Derivadas. Razones de cambio - Incrementos

Transcripción

1 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Derivadas Unidad Nº 1: Contenidos: ncrementos o razón de cambio. Recta tangente y pendiente. Concepto, definición e interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto. Derivadas laterales.continuidad de una función derivable. Técnica de derivación. Calculo de las derivadas. Derivadas de funciones elementales. Derivada de la función de función y de la función inversa. Derivadas sucesivas. Aplicaciones: rectas tangente y normal a curvas planas. Angulo de dos curvas. El cálculo diferencial es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación. No existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno de cambio. Podemos encontrar numerosos ejemplos a nuestro alrededor: la población de un país cambia a través del tiempo, la temperatura ambiental cambia durante el año, el área de un cuadrado cambia con la longitud del lado, etc El estudio de la variación lleva a construir uno de los conceptos más importantes del cálculo: LA DERVADA. El estudio de la derivada como tasa de variación o como razón de cambio tiene numerosas aplicaciones. Uno de las mas vistas y simples, es la velocidad, razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Otras pueden ser, la tasa de variación de una reacción química, velocidad de reacción, la tasa de crecimiento de una población de bacterias (ciencias naturales). En economía se habla de ingreso nominal, costo marginal, utilidad marginal, todos ejemplos de tasas de variación. Otras razones de cambio son del trabajo con respecto al tiempo, potencia (física), la razón con la que aumenta la velocidad con la que fluye la sangre según la distancia a la pared de un vaso sanguíneo, la razón con la que se esparce un rumor. Razones de cambio - ncrementos El concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria. Vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico y resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. En los ejemplos vemos que existen variaciones de las cantidades que se relacionan: al pasar el tiempo, cambia el tamaño de una planta o al pasar el tiempo cambia la cantidad de pobladores de una localidad. Analizaremos a través de un ejemplo cómo medir los cambios:

2 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA El cambio se da cuando se pasa de un estado a otro, de un estado inicial a un estado final. Por lo tanto, para medir el cambio de una variable basta restar su valor en el estado final menos su valor en el estado inicial. tf ti = Δt (Δ : delta), donde Δt representa el cambio del tiempo. Para la variable T, el cambio se mide con Tf Ti = ΔT, donde este último es el cambio, aumento o disminución de la temperatura. Generalmente cuando se habla de cambios, necesariamente se lo relaciona con otros cambios, por ejemplo: un cambio de temperatura respecto al cambio del tiempo.

3 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA La razón de cambio de la temperatura con respecto al cambio de tiempo da como resultado la velocidad promedio con la que la temperatura varia con respecto al tiempo. En nuestro ejemplo : la temperatura cambio con una velocidad promedio de 2.1ºC/min en el intervalo de tiempo de t=0 a t=5, lo que significa que por cada minuto transcurrido en dicho intervalo, la temperatura cambió 2.1ºC DEFNCON: dada una función y=f(x), se llama razón de cambio promedio (o media) de y con respecto a x en el intervalo [x 1, x 2 ] al cociente entre el cambio en el valor de y, Δy=f(x 2 )-f(x 1 ), y la amplitud del intervalo Δx= x 2 -x 1, en el cual ocurrió el cambio. La razón de cambio promedio de y=f(x) con respecto a x en el intervalo dado [x 1, x 2 ] es : El incremento Δx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues, o bien Si se da un incremento Δx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0 ) a partir del valor y = f (x 0 ). El cociente

4 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + Δx. Se llama razón de cambio instantánea de una función cuando x=x 0 ( Δx es infinitamente pequeño o sea cuando Δx 0) a :. También se puede escribir :. Recta tangente a una curva En geometría plana una recta es tangente a una circunferencia si la toca o corta en un solo punto, pero esta definición no es buena para otro tipo de curvas. En la gráfica (a) se observa la tangente a una circunferencia en el punto P. En (b) la recta interseca a la en un solo punto y sin embargo no es tangente. En la gráfica (c) la recta es tangente a la curva en el punto P aun cuando la interseca en los puntos R y S. Para definir un concepto de recta tangente a una curva, veremos los siguientes ejemplos. Consideremos un punto P y otro Q pertenecientes a la circunferencia y tracemos la recta que pasa por P y Q. Esta recta se llama recta secante. Si se mueve el punto Q sobre la circunferencia hacia P, la recta secante se mueve acercándose cada vez más a la posición en P. Podemos decir que las rectas secantes se aproximan a la tangente en tanto Q se aproxima a P sobre la circunferencia. Ahora bien, si consideramos una curva en el plano xy y un punto P de la misma sólo nos resta conocer el valor de la pendiente m de la recta tangente en P, ya que con la pendiente y un punto estamos en condiciones de dar la ecuación de la recta. Si Q es cualquier punto sobre la curva distinto de P, la recta que los une es una recta secante.

5 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Si el punto Q se mueve sobre la gráfica hacia P, la recta se moverá hacia la posición límite. La recta que ocupa esta posición límite es la que se define como recta tangente a la gráfica en P. Pendiente de la recta tangente. Sea f(x) una función continua en el punto P de abscisa x 1. Definiremos la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P de coordenadas (x 1, f(x 1 )). Sea Q(x 2, f(x 2 )) otro punto cualquiera de la gráfica. S i unimos P y Q obtenemos una recta secante cuya pendiente es: También puede expresarse que la pendiente de la recta secante a la gráfica de f(x) es Considerando que P se mantenga fijo y Q se mueve a lo largo de la curva, acercándose a P. esto equivale a decir que Δx 0, ya que x 2 estaría cada vez más cerca

6 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA de x 1. La recta secante gira teniendo a P fijo y si tiene una posición límite, ésta es la recta tangente a f(x) en P. Luego la tangente tendrá una pendiente dada por : Si este límite no existe, el ángulo de inclinación de la recta tenderá a (90 ) cuando Δx 0 y la tangente será la recta vertical x=x 1. DEFNCON: Sea f(x) una función continua en el punto de abscisas x 1, definida en algún intervalo abierto que contenga a x 1. La recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x 1, f(x 1 )) es: a) La recta que pasa por P de pendiente si este límite existe. b) La recta vertical x=x 1 si no existe. Concepto de Derivada Hemos visto anteriormente que la razón de cambio instantánea se define como un límite de forma. Esta razón de cambio instantánea tiene numerosas aplicaciones en las ciencias naturales, sociales y en las ingenierías. En economía, el costo marginal, ingreso marginal o beneficio marginal; en física, velocidad. En química, la razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo, llamada velocidad de reacción. En biología la relación de cambio de una colonia de bacterias respecto al tiempo. También vimos que ese límite da la pendiente de la recta tangente a una curva de ecuación y=f(x) en un punto x=x 1. Dada la frecuencia con que aparecen esos límites, se les asigna un nombre y una notación especiales, surgiendo el concepto de DERVADA. Definición. Se llama DERVADA de la función y=f(x) en el punto de abscisas x=x 1 y se indica con f (x 1 ) a, siempre que este límite exista. El numerador f(x 1 +h)-f(x 1 ) representa el incremento de la función al pasar la variable independiente de x 1 a x 1 +h y se indica a Δf= f(x 1 +h)-f(x 1 ). Asimismo h=(x 1 + h) x 1 = Δx representa el incremento de la variable independiente.

7 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA donde Teniendo en cuenta esto, la derivada se puede indicar es el cociente incremental. t Por lo tanto, la derivada puede interpretarse de varias maneras: La derivada da la razón de cambio instantánea de y=f(x) con respecto a x. La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en cualquier punto. Si la derivada se evalúa en x= x 1, entonces f`(x 1 ) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x 1 ; f(x 1 )). Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz. Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f(x+dx)-f (x) por df (x). La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

8 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Funcion derivada. Dada la función y=f(x), si se calcula la derivada en cada punto x de su domino, el conjunto de valores obtenidos, define una función de x que se llama función derivada. Dada la función y=f(x) se llama función derivada de f y se simboliza y = f (x) a la función que a cada valor de x se hace corresponder su derivada. Si cambiamos en la expresión anteriormente vista a x 1 por la variable x se obtiene: siempre que este límite exista. El dominio de f es el conjunto de números reales del dominio de f para los cuales existe el límite del cociente incremental. Si f (x) existe, decimos que f tiene derivada o que es diferenciable en x. El proceso para obtener la función f a partir de f se llama derivación o diferenciación. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad Al definir derivada como el límite del cociente incremental, no se tuvo en cuenta si Δx es positivo o negativo. Por lo tanto interpretamos que la definición es válida cualquiera sea el incremento. Sin embargo algunas veces es necesario especificar si x se aproxima a x 1 tomando valores menores o mayores a x 1. Es posible definir dos tipos de derivadas laterales, una por la izquierda y otra por la derecha. Para que una función sea derivable en x 1 las derivadas laterales deben existir en dicho punto y ser iguales. Si las derivadas laterales no son iguales en x 1 la derivada no existe en x 1.

9 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA La derivabilidad de una función en un punto y la continuidad de la función en dicho punto están relacionadas. Siendo se puede escribir, si transponemos Δx al segundo miembro de la igualdad, Por consiguiente si Δx 0, entonces Δy 0 es decir, si una función es derivable, es continua. La proposición inversa no es cierta: hay funciones continuas que no son derivables, o en términos geométricos, hay curvas que no tienen tangente. La continuidad no implica la derivabilidad en el punto, sin embargo, la derivabilidad implica continuidad :

10 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Observación: no vale el reciproco, es decir que una función sea continua es un punto no implica que sea necesariamente derivable. Si es válido el contrarrecíproco: si una función no es continua en un punto entonces no es derivable en dicho punto. Punto en que una función no es derivable: Si una función no es continua en un punto entonces no es derivable en dicho punto. Una función que presenta una discontinuidad (de cualquier tipo) en un punto, no es derivable en ese punto. Si la gráfica de una función tiene esquinas o puntos pico, la gráfica de f no tiene tangente es esos puntos ya que las derivadas laterales son distintas, Una tercera posibilidad es que la curva tenga recta tangente en un punto pero que sea vertical. Es ese caso no existe la derivada en ese punto.

11 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Una función y=f(x) es diferenciable en cierto valor de x si su gráfica es suave en el punto (x, y), es diferenciable si en dicho punto la gráfica tiene una tangente bien definida con una pendiente bien definida. La siguiente gráfica corresponde a una función derivable en todo su dominio excepto en x=a, x=b y x=c.

12 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Técnica de derivación. Para calcular la derivada de una función en un punto x 0, se utiliza la siguiente técnica: 1. Dar a la variable x un incremento (positivo o negativo) Δx, a partir de x 0, con lo que se obtiene x 1 = x 0 + Δx. 2. Calcular el valor y 1 correspondiente a x Calcular el incremento Δy= y 1 - y Formar el cociente incremental. En esta expresión se trata de eliminar todos aquellos factores que hacen que el cociente tienda a tomar la forma 0:0. 5. Calcular el límite del cociente incremental cuando Δx 0. Ejemplo: a- Calcular la derivada de y=ax 2 en el punto de abscisa x 0, es decir en el punto (x 0 ; a. 1 Dar a la variable x un incremento (positivo o x 1 = x 0 + Δx negativo) Δx, a partir de x 0, con lo que se obtiene x 1 = x 0 + Δx. 2 Calcular el valor y 1 correspondiente a x 1. y 1 = a(x 1 ) 2 = a(x 0 + Δx) 2 3 Calcular el incremento Δy= y 1 - y 0 Δy= y 1 - y 0 = a(x 0 + Δx) ax 0 = a( x 0 Δx +(Δx) 2 2 ) - ax 0 = a x 0 Δx +a(δx) 2 2 = - ax 0 x 0 Δx +a(δx) 2 4 Formar el cociente incremental.

13 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA 5 Calculando de derivada Fórmulas de derivación Derivada de una función constante Derivada de la función lineal mx + b Derivada de una constante por una función, k f(x) Si f(x) = k. g(x), f (x)= k. g (x) Derivada de la función potencia x m (m un número natural) Derivada de la función logaritmo neperiano ln x Derivadas de las funciónes exponenciales a x y e x Derivada de una suma de funciones La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Derivada de un producto de funciones [f(x) ± g(x)] ' = f '(x) ± g '(x) Derivada de un cociente de funciones Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x Derivada de la función tg x Derivada de la función sec x (sec x)' = sec x tg x Derivada de la función cosec x (cosec x)' = - cosec x cotg x Derivada de la función cotg x

14 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Derivada de función de función Si y=f(u) y u=g(x), se dice que y es una función de función de x: y=f[g(x)]. Para calcular la derivada de una función compuestas (función de función) debemos tener en cuenta las funciones que la componen. Si f y g son dos funciones derivables para las cuales es posible calcular gof, estonces gof es derivable y se cumple: (gof) (x) = g [f(x)]f (x) Esta regla de derivación se conoce como regla de la cadena y constituye una de las más importantes del cálculo, ya que es una de las formas más potentes de derivación. La regla de derivación de una función compuesta se puede generalizar para una composición múltiple de funciones. Sea y=f 1 (u), u=f 2 (v), v=f 3 (w),..z=f n (x)

15 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA La función compuesta : y=f 1 {f 2 [f 3 ( f n (x)]} Tendrá por derivada: f (x)=f 1 (u).f 2 (v).f 3 (w),..f n (x) Derivada de una función inversa Consideremos una función continua y=f(x) dada en la forma x= g(x). Los incrementos correspondientes son inversos, pues si al incremento Δx de x le corresponde el incremento Δy de y, será : y pasando al límite cuando Δx 0 [en cuyo caso también Δy 0 por la continuidad de f(x) se tendrá g (x) = 1: f (x) Ejemplos: Derivadas sucesivas Derivadas de orden superior Sea f(x) una función derivable en un cierto intervalo. La función derivada se define de la siguiente manera : exista., siempre que este límite

16 Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Planteamos el límite Si este límite existe en todos los puntos de (o al menos en un subconjunto de ) se define una nueva función que es la derivada de f (x). A esta función se la llama derivada segunda de f(x) y se la simboliza f (x) o y (también se la llama derivada de segundo orden). Simbólicamente: Si la función f (x) admite derivada, la nueva función se llama derivada tercera de f(x) y se indica f (x) o y. De esta manera se pueden seguir definiendo otras funciones derivadas de mayor orden, las que reciben el nombre de derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. A partir de la cuarta derivada se utilizan algunas de las siguientes notaciones: f iv (x), f v (x), f vi (x),..o bien f (4)( x), f (5)( x), f (6) (x),. Cuando se quiere indicar un orden de derivación no especificado, se escribe f (n)( x) y se lee derivada n-ésima de f(x).

17 APLCACÓN: recta tangente y normal a una curva. Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA Si en la ecuación de la recta que pasa por un punto P(x 0, y 0 ): y-y 0 = m(x-x 0 ) sustituimos m por la derivada f (x 0 ) o y 0 de acuerdo a la interpretación geométrica de la derivada, se tendrá la ecuación de la recta tangente en el punto P: y-y 0 = y 0 (x-x 0 ). La ecuación de la recta normal en P es. Por definición, perpendicular a la recta tangente en el punto P y, por consiguiente, su coeficiente angular debe ser el valor recíproco cambiado de signo de y 0. y-y 0 = 1 / y 0 (x-x 0 ).

18 Angulo de dos curvas Carrera: NGENERA AGRONOMCA Cátedra: MATEMATCA