e r é s S i m p l e 205) Realizamos dos depósitos de $ y $ 5.200, el primero permanece depositado 8 meses al 5 % bimestral, Durante cuánto tiempo deberá permanecer depositado el segundo, con una tasa del 7 % cuatrimestral para producir el mismo interés simple?. 206) Realizamos una inversión de $ al 14 % anual y luego de 1 año y 9 meses retiramos el total del dinero y lo depositamos en otra entidad que trabaja con una tasa del 3% bimestral, obteniendo una ganancia de $ 750. Durante cuánto tiempo permaneció el segundo depósito?. 207) Poseemos un capital de $ 5750 y con el mismo realizamos dos inversiones. 2/5 partes del total del dinero se depositan al 2 % mensual durante 6 meses y el resto se deposita por el lapso de 8 meses, obteniendo un interés total de $ 560. A qué tasa de interés bimestral fue realizado el segundo depósito?. 208) Realizamos un depósito de $ al 5 % trimestral durante 8 meses y luego retiramos el total y lo depositamos durante 7 meses al 22 % anual. Calcular el total retirado en el segundo depósito 209) Realizamos un depósito de $ 4.300, durante 5 meses, en un banco que ofrece un 3 % de interés mensual. Al cabo de ese tiempo retiramos el total del dinero y lo depositamos en una entidad que ofrece el 7 % bimestral, durante 9 meses. Cuál es el total de dinero que retiramos luego de los dos depósitos?. 210) Se realiza un depósito de $ 4.500, al 15 % anual durante 1 año y medio. A qué tasa de interés trimestral se deberá depositar la misma suma de dinero para que produzca el mismo interés en 1 año?. 211) Cuánto tiempo debe permanecer depositada una suma de $ 3.200, al 8 % trimestral, para que produzca el mismo interés que $ al 5 % bimestral durante 7 meses?. 212) Qué suma de dinero se deberá depositar durante 7 meses al 2 % mensual de interés para que produzca el mismo interés simple que $ al 5 % trimestral durante 8 meses?.