Lección 1. DERIVADAS PARCIALES

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1 Matemáticas III (GITI, ) Lección 1. DERIVADAS PARCIALES 1. CAMPOS ESCALARES En la asignatura de Matemáticas III estudiaremos el cálculo diferencial e integral de los campos escalares y de los campos vectoriales. Los campos escalares son funciones que dependen de dos o más variables cuyos valores son números reales. Los campos vectoriales son funciones que dependen de una o más variables y cuyas imágenes son vectores; veamos algunos ejemplos simples. La función A(x, y) = xy es el campo escalar que da el área del rectángulo de lados x e y. La función r(x, y, z) = (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 es el campo escalar que expresa la distancia desde el punto (x, y, z) hasta el origen de coordenadas. La función r(x, y, z) = x ı + y ȷ + z k es el campo vectorial que a cada punto (x, y, z) le asigna su vector de posición. En particular, el campo r(x, y, z) del ejemplo anterior es el módulo de r(x, y, z). La función r(t) = ( cos(t), sen(t) ), con t [0, 2π], es un campo vectorial cuya imagen es la circunferencia unidad. La función F(x, y, z) = GMm ( x ı + y ȷ + z k ) r(x, y, z) = GMm (x 2 + y 2 + z 2 3/2 ) r(x, y, z) 3 es el campo vectorial que expresa la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m situado en el punto (x, y, z), siendo M la masa de la Tierra (en cuyo centro se sitúa el origen de coordenadas) y G la constante de gravitación universal de Newton. En las aplicaciones a la geometría, la física y otras ciencias, los campos escalares son funciones que representan valores de magnitudes escalares como la longitud, el área, el volumen, la densidad, la masa, la energía o el trabajo desarrollado por una fuerza. Los campos vectoriales son funciones que representan magnitudes vectoriales como la posición, la velocidad, la aceleración o la fuerza. Hay un salto cualitativo con respecto a las funciones de una variable: ni el concepto de derivada, ni los diversos conceptos de integral son simples traslaciones componente a componente de los ya conocidos; será necesario desarrollar conceptos nuevos y conocer cómo se relacionan entre sí. Campos escalares. Un campo escalar de dos variables es una función f que asigna a cada punto (x, y) de un conjunto U del plano R 2 un número real f(x, y), lo que se suele indicar como f: (x, y) U f(x, y) R. El conjunto U se llama dominio de definición de f. Un campo escalar de tres variables es una función f que asigna a cada punto (x, y, z) de su dominio de definición U en el espacio tridimensional R 3 un número real f(x, y, z), lo que se suele indicar como f: (x, y, z) U f(x, y, z) R. Algunas observaciones sobre la notación. (1) Como los campos escalares suelen venir dados en función de la posición, a veces se usa una notación vectorial en la que se identifica un punto con su vector de posición, r = (x, y) = x ı + y ȷ (o bien, r = (x, y, z) = x ı + y ȷ + z k en el caso tridimensional) y los campos escalares son funciones que asignan a cada r un valor real f( r). 1

2 2 Matemáticas III (GITI, ) [ ] x (2) Es habitual, como has visto en Matemáticas I, escribir los vectores en columna, r =. y Sin embargo, en esta asignatura y mientras no haya posibilidad de confusión, mantendremos por comodidad la notación [ ] como vectores-fila. Así, para indicar el valor de ([ un]) campo escalar f en x x un punto P = r =, escribiremos f(p ), f( r) o f(x, y), pero no f. No obstante, en y y algunos casos especiales sí será importante distinguir entre vectores-fila y vectores-columna, lo que se indicará oportunamente. (3) En general, usaremos los campos de dos variables para justificar las definiciones y obtener interpretaciones geométricas que se pueden visualizar solo con dos variables, pero enunciaremos los principales resultados para campos de tres variables, que es el contexto natural de aplicación de los resultados. Por tanto, casi todo lo que digamos valdrá para campos de dos variables, sin más que suprimir la variable z. Por descontado, cuando exista alguna diferencia notable, (por ejemplo, en la noción de rotacional), la especificaremos para campos de dos variables y campos de tres. Polinomios. Los campos escalares más simples son los polinomios. Un monomio de dos variables x e y es un producto de la forma ax m y n, donde m y n son números enteros no negativos y a es un coeficiente escalar; el grado del monomio es la suma m + n de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el área de un rectángulo A(x, y) = xy es un monomio de grado 2 con dos variables. Si tenemos un cilindro circular recto de altura h y radio de la base r, su volumen V (r, h) = πr 2 h es un monomio de grado 3 con dos variables. Para tres variables, un monomio es un producto de la forma ax m y n z p ; el grado del monomio es la suma m + n + p de los exponentes de las variables. El volumen V (x, y, z) = xyz de un ortoedro de lados x, y, z, es un monomio de grado 3 con tres variables. Un polinomio es una suma de monomios y el grado del polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen; veamos algunos ejemplos. Los polinomios de grado 0 son las funciones constantes. El campo escalar f(x, y) = ax + by es un polinomio de grado 1. Si usamos r = x ı + y ȷ y tomamos el vector constante c = a ı + b ȷ, entonces f se puede representar mediante el producto escalar f( r) = c r, de manera que, con la notación de Matemáticas I, f es la transformación lineal de R 2 en R generada por el vector c entendido como una matriz fila; análogamente en dimensión 3. El campo f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cx 2 es un polinomio de grado 2 que podemos escribir [ ] [ ] a b x f(x, y) = [x y] b c y [ ] a b que es la forma cuadrática generada por la matriz A =, vista en Matemáticas I b c y que se puede escribir como f( r) = r T A r = r A r. Análogamente, la forma cuadrática f( r) = r T A r = r A r generada en R 3 por una matriz simétrica A de dimensión 3 es un polinomio de grado 2 en tres variables. Por ejemplo, la función r 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, que proporciona el cuadrado de la distancia desde el punto (x, y, z) hasta el origen de coordenadas, es un polinomio de grado 2 con tres variables que es la forma cuadrática generada en R 3 por la matriz identidad. Para abordar la Lección 3 será necesario tener un buen conocimiento de los aspectos de las formas cuadráticas estudiados en Matemáticas I. El campo f(x, y) = 3x 3 y 2 xy 4 + 3xy 2 es un polinomio de grado 5 en dos variables. El campo f(x, y, z) = x 2 yz +z 2 y 3xy 2z +2 es un polinomio de grado 4 en tres variables.

3 1. Derivadas parciales 3 Campos escalares centrales. Se dice que un campo escalar es un campo central o radial cuando su valor en un punto depende únicamente de la distancia del punto a un punto fijo de antemano llamado centro (también, en algunos textos, fuente o sumidero). Si ponemos el centro en el origen de coordenadas, los campos centrales en R 3 podemos escribirlos como f(x, y, z) = ψ ( r(x, y, z) ), donde r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y ψ(t) es una función de clase C 1 en un intervalo del semieje t 0. Para el caso de R 2, basta con suprimir z, o sea, f(x, y) = ψ ( r(x, y) ), donde r(x, y) = x 2 + y 2. Observaciones. (1) Casi todos los campos que aparecen en la práctica se obtienen aplicando a un polinomio en varias variables las operaciones habituales suma, resta, multiplicación y división y las funciones elementales de una variable potencias, raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y sus inversas, valor absoluto. A veces se trabaja también con funciones que proporcionan el máximo o mínimo de un conjunto finito de valores; f(x, y) = máx{ x, y }, por ejemplo. En estos casos tenemos, como regla general, que el dominio de definición de un campo escalar de varias variables dado por una o varias fórmulas es el conjunto más grande en el que dichas fórmulas tienen sentido. Veamos algunos ejemplos: Los polinomios están definidos en todo R 2 o R 3 según sean de dos o de tres variables. El dominio de la función f(x, y) = log(1 + x y) está formado por los puntos (x, y) del plano tales que 1 + x y > 0; es decir, es un semiplano. La función f(x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2 está definida para los puntos (x, y, z) tales que x 2 + y 2 + z 2 1; es decir, su dominio es la esfera unidad de R 3. La función f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 está definida para los puntos (x, y, z) (0, 0, 0); es decir, su dominio es todo R 3 salvo el origen. (2) La noción de límite es el concepto esencial sobre el que se construye el cálculo de funciones de una variable. El límite de un campo escalar de varias variables es una extensión directa de dicho concepto; en principio, basta sustituir el valor absoluto, que nos da la distancia entre puntos de la recta real, por la norma euclídea que nos da la distancia entre puntos del plano o del espacio. Sin embargo, hay una diferencia notable entre los casos de una y varias variables: en el caso de una variable sólo nos podemos acercar al punto por la izquierda o por la derecha, mientras que en el caso de varias variables nos podemos acercar al punto desde muchas direcciones, por eso, como paso previo a la definición formal de límite de un campo escalar de varias variables, es necesario distinguir algunas situaciones geométricas especiales. Puntos interiores y puntos de la frontera. Diremos que A es un punto interior de U si hay un círculo centrado en A que se queda totalmente contenido en U. Diremos que B es un punto de la frontera de U si en todo círculo centrado en B hay puntos que están en U y puntos que no están en U, (estos conceptos se trasladan al espacio tridimensional cambiando círculo por esfera ). A es un punto interior de U, el punto B está en la frontera de U Cuando U es el dominio de definición de un campo escalar, la diferencia esencial es que en un punto interior de U el campo está definido en todo el espacio que lo que rodea y podemos acercarnos a él desde todas las direcciones posibles, mientras que cerca de un punto de la frontera siempre hay una zona del espacio en la que el campo no está definido. En la mayoría de los casos de interés rectángulos, círculos, triángulos, semiplanos, esferas, cubos, etc. la frontera coincide con lo que nos dice la intuición geométrica.

4 4 Matemáticas III (GITI, ) Límite y continuidad de un campo escalar. Sean U el dominio de definición de un campo escalar f y A 0 un punto de U. Diremos que L es el límite de f(a) cuando A tiende a A 0, lo que escribimos lím A A0 f(a) = L, cuando podemos hacer los valores de f(a) tan cercanos a L como queramos en todos los puntos A que están suficientemente cercanos de A 0 pero son distintos de él. Se dice que f es continuo en A 0 cuando lím A A0 f(a) = f(a 0 ) y se dice que f es un campo escalar continuo cuando es continuo en todos los puntos de su dominio de definición. Las propiedades de los límites de campos de varias variables (suma, composición, etc.) son similares a las de los límites de funciones de una variable y, por tanto, lo mismo ocurre con la continuidad. En particular, los polinomios son funciones continuas y la composición de funciones continuas es continua, con lo que casi todas las funciones que se utilizan en la práctica son continuas. Gráfica de un campo escalar. Como ya sabes, la gráfica es una herramienta esencial para estudiar las funciones de una variable y visualizar su comportamiento. Para campos escalares de dos variables también se da esta conexión entre las propiedades algebraicas de las fórmulas que los definen y las propiedades geométricas de sus gráficas, que son superficies en el espacio. La gráfica de un campo escalar de dos variables continuo f: U R es el conjunto del espacio tridimensional R 3 dado por {( x, y, f(x, y) ) R 3 : (x, y) U }. Superficie de ecuación z = f(x, y) Este conjunto puede visualizarse como una superficie en R 3 que se llama superficie de ecuación z = f(x, y) y se construye de la siguiente manera: se coloca el dominio U en el plano del suelo y, situado sobre la vertical de cada punto (x, y) U, el punto de la superficie es ( x, y, f(x, y) ) que tiene tercera coordenada z = f(x, y). No obstante, no es fácil dibujar a mano alzada la gráfica de un campo escalar de dos variables con la salvedad, quizás, de los planos y las cuádricas estudiadas en Matemáticas I. Las páginas web que se recomiendan en la Bibliografía de la lección permiten dibujar superficies del tipo z = f(x, y) introducidas desde el teclado. Gráfica de un campo central. Si f(x, y) = ψ(r), con a r = x 2 + y 2 b es un campo central, su gráfica es una superficie de revolución que se obtiene haciendo girar la gráfica C de la función z = ψ(x) en el plano XZ (o la de z = ψ(y) en el plano Y Z) alrededor del eje OZ. Estudiaremos con más detenimiento las superficies de revolución en la Lección 7. Superficie de revolución alrededor de OZ

5 1. Derivadas parciales 5 Curvas de nivel. Una forma alternativa de visualizar cómo es una función de dos variables es estudiar sus curvas de nivel, que son las curvas definidas en el plano XY por la ecuación f(x, y) = k para cada número k R. Este número k representa el nivel, la altura de z, de manera que la imagen f(x, y) de todos los puntos de la curva de nivel es la misma k. Geométricamente, la curva de nivel f(x, y) = k se obtiene proyectando sobre el plano XY la curva intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano horizontal de ecuación z = k. Curvas de nivel El ejemplo típico de curvas de nivel son los mapas topográficos, donde una curva de nivel indica los puntos del terreno que están a una misma altura, o los mapas meteorológicos, donde las curvas de nivel, las isobaras, indican los puntos de la superficie sobre los que la presión es la misma. Curvas de nivel para k = 10, 20,..., 50 metros Isobaras Las páginas web que se recomiendan en la Bibliografía de la lección permiten dibujar las curvas de nivel de funciones f(x, y) definidas desde el teclado. Suele ser común utilizar una graduación de colores, normalmente de los cálidos a los fríos, para indicar la subida o bajada de nivel. Hay otro tipo de información que se puede obtener del mapa de curvas de nivel. Por ejemplo, en las zonas en las que las curvas están muy juntas, es decir, los intervalos entre niveles son estrechos, la superficie tiene una inclinación acentuada, mientras que en las zonas en las que las curvas de nivel están muy separadas lo que ocurre es que la superficie tiene poca inclinación. ( ) Las curvas de nivel de un campo central en el plano f(x, y) = ψ x2 + y 2 son circunferencias centradas en el origen y viceversa: si las curvas de nivel de un campo son circunferencias centradas en el origen, entonces el campo es central. Por ello se suele decir que los campos centrales en el plano tienen simetría circular.

6 6 Matemáticas III (GITI, ) Superficies de nivel. No es posible visualizar las superficies definidas por campos de tres variables, digamos w = f(x, y, z), porque son conjuntos de R 4. En este caso, tenemos como alternativa estudiar sus superficies de nivel, que son las superficies definidas de forma implícita en el espacio por la ecuación f(x, y, z) = k para cada número k R. Por ejemplo, las superficies de nivel de un ( ) campo central f(x, y, z) = ψ x2 + y 2 + z 2 son esferas centradas en el origen y viceversa: si las superficies de nivel de un campo son esferas centradas en el origen, entonces el campo es central. Por ello se suele decir que los campos centrales en el espacio tienen simetría esférica. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1 Ejercicio 1. Para cada uno de los siguientes campos escalares, determina su dominio de definición y la frontera de dicho dominio. (1) f(x, y) = 3x 2 y x 2 + y (2) f(x, y) = x 2 + y 2 16 (3) f(x, y) = y/x (4) f(x, y) = (9 x 2 y 2 )(x 2 + y 2 1) (5) f(x, y) = 2x/(x 2 y 2 ) (6) f(x, y) = el ángulo polar de (x, y) (7) f(x, y, z) = log(4 x + 2y + z) (8) f(x, y, z) = 4y z x 2 z Ejercicio 2. Sea r = (x, y) el vector de posición de un punto en el plano y r = r = x 2 + y 2. (1) Halla el dominio del campo central f(x, y) = r n = ( x 2 + y 2) n/2 para n = ±1, ±2,.... (2) Comprueba que las curvas de nivel de f son circunferencias centradas en el origen. (3) Cómo influye n en la posición relativa de las circunferencias de nivel entre sí? Ejercicio 3. Describe cómo son las curvas de nivel de las siguientes superficies y dibújalas: (1) El paraboloide de revolución de ecuación z = x 2 + y 2. (2) El cono de ecuación z = x 2 + y 2. Qué parecidos y diferencias observas con respecto a las del apartado (1)? (3) El paraboloide hiperbólico de ecuación z = x 2 y 2. (4) El plano z = 1 + x y. (5) La superficie de ecuación z = log(1 + x y). Qué parecidos y diferencias observas con respecto a las del apartado (4)? (6) La superficie z = 1 + x y. Qué parecidos y diferencias observas con respecto a las de los apartados (4) y (5)? Ejercicio 4. Utiliza alguna de las páginas web recomendadas en la Bibliografía para dibujar las gráficas de los campos que se dan a continuación y sus curvas de nivel. (1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy (3) f(x, y) = 5 x 3 + xy (4) f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 (5) f(x, y) = e (x2 +y 2 )/3 (6) f(x, y) = x y 2 (7) f(x, y) = (3x + y) cos(xy) (8) f(x, y) = 64 x 2 (9) f(x, y) = e x (2y 2 x 2 ) (10) f(x, y) = 7xy/e x2 +y 2 (11) f(x, y) = xe y + 1 (12) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

7 1. Derivadas parciales 7 2. DERIVADAS PARCIALES El objetivo principal de esta lección es explicar cómo se extiende el concepto de derivada de una función de una variable a campos escalares de varias variables. El concepto de derivada de una función f(x) surge como solución del problema de trazar la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) en un punto de la misma. Para un campo de dos variables f(x, y) nos plantearemos, en la siguiente sección, el problema de hallar el plano tangente a la superficie de ecuación z = f(x, y) en un punto de dicha superficie y veremos que de dicho planteamiento surge, de manera natural y por analogía con la definición de derivada, la noción de diferencial de un campo escalar de dos variables. En esta analogía desempeñan un papel fundamental las derivadas parciales que son las que se obtienen derivando una función de varias variables con respecto a una de ellas cuando se dejan las demás constantes. En esta sección estudiamos las derivadas parciales y su interpretación geométrica. Derivadas parciales. Sea f: U R un campo continuo de dos variables y sea (a, b) un punto interior del conjunto U. La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (a, b) es, si existe el límite, el número (a, b) = lím x x a f(x, b) f(a, b). x a O sea, la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) se calcula derivando la función f con respecto a su variable x mientras mantenemos su variable y constante e igual a b. Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y en el punto (a, b) es, si existe el límite, el número f(a, y) f(a, b) (a, b) = lím. y y b y b O sea, la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) se calcula derivando f con respecto a y mientras mantenemos x = a constante. Para el caso de tres variables, se definen las derivadas parciales x, y, como los valores que se z obtienen al derivar con respecto a una de ellas manteniendo las otras dos constantes; por ejemplo (a, b, c) = lím z z c [ Vector diferencial. El vector Df(a, b) = f(a, b, z) f(a, b, c). z c ] (a, b) formado por las derivadas parcia- (a, b), x y les se llama vector diferencial de f en el punto (a, b). En el caso tridimensional, el vector diferencial de f en un punto (a, b, c) es Df(a, b, c) = [ (a, b, c), (a, b, c), (a, b, c) x y z Observación importante. En la práctica, para calcular una derivada parcial no se aplica el límite que la define, sino que se emplean las reglas habituales de derivación de funciones de una variable con la variable con respecto a la cual queremos derivar parcialmente, manteniendo constantes las demás variables. Por ejemplo, si tenemos el campo f(x, y) = sen(x 2 y) + x x 3 y y queremos hallar sus derivadas parciales en el punto (1, 2) hacemos lo siguiente: para hallar la derivada parcial con respecto a x, suponemos que la y es constante y derivamos como función de x: ]. x = 2xy cos(x2 y) + 1 3x 2 y, luego (1, 2) = 4 cos( 2) x

8 8 Matemáticas III (GITI, ) Para hallar su derivada parcial con respecto a y, suponemos que la x es constante y derivamos como función de y: y = x2 cos(x 2 y) x 3, luego (1, 2) = cos( 2) y Otras notaciones. Hay otras notaciones muy extendidas para denotar las derivadas parciales. Por ejemplo, si expresamos una variable u como función de x, y, z, digamos u = f(x, y, z), entonces las derivadas parciales pueden aparecer escritas en diversos textos de las siguientes maneras: x = f x = D x f = u x = u x ; y = f y = D y f = u y = u y ; z = f z = D z f = u z = u z. Nosotros casi siempre usaremos x o f x. En algunos casos se manejan campos escalares u(x, y, z, t) que dependen de tres variables espaciales x, y, z y del tiempo t. En estos casos, para la derivada parcial con respecto a t se emplea a veces la notación de Newton con un punto sobreescrito: u = u t. Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Si consideramos el punto P = (a, b, c) en la gráfica de f, de manera que c = f(a, b), y cortamos dicha superficie con el plano de ecuación y = b, obtenemos una curva C 1 en dicho plano. Entonces la derivada parcial f x (a, b) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P. La curva C 1 viene dada, por ejemplo, por la parametrización r 1 (t) = ( t, b, f(t, b) ), con lo que P = r 1 (a) y el vector tangente a esta curva en el punto P es T 1 = r 1(a) = ( 1, 0, f x (a, b) ). Interpretación geométrica de x (izquierda) y de y (derecha) Análogamente, la derivada parcial f y (a, b) es la pendiente de la recta tangente en el punto P a la curva C 2 que resulta de cortar la gráfica de f con el plano x = a. La curva C 2 viene dada, por ejemplo, por la parametrización r 2 (t) = ( a, t, f(a, t) ), con lo que P = r 2 (b) y el vector tangente en P es T 2 = r 2(b) = ( 0, 1, f y (a, b) ). En la siguiente sección usaremos estas interpretaciones de las derivadas parciales como las terceras componentes de los vectores T 1 y T 2 para resolver el problema de hallar el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en P.

9 1. Derivadas parciales 9 Derivadas parciales segundas. Cuando existen las derivadas parciales de un campo escalar f en cada punto del dominio U se pueden definir las funciones derivadas parciales de f dadas por x : A U (A) R, x y : A U (A) R, y En el ejemplo del campo f(x, y) = sen(x 2 y) + x x 3 y, vimos que x (x, y) = 2xy cos(x2 y) + 1 3x 2 y, z : A U (A) R. z y (x, y) = x2 cos(x 2 y) x 3. Las derivadas parciales de una función se suelen llamar derivadas parciales de primer orden porque sólo se deriva una vez. A su vez, las funciones derivadas parciales de primer orden podrían ser derivables parcialmente, lo que nos lleva a plantear el proceso de derivación sucesiva introduciendo los conceptos de derivadas parciales segundas, terceras, etc. Sea f: U R un campo de dos variables para el que existen sus funciones derivadas parciales primeras x, : U R. Las derivadas parciales de estas funciones y x y se llaman, si existen, y derivadas parciales segundas de f y son, cuyas notaciones habituales damos a continuación: Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces ( ) x = ( ) = 2 f x x x x 2 = f xx = D xx f. Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de x y luego de y ( ) x = ( ) = 2 f y y x y x = f xy = D xy f. Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de y y luego de x ( ) y = ( ) = 2 f x x y x y = f yx = D yx f. Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces ( ) y = ( ) = 2 f y y y y 2 = f yy = D yy f. Volviendo al ejemplo del campo f(x, y) = sen(x 2 y) + x x 3 y, tendríamos f xx = (2xy cos(x2 y) + 1 3x 2 y) = 2y cos(x 2 y) (2xy) 2 sen(x 2 y) 6xy, x f xy = (2xy cos(x2 y) + 1 3x 2 y) = 2x cos(x 2 y) (2xy)(x 2 ) sen(x 2 y) 3x 2, y f yx = (x2 cos(x 2 y) x 3 ) = 2x cos(x 2 y) x 2 (2xy) sen(x 2 y) 3x 2, x f yy = (x2 cos(x 2 y) x 3 ) = x 4 sen(x 2 y). y Observemos que se cumple f xy = f yx. Pues bien, veremos luego que esta igualdad se da en todos los casos que aparecen en las aplicaciones habituales.

10 10 Matemáticas III (GITI, ) Derivadas parciales terceras. Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segundas se definen las derivadas parciales terceras de f que son ocho (aunque veremos que las derivadas cruzadas coinciden en general): 3 f x x x 3 f x x y 3 f x y x 3 f y x x 3 f x y y 3 f y x y 3 f y y x 3 f y y y En el caso de campos de tres variables, hay tres derivadas parciales primeras, nueve derivadas parciales segundas (de las que seis son cruzadas dos a dos), 27 derivadas parciales terceras, etc. Funciones de clase C n. Sea f: U R un campo escalar con dominio U. Diremos que f es de clase C n (U) si existen todas las derivadas parciales de orden 1, 2, 3,..., n y son continuas en U y que f es de clase C (U) si existen sus derivadas parciales de todos los órdenes y son continuas, éste es el caso habitual de los campos que aparecen en las aplicaciones. Teorema de Schwarz de igualdad de las derivadas cruzadas. Sea f: U R un campo escalar de dos variables de clase C 2 (U). Entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales en U, es decir, f xy = f yx en U. Para campos de clase C 2 de tres variables, lo que se verifica es la igualdad entre cada par de derivadas cruzadas: f xy = f yx, f xz = f zx y f yz = f zy. Matriz hessiana de un campo escalar. Si f: U R es un campo escalar de dos [ variables de ] clase C 2 (U), las derivadas parciales segundas de f se agrupan en una matriz D 2 fxx f f = xy que es simétrica por el teorema de Schwarz y se llama matriz hessiana de f o diferencial segunda de f (en la Lección 4 veremos por qué). Cuando el campo escalar depende de tres variables y es de clase C 2, su matriz hessiana, que también es simétrica por el teorema de Schwarz, es D 2 f = f xx f xy f xz f yx f yy f yz. f zx f zy f zz f yx f yy EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2 Ejercicio 1. Calcula las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones y su valor en el origen de coordenadas y el punto (1, 2) (1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy (3) f(x, y) = e (x2 +y 2 )/3 (4) f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 (5) f(x, y) = (3x + y) cos(xy) (6) f(x, y) = 64 x 2 (7) f(x, y) = e x (2y 2 x 2 ) (8) f(x, y) = x 2 + 2xy y 2 (9) f(x, y) = sen ( π(x + y) ) (10) f(x, y) = log(1 + 2x 2 + 3y 2 ) Ejercicio 2. Determina el vector diferencial de los campos centrales f(x, y) = r n = ( x 2 + y 2) n/2 para n = ±1, ±2,... ( Atención!: para n = 1 hay que estudiar con cuidado qué pasa en el origen de coordenadas.)

11 Ejercicio 3. Sean c = (a, b) un vector de constantes y A = 1. Derivadas parciales 11 [ ] a b una matriz simétrica. b c Determina el vector diferencial de los siguientes campos en su dominio de definición: (1) La aplicación lineal g(x, y) = ax+by o, en términos vectoriales, g( r) = c r, donde r = (x, y) es el vector de posición de un punto en el plano. (2) La forma cuadrática h(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 o, en términos vectoriales, h( r) = r A r. Ejercicio 4. Formula y haz el Ejercicio 3 en el caso tridimensional. Ejercicio 5. Calcula las matrices hessianas de los campos escalares de los ejercicios 1 y 2. Ejercicio 6. Halla la matriz hessiana de la forma cuadrática generada por una matriz simétrica. Ejercicio 7. Calcula las derivadas parciales primeras y segundas de los campos f 1 (x, y, z) = xyz, f 2 (x, y, z) = cos(zx) + sen(xy) y f 3 (x, y, z) = xz 3xyz + xz 2 + 2y 2 zx. Ejercicio 8. Prueba que los siguientes campos cumplen las ecuaciones que se indican. (1) u(x, t) = e t cos(x/c) cumple la ecuación del calor u t = c 2 u xx. (2) u(x, t) = (x ωt) 2 cumple la ecuación de ondas u tt = ω 2 u xx. (3) u(x, t) = sen(nx) cos(nωt) cumple la ecuación de ondas u tt = ω 2 u xx. (4) u(x, y) = x 2 y 2 + xy cumple la ecuación de Laplace u xx + u yy = CAMPOS ESCALARES DIFERENCIABLES La construcción del plano tangente. Dados f: U R, un campo escalar continuo de dos variables, y (a, b) un punto interior de U, sea P = ( a, b, f(a, b) ) el punto correspondiente en la superficie z = f(x, y) que es la gráfica de f. Existe el plano tangente a la gráfica de f en P y, en ese caso, cuál es su ecuación? Plano tangente Si usamos la interpretación geométrica de las derivadas parciales vista antes, la noción intuitiva de plano tangente nos dice que las rectas tangentes a las curvas C 1 y C 2 deben quedar contenidas en dicho plano. Por tanto, el vector normal al plano tangente debe ser ortogonal a T 1 = ( 1, 0, f x (a, b) ) y a T 2 = ( 0, 1, f y (a, b) ). así que podemos tomar como vector normal el producto vectorial n = T 1 T 2 = (1, 0, f x (a, b)) (0, 1, f y (a, b)) = ( f x (a, b), f y (a, b), 1) con lo que el plano tangente debe ser el que tiene vector normal n = ( f x (a, b), f y (a, b), 1) y pasa por P = ( a, b, f(a, b) ), es decir, el plano dado por la ecuación z = f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b ).

12 12 Matemáticas III (GITI, ) Ejemplo. Consideremos el punto (1, 2, 2) en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9. Por lo que sabemos de geometría, el plano tangente a la esfera en dicho punto es el que tiene como vector normal el radiovector n = (1, 2, 2) del propio punto. Si escribimos z = 9 x 2 y 2 y calculamos las derivadas parciales obtenemos z x (1, 2) = 1/2 y z y (1, 2) = 1 con lo que, según lo visto antes, el vector normal es n = ( ( 1/2), ( 1), 1) = (1/2, 1, 1) que, efectivamente, es paralelo a n = (1, 2, 2). Observaciones. Aunque en el ejemplo de la esfera las cosas funcionan bien, la mera existencia de las derivadas parciales no basta para que, en el caso de un campo escalar continuo cualquiera, el plano dado por z = f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b ) sea un plano tangente satisfactorio. Pueden construirse ejemplos patológicos de campos para los que existen las derivadas parciales pero el plano que se obtiene con ellas no cumple condiciones geométricas deseables como, por ejemplo, que incluya las rectas tangentes a todas las posibles curvas regulares contenidas en la superficie que pasan por el punto de tangencia. La solución es exigir que f x y f y sean también continuas. Condición suficiente de diferenciabilidad. Sea f: U R un campo escalar de clase C 1 en U. Si (a, b) es un punto interior de U, entonces se cumple f(x, y) [ f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b )] lím = 0 (x,y) (a,b) (x a)2 + (y b) 2 y se dice que el campo f es diferenciable en (a, b). Interpretación geométrica de la diferenciabilidad. Para funciones de una variable, si escribimos la definición de derivada como f(x) [ f(a) + f (a)(x a) ] lím = 0, x a x a esta igualdad nos dice que, para x cerca de a, los valores de la recta tangente y = f(a)+f (a)(x a) se aproximan a los valores de la curva y = f(x) mejor que la distancia entre x y a. Derivabilidad en una variable y diferenciabilidad en dos variables. Si en este cociente sustituimos en el numerador (en rojo en la figura) la curva y = f(x) por la superficie z = f(x, y) y la ecuación de la recta tangente por la ecuación del candidato a plano tangente, y sustituimos en el denominador (en verde en la figura) el valor absoluto por la distancia euclídea en el plano, obtenemos precisamente la noción de campo escalar diferenciable. Es decir, si el campo f es diferenciable en el punto (a, b) entonces cerca de dicho punto los valores del candidato a plano tangente z = f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b ) se aproximan a los valores de la superficie z = f(x, y) mejor que la distancia entre (x, y) y (a, b).

13 1. Derivadas parciales 13 Plano tangente. Si f es diferenciable en (a, b), entonces el plano de ecuación z = f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b ) es el plano tangente a la gráfica de f en el punto P = (a, b, f(a, b)). La diferenciabilidad nos garantiza que el plano tangente tiene muy buenas propiedades de aproximación. Veremos en la sección siguiente otra propiedad deseable de tangencia: que el plano tangente contiene las rectas tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficie z = f(x, y) que pasan por P. Vamos a explorar con más detalle el concepto de campo escalar diferenciable y, en particular, cómo podemos extender este concepto a campos que dependen de más variables. Diferencial de un campo escalar. Supongamos que f es un campo escalar de dos variables diferenciable en un punto (a, b), es decir, f(x, y) [ f(a, b) + f x (a, b) ( x a ) + f y (a, b) ( y b )] lím = 0. (x,y) (a,b) (x a)2 + (y b) 2 Ahora, si escribimos esta igualdad como [ f(x, y) f(a, b) + [ f x (a, b), f y (a, b) ] lím (x,y) (a,b) ( x a, y b ) ( )] x a y b y comparamos esta expresión con la que hemos visto para funciones de una variable, observamos que el vector diferencial Df(a, b) = [ f x (a, b), f y (a, b) ] interpreta, en la definición de función diferenciable de dos variables, el papel correspondiente a f (a) en la definición de derivada de una función de una variable. Esto se ve aún más claramente si escribimos, por ejemplo, A 0 = (a, b) y A = (x, y), entonces cuando el campo escalar f es diferenciable en A 0 tenemos [ f(a) f(a0 ) + Df(A 0 ) (A A 0 ) ] lím A A 0 A A 0 Esto justifica que Df(A 0 ) = [f x (A 0 ), f y (A 0 )] se llame vector diferencial de f en A 0. Campo escalar diferenciable de tres variables. Si queremos definir el concepto de campo escalar diferenciable para tres variables, no es posible visualizar la noción de tangencia a una superficie en R 4. Sin embargo, dado un punto A 0 = (a, b, c) interior al dominio de definición de un campo f(x, y, z), tiene perfecto sentido plantearse si, tomando A = (x, y, z), se cumple [ f(a) f(a0 ) + Df(A 0 ) (A A 0 ) ] lím A A 0 A A 0 siendo Df(A 0 ) = [f x (A 0 ), f y (A 0 ), f z (A 0 )] el vector diferencial de f en A 0. Cuando se cumpla que, efectivamente, dicho límite es cero diremos que el campo escalar f es diferenciable en el punto A 0. De nuevo, si f es de clase C 1 en su dominio, entonces puede probarse que f es diferenciable en todos los puntos del dominio. = 0. = 0. = 0

14 14 Matemáticas III (GITI, ) Operaciones con campos diferenciables. Sean f, g: U R campos escalares diferenciables en un punto A interior a U, α, β R y n N. Entonces los campos αf + βg, fg, f n y, si g(a) 0, f/g son diferenciables en A. Observemos que entre estas operaciones falta la composición. A ella le dedicaremos la siguiente sección, donde veremos la regla de la cadena para campos escalares. Usando la regla de la cadena junto con las operaciones aritméticas que acabamos de ver se comprueba que la práctica totalidad de los campos escalares que aparecen en los ejemplos habituales y en las aplicaciones a la geometría y otras ciencias son diferenciables. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3 Ejercicio 1. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie z = f(x, y) en los puntos P = ( 0, 0, f(0, 0) ) y Q = ( 1, 2, f(1, 2) ). (1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy (3) f(x, y) = e (x2 +y 2 )/3 (4) f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 (5) f(x, y) = 5 x 3 + xy (6) f(x, y) = 64 x 2 (7) f(x, y) = x 3y + 4 (8) f(x, y) = x 2 + 2xy y 2 (9) f(x, y) = sen ( π(x + y) ) (10) f(x, y) = log(1 + 2x 2 + 3y 2 ) (11) f(x, y) = 5 x 2 y 2 (12) f(x, y) = e 2x + cos(y) 4. LA REGLA DE LA CADENA La regla de la cadena permite calcular las derivadas parciales de una función cuando cambiamos las variables independientes, lo que, como en el caso de una variable, puede simplificar algunos cálculos (en el cálculo de integrales dobles y triples sobre todo, como veremos en la Lección 5) o proporcionar nuevas interpretaciones físicas cuando estudiamos modelos de las aplicaciones. En las siguientes lecciones analizaremos más a fondo los cambios de variable más importantes y otras implicaciones de la regla de la cadena. Empezaremos por el caso más simple, que es cuando tenemos un campo escalar f de dos o tres variables y ahora hacemos depender dichas variables de una nueva variable independiente t; esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando nos interesa conocer el efecto de f sobre una curva. Estudiaremos después la regla de la cadena cuando cambiamos las variables independientes por otras nuevas. Regla de la cadena para una variable independiente. Sea f un campo escalar de tres variables diferenciable en su dominio U. Sean x = x(t), y = y(t), z = z(t) funciones derivables de t tales que los puntos r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) están en U. Entonces ψ(t) = f ( r(t) ) = f ( x(t), y(t), z(t) ) es una función derivable y se verifica dψ dt = dx x dt + dy y dt + [ dz z dt = x, y, ] z x (t) y (t) = Df ( r(t) ) r (t). z (t) Si f depende de dos variables, entonces, suprimiendo la coordenada z, la regla queda ψ (t) = dx x dt + dy y dt = f xx (t) + f y y (t).

15 1. Derivadas parciales 15 Propiedad de tangencia a las curvas del plano tangente a una superficie. Con la regla de la cadena podemos comprobar, como anunciamos en la sección anterior, que si f es un campo escalar de dos variables y f es diferenciable en (a, b), entonces el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en P = (a, b, f(a, b)) tiene la propiedad de contener las rectas tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficie y que pasan por P. Curva C sobre una superficie z = f(x, y). Para ver esto, supongamos que C es una curva regular r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) totalmente contenida en la superficie z = f(x, y) y que pasa por el punto P = (a, b, f(a, b)). Entonces, por un lado tenemos que z(t) = f ( x(t), y(t) ) y por otro que a = x(t 0 ) y b = y(t 0 ) para algún valor t 0. Por tanto, el vector tangente a la curva C en P es, usando la regla de la cadena para hallar z (t), r (t 0 ) = ( x (t 0 ), y (t 0 ), f x (a, b)x (t 0 ) + f y (a, b)y (t 0 ) ) que, obviamente, es perpendicular al vector normal al plano tangente n = ( f x (a, b), f y (a, b), 1). En consecuencia la recta tangente a C en P está contenida en el plano tangente. Derivadas de orden superior. Si f y x = x(t), y = y(t), z = z(t) pueden derivarse más veces, entonces se puede usar la regla de la cadena para hallar las derivadas de orden superior. Volveremos sobre esto con más detalle cuando estudiemos, en la siguiente lección, la derivación implícita. Regla de la cadena para dos variables independientes. Sea f(x, y) un campo escalar de clase C 1 (U). Sean x = x(u, v) e y = y(u, v) funciones diferenciables con respecto a las nuevas variables u y v. Entonces la composición g(u, v) = f ( x(u, v), y(u, v) ) es diferenciable y se verifica g u = x x u + y y u y g v = x x v + y y v Observación sobre la notación. A veces se utiliza la misma letra para denotar la función dependiente, sin tener en cuenta qué variables independientes estamos considerando en cada momento; por eso, a menudo, la regla de la cadena se escribe, usando subíndices, como f u = f x x u + f y y u y f v = f x x v + f y y v. Señalemos el doble papel que juega f en esta expresión como función que depende de x e y, en primer lugar, y de u y v tras el cambio.

16 16 Matemáticas III (GITI, ) Regla de la cadena para coordenadas polares. El cambio a coordenadas polares es, seguramente, el cambio más importante en el plano. Veamos qué nos dice la regla de la cadena cuando pasamos de cartesianas a polares y viceversa. Si f(x, y) es un campo escalar dado inicialmente en variables cartesianas y hacemos el cambio a coordenadas polares, de manera que x = r cos(θ) e y = r sen(θ), entonces, de acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas parciales de f como función de las coordenadas cartesianas (x, y) están relacionadas con las derivadas parciales de f como función de las coordenadas polares (r, θ) de la siguiente manera: r = cos(θ) + x y sen(θ) = xf x + yf y x2 + y 2 θ = r sen(θ) + x y r cos(θ) = yf x + xf y. Recíprocamente, si ahora tenemos el campo f(r, θ) dado inicialmente en coordenadas polares, entonces las derivadas parciales de f como función de las coordenadas cartesianas (x, y) vienen dadas por x = sen(θ) cos(θ) r θ r y y = sen(θ) + r θ cos(θ). r Regla de la cadena para tres variables independientes. Sea f(x, y, z) un campo escalar de clase C 1 (U). Sean x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w) funciones diferenciables con respecto a las variables u, v y w. Entonces g(u, v, w) = f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) es diferenciable y se verifica g u = x x u + y y u + z z u, g v = x x v + y y v + z z v, g w = x x w + y y w + z z w. Vector diferencial de un campo central. Un campo central de dos variables es el que sólo depende del radio polar f(x, y) = ψ(r). Entonces, usando la regla de la cadena, se tiene x = dψ r dr x = dψ x 2 + y 2 dr x y = dψ r dr y = dψ x 2 + y 2 dr y = ψ 2x (r) 2 x 2 + y = ψ (r) x, 2 r = ψ 2y (r) 2 x 2 + y = ψ (r) y, 2 r de manera que su vector diferencial es Df = ψ (r) r. r Para tres variables tenemos un resultado análogo. Sea f(x, y, z) = ψ ( r(x, y, z) ) un campo central, con r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Entonces, aplicando la regla de la cadena, su vector diferencial viene dado por D [ ψ ( r(x, y, z) )] = ψ (r) [x, y, z] = ψ (r) r. r r En particular, para los campos dados por una potencia de r, digamos f(x, y, z) = r n tenemos D(r n ) = nr n 2 r para n = 0, ±1, ±2,... (excluyendo el origen si n 1.)

17 1. Derivadas parciales 17 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 4 Ejercicio 1. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f(x, y) = x 2 + y 2 xy + 1 en el punto (2, 1) al hacer el cambio de variables x = 2t e y = t. Ejercicio 2. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 al hacer el cambio de variables x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = t. Ejercicio 3. Sea z un campo escalar de dos variables que cumple xz y yz x = 0 en términos de las coordenadas cartesianas. Aplica la regla de la cadena para hallar en qué se transforma esta igualdad cuando pasamos a coordenadas polares. Ejercicio 4. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica z x (x 2 + y 2 )z y = 0. Aplica la regla de la cadena para hallar en qué se transforma esta igualdad cuando pasamos a coordenadas polares. Ejercicio 5. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica z x + z y = 0. Si cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = x + y, v = x y, qué igualdad verifica z como función de las nuevas variables u y v? Ejercicio 6. Determina en qué ecuación se transforma la ecuación en derivadas parciales 2 z y z x y z x 2 = 0 cuando se aplica el cambio de variables u = x y, v = x 2y. Ejercicio 7. Aplica el cambio de variables u = x + ωy, v = x ωy para transformar la ecuación de ondas z yy = ω 2 z xx. Ejercicio 8. Sea y = ψ(x) es una curva definida para x R, donde ψ es dos veces derivable y la variable t representa el tiempo. Entonces la función u(t, x) = ψ(x ωt) representa el desplazamiento de la gráfica de ψ que se desliza como una onda hacia la derecha a velocidad ω. (1) Prueba que u es una solución de la ecuación de ondas u tt = ω 2 u xx. (2) Pasa lo mismo con v(x, t) = ψ(x + ωt)?, cómo se interpreta esta función? Ejercicio 9. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann ligan las derivadas parciales de dos campos diferenciables u, v de la siguiente manera u x = v y y u y = v x. (1) Prueba que u = x 2 y 2 y v = 2xy cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. (2) Prueba que u = x 3 3xy y v = 3x 2 y y 3 cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. (3) Prueba que u = e x cos(y) y v = e x sen(y) cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. (4) Prueba que si dos campos u, v de clase C 2 cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces ambos cumplen la ecuación de Laplace, o sea, u xx + u yy = 0 y v xx + v yy = 0. Ejercicio 10. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que cumple z xx z xy = 0. Si cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = e y, v = log(x), qué ecuación verifica z como función de las nuevas variables u y v?

18 18 Matemáticas III (GITI, ) Ejercicio 11. Escribe las reglas de la cadena para calcular las derivadas parciales de una función de tres variables f(x, y, z) cuando las tres variables x, y y z pasan a depender de dos variables u y v; digamos x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). 5. EL TEOREMA DE TAYLOR PARA CAMPOS ESCALARES Hemos visto en Matemáticas II que los polinomios de Taylor se introducen para obtener aproximaciones de los valores de una función de una variable cerca de un punto dado que sean mejores que las dadas por la recta tangente. Recordemos que el polinomio de Taylor p n de grado n de una función f en un punto a se construye sabiendo que es el único polinomio de grado n en el que coinciden su valor y el de sus derivadas hasta orden n con el valor de la función y de sus derivadas correspondientes en dicho punto, o sea, p n (a) = f(a), p n (a) = f(a),..., p (n) n (a) = f (n) (a). Análogamente, para campos escalares de varias variables, los polinomios de Taylor se definen como los polinomios para los que coinciden su valor y el de sus derivadas parciales con el valor de la función y de sus derivadas parciales correspondientes en un punto dado, y su utilidad principal también es la de proporcionar valores aproximados de un campo escalar cerca de dicho punto mejores que las aproximaciones dadas por el plano tangente; que dichas aproximaciones son buenas viene garantizado por el teorema de Taylor, que nos dirá cómo es el error que se comete. Este teorema será también una de las herramientas que usaremos en la Lección 3 para la determinación de máximos y mínimos de funciones de varias variables, de manera análoga a como has trabajado con funciones de una variable en el curso anterior. En esta sección vamos a trabajar únicamente con dos variables y estudiaremos los polinomios de Taylor de grado 1 y grado 2 por comodidad y razones de espacio; es muy fácil extender la formulación para el caso de tres variables, lo que se propone como ejercicio, o grado mayor que 2. Polinomio de Taylor de grado 1 de un campo escalar. Sea f : U R un campo escalar de dos variables y sea (a, b) un punto interior del dominio U. Si f es de clase C 1 (U), el polinomio de Taylor de grado 1 de f en (a, b) es p 1 (x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). Observemos que z = p 1 (x, y) es la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y). Si escribimos A 0 = (a, b), A = (x, y), entonces p 1 (A) = f(a 0 ) + Df(A 0 )(A A 0 ), que es la misma estructura que tiene el polinomio de Taylor para funciones de una variable. De hecho, es fácil ver que el polinomio de Taylor de grado 1 de f en (a, b) es el único polinomio de grado 1 que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coinciden con los de f en (a, b). La función r 1 (x, y) = f(x, y) p 1 (x, y) se llama resto de Taylor de orden 1 de f y sabemos, de la definición de diferenciabilidad, que la aproximación es buena cerca del punto; concretamente, lím (x,y) (a,b) r 1 (x, y) (x a, y b) = 0, Como en el caso de funciones de una variable, es posible dar una expresión del resto en términos de las derivadas parciales segundas, pero esto no vamos a verlo aquí. Polinomio de Taylor de grado 2 de un campo escalar. Si f C 2 (U) entonces podemos mejorar la aproximación lineal obtenida con el plano tangente mediante un polinomio de grado 2

19 1. Derivadas parciales 19 usando la forma cuadrática generada por matriz hessiana de f D 2 f = 2 f x 2 2 f x y 2 f y x 2 f y 2. Se define el polinomio de Taylor de grado 2 de f en A 0 = (a, b) como o, de forma extendida, como p 2 (A) = f(a 0 ) + Df(A 0 )(A A 0 ) (A A 0) T D 2 f(a 0 )(A A 0 ) p 2 (x, y) = f + f x (x a) + f y (y b) f xx(x a) 2 + f xy (x a)(y b) f yy(y b) 2, donde f y sus derivadas parciales están evaluadas en el punto (a, b). De nuevo, es fácil ver que el polinomio de Taylor de grado 2 de f en A 0 es el único polinomio de grado 2 en dos variables tal que su valor y los de sus derivadas parciales primeras y segundas coinciden con los de f en A 0. Teorema de Taylor para un campo escalar. La diferencia r 2 (x, y) = f(x, y) p 2 (x, y) se llama resto de Taylor de orden 2 de f y cumple que lím (x,y) (a,b) r 2 (x, y) (x a, y b) 2 = 0, lo que nos da garantías de que la aproximación que se obtiene con p 2 (x, y) es buena cuando estamos suficientemente cerca del punto. Geométricamente, la gráfica del polinomio de grado 2 es una cuádrica (generalmente un paraboloide elíptico o hiperbólico) que se aproxima bien a la gráfica de f cerca del punto (a, b, f(a, b)). La superficie z = (1 + x 2 + y 2 ) 1 y el paraboloide z = p 2 (x, y) = 1 x 2 y 2 Exigiendo la igualdad de las derivadas parciales terceras, cuartas,..., pueden construirse los polinomios de Taylor de grado tres, cuatro,..., con los que, si es necesario, podemos ir mejorando las aproximaciones. Observaciones prácticas. Para calcular los polinomios de Taylor debemos, en principio, hallar las derivadas parciales en el punto y construir el polinomio usando la fórmula correspondiente. Sin embargo, podemos ahorrarnos algunos cálculos mediante las siguientes observaciones.

20 20 Matemáticas III (GITI, ) (1) Suele ser más cómodo calcular los polinomios de Taylor en el origen. Si queremos hallar el polinomio de Taylor p de f en un punto (a, b) (0, 0), se puede proceder de la siguiente manera: empezamos haciendo el cambio de variables u = x a y v = y b, luego calculamos el polinomio de Taylor q de g(u, v) = f(u + a, v + b) en el origen y, finalmente, obtenemos p deshaciendo el cambio de variables p(x, y) = q(x a, y b). (2) Si f(x, y) es un polinomio de grado tres o superior, entonces el polinomio de Taylor de grado 2 de f en el origen se calcula suprimiendo de la expresión de f los términos de orden superior. Por ejemplo, para hallar el polinomio de grado 2 de f(x, y) = 1 2x + y + xy 2y 2 + x 3 3x 2 y xy 2 en el origen, suprimimos los términos de grado 3 y obtenemos p 2 (x, y) = 1 2x + y + xy 2y 2. (3) Si en la expresión de f aparecen funciones de una variable, podemos usar sus polinomios de Taylor. Por ejemplo, para hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = e x+y sen(x y) en el origen, usamos que 1 + t + t 2 /2 es el polinomio de Maclaurin grado 2 de e t y que t es el polinomio de Maclaurin grado 2 de sen(t). Sustituyendo t = x + y en el polinomio de Maclaurin de la exponencial y t = x y en el del seno, el producto de estos polinomios queda ( 1 + (x + y) + (x + y) 2 /2 ) (x y) = x y + x 2 y 2 + x3 + x 2 y xy 2 y 3. 2 Finalmente, suprimimos los términos de orden superior a 2 y obtenemos p 2 (x, y) = x y + x 2 y 2. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 5 En los ejercicios 1, 2 y 3, utiliza alguno de los programas que se recomiendan en la Bibliografía para dibujar la superficie y la gráfica del polinomio de Taylor. Ejercicio 1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = 1 + (x + y)e y en el origen. Ejercicio 2. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = y 2 /x 3 en el punto (1, 1). Ejercicio 3. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de los siguientes campos en (0, 0) y en (1, 1). (1) f(x, y) = x 2 y 2 + xy (2) f(x, y) = 1 + 2x y + x 2 + y 2 + 2xy + 3x 3 x 2 y (3) f(x, y) = x 2 + y 2 + 3x 2 y + y 3 + e x cos(y) (4) f(x, y) = sen(π(x + y)) + cos(π(x y)) (5) f(x, y) = x sen(πy) + y sen(πx) (6) f(x, y) = (x + y)(xy + 1)(x 2 2y) (7) f(x, y) = e x2 +y 2 xy (8) f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 Ejercicio 4. Sea f(a) un campo escalar de tres variables A = (x, y, z) de clase C 2 (U) y sea A 0 = (a, b, c) un punto interior de U. El polinomio de Taylor de grado 1 de f en A es el único polinomio p 1 (A) de grado 1 en tres variables que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coinciden con los de f en A 0. Prueba que p 1 viene dado por la aproximación lineal dada por la diferencial: p 1 (A) = f(a 0 ) + Df(A 0 )(A A 0 ).