PRACTICAS DE FÍSICA I GRADO EN QUÍMICA

Transcripción

1 PRACTICAS DE FÍSICA I GRADO EN QUÍMICA Profesores responsables: Arturo Quirantes Sierra Francisco Nogueras Lara Roberto Román Díez Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Universidad de Granada Curso 016/17 Guión de prácticas redactado por: Arturo Quirantes Sierra

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3 Índice ÍNDICE Apuntes sobre Teoría de Errores 3 Normas generales del laboratorio 1 PRÁCTICAS 1 - Medidas de precisión 3 - Segunda Ley de Newton Caída libre de un cuerpo Medida de constantes elásticas Estudio experimental del péndulo Colisiones Fuerza centrípeta Equilibrio estático. Momentos Momentos de inercia y oscilaciones de torsión Movimiento armónico y oscilaciones forzadas Densidad de sólidos Medida del coeficiente de viscosidad 75 1

4 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química)

5 Apuntes sobre Teoría de Errores APUNTES SOBRE TEORÍA DE ERRORES 1 Nociones previas Error en medidas directas 3 Error en medidas indirectas. Propagación 4 Redondeo 5 Regresión lineal: mínimos cuadrados 6 Representación gráfica 1 NOCIONES PREVIAS Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene no coincide necesariamente con el valor exacto de tal medida, ya que el resultado obtenido estará afectado por multitud de factores. Algo en apariencia tan sencillo como cronometrar el período del péndulo sufrirá errores debidos a la precisión del cronómetro, los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas... errores que se propagarán a cualquier cantidad derivada de ésta que queramos determinar, como por ejemplo velocidad o aceleración. Se hace necesario, pues, estimar el error cometido al efectuar una medida o serie de medidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría de errores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datos experimentales como para evaluar la fiabilidad de éstos. El estudio de la teoría de errores es una rama aparte de la matemática por derecho propio, y por su extensión no se desarrollará aquí. El lector queda avisado de que lo que sigue es tan sólo un compendio breve de las reglas fundamentales más usadas en el ámbito de la teoría de errores. 3

6 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Si se efectúa una medida directa de una cantidad física, el valor medido x por lo general diferirá del valor exacto x o. Se denomina error absoluto (o simplemente error) de la medida a la diferencia entre ambas cantidades: ε = x - x o. Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo a equivocación, acción desacertada, motivo por el que en tiempos recientes se ha puesto de moda usar el término incertidumbre para aplicaciones de ciencia e ingeniería. Sin embargo, y puesto que la Real Academia de la Lengua define también el error como diferencia entre el valor medido o calculado y el valor actual, podremos hablar con propiedad de error y de teoría de errores. Asociado al error absoluto, puede definirse el error relativo como el cociente ε/x o. El error relativo resulta especialmente relevante porque nos relaciona el error cometido con el valor de lo medido. Un error de 1 mm resulta excelente si se mide la longitud de una carretera de 100 km (representa una desviación de una parte en 10 8 ), adecuado si se mide una mesa de m e inaceptable si se mide una hormiga de mm. En los tres casos el error absoluto es el mismo, pero su cercanía relativa al valor exacto son distintas. Por lo general, el valor de una medida se da estimando su valor más probable x y su error x. Escribir x ± x significa que cabe esperar razonablemente que el valor exacto de la cantidad valga cualquier valor entre x - x y x + x, con x como valor más probable. La traducción de "cabe esperar razonablemente" al lenguaje matemático queda fuera del presente desarrollo. Atendiendo a su carácter, existen dos tipos de errores: sistemáticos y accidentales. Los primeros actúan siempre de la misma forma para influir en la medida (por ejemplo, una balanza desajustada que tiende a marcar una masa 8 gr superior a la real). Estas medidas, si se producen, arrojan un error constante. Por contra, los errores accidentales son de carácter aleatorio, y se presupone que actúan con la misma frecuencia tanto con un signo como con el opuesto; esto es, se tiene igual probabilidad de obtener una medida 5 gr superior al valor real como de obtenerla 5 gr por debajo. No se puede conocer el valor exacto de una cantidad, puesto que siempre existen errores (instrumentales, ambientales, humanos). Tampoco se puede conocer el valor 4

7 Apuntes sobre Teoría de Errores exacto de un error, puesto que depende de procesos aleatorios y generalmente incontrolables. Además de ello, es una contradicción en sus propios términos, pues conocer exactamente el error supone conocer exactamente el valor de la cantidad x o, en cuyo caso, para qué necesitamos el error?. Sin embargo, es preciso dar un valor de la medida con su error. La Teoría de Errores deduce ciertas reglas para ello, y siempre se basan en un supuesto esencial: un error nunca es algo exacto y bien definido, sino tan sólo una estimación razonable. Al medir, hemos de distinguir dos conceptos en apariencia sinónimos: precisión y exactitud. La precisión está asociada con la sensibilidad del instrumento de medida, en tanto que la exactitud relaciona la estimación de la medida con su valor real. En una medición precisa, las medidas están muy próximas entre sí, pero no tienen por qué estar cerca del valor real; en una medición exacta, por el contrario, el promedio de las medidas se aproxima mucho al valor real, pero las medidas en sí pueden estar muy dispersas. Para entenderlo con un ejemplo, imaginemos un reloj digital capaz de apreciar hasta la centésima de segundo. Dicho reloj es mucho más preciso que un reloj de pulsera que solamente aprecia hasta el segundo. Pero si el reloj digital atrasa, sus medidas serán poco exactas. Para aumentar la precisión de un instrumento, hay que procurar que pueda medir cantidades más pequeñas, o bien que pueda distinguir entre dos medidas muy cercanas entre sí. Por su parte, la exactitud aumenta cuanto mejor se calibra el instrumento respecto de patrones de medida fiables, en nuestro caso sincronizando el reloj con señales horarias como las de Radio Nacional 1. ERROR EN MEDICIONES DIRECTAS.1 Error estadístico asociado a un conjunto de medidas Resulta práctica habitual realizar varias medidas de una cantidad. Ello permite prevenir en la medida de lo posible los errores accidentales. La idea consiste en suponer (más bien confiar) que los errores accidentales se produzcan de forma aleatoria, con lo que tendremos medidas erróneas tanto en exceso como en defecto. Esto, es, si la medida 1 También en Internet: o 5

8 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) exacta de la longitud de un objeto es 1,5 m, se tiene igual probabilidad de medir 1,55 m que de medir 1,49 m. Esto nos lleva a la realización de un conjunto de N mediciones sobre una misma cantidad: x 1, x x N obtenidas para una cantidad cuyo valor exacto es x o. Estas N medidas pueden ser consideradas una muestra de todas las posibles mediciones que podríamos hacer. Bajo condiciones muy generales puede demostrarse que el mejor estimador de la cantidad viene dado por la media aritmética de los valores medidos: x1 + x xn x = = N N i= 1 N x i (1) A cualquier medida x i se le puede adjudicar un error ε i igual a la desviación respecto al diferencia entre dicha medida y el valor medio: ε i = xi x. Cuál es, entonces, el error asociado al conjunto de medidas? Puede hacerse un primer intento y definir el error medio como el promedio aritmético de los errores (su suma dividida por N); sin embargo, se demuestra fácilmente que dicha cantidad es nula sea cuales sean los valores x i : N N N ε ( x x) x N x = = = = x x = 0 N N N N i i i i= 1 i= 1 i= 1 ε () Este resultado, paradójico en apariencia, no es más que un reflejo del significado del término valor medio: algunos valores x i serán mayores que el valor medio, y otros serán menores. Puesto que los errores pueden serlo por exceso o por defecto, un segundo intento puede ser definir error promedio como la media aritmética de los valores absolutos de los errores. La estadística nos permite obtener un estimador más correcto del error. Aquí vamos a obtenerlo mediante una deducción razonable. Dicha deducción se basa en el siguiente razonamiento. Puesto que el valor medio de los errores sale cero porque dichos errores tienen signo (los valores medidos están por encima o por debajo del valor 6

9 Apuntes sobre Teoría de Errores medio) hemos de eliminar el signo, por ejemplo, mediante un valor absoluto. Sin embargo, la función valor absoluto es engorrosa e incómoda desde el punto de vista analítico. Existe otra manera de convertir cualquier número real en un valor positivo: elevándolo al cuadrado. Así que podríamos usar como error del conjunto de medidas el valor medio de los cuadrados de los errores: 1 1 ε = = N N N εi ( xi x) i= 1 N i= 1 (3) En el proceso hemos reducido artificialmente el valor del error, ya que cada error ε i, ha sido elevado al cuadrado. El arreglo es inmediato: si hemos elevado al cuadrado, saquemos la raíz cuadrada para compensar: σ N 1 1 = = N N N εi ( xi x) i= 1 N i= 1 (4) Este resultado, en apariencia poco riguroso, se aproxima bastante al aceptado habitualmente para una medición de N mediciones: el error asociado a un conjunto de medidas se representa mediante la desviación estándar de la media : = N 1 ( x i x) (5) σ N 1 N( N 1) i= 1 Puede verse fácilmente que el cociente entre las dos cantidades σ N-1 / σ N es igual a la raíz cuadrada de (N-1)/N, cantidad que tiende a la unidad para valores de N crecientes. En la práctica, dicha diferencia resulta poco relevante, ya que la operación de [El proceso de obtención de la ecuación (5) es bastante más elaborado que lo aquí mostrado. En esencia, puede demostrarse que bajo condiciones muy generales, los puntos x i forman una función de distribución en forma de campana llamada función de distribución de Gauss, o simplemente función gaussiana. La llamada desviación cuadrática media S x nos da una estimación de la anchura de dicha campana. Esto significa que una medida x i dada tiene una cierta probabilidad de que su diferencia respecto al valor real sea menor que S x, es decir, S x nos estima el error cometido al hacer una medida. Si, por el contrario, tomamos no una sino N mediciones x 1 x N, puede demostrarse que una estimación de la incertidumbre asociada al conjunto de medidas vendrá dado por S x /N 1/, es decir, σ N. El motivo de tomar N-1 en el denominador de la ecuación (5), en lugar de N, se debe a que las ecuaciones (3) y (4) son rigurosamente ciertas sólo si x fuese el valor exacto de la medida, en lugar de una estimación basada en el valor promedio]. 7

10 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) redondeo borra las diferencias entre ambos errores. Por ejemplo, para el conjunto de datos (51,00, 51,00, 51,50, 5,50, 5,00, 50,50, 53,50), se obtienen valores x =51,7148, σ N =0,95831 y σ N-1 =1, Sea cual sea el error que se considere, los datos arrojarían un valor final de 5 ± 1, ya que tanto la medida como el error habrán de ser redondeados, como se verá en su momento. Nunca hay que olvidar que cualquier valor de error será simplemente una estimación del error probable, no un valor exacto. La desviación estándar σ N-1 es una estimación razonable de los errores aleatorios asociados con un conjunto de medidas en el supuesto de que no haya errores de otro tipo (particularmente, errores sistemáticos). En el caso de que las medidas x i estén distribuidas de forma normal (es decir, siguiendo la llamada distribución de Gauss), una estimación del tipo xo = x ± σ N 1 significa que hay una probabilidad del 68% de que el valor real de la medida x o esté comprendido en el intervalo [ x σ N 1, x + σ N 1]. También pueden hacerse otras estimaciones. Por ejemplo, x o está comprendido en el intervalo [ x σ N 1, x + σ N 1] con una probabilidad del 95,5% y en el intervalo [ x 3 σ, x + 3 σ ] con una probabilidad del 99,7% N 1 N 1. Número de medidas La desviación estándar proporciona una estimación de la incertidumbre originada por azar. Por lo general, los errores aleatorios representados vienen representados por la cantidad σ N-1, que como hemos visto puede escribirse como = 1 = 1 1 = N N x σ N 1 ( xi x) ( xi x) N( N 1) i= 1 N ( N 1) (6) i= 1 N S donde S x (el error cuadrático medio) representa el error tomado al hacer una medición, y depende de la función de distribución de las medidas, en tanto que σ N-1 nos estima el error al hacer un total de de N medidas. La ecuación (6) puede leerse como σ = N, esto es, nuestra estimación del error σ N-1 disminuye de forma N 1 Sx / proporcional a la raíz cuadrada de N, de modo que en principio podríamos disminuir dicho error efectuando cada vez más mediciones. Es evidente, no obstante, que no se 8

11 Apuntes sobre Teoría de Errores puede esperar una reducción del error a valores arbitrariamente pequeños sin más que aumentar el número de medidas, ya que nos encontraremos en última instancia con errores sistemáticos, límites en la sensibilidad del aparato, etc. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de medidas (10,0, 10,0, 10,1, 10,0, 10,0) mm medidos con una regla milimetrada hasta 0,1 mm, que nos arrojaría un valor de 10,0 ± 0,04 mm. Esto no tiene sentido, puesto que la propia regla ya nos introduce una limitación de 0,1 mm. Con el aumento del número de medidas aumenta la verosimilitud, pero no el número de cifras significativas del resultado. Si se hacen pocas determinaciones, el valor obtenido para la cantidad medida podrá estar afectado por importantes errores; si se efectúan demasiadas medidas, se está derrochando esfuerzo sin obtener mejoras sustanciales en precisión. Cuál es el número N de medidas adecuado para una observación estadísticamente significativa? Hay diversos criterios. El que a continuación se indica no es necesariamente el mejor, pero resulta de fácil aplicación. Descartados los casos en que, por las características del experimento, solamente se pueda obtener una medición, el mínimo número de medidas admisible es de tres, ya que si hacemos una sola medida cabe la duda de saber si éste resultado es el verdadero, y si hacemos dos resulta arbitrario seleccionar entre ellas ( está el valor exacto en un término medio, o hay una medida afectada de error accidental y otra no?). Así, pues, en primer lugar se realizan tres medidas. A continuación, se calcula el valor medio x3 y la dispersión total D 3, que no es sino la diferencia de los valores extremos (el valor más alto menos el valor más bajo). También se calculará la tasa de dispersión para esas tres medidas, expresada en tanto por ciento p: T3 = 100 D3 / x3. El subíndice indica el número de medidas realizadas. Si el valor de la dispersión es mayor que la sensibilidad del aparato S, se tomará dicha sensibilidad como error. De lo contrario, habrá que realizar más medidas, tantas más cuanto mayor sea la tasa de dispersión calculada para las tres primeras medidas. El número de medidas, y el error asignado, se obtendrán de la siguiente forma: 9

12 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Valor de T 3 N Medida Estimación del error Menor de % 3 x 3 S (Sensibilidad del aparato) Entre % y 8% 6 x 6 Máximo de {D 6 /4, S} Entre 8 % y 15% 15 x 15 σ N-1 Por lo general, si la tasa de dispersión es superior al 15% se suele descartar el conjunto de medidas y repetir el experimento de manera más cuidadosa, procurando minimizar cualquier tipo de error (aparatos más sensibles, muestras aisladas de las vibraciones, etc). 3 ERROR EN MEDICIONES INDIRECTAS. PROPAGACIÓN A veces no se mide una cantidad directamente, sino por relación con otras cantidades. Para medir, por ejemplo, el área de un rectángulo se miden sus lados a, b y se hace uso de la relación S=ab. Si tanto a como b tienen sus cotas de error, evidentemente también la superficie vendrá afectada de error. La forma en que el error de una cantidad derivada depende de las medidas y errores fundamentales viene dado mediante la teoría de la propagación de errores. Para ello se utiliza el cálculo diferencial. Sea f una función que depende de n variables independientes x 1, x, x 3 x n (atención: ahora x i no representa la medida i- ésima de una misma cantidad, sino la variable que representa la i-ésima magnitud). Se puede obtener el valor del diferencial de la función f a partir de los diferenciales de las variables x i por medio de un desarrollo en serie de Taylor de derivadas parciales: n f f f f df = dx + dx +... dxn = dxi x x x (7) x 1 1 n i= 1 i Podemos interpretar, desde el punto de vista físico, cada derivada parcial como una cantidad que nos cuantifica el cambio (infinitesimal) en la variable f cuando la variable x i varía en una cantidad infinitesimalmente pequeña. Siguiendo nuestra interpretación, las variables x i son las cantidades que medimos de forma directa y la 10

13 Apuntes sobre Teoría de Errores función f es la cantidad que pretendemos medir indirectamente (el volumen de un cuerpo, por ejemplo). Si los errores de las cantidades x i son lo suficientemente pequeños, podemos considerarlos como infinitesimales, con lo que tendríamos la asociación dx i x i, y por tanto df f. Eso nos daría una estimación de f como: N f f f f f x + x +... xn = xi (8) x x x x 1 1 n i= 1 i donde la cantidad ( f/ x i ) x i nos representa la contribución de la cantidad x i al error total. Las derivadas parciales de la ecuación (8) se toman en valor absoluto, ya que de otro modo unos errores podrían cancelarse con otros, lo que por lo general no tenemos asegurado que suceda. Sin embargo, y puesto que los errores sí suelen cancelarse (si no totalmente, al menos parcialmente), la ecuación (8) nos sobreestima el error que, en la práctica, vamos a encontrarnos. Una estimación de f más razonable puede obtenerse mediante un segundo desarrollo: n n f f df = dx = dx i= 1 xi i= 1 xi i ( i ) (9) donde hemos supuesto que las variables x i son independientes y no relacionadas entre sí (matemáticamente, se diría que la covarianza entre x i y x j es nula para i j). Así pues, y asumiendo una estimación del error como dx i σ N-1 (x i ), podemos modificar la estimación de f y obtener finalmente: f f f f ( x ) + ( x ) +... ( x ) x x x 1 n 1 n (10) Es decir, la suma de la ecuación (8) se reemplaza por la suma cuadrática de la ecuación (10). Usaremos esta última forma, aunque ambas son estimaciones razonables de error. En cualquier caso, téngase en cuenta que cada término del tipo ( f/ x i ) x i nos expresa en cuánto ha contribuido la incertidumbre en x i al error final f, lo que nos 11

14 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) indica qué cantidades habría que medir con mayor precisión para reducir la incertidumbre en la cantidad indirecta medida. Veamos un ejemplo. Supongamos que se mide el radio r y la altura h de un cilindro, obteniendo un volumen V=πr h. En tal caso, f=v, x 1 =r, x =h y se tendría: V V V = r h ( π rh) r ( π r ) h r + h = + Para los valores r = 1,6 ± 0,3 mm, h = 35,1 ± 0,06 mm obtendremos: V = (780,38) (0,3) + (498,76) (0,06) 3 3 = , ,54 mm = 834,65 mm 3 mm Como puede verse, la contribución al error total debida a r es mucho mayor que la de h, lo que significa que para reducir el error del volumen es mucho más eficaz reducir el error del radio que el de la altura. El volumen es V = 17516,45 mm 3, lo que nos daría un valor experimental de V = (17516,45 ± 834,65) mm 3. Esto, aun siendo matemáticamente válido, es incorrecto desde el punto de vista de teoría de errores, como se verá a continuación. 4 - REDONDEO El error en sí es algo aproximado. Dar un valor de 4,5±0.3 mm. significa esperar, con un grado de certeza razonable, que el valor verdadero sea alguna cantidad entre 4, y 4,8 mm. Pero dar ± 0,30 mm implica que el valor exacto ha de estar entre 4,198 y 5,80 mm; no resulta razonable, ya que el error es algo que no transmite no tiene una seguridad absoluta, sino tan sólo una cierta probabilidad. Por ello, tanto el error como el valor más probable han de venir convenientemente redondeados. 1

15 Apuntes sobre Teoría de Errores Para redondear el error, suele bastar con dar una, a veces dos, cifras significativas (es decir, cifras que dan información relevante). Los criterios habituales son los siguientes: - Si la primera cifra que se descarta es un cinco o más, la última cifra que se guarda se aumenta en una unidad. Esto es, el valor 0,38 se convierte en 0,4 y no en 0,3 - Si la primera cifra significativa es inferior a, se toman la dos primeras cifras para el error. De no ser así, se toma solamente una cifra. Según eso, el error 0,113 queda convertido en 0,11, y el 6.488,4 se transforma en Una vez redondeado convenientemente el error, el valor de la medida se redondea hasta la misma cifra decimal. El primer criterio se debe a que, al redondear, estamos acercando una cantidad con muchos dígitos a otra cantidad con un número de dígitos limitado; y esta segunda cantidad ha de ser lo más cercana a la primera. En el ejemplo, el número 0,38 está más cercano a 0,4 que a 0,3, de forma resulta más lógico sustituirlo por 0,4. En cuanto al segundo criterio, se basa en que cuando las primeras cifras son pequeñas, truncar y tomar sólo las cifras significativas representa un cambio más grande. Sustituir 0,84 por 0,8 nos representa una alteración del 3%; pero sustituir 0,114 por 0,1 altera el resultado en más de un 14%, una cifra incómodamente alta. Esto nos lleva a tomar dos cifras significativas en lugar de una, cuando ésta es lo bastante pequeña (este criterio es algo elástico; algunos autores propugnan tomar dos cifras significativas cuando éstas son inferiores a 10, o inferiores a 5). Finalmente, el tercer criterio es coherente con la definición de error en cuanto que estimación: si conocemos el error hasta cierto grado, eso nos limita automáticamente nuestro conocimiento sobre el valor de la medida. Véanse unos cuantos ejemplos de redondeo correcto: 13

16 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Medición Error Resultado final 464,413 0, ,4 ± 0,06 6,03 0,0005 6,0300 ± 0, ± ,18 0,14 3, ± 0,1 0, ,0078 0,018 ± 0,008 5 AJUSTE LINEAL: MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS En un experimento típico, se cambia el valor de una variable independiente x para observar el comportamiento de otra variable y dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambio de la densidad del agua (y) con la temperatura (x). Cuando hacemos una representación gráfica y(x), la curva obtenida tendrá una cierta forma. En el laboratorio, al reproducir un experimento de este tipo, deberíamos obtener una gráfica idéntica a la arrojada por la teoría. En la práctica, la existencia de muchas fuentes de indeterminación (no sólo errores sino también simplificaciones hechas en la propia teoría, influencias de otros factores, etc.) hacen que los datos experimentales no coincidan exactamente con la curva teórica, sino que tiendan a disponerse alrededor de ésta. Surge entonces la pregunta de qué curva "ajusta" mejor los datos experimentales. Con "ajusta" se quiere decir, no que la curva pase exactamente por todos los puntos experimentales, sino que tienda a estar lo más cerca posible de todos ellos en conjunto. El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente importante, no sólo para poder comparar con la teoría, sino incluso para poder establecer la validez o no de la misma teoría. El caso general es complejo y laborioso, así que nos limitaremos a una curva en la que la dependencia entre x e y es de tipo lineal, es decir, una recta. Supongamos que medimos diversos pares de valores x - y: (x 1,y 1 ), (x,y ) (x N,y N ). Se trata de efectuar un ajuste lineal del tipo y = Ax + B, y el criterio se basa en buscar los 14

17 Apuntes sobre Teoría de Errores valores de A y B que hagan mínima la desviación de los valores observados respecto de los predichos por la recta, lo que se conoce como método de los mínimos cuadrados: N [ yi ( Axi + B)] = mínimo (11) i= 1 La condición (11) se basa en algunas hipótesis simplificadoras que no detallaremos. Imponiendo condiciones de mínimo, puede demostrarse que los valores de A, B que cumplen la ecuación (11) vienen dados mediante las siguientes expresiones: A = N N N N x y x y i i i i i= 1 i= 1 i= 1 N N ( i) i i= 1 i= 1 N x x (1) B = N N N N ( xi ) yi xi xi yi i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 N N N ( xi ) xi i= 1 i= 1 (13) Los errores de la pendiente (A) y la ordenada en el origen (B) pueden asimismo calcularse como: A = ( x ) i N N i= 1 ( y Ax B) i N N N ( xi ) xi i= 1 i= 1 i (14) N ( yi Axi B) N i= 1 N B = = A N N N ( xi ) N ( xi ) xi i= 1 i= 1 (15) 15

18 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Un ajuste lineal puede asimismo servir como punto de partida para efectuar otro tipo de ajustes. Consideremos, por ejemplo, el período de un péndulo. Si efectuamos mediciones del período T de varios péndulos de distinta longitud L, la teoría nos dice que la relación T - L no es lineal: T = π L / g. Sin embargo, si tomamos la raíz cuadrada de la longitud L 1/ como variable independiente (x) y el período T como variable independiente (y), podemos establecer una relación lineal ( π / ) T = g L. Esta es una recta cuya pendiente es A = π / g, lo que nos permite despejar el valor de la aceleración gravitatoria g. Otro ejemplo puede ser el caso de la descarga de un condensador. La diferencia de potencial entre sus extremos puede obtenerse en función del tiempo como V = V exp( t / τ ), una relación exponencial. Tomando logaritmos, podemos obtener o una relación lineal del tipo LnV = LnV t / τ. De ese modo, se convierte en un ajuste o lineal con x = t, y = LnV, lo que nos da una recta con coeficientes A = -1/τ, B = LnV o. Sin embargo, que los puntos de un diagrama x-y parezcan formar una recta no significa que realmente cumplan una ecuación lineal. Es necesario introducir un coeficiente numérico que nos indique si los puntos forman una recta, y en caso positivo, cuánto se aproximan a ella; es decir, un parámetro que nos de idea de la bondad del ajuste. Dicho parámetro, que recibe el nombre de coeficiente de correlación lineal, puede ser calculado como: r = N N N N x y x y i i i i i= 1 i= 1 i= 1 N N N N ( i ) i ( i ) i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 N x x N y y (16) El coeficiente r tiene un valor absoluto entre 0 y 1 (su signo es igual al signo de la pendiente A), el cual nos indica la bondad del ajuste lineal, de tal modo que r=±1 indica una recta perfecta. Conforme el módulo de r se aleja de la unidad, la bondad del 16

19 Apuntes sobre Teoría de Errores ajuste disminuye. Como regla aproximada, podríamos decir que r 0,95 nos indican un buen ajuste; un valor de r inferior a 0,85 apenas resulta aceptable 3. Es muy importante recordar que valores de r bajos no indican que los puntos no estén correlacionados, sino que no existe correlación lineal (los puntos pueden seguir otro tipo de curva: polinómica, exponencial, gaussiana ). Asimismo, el criterio para definir cuándo un valor de r indica un buen ajuste depende críticamente del número de puntos que hemos tomado para el diagrama x - y. Un valor de r = 0,5 es inaceptable para un conjunto de 6 puntos, pero representa un buen ajuste en un conjunto de 50 puntos. Por lo general, se recomienda un valor mínimo de N = 6 puntos (x i,y i ) para considerar aceptable un ajuste por mínimos cuadrados. Las hojas de cálculo actuales incorporan paquetes de análisis estadístico, incluido ajustes de regresión lineal. Los alumnos de esta asignatura tienen a su disposición una hoja de cálculo con las fórmulas para el ajuste lineal, disponible en la web de docencia del profesor: 6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una gráfica es una forma cómoda de representar datos. Permite visualizarlos en forma global y pone en relieve los datos que puedan haberse obtenido incorrectamente. Sin embargo, no siempre se hace de modo correcto. A veces la gráfica no puede verse por su pequeño tamaño, los ejes no tienen unidades o los colores inducen a la confusión. El uso de hojas de cálculo empeora este problema, ya que a menudo el estudiante se limita a copiar y pegar la gráfica tal cual, sin molestarse en adaptarla para su visualización correcta. Y una gráfica que no puede verse bien falla en su función principal. He aquí un ejemplo de gráfica incorrecta: 3 r es también conocido como coeficiente de regresión, coeficiente de determinación o coeficiente de correlación de Pearson. Asociado a él se define el coeficiente R, numéricamente igual al cuadrado de r. 17

20 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Ser ie Ser ie Entre otros, podemos señalar los siguientes defectos: 1) Las escalas. Ni en el eje X ni en el Y aparecen las unidades utilizadas, ni se indica qué magnitudes están siendo representadas. Nunca deben indicarse en los ejes los valores correspondientes a los datos experimentales. Eso deberá ir en tabla aparte. ) El origen de coordenadas. Hacer que el eje Y comience en 0 hace que la gráfica quede encajonada en la parte superior, impidiendo ver detalles. Es mejor ajustar el origen en ambos ejes para que la curva se extienda por todo el rectángulo. 3) Las curvas. En el ejemplo, se supone que Serie representa un conjunto de datos experimentales, y Serie 3 la recta de mejor ajuste, pero la elección de colores y símbolos hace imposible distinguir cuál es cuál. Por supuesto, sustituir Serie por datos experimentales y Serie 3 por ajuste lineal también hubiera ayudado. En cuanto a los símbolos, no deben ser ni tan pequeños que no puedan verse, ni tan grandes que no puedan separarse. Lo mismo vale para las rectas, tanto en lo que respecta al grosor como al color. Las rectas que representen ajustes lineales o valores teóricos no deben representarse con símbolos sino con rectas. Del mismo modo, los datos experimentales suelen marcarse mediante símbolos; pueden acompañarse de líneas rectas o curvas, pero no siempre será conveniente por motivos de claridad. 4) El fondo. Qué necesidad hay de poner un fondo de color gris? Ninguno, salvo que así aparece por defecto en las gráficas de Excel. Tampoco es obligatorio dejar esas línea horizontales que indican valores de y=10, 0, 30, etc; considérese la posibilidad de añadir también líneas verticales; o sustituir la línea continua por una línea de puntos; o cambiarle el color. O, sencillamente, eliminarla. 18

21 Apuntes sobre Teoría de Errores 5) El título. O mejor dicho, la ausencia de título. 6) El tamaño. Habiendo espacio, por qué relegar la gráfica a una pequeña porción del folio? Véase como podría quedar la gráfica anterior de forma más clara: Constantes elásticas: estudio estático 70 Fuerza (N) Datos experimentales Recta de ajuste Elongación (m) Se anima al alumno a que pruebe con cualquier otra combinación de colores, tipos de letra, símbolos, etc, que considere más adecuados. Eso sí, siempre habrá de atenerse a los principios que deben regir la forma de toda gráfica: claridad, precisión, complitud. En el caso de que haya que realizar algún ajuste por mínimos cuadrados, no olvide indicar claramente los parámetros obtenidos (pendiente A, ordenada en el origen B, errores de ambos A y B, coeficiente de correlación lineal r), y sus unidades correspondientes. 19

22 0 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química)

23 Normas generales del laboratorio NORMAS GENERALES DEL LABORATORIO 1. El alumno deberá estudiarse la práctica previamente a su realización, consultando bibliografía al respecto si fuese preciso. De ese modo, antes de comenzar el experimento sabrá qué debe hacerse, por qué y en qué forma. El profesor estará a su disposición para aclarar las dudas que el alumno tuviera.. Antes de comenzar la práctica, el alumno debe comprobar que el material necesario para la realización de la práctica se encuentra en perfecto estado. Será responsable de su correcta utilización y conservación, así como de dejar el material y el puesto limpios y en orden. Cualquier incidente, antes o durante la realización de la práctica, deberá indicarse al profesor encargado. 3. Cada sesión de prácticas tendrá una duración aproximada de dos horas, aunque algunas pueden realizarse en menos tiempo. El alumno deberá obtener los datos experimentales necesarios para poder hacer los cálculos correspondientes. Sin embargo, el laboratorio de prácticas es un lugar para realizar el experimento, no para redactar el guión de prácticas. El tratamiento de datos, construcción de tablas, gráficas, etc, se realizará fuera del laboratorio. 4. El informe de prácticas se entregará en la sesión de la semana siguiente, uno por pareja de prácticas. Para que se considere completo, el informe deberá incluir: El nombre completo de los miembros del equipo Una introducción teórica del experimento a realizar Una descripción de los pasos seguidos Tablas de medidas en las que se incluirán los valores experimentales, así como los cálculos necesarios para la obtención de los errores, todo con indicación de las unidades Cuando proceda, gráficas con su ajuste de mínimos cuadrados 1

24 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Cualquier otro comentario que el alumno estime conveniente (problemas, mejoras, incidentes, aportaciones de tipo personal, etc.) 5. Tras terminar las sesiones de prácticas programadas se habilitará una jornada de recuperación para aquellos alumnos que hayan faltado a alguna sesión por causa justificada.

25 1 - Medidas de precisión 1 - MEDIDAS DE PRECISIÓN 1 FUNDAMENTO Para medir una cantidad dada, se compara con una cantidad patrón (unidad) y se mide cuántas veces contiene aquélla a ésta. De esa forma, una medición consiste en dar unidad y medida. Algunas cantidades se miden directamente, en tanto que otras han de determinarse indirectamente. Podemos, por ejemplo, medir el diámetro d de una esfera, para luego determinar indirectamente el volumen por medio de la ecuación V = πd 3 /6. Cualquier medida, no obstante, conlleva un error, lo que en nuestro caso significa que el volumen derivado de la ecuación se verá a su vez afectado por un error, efecto que se conoce como propagación de errores. Una vez obtenidos V y su error, ambos deberán ser redondeados, ya que un error es sólo una estimación aproximada. En la presente práctica se llevarán a cabo medidas de longitud de cuerpos extensos, y posteriormente mediciones indirectas de sus volúmenes, todo acompañado de su error correspondiente. Para las mediciones usaremos pálmeres y calibres. MATERIAL.1 Nonio El nonio es, más que un instrumento de medida, un accesorio para aumentar la precisión de una medida. Consiste en una reglilla que se desliza respecto a una regla principal. Está graduado de tal forma que n divisiones del nonio corresponden a n-1 3

26 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) divisiones de la regla principal. Eso significa que la relación de distancias entre dos divisiones de la regla principal y dos divisiones del nonio es (n-1)/n, y su diferencia 1/n. La figura nos nuestra cómo funciona un nonio con con n=10 divisiones. El valor de la medida que se está llevando a cabo es 9 + x/n milímetros. Para determinar el valor de x, hay que buscar una división en la escala inferior que coincida con una división de la escala superior. En la figura, dicha coincidencia se puede apreciar en la división 3 del nonio. La división de nonio ya no coincide con la división de la escala superior, sino que aquélla está desplazada 1/n milímetros. Del mismo modo, las divisiones 1 y 0 de la escala del nonio están desplazadas /n y 3/n milímetros respecto a las correspondientes divisiones de la escala superior. Pero obsérvese que la diferencia de 3/n milímetros entre la división 0 del nonio y la división más cercana de la escala superior es justamente el resto x que no hemos podido apreciar mediante la medición en milímetros. Esto nos da una medida de 9 + 3/10 = 9,3 milímetros. O, dicho de otro modo, la medición consta de dos partes: (1) La parte entera en milímetros, indicada por la primera división milimétrica de la escala superior que queda a la izquierda del cero del nonio. () La parte fraccionaria, que viene dada por la división del nonio (d) que coincide con una división de la escala superior. Dicha parte fraccionaria viene dada por d/n, donde n es el número de divisiones del nonio. Otros nonios tienen n = 0 divisiones, de forma que cada división del nonio representa 1/0 mm. Para facilitar la tarea de lectura, dichos nonios no están reglados con 0 divisiones (sin contar el cero), sino con 10 divisiones grandes y otras tantas 4

27 1 - Medidas de precisión pequeñas. Eso nos ayuda a obtener directamente el valor del resto. El error instrumental (longitud mínima que se puede medir) es de 1/n de milímetro. Para el nonio de 0 divisiones, esto se corresponde a 0,05 mm. Algunos instrumentos de medida incluso llevan dos escalas graduadas y dos nonios: uno indica las medidas en milímetros, y el otro en pulgadas (1 pulgada = 5,4 mm).. Calibre Este instrumento de medida de longitudes consta de una regla principal con escala milimétrica (a veces, complementada por una segunda escala en pulgadas, que no tendremos en cuenta) sobre la que se desliza otra segunda reglilla (el nonio). La geometría del calibre le permite medir longitudes, espesores, diámetros interiores y profundidades. Su precisión suele ser de 1/10 mm o 1/0 mm, según la graduación del nonio. Al utilizar el calibre debe procurarse que la presión ejercida al aprisionar el objeto a medir no sea excesiva con el fin de evitar que éste sufra deformaciones..3 Pálmer Es un instrumento que permite medir longitudes o espesores pequeños con mayor precisión que un calibre. Consta de una horquilla que lleva en su extremo un tope fijo. Opuesto a éste hay una tuerca de paso micrométrico por la que pasa un tornillo. La cabeza del tornillo es un mango con un bisel (estrechamiento) que lleva grabado a su alrededor una escala con 50 o 100 divisiones, según el modelo. Dicha escala nos permitirá obtener las fracciones de vuelta. 5

28 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Para poder contar las vueltas que da el tornillo, el cuerpo del tornillo lleva grabado un conjunto de divisiones horizontales. Cada vez que el tornillo gira, el mango va descubriendo el cilindro interno (generatriz), de modo que cada vez que el tornillo da una vuelta completa aparece una división nueva en el cilindro. La precisión del pálmer vendrá dado por el cociente entre la longitud de avance del tornillo al dar una vuelta completa y el número de divisiones del bisel. El modelo usado en el laboratorio avanza 0,5 mm por vuelta, y el mango tiene 50 divisiones, de forma que su error instrumental es de 0,5/50 mm = 0,01 mm. Para medir, se colocará el objeto entre el tope fijo y el extremo del tornillo, haciendo girar éste por medio del tornillo limitador ubicado en el extremo derecho del cilindro. Importante: nunca debe hacerse girar sujetándolo por el cuerpo del cilindro. De hacerlo así, el cuerpo cuya longitud se está midiendo puede deformarse y la rosca del tornillo puede quedar seriamente dañada. El extremo del cilindro tiene un sistema que limita la fuerza con que se presiona al cuerpo. Para proceder a la lectura de una medida, se procede en dos partes. En primer lugar, se verá la última señal descubierta de la generatriz. Para nuestro modelo de pálmer, véase que la generatriz tiene dos conjuntos de señales, por encima y por debajo de una línea horizontal. Las señales superiores indican milímetros, y las de abajo indican medios milímetros. De ese modo, si la última señal que ha aparecido es la señal superior número 4, la medida es de 4,0 milímetros; si aparece la siguiente, la medida será 4,5 mm. 6

29 1 - Medidas de precisión A continuación, se verá cuál es el valor de la fracción de vuelta. Para ello, se anota la división de la escala del bisel que coincide con la línea horizontal de la generatriz. El valor que nos da representa el resto a añadir, en unidades de 0,01 mm (ya que cada vuelta, que indica 0,5 mm, se corresponde a 50 marcas del bisel). En el ejemplo anterior, si la última señal de la generatriz indica 4,5 y el bisel nos indica 8, la medida será 4,5 + 8/100 = 4,78 mm. El error instrumental será 0,01 mm. 3 PARTE EXPERIMENTAL En general, se supone que tanto calibres como pálmeres están correctamente calibrados a cero. Esto significa que una medida de longitud nula nos daría un valor cero. En la práctica, puede suceder que se obtenga un valor de cero no nulo. A ese valor se le denomina error de cero del aparato, y afectará a cualquier medida que se haga con el aparato. Sin embargo, su carácter sistemático nos permite determinarlo y corregirlo fácilmente. El error de cero se determina haciendo lecturas en vacío. Una vez obtenido su valor O, cualquier medida experimental L' podrá ser corregida a su valor real L como L = L' - O. El error en L y el error en L' se considerarán idénticos. Para determinar el volumen de cuerpos geométricos, se obtendrán medidas directas de la siguiente forma: Cilindro. Determínese mediante el calibre el diámetro d y la altura h del cilindro. La expresión que permite determinar el volumen es: V π 4 = d h (1) Placas rectangulares. Se procederá a medir, para cada placa, su largo a y ancho b con el calibre, y su espesor c con el pálmer. El volumen se obtendrá mediante la relación: V = abc () 7

30 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Determine el volumen de los cuerpos anteriormente descritos y su error, ambos redondeados. Para obtener el error, deberá usarse el método de propagación de errores descrito en los Apuntes sobre Teoría de Errores de este cuaderno de prácticas. No olvide indicar las unidades que correspondan. En este caso, y para mayor comodidad, pueden utilizarse las unidades del sistema CGS (centímetro, gramo, segundo). 8

31 Segunda Ley de Newton - SEGUNDA LEY DE NEWTON 1 FUNDAMENTO En esta práctica vamos a estudiar el movimiento uniformemente acelerado de un cuerpo que se desliza por un carril recto y horizontal al ser sometido a una fuerza constante. Supondremos despreciable el rozamiento. El objetivo que se plantea es calcular la aceleración de un deslizador móvil que se traslada a lo largo del carril. En un movimiento de este tipo, el espacio s recorrido y la velocidad instantánea v pueden expresarse en función del tiempo t mediante las siguientes expresiones: 1 s v t at = o + (1) v = vo + at () donde a representa la aceleración y v o la velocidad inicial. La ecuación () nos dice que la velocidad aumenta linealmente con el tiempo, y dicho aumento depende de la aceleración que tenga el sistema. El deslizador está conectado, por medio de un hilo, a un portapesas del que podemos colgar distintas masas con el objeto de poder aplicar distintas fuerzas. Sin embargo, al colocar una masa en el portapesas, el deslizador no se mueve. Eso se debe a que la fuerza de rozamiento lo impide. Para neutralizarla, el deslizador corre sobre un colchón de aire producido por un compresor que está situado a la izquierda del carril. 9

32 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) Para determinar teóricamente la aceleración a del deslizador, supongamos que la masa total del portapesas (incluidas las pesas) sea m 1, y la masa del deslizador m. La segunda Ley de Newton, aplicada a ambos sistemas, nos da: m1 g T = m1a Portapesas T = m a Deslizador (3) donde T es la tensión de la cuerda. Del par de ecuaciones (3) se deduce: m1 a = g ( m + m ) 1 (4) - MATERIAL La rampa de deslizamiento es un carril neumático constituido por una barra metálica de sección triangular, de unos m de longitud, montada sobre un soporte. El carril posee diversos orificios pequeños en sus caras laterales, por los que sale aire a presión inyectado por uno de los extremos del carril mediante de un compresor. Sobre el carril puede deslizarse, prácticamente sin rozamiento (gracias al aire del compresor), un carrito deslizador que se ajusta a la forma de la barra. El sistema de medida de tiempo está constituido por un dispositivo de sensores fotoeléctricos conectados a un contador digital que actúa como reloj. El contador se pone cuando el deslizador pasa por el primer sensor, y se para al pasar por el segundo. Pulsando el botón RESET, el contador digital vuelve a ponerse a cero. Importante: no se debe mover el deslizador sobre el carril si el compresor de aire no está en marcha, ya que el dispositivo puede dañarse. 30

33 Segunda Ley de Newton 3 PARTE EXPERIMENTAL 1) Encienda el compresor (posición o 3) y el sistema de cronometraje. ) Coloque una masa en el portapesas, anotando su valor (tómese como exacto, no es preciso pesarlo) y el de la masa del deslizador móvil que se mueve por el carril. Anote la distancia d existente entre los dos sensores fotoeléctricos. 3) Ponga el reloj a cero, sujetar el deslizador, ponga en marcha el compresor y suelte el deslizador. Anote el tiempo t que tarda el deslizador en cruzar la distancia entre ambos sensores fotoeléctricos. 4) Vuelva a llevar el deslizador al principio del carril y baje la intensidad del aire del compresor hasta que el deslizador no se mueva. Cambie la posición del segundo sensor fotoeléctrico (el más alejado del compresor de aire) unos 10-1 cm con respecto a su situación anterior. A partir de aquí, repita los pasos del apartado anterior. 5) Repita el proceso descrito en los apartados 3) y 4) para distintas longitudes, cambiando la posición del segundo sensor fotoeléctrico. Tómense datos para al menos cinco o seis posiciones. 6) Las parejas de medidas espacio-tiempo realizadas permiten obtener la velocidad media en cada trayecto, v m = d/t. Teniendo en cuenta que, en un sistema con aceleración constante, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final, v m =( v i + v f )/, dicha velocidad media puede expresarse como: v m vi + v f vi + ( vi + at) 1 = = = vi + at (5) donde comprobamos que v m depende linealmente de t, y que la pendiente de la recta v m - t es igual a ½a. 7) Represente gráficamente la velocidad media en función del tiempo. A partir de la gráfica, y tras efectuar un ajuste lineal, determine el valor de la pendiente. Con la pendiente obtenida mediante el ajuste, determine el valor de la aceleración a con su error correspondiente. 8) Compare el resultado de a que se ha obtenido mediante el apartado 7) con el deducido mediante la ecuación (4). 31

34 3 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química)

35 3 - Caída libre de un cuerpo 3 - CAÍDA LIBRE DE UN CUERPO 1 FUNDAMENTO El movimiento de un cuerpo en el seno de un campo gravitatorio puede estudiarse de forma sencilla si se suponen algunas hipótesis simplificadoras: gravedad constante, masa puntual y ausencia de rozamientos debidos al aire. En tales condiciones, un cuerpo que parte del reposo recorrerá una distancia vertical hacia abajo h en un intervalo de tiempo t de acuerdo con la expresión: 1 h ( t) = gt (1) La distancia recorrida es, por tanto, proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Eso nos da dos formas de medir la aceleración de la gravedad: - Estudio a altura constante. Se efectúa una medición de h y t, despejando la aceleración gravitatoria de la ecuación (1). - Estudio a altura variable. Se realizan mediciones para varios valores de h. Un ajuste por regresión lineal nos permite obtener g. MATERIAL El cuerpo que cae es una bola de acero de cm. de diámetro. Un mecanismo de sujeción manual libera la bola, iniciando con ello el movimiento y enviando una señal de inicio a un temporizador digital. Cuando la bola golpea el platillo interruptor situado en la parte inferior, envía una segunda señal al temporizador, que mostrará el tiempo 33

36 Prácticas de Laboratorio - Física I (Grado en Química) empleado en la caída. Una regla con dos correderas ajustables (de color naranja) permiten medir las posiciones inicial y final de la bola, pudiéndose así hallar la distancia h entre ambas. El temporizador está ajustado para responder a las señales de inicio y final. No cambie ningún cable o ajuste. En caso de duda, consulte con el profesor. 3 PARTE EXPERIMENTAL Para poder efectuar mediciones, debe seguirse el siguiente proceso: 1) Mueva el platillo interruptor hacia arriba (cuando un objeto golpea el platillo, éste baja gracias a un eje que se encuentra en su parte inferior). ) Ajuste la altura deseada. Para ello, mueva el mecanismo de sujeción de la barra vertical hacia arriba o abajo. Mida las posiciones inicial y final mediante la regla graduada, ayudándose de las correderas, y determine la distancia entre ellas h. La corredera inferior debe apuntar al extremo superior del platillo interruptor, y la corredera superior al centro de la bola. 3) Coloque la bola en el mecanismo de sujeción. Sujétela apretando el disparador (el cable fino que sale del mecanismo) con los dedos. Un pequeño tornillo en el extremo del disparador permite mantenerlo fijado. 4) Pulse el botón Reset del temporizador para fijarlo a cero. 5) Suelte el disparador (si ha apretado el tornillo del disparador, suéltelo primero). Una pequeña luz verde rotulada Gate se encenderá en el temporizador mientras la bola cae. 6) Cuando la bola active el mecanismo interruptor, el temporizador mostrará el tiempo de caída. Este proceso se llevará a cabo tantas veces como requiera el experimento, de acuerdo con lo que determine la teoría de errores. 34

37 3 - Caída libre de un cuerpo 3.1 Estudio a altura constante Siguiendo el proceso descrito anteriormente, efectúe al menos seis mediciones h- t manteniendo constante la distancia. Incluya los valores, junto con sus errores, en una tabla. Para cada medición, determine el valor de g con su error correspondiente. Después, tome el valor medio de g con su error. Compare este valor medio con las seis mediciones anteriores, y discuta los resultados. 3. Estudio a altura variable Siguiendo el proceso descrito anteriormente, efectúe al menos seis mediciones h-t para valores distintos de h. Incluya los valores, junto con sus errores, en una tabla. Represente gráficamente los datos poniendo t en abscisas y h en ordenadas. Calcule la pendiente mediante un ajuste lineal y obtenga de la ecuación (1) el valor de g con su error. Compare los valores de la aceleración gravitatoria obtenidos mediante los dos tipos de estudios. Razone cuál es preferible en términos de precisión y de sencillez. 35