Apuntes de Arturo Quirantes Teoría de errores TEORÍA DE ERRORES

Transcripción

1 TEORÍA DE ERRORES 1 ociones previas Errores en mediciones directas.1 Error estadístico asociado a un conjunto de medidas. úmero de medidas.3 Datos anómalos: el criterio de Chauvenet 3 Error en mediciones indirectas. Propagación 4 Redondeo 5 Ajuste lineal: método de los mínimos cuadrados 6 Representación gráfica 1 OCIOES PREVIAS Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene no coincide necesariamente con el valor exacto de tal medida, ya que el resultado obtenido estará afectado por multitud de factores. Algo en apariencia tan sencillo como cronometrar el período del péndulo sufrirá errores debidos a la precisión del cronómetro, los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas... errores que se propagarán a cualquier cantidad derivada de ésta que queramos determinar, como por ejemplo velocidad o aceleración. Se hace necesario, pues, estimar el error cometido al efectuar una medida o serie de medidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría de errores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datos experimentales como para evaluar la fiabilidad de éstos. El estudio de la teoría de errores es una rama aparte de la matemática por derecho propio. El lector queda avisado de que lo que sigue es tan sólo un compendio breve de las reglas fundamentales más usadas en el ámbito de la teoría de errores.

2 Si se efectúa una medida directa de una cantidad física, el valor medido x por lo general diferirá del valor exacto x o. Se denomina error absoluto (o simplemente error) de la medida a la diferencia entre ambas cantidades: ε = x - x o. Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo a equivocación, acción desacertada, motivo por el que en tiempos recientes se ha puesto de moda usar el término incertidumbre para aplicaciones de ciencia e ingeniería. Sin embargo, y puesto que la Real Academia de la Lengua define también el error como diferencia entre el valor medido o calculado y el valor actual, podremos hablar con propiedad de error y de teoría de errores. Asociado al error absoluto, puede definirse el error relativo como el cociente ε/x o. El error relativo resulta especialmente relevante porque nos relaciona el error cometido con el valor de lo medido. Un error de 1 mm resulta excelente si se mide la longitud de una carretera de 100 km (representa una desviación de una parte en 10 8 ), adecuado si se mide una mesa de m e inaceptable si se mide una hormiga de mm. En los tres casos el error absoluto es el mismo, pero su cercanía relativa al valor exacto son distintas. Por lo general, el valor de una medida se da estimando su valor más probable x y su error Δx. Escribir x ± Δx significa que cabe esperar razonablemente que el valor exacto de la cantidad valga cualquier valor entre x - Δx y x + Δx, con x como valor más probable. La traducción de "cabe esperar razonablemente" al lenguaje matemático queda fuera del presente desarrollo, pero se darán algunos criterios en el apartado. Atendiendo a su carácter, existen dos tipos de errores: sistemáticos y accidentales. Los primeros actúan siempre de la misma forma para influir en la medida (por ejemplo, una balanza desajustada que tiende a marcar una masa 8 gr superior a la real). Estas medidas, si se producen, arrojan un error constante. Por contra, los errores accidentales son de carácter aleatorio, y se presupone que actúan con la misma frecuencia tanto con un signo como con el opuesto; esto es, se tiene igual probabilidad de obtener una medida 5 gr superior al valor real como de obtenerla 5 gr por debajo. o se puede conocer el valor exacto de una cantidad puesto que siempre existen errores (instrumentales, ambientales, humanos). Tampoco se puede conocer el valor exacto de un error, puesto que depende de procesos aleatorios y generalmente incontrolables. Además de ello, es una contradicción en sus propios términos, pues conocer exactamente el error supone conocer exactamente el valor de la cantidad x o, en cuyo caso, para qué necesitamos el error?. Sin embargo, es preciso dar un valor de la medida con su error. La Teoría de Errores deduce ciertas reglas para

3 ello, y siempre se basan en un supuesto esencial: un error nunca es algo exacto y bien definido, sino tan sólo una estimación razonable. Al medir, hemos de distinguir dos conceptos en apariencia sinónimos: precisión y exactitud. La precisión está asociada con la sensibilidad del instrumento de medida, en tanto que la exactitud relaciona la estimación de la medida con su valor real. En una medición precisa, las medidas están muy próximas entre sí, pero no tienen por qué estar cerca del valor real; en una medición exacta, por el contrario, el promedio de las medidas se aproxima mucho al valor real, pero las medidas en sí pueden estar muy dispersas. Para entenderlo con un ejemplo, imaginemos un reloj digital capaz de apreciar hasta la centésima de segundo. Dicho reloj es mucho más preciso que un reloj de pulsera que solamente aprecia hasta el segundo. Pero si el reloj digital atrasa, sus medidas serán poco exactas. Para aumentar la precisión de un instrumento, hay que procurar que pueda medir cantidades más pequeñas, o bien que pueda distinguir entre dos medidas muy cercanas entre sí. Por su parte, la exactitud aumenta cuanto mejor se calibra el instrumento respecto de patrones de medida fiables, en nuestro caso sincronizando el reloj con señales horarias como las de Radio acional 1. ERROR E MEDICIOES DIRECTAS.1 Error estadístico asociado a un conjunto de medidas Resulta práctica habitual realizar varias medidas de una cantidad. Ello permite prevenir en la medida de lo posible los errores accidentales. La idea consiste en suponer (más bien confiar) que los errores accidentales se produzcan de forma aleatoria, con lo que tendremos medidas erróneas tanto en exceso como en defecto. Esto, es, si la medida exacta de la longitud de un objeto es 1,5 m, se tiene igual probabilidad de medir 1,55 m que de medir 1,49 m. Esto nos lleva a la realización de un conjunto de mediciones sobre una misma cantidad: x 1, x x obtenidas para una cantidad cuyo valor exacto es x o. Estas medidas pueden ser consideradas una muestra de todas las posibles mediciones que podríamos hacer. Bajo condiciones 1 También en Internet: o

4 muy generales puede demostrarse que el mejor estimador de la cantidad viene dado por la media aritmética de los valores medidos: x x1 x... x i1 x i A cualquier medida x i se le puede adjudicar un error ε i igual a la desviación respecto al diferencia entre dicha medida y el valor medio: i xi x. Cuál es, entonces, el error asociado al conjunto de medidas? Puede hacerse un primer intento y definir el error medio como el promedio aritmético de los errores (su suma dividida por ); sin embargo, se demuestra fácilmente que dicha cantidad es nula sea cuales sean los valores x i : ( x x) x x x x 0 i i i i1 i1 i1 Este resultado, paradójico en apariencia, no es más que un reflejo del significado del término valor medio: algunos valores x i serán mayores que el valor medio, y otros serán menores. Puesto que los errores pueden serlo por exceso o por defecto, un segundo intento puede ser definir error promedio como la media aritmética de los valores absolutos de los errores. La estadística nos permite obtener un estimador más correcto del error. Aquí vamos a obtenerlo mediante una deducción razonable. Dicha deducción se basa en el siguiente razonamiento. Puesto que el valor medio de los errores sale cero porque dichos errores tienen signo (los valores medidos están por encima o por debajo del valor medio) hemos de eliminar el signo, por ejemplo, mediante un valor absoluto. Sin embargo, la función valor absoluto es engorrosa e incómoda desde el punto de vista analítico. Existe otra manera de convertir cualquier número real en un valor positivo: elevándolo al cuadrado. Así que podríamos usar como error del conjunto de medidas el valor medio de los cuadrados de los errores: 1 1 i ( xi x) i 1 i1

5 En el proceso hemos reducido artificialmente el valor del error, ya que cada error ε i, ha sido elevado al cuadrado. El arreglo es inmediato: si hemos elevado al cuadrado, saquemos la raíz cuadrada para compensar: 1 1 i ( x ) i x i 1 i1 Este resultado, en apariencia poco riguroso, se aproxima bastante al aceptado habitualmente para una medición de mediciones: el error asociado a un conjunto de medidas se representa mediante la desviación estándar de la media : 1 1 ( 1) i1 ( x x) i Puede verse fácilmente que el cociente entre las dos cantidades σ -1 / σ es igual a la raíz cuadrada de (-1)/, cantidad que tiende a la unidad para valores de crecientes. En la práctica, dicha diferencia resulta poco relevante, ya que la operación de redondeo borra las diferencias entre ambos errores. Por ejemplo, para el conjunto de datos (51,00, 51,00, 51,50, 5,50, 5,00, 50,50, 53,50), se obtienen valores x =51,7148, σ =0,95831 y σ -1 =1, Sea cual sea el error que se considere, los datos arrojarían un valor final de 5 ± 1, ya que tanto la medida como el error habrán de ser redondeados, como se verá en su momento. unca hay que olvidar que cualquier valor de error será simplemente una estimación del error probable, no un valor exacto. La desviación estándar σ -1 es una estimación razonable de los errores aleatorios asociados con un conjunto de medidas en el supuesto de que no haya errores de otro tipo (particularmente, errores sistemáticos). En el caso de que las medidas x i estén distribuidas de forma normal (es decir, [El proceso de obtención de la ecuación (5) es bastante más elaborado que lo aquí mostrado. En esencia, puede demostrarse que bajo condiciones muy generales, los puntos x i forman una función de distribución en forma de campana llamada función de distribución de Gauss, o simplemente función gaussiana. La llamada desviación cuadrática media S x nos da una estimación de la anchura de dicha campana. Esto significa que una medida x i dada tiene una cierta probabilidad de que su diferencia respecto al valor real sea menor que S x, es decir, S x nos estima el error cometido al hacer una medida. Si, por el contrario, tomamos no una sino mediciones x 1 x, puede demostrarse que una estimación de la incertidumbre asociada al conjunto de medidas vendrá dado por S x/ 1/, es decir, σ. El motivo de tomar -1 en el denominador de la ecuación (5), en lugar de, se debe a que las ecuaciones (3) y (4) son rigurosamente ciertas sólo si x fuese el valor exacto de la medida, en lugar de una estimación basada en el valor promedio].

6 siguiendo la llamada distribución de Gauss), una estimación del tipo xo x 1 significa que hay una probabilidad del 68% de que el valor real de la medida x o esté comprendido en el intervalo [ x, x ]. También pueden hacerse otras estimaciones. Por ejemplo, x o está comprendido 1 1 en el intervalo [ x 1, x 1] con una probabilidad del 95,5% y en el intervalo [ x 3, x 3 ] con una probabilidad del 99,7% 1 1. úmero de medidas La desviación estándar proporciona una estimación de la incertidumbre originada por azar. Por lo general, los errores aleatorios representados vienen representados por la cantidad σ -1, que como hemos visto puede escribirse como ( xi x) ( xi x) ( 1) i1 ( 1) i1 Sx donde S x (el error cuadrático medio) representa el error tomado al hacer una medición, y depende de la función de distribución de las medidas, en tanto que σ -1 nos estima el error al hacer un total de de medidas. La ecuación (6) puede leerse como 1 S /, esto es, nuestra estimación del error σ -1 disminuye de forma proporcional a la raíz cuadrada de, de modo que en principio podríamos disminuir dicho error efectuando cada vez más mediciones. Es evidente, no obstante, que no se puede esperar una reducción del error a valores arbitrariamente pequeños sin más que aumentar el número de medidas, ya que nos encontraremos en última instancia con errores sistemáticos, límites en la sensibilidad del aparato, etc. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de medidas (10,0, 10,0, 10,1, 10,0, 10,0) mm medidos con una regla milimetrada hasta 0,1 mm, que nos arrojaría un valor de 10,0 ± 0,04 mm. Esto no tiene sentido, puesto que la propia regla ya nos introduce una limitación de 0,1 mm. Con el aumento del número de medidas aumenta la verosimilitud, pero no el número de cifras significativas del resultado. Si se hacen pocas determinaciones, el valor obtenido para la cantidad medida podrá estar afectado por importantes errores; si se efectúan demasiadas medidas, se está derrochando esfuerzo sin obtener mejoras sustanciales en precisión. Cuál es el número de medidas adecuado para una x

7 observación estadísticamente significativa? Hay diversos criterios. El que a continuación se indica no es necesariamente el mejor, pero resulta de fácil aplicación. Descartados los casos en que, por las características del experimento, solamente se pueda obtener una medición, el mínimo número de medidas admisible es de tres, ya que si hacemos una sola medida cabe la duda de saber si éste resultado es el verdadero, y si hacemos dos resulta arbitrario seleccionar entre ellas ( está el valor exacto en un término medio, o hay una medida afectada de error accidental y otra no?). Así, pues, en primer lugar se realizan tres medidas. A continuación, se calcula el valor medio x3 y la dispersión total D 3, que no es sino la diferencia de los valores extremos (el valor más alto menos el valor más bajo). También se calculará la tasa de dispersión para esas tres medidas, expresada en tanto por ciento p: T3 100 D3 / x3. El subíndice indica el número de medidas realizadas. Si el valor de la dispersión es mayor que la sensibilidad del aparato S, se tomará dicha sensibilidad como error. De lo contrario, habrá que realizar más medidas, tantas más cuanto mayor sea la tasa de dispersión calculada para las tres primeras medidas. El número de medidas, y el error asignado, se obtendrán de la siguiente forma: Valor de T 3 Medida Estimación del error Menor de % 3 x3 S (Sensibilidad del aparato) Entre % y 8% 6 x6 Máximo de {D 6 /4, S} Entre 8 % y 15% 15 x15 σ -1 Por lo general, si la tasa de dispersión es superior al 15% se suele descartar el conjunto de medidas y repetir el experimento de manera más cuidadosa, procurando minimizar cualquier tipo de error (aparatos más sensibles, muestras aisladas de las vibraciones, etc)..3 Datos anómalos: el criterio de Chauvenet En habitual que, al realizar una serie de medidas, uno de los datos sea anormalmente distinto de los demás. Pongamos por caso que se han efectuado las siguientes mediciones de una variable cualquiera x: 3,8 / 3,5 / 3,9 / 3,9 / 3,4 / 1,8. El valor de la media es x=3,4 y el error es σ n-1 =0,8. Es evidente que el último dato destaca entre los demás: 1,8 está a dos desviaciones estándar del valor medio.

8 El primer impulso es pensar que algo ha salido mal en esa medida particular. Es posible que la medida anómala se haya hecho en condiciones distintas: el instrumento era distinto o se usó uno diferente, se midió justo después de un corte de luz, el experimentador estaba distraído, hubo una corriente de aire, etc. Si tenemos motivos para sospechar que ha habido un error aleatorio anormalmente alto, hay una justificación a la hora de rechazar esa medida. Obtener un valor tan alejado de la media es raro pero no matemáticamente imposible. Recordemos que el error que hemos calculado es sólo válido en un rango de confianza del 68%, lo que significa que esperamos que la medida se encuentre en el rango [ x 1, x 1], pero también significa que hemos de esperar que la medida caiga fuera de ese rango un 3% de las veces, aproximadamente una de cada tres. De modo similar, la probabilidad de que la medida esté en el rango [ x 1, x 1] es del 95,5%, así que la probabilidad de que caiga fuera será del 4,5%, una vez de cada. Para determinar cuándo el dato de una medida anómala debe ser rechazado se usa el criterio de Chauvenet. Supongamos que tenemos mediciones de una cantidad x 1, x x, y que una de ellas parece sospechosa por ser demasiado grande o demasiado pequeña. Llamemos x an a ese valor anómalo. A continuación determinemos cuántas desviaciones estándar la separan del valor medio: de = x an x σ 1 El número de medidas anómalas que podemos esperar es igual a: n= [1 P( de σ)] donde es el número de medidas y P( de *σ) es la probabilidad de que un valor se diferencie de la media en de desviaciones estándar. Supuesto que las medidas sigan una distribución normal, esa probabilidad puede obtenerse de las tablas numéricas. Para simplificar el proceso aquí consideraremos solamente valores de de a partir de 1,5 desviaciones estándar, es decir, de *σ 1,5 (esa es una limitación que no aparece en el criterio de Chauvenet pero la exigiremos aquí con el fin de simplificar el tratamiento de datos). He aquí algunos valores numéricos: de 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,5 3 4

9 P( de *σ) 0,866 0,890 0,91 0,98 0,943 0,955 0,988 0,997 0, P( de *σ) 0,134 0,110 0,088 0,07 0,057 0,045 0,01 0,003 0,0001 El criterio será el siguiente: si n es menor que 0,5 el dato es anómalo. En nuestro ejemplo numérico anterior resulta un valor de =, lo que para =6 medidas arroja un valor de n=0,7. El dato x=1,8 es anómalo y debe ser rechazado. Para sustituirlo haremos una nuva medida. Supongamos que el nuevo valor es x=3,5. Ahora el nuevo conjunto de valores será 3,8 / 3,5 / 3,9 / 3,9 / 3,4 / 3,5. El nuevo valor medio es x=3,7 y el error es σ n-1 =0,. IMPORTATE: el criterio de Chauvenet debe utilizarse solamente una vez en un conjunto de datos. Si hay dos o más medidas anómalas, todo el conjunto de medidas debe descartarse. En general, el método de Chauvenet solamente debe usarse cuando el experimentador tiene motivos para sospechar que la anomalía de un dato se debe a los métodos de medida y no a causas externas, pero no siempre es así. En los años ochenta se descubrió que la capa de ozono se había reducido en un 40% (casi la mitad) por efecto de los CFC; sin embargo, los datos obtenidos una década antes por los satélites imbus 4 y 7 no indicaban más que una caída minúscula del 1% Cuando esos mismos datos fueron reevaluados en 1986 se descubrió un fallo en la programación de los satélites: sus ordenadores rechazaron los datos porque se creía que una caída tan grande en los niveles de ozono se debían a un fallo de los instrumentos de medida. En ocasiones los datos anómalos son la antesala de grandes descubrimientos, lo que no suele ser el caso de un laboratorio de prácticas. 3 ERROR E MEDICIOES IDIRECTAS. PROPAGACIÓ A veces no se mide una cantidad directamente, sino por relación con otras cantidades. Para medir, por ejemplo, el área de un rectángulo se miden sus lados a, b y se hace uso de la relación S=ab. Si tanto a como b tienen sus cotas de error, evidentemente también la superficie vendrá afectada de error. La forma en que el error de una cantidad derivada depende de las medidas y errores fundamentales viene dado mediante la teoría de la propagación de errores. Para ello se utiliza el cálculo diferencial. Sea f una función que depende de n variables independientes x 1, x, x 3 x n (atención: ahora x i no representa la medida i-ésima de una misma

10 cantidad, sino la variable que representa la i-ésima magnitud). Se puede obtener el valor del diferencial de la función f a partir de los diferenciales de las variables x i por medio de un desarrollo en serie de Taylor de derivadas parciales: n f f f f df dx dx... dxn dxi x x x x 1 1 n i1 i Podemos interpretar, desde el punto de vista físico, cada derivada parcial como una cantidad que nos cuantifica el cambio (infinitesimal) en la variable f cuando la variable x i varía en una cantidad infinitesimalmente pequeña. Siguiendo nuestra interpretación, las variables x i son las cantidades que medimos de forma directa y la función f es la cantidad que pretendemos medir indirectamente (el volumen de un cuerpo, por ejemplo). Si los errores de las cantidades x i son lo suficientemente pequeños, podemos considerarlos como infinitesimales, con lo que tendríamos la asociación dx i Δx i, y por tanto df Δf. Eso nos daría una estimación de Δf como: f f f f f x x... xn xi x x x x 1 1 n i1 i donde la cantidad ( f/ x i )Δx i nos representa la contribución de la cantidad x i al error total. Las derivadas parciales de la ecuación (8) se toman en valor absoluto, ya que de otro modo unos errores podrían cancelarse con otros, lo que por lo general no tenemos asegurado que suceda. Sin embargo, y puesto que los errores sí suelen cancelarse (si no totalmente, al menos parcialmente), la ecuación (8) nos sobreestima el error que, en la práctica, vamos a encontrarnos. Una estimación de Δf más razonable puede obtenerse mediante un segundo desarrollo: n n f f df dxi dxi i1 x i i1 xi donde hemos supuesto que las variables x i son independientes y no relacionadas entre sí (matemáticamente, se diría que la covarianza entre x i y x j es nula para i j). Así pues, y asumiendo una estimación del error como dx i σ -1 (x i ), podemos modificar la estimación de Δf y obtener finalmente:

11 f f f f ( x ) ( x )... ( x ) x x x 1 n 1 n Es decir, la suma de la ecuación (8) se reemplaza por la suma cuadrática de la ecuación (10). Usaremos esta última forma, aunque ambas son estimaciones razonables de error. En cualquier caso, téngase en cuenta que cada término del tipo ( f/ x i )Δx i nos expresa en cuánto ha contribuido la incertidumbre en x i al error final Δf, lo que nos indica qué cantidades habría que medir con mayor precisión para reducir la incertidumbre en la cantidad indirecta medida. Veamos un ejemplo. Supongamos que se mide el radio r y la altura h de un cilindro, obteniendo un volumen V=πr h. En tal caso, f=v, x 1 =r, x =h y se tendría: V V V r h ( rh) r ( r ) h r h Para los valores r = 1,6 ± 0,3 mm, h = 35,1 ± 0,06 mm obtendremos: V (780,38) (0,3) (498,76) (0,06) ,6 895,54 mm 834,65 mm 3 mm Como puede verse, la contribución al error total debida a Δr es mucho mayor que la de Δh, lo que significa que para reducir el error del volumen es mucho más eficaz reducir el error del radio que el de la altura. El volumen es V = 17516,45 mm 3, lo que nos daría un valor experimental de V = (17516,45 ± 834,65) mm 3. Esto, aun siendo matemáticamente válido, es incorrecto desde el punto de vista de teoría de errores, como se verá a continuación. 4 - REDODEO El error en sí es algo aproximado. Dar un valor de 4,5±0.3 mm. significa esperar, con un grado de certeza razonable, que el valor verdadero sea alguna cantidad entre 4, y 4,8 mm. Pero

12 dar ± 0,30 mm implica que el valor exacto ha de estar entre 4,198 y 5,80 mm; no resulta razonable, ya que el error es algo que no transmite no tiene una seguridad absoluta, sino tan sólo una cierta probabilidad. Por ello, tanto el error como el valor más probable han de venir convenientemente redondeados. Para redondear el error, suele bastar con dar una, a veces dos, cifras significativas (es decir, cifras que dan información relevante). Los criterios habituales son los siguientes: - Si la primera cifra que se descarta es un cinco o más, la última cifra que se guarda se aumenta en una unidad. Esto es, el valor 0,38 se convierte en 0,4 y no en 0,3 - Si la primera cifra significativa es inferior a, se toman la dos primeras cifras para el error. De no ser así, se toma solamente una cifra. Según eso, el error 0,113 queda convertido en 0,11, y el 6.488,4 se transforma en Una vez redondeado convenientemente el error, el valor de la medida se redondea hasta la misma cifra decimal. El primer criterio se debe a que, al redondear, estamos acercando una cantidad con muchos dígitos a otra cantidad con un número de dígitos limitado; y esta segunda cantidad ha de ser lo más cercana a la primera. En el ejemplo, el número 0,38 está más cercano a 0,4 que a 0,3, de forma resulta más lógico sustituirlo por 0,4. En cuanto al segundo criterio, se basa en que cuando las primeras cifras son pequeñas, truncar y tomar sólo las cifras significativas representa un cambio más grande. Sustituir 0,84 por 0,8 nos representa una alteración del 3%; pero sustituir 0,114 por 0,1 altera el resultado en más de un 14%, una cifra incómodamente alta. Esto nos lleva a tomar dos cifras significativas en lugar de una, cuando ésta es lo bastante pequeña (este criterio es algo elástico; algunos autores propugnan tomar dos cifras significativas cuando éstas son inferiores a 10, o inferiores a 5). Finalmente, el tercer criterio es coherente con la definición de error en cuanto que estimación: si conocemos el error hasta cierto grado, eso nos limita automáticamente nuestro conocimiento sobre el valor de la medida. Véanse unos cuantos ejemplos de redondeo correcto: Medición Error Resultado final 464,413 0, ,4 ± 0,06 6,03 0,0005 6,0300 ± 0, ± ,18 0,14 3, ± 0,1

13 0, ,0078 0,018 ± 0,008 5 AJUSTE LIEAL: MÉTODO DE LOS MÍIMOS CUADRADOS En un experimento típico, se cambia el valor de una variable independiente x para observar el comportamiento de otra variable y dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambio de la densidad del agua (y) con la temperatura (x). Cuando hacemos una representación gráfica y(x), la curva obtenida tendrá una cierta forma. En el laboratorio, al reproducir un experimento de este tipo, deberíamos obtener una gráfica idéntica a la arrojada por la teoría. En la práctica, la existencia de muchas fuentes de indeterminación (no sólo errores sino también simplificaciones hechas en la propia teoría, influencias de otros factores, etc.) hacen que los datos experimentales no coincidan exactamente con la curva teórica, sino que tiendan a disponerse alrededor de ésta. Surge entonces la pregunta de qué curva "ajusta" mejor los datos experimentales. Con "ajusta" se quiere decir, no que la curva pase exactamente por todos los puntos experimentales, sino que tienda a estar lo más cerca posible de todos ellos en conjunto. El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente importante, no sólo para poder comparar con la teoría, sino incluso para poder establecer la validez o no de la misma teoría. El caso general es complejo y laborioso, así que nos limitaremos a una curva en la que la dependencia entre x e y es de tipo lineal, es decir, una recta. Supongamos que medimos diversos pares de valores x - y: (x 1,y 1 ), (x,y ) (x,y ). Se trata de efectuar un ajuste lineal del tipo y = Ax + B, y el criterio se basa en buscar los valores de A y B que hagan mínima la desviación de los valores observados respecto de los predichos por la recta, lo que se conoce como método de los mínimos cuadrados: i1 [ ( )] yi Axi B mínimo La condición (11) se basa en algunas hipótesis simplificadoras que no detallaremos. Imponiendo condiciones de mínimo, puede demostrarse que los valores de A, B que cumplen la ecuación (11) vienen dados mediante las siguientes expresiones:

14 A x y x y i i i i i1 i1 i1 ( i) i i1 i1 x x B ( xi ) yi xi xi yi i1 i1 i1 i1 ( xi ) xi i1 i1 como: Los errores de la pendiente (A) y la ordenada en el origen (B) pueden asimismo calcularse A i1 ( y Ax B) i ( xi ) xi i1 i1 i ( yi Axi B) i1 xi ( xi ) ( ) B A ( xi ) xi i1 i1 Un ajuste lineal puede asimismo servir como punto de partida para efectuar otro tipo de ajustes. Consideremos, por ejemplo, el período de un péndulo. Si efectuamos mediciones del período T de varios péndulos de distinta longitud L, la teoría nos dice que la relación T - L no es lineal: T L / g. Sin embargo, si tomamos la raíz cuadrada de la longitud L 1/ como variable independiente (x) y el período T como variable independiente (y), podemos establecer una relación lineal / T g L. Esta es una recta cuya pendiente es A / despejar el valor de la aceleración gravitatoria g. g, lo que nos permite

15 Otro ejemplo puede ser el caso de la descarga de un condensador. La diferencia de potencial entre sus extremos puede obtenerse en función del tiempo como V V exp( t / ), una relación exponencial. Tomando logaritmos, podemos obtener una relación lineal del tipo LnV LnV t /. De ese modo, se convierte en un ajuste lineal con x = t, y = LnV, lo que nos da una recta con coeficientes A = -1/τ, B = LnV o. Sin embargo, que los puntos de un diagrama x-y parezcan formar una recta no significa que realmente cumplan una ecuación lineal. Es necesario introducir un coeficiente numérico que nos indique si los puntos forman una recta, y en caso positivo, cuánto se aproximan a ella; es decir, un parámetro que nos de idea de la bondad del ajuste. Dicho parámetro, que recibe el nombre de coeficiente de correlación lineal, puede ser calculado como: o o r x y x y i i i i i1 i1 i1 ( i) i ( i) i i1 i1 i1 i1 x x y y El coeficiente r tiene un valor absoluto entre 0 y 1 (su signo es igual al signo de la pendiente A), el cual nos indica la bondad del ajuste lineal, de tal modo que r=±1 indica una recta perfecta. Conforme el módulo de r se aleja de la unidad, la bondad del ajuste disminuye. Como regla aproximada, podríamos decir que r 0,95 nos indican un buen ajuste; un valor de r inferior a 0,85 apenas resulta aceptable 3. Es muy importante recordar que valores de r bajos no indican que los puntos no estén correlacionados, sino que no existe correlación lineal (los puntos pueden seguir otro tipo de curva: polinómica, exponencial, gaussiana ). Asimismo, el criterio para definir cuándo un valor de r indica un buen ajuste depende críticamente del número de puntos que hemos tomado para el diagrama x - y. Un valor de r = 0,5 es inaceptable para un conjunto de 6 puntos, pero representa un buen ajuste en un conjunto de 50 puntos. Por lo general, se recomienda un valor mínimo de = 6 puntos (x i,y i ) para considerar aceptable un ajuste por mínimos cuadrados. 3 r es también conocido como coeficiente de regresión, coeficiente de determinación o coeficiente de correlación de Pearson. Asociado a él se define el coeficiente R, numéricamente igual al cuadrado de r.

16 6 REPRESETACIÓ GRÁFICA Una gráfica es una forma cómoda de representar datos. Permite visualizarlos en forma global y pone en relieve los datos que puedan haberse obtenido incorrectamente. Sin embargo, no siempre se hace de modo correcto. A veces la gráfica no puede verse por su pequeño tamaño, los ejes no tienen unidades o los colores inducen a la confusión. El uso de hojas de cálculo empeora este problema, ya que a menudo el estudiante se limita a copiar y pegar la gráfica tal cual, sin molestarse en adaptarla para su visualización correcta. Y una gráfica que no puede verse bien falla en su función principal. He aquí un ejemplo de gráfica incorrecta: Columna C Columna D Entre otros, podemos señalar los siguientes defectos: 1) Las escalas. i en el eje X ni en el Y aparecen las unidades utilizadas, ni se indica qué magnitudes están siendo representadas. unca deben indicarse en los ejes los valores correspondientes a los datos experimentales. Eso deberá ir en tabla aparte. ) El origen de coordenadas. Hacer que el eje Y comience en 0 hace que la gráfica quede encajonada en la parte superior, impidiendo ver detalles. Es mejor ajustar el origen en ambos ejes para que la curva se extienda por todo el rectángulo. 3) Las curvas. En el ejemplo, se supone que Serie representa un conjunto de datos experimentales, y Serie 3 la recta de mejor ajuste, pero la elección de colores y símbolos hace imposible distinguir cuál es cuál. Por supuesto, sustituir Serie por datos experimentales y Serie 3 por ajuste lineal también hubiera ayudado. En cuanto a los símbolos, no deben ser ni tan pequeños que no puedan verse, ni tan grandes que no puedan separarse. Lo mismo vale para las

17 rectas, tanto en lo que respecta al grosor como al color. Las rectas que representen ajustes lineales o valores teóricos no deben representarse con símbolos sino con rectas. Del mismo modo, los datos experimentales suelen marcarse mediante símbolos; pueden acompañarse de líneas rectas o curvas, pero no siempre será conveniente por motivos de claridad. 4) El fondo. Qué necesidad hay de poner un fondo de color gris? inguno, salvo que así aparece por defecto en las gráficas de Excel. Tampoco es obligatorio dejar esas línea horizontales que indican valores de y=10, 0, 30, etc; considérese la posibilidad de añadir también líneas verticales; o sustituir la línea continua por una línea de puntos; o cambiarle el color. O, sencillamente, eliminarla. 5) El título. O mejor dicho, la ausencia de título. 6) El tamaño. Habiendo espacio, por qué relegar la gráfica a una pequeña porción del folio? Véase como podría quedar la gráfica anterior de forma más clara: Constantes elásticas: estudio estático Fuerza () 50 Datos experimentales Recta de ajuste Elongación (m) Se anima al alumno a que pruebe con cualquier otra combinación de colores, tipos de letra, símbolos, etc, que considere más adecuados. Eso sí, siempre habrá de atenerse a los principios que deben regir la forma de toda gráfica: claridad, precisión, complitud. En el caso de que haya que realizar algún ajuste por mínimos cuadrados, no olvide indicar claramente los parámetros obtenidos

18 (pendiente A, ordenada en el origen B, errores de ambos ΔA y ΔB, coeficiente de correlación lineal r), y sus unidades correspondientes.