CUADERNO AUXILIAR de

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1 CUADERNO AUXILIAR de 1 1 Enseñanza Media Técnico Profesional 3.- GEOMETRÍA LICEO POLITÉCNICO DOMINGO

2 2 La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa. Johannes Kepler

3 PERIODO : 2º SEMESTRE PERIODO : 2º SEMESTRE PERIODO : 2º SEMESTRE PERIODO : 2º SEMESTRE PERIODO : 2º SEMESTRE PERIODO : 2º SEMESTRE III.- GEOMETRÍA PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2016 * MATEMÁTICA * 1º E. M. T. P. APRENDIZAJES ESPERADOS ESPECÍFICOS AE 01 Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. 3 AE 02 Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. AE 03 Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. AE 04 Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. AE 05 Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. AE 06 Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. AE 07 Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. AE 08 Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos.

4 GUÍA Nº 1.- I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO: NOTA 1 Firma Apoderado 4 GUÍA Nº 2.- NOTA 2 Firma Apoderado GUÍA Nº 3.- NOTA 3 Firma Apoderado GUÍA Nº 4.- NOTA 4 Firma Apoderado GUÍA Nº 5.- NOTA 5 Firma Apoderado NOTA FINAL Firma Apoderado

5 GEOMETRIA y PLANO CARTESIANO: El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una HORIZONTAL y otra VERTICAL que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el NOMBRE de origen. 5 El plano cartesiano tiene COMO finalidad describir la posición de puntos, LOS cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se CUENTAN las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se CUENTAN las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

6 LICEO DOMINGO SANTA MARÍA RENAICO MARCELO ARAVENA CÁCERES AE 01 Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. GUÍA N 1 1 AÑO MEDIO Nombre 6 Curso Fecha N LISTA I.- UBICA EN EL PLANO CARTESIANO LOS PUNTOS:

7 II. DADOS LOS PUNTOS DEL PLANO, DETERMINA LAS COORDENADAS DE CADA UNO. a) A:(1;1); B:(-2;-2); C:(-4;-3); D:(-2;-1); E:(-3;0); F:(0;-3). b) A:(1;1); B:(4;-2); C:(-4;3); D:(-2;-1); E:(0;-3); F:(0;-3). c) A:(1;1); B:(4;-2); C:(-4;3); D:(-2;-1); E:(-3;0); F:(0;-3). d) A:(-1;1); B:(4;-2); C:(-4;3); D:(-2;-1); E:(0;0); F:(0;-3). e) NINGUNA DE LAS A. 7 III.- IDENTIFICA LOS VÉRTICES DE LOS SEGMENTOS DIBUJADOS EN EL PLANO CARTESIANO. CD EF GH KL MN ST QR OP UV

8 IV.- IDENTIFICA LOS VÉRTICES DE LAS FIGURAS DIBUJADAS EN CADA PLANO CARTESIANO. A) B) 8 A (-2,2) B (, ) C (, ) A (, ) G(, ) C (, ) D (, ) E (, ) F (, ) C) D) A (, ) G (, ) C (, ) D (, ) E (, ) F (, ) A (, ) F (, ) B (, ) G (, ) C (, ) D (, ) E (, )

9 VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO El vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza por tener magnitud o módulo, dirección y sentido. La magnitud es la longitud del vector, es decir, la distancia entre el inicio (cola) y el término (punta de flecha) y se denota de la forma AB. El sentido está indicado por la punta flecha del vector e indica hacia donde se dirige. La dirección es la orientación o el ángulo que forma la recta que contiene al vector con el eje X. 9 Los vectores que tienen igual magnitud, sentido y dirección, se dicen equivalentes. Para representar vectores en el plano cartesiano se deben calcular sus componentes. Si un vector tiene como puntos extremos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), las componentes del vector AB están dadas por: AB = (x₂, y₂) (x₁, y₁) = (x₂ x₁, y₂ y₁). Ejemplo: En el ejemplo, el vector tiene sentido noroeste y dirección 37 con respecto al eje X. Sus componentes son (4,3) y su magnitud o modulo se calcula, como se muestra a continuación: AB = (4, 3) AB = = 25 = 5 En general, si un vector u tiene componentes (u₁, u₂) su magnitud o módulo se calcula como u = u u 2 2. Fuente: Del valle E. J., Muñoz D. G., Santis A. M.A., Matemática 1 medio, Edit. SM. 2014, pág Herrera C. R., Rojas M. V., Martínez P. L., Nuevo Explorando matemática 1 medio 2010, pág

10 MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Y CÓMO REPRESENTARLO EL EN EL PLANO Se llaman escalares a los números reales, cuando se está trabajando con vectores en el plano cartesiano. Todo vector (a, b) se puede multiplicar por un escalar k, es decir por un número real k, de la siguiente manera: 10 k (a, b) = (k a, k b) Ejemplo: Si v = (-2,3) y k = 2, entonces k v = 2 (-2, 3) = (-4, 6). En la figura se observa que el vector 2v es un vector con igual dirección y sentido que v, pero con el doble de la magnitud que v. Si se toma k = 1, se obtiene: 2 k v = 1 2 v = 1 2 ( 2, 3) = (1 2 ( 2), 1 2 (3)) = ( 1, 3 2 ) Se observa que kv es la mitad que v. en general, si se multiplica a un vector por un escalar positivo, hay dos posibilidades k kv Sentido de kv Dirección de kv > que 1 > que v = que v = que v < que 1 < que v = que v = que v

11 Ahora que pasa si multiplicamos el mismo vector por un escalar negativo: v = ( 2,3) k = -2, se obtiene: -2(-2, 3) = (4, -6) En la figura se observa que 2v tiene la misma dirección que v pero en sentido opuesto y el doble de magnitud. v 11 2v Al multiplicar un vector v por un escalar k cualquiera, la dirección de kv es la misma que la de v. Los cambios de kv. Con relación a v son en magnitud y sentido, pudiéndose resumir en la siguiente tabla: k kv Sentido de kv k > que 1 0 < k 1 1 k 0 K < que -1 Resumiendo: kv > v kv v kv v kv > v = que v = que v Opuesto al de v Opuesto al de v SUMA Y RESTA DE VECTORES Fuente: rtaetapa/matematica/tema3 /Tema3d.html

12 Para sumar y restar vectores, existen tres métodos: a) Método del paralelogramo b) Método del triangulo c) Suma o resta de sus componentes. Método del paralelogramo: 12 Podemos servirnos del paralelogramo que consiste en colocar los dos vectores de modo que sus orígenes coincidan siendo los otros dos lados del paralelogramo las paralelas a cada uno de ellos: Siendo a y b los vectores a sumar los unimos por sus orígenes y trazamos paralelas (color magenta) a cada uno de ellos creando un paralelogramo. La diagonal (color negro) será el valor de la suma de dichos vectores a b Método del triángulo: a b Otro método, disponiendo de papel cuadriculado es colocar un vector (a) a continuación del otro (b) y después, unir el origen de a con el final de b.

13 Método de sumar sus componentes: Para sumar dos vectores o más, debemos sumar las coordenadas de cada uno de los vectores y obtendremos un tercer vector, que sería la suma de los dos anteriores. Veámoslo más claramente con un ejemplo. 13 b a Los componentes de a son (4,1) y los componentes de b son (2,3) Si sumamos a + b = c o sea (4 + 2, 1 + 3) = c = (6, 4) usemos el método gráfico, para ver si esto es así: a c b 4 6

14 RESTA O SUSTRACCION DE VECTORES Para restar vectores, por ejemplo, z w podemos utilizar los siguientes métodos: Sumar z con el opuesto de w que es el vector w que tiene la misma magnitud, y dirección que el vector w, pero en sentido contrario. Para restar vectores, puedes seguir cualquiera de los métodos anteriores. 14

15 LICEO DOMINGO SANTA MARÍA RENAICO MARCELO ARAVENA CÁCERES GUÍA N 2 AE 02 Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. 1 AÑO MEDIO Nombre Curso Fecha N LISTA 15 I.- A CADA VECTOR REPRESENTADO EN EL PLANO CARTESIANO, DETERMINA SU DIRECCIÓN, SENTIDO Y MODULO. Vector t Modulo: Vector u Modulo: Dirección: Sentido: Dirección: Sentido: Vector v Modulo: Vector w Modulo: Dirección: Sentido: Dirección: Sentido:

16 Vector x Modulo: Vector y Modulo: Dirección: Dirección: 16 Sentido: Sentido: Vector z Modulo: Dirección: Sentido: II.- DADOS LOS SIGUIENTES VECTORES, CALCULA SUS COMPONENTES EJEMPLO: COMPONENTE DEL VECTOR u Vector t Vector v

17 Vector w Vector x 17 Vector y Vector z III.- DADOS LOS SIGUIENTES VECTORES, MULTIPLICA CADA UNO POR LOS SIGUIENTES ESCALARES: k = 2; k = 0,8; k = -2 LUEGO REPRESÉNTALOS EN EL PLANO CARTESIANO, EN FORMA INDIVIDUAL. usa lápices de colores diferentes. PARA u i.- CALCULEMOS PRIMERO SUS COMPONENTES COORDENADAS (3,3)-(1,1) u = (3,1), (3,1) =(2,2) ii.- MULTIPLICAMOS POR k =2. k u = 2(2,2) = (4,4) iii.- MULTIPLICAMOS POR k = 0,8 k u = 0,8(2,2) = (1,6, 1,6) iv.- MULTIPLICAMOS POR k = -2 k u = -2(2,2) = (-4, - 4) EJEMPLO: u 2u u 0, 8u u 2u

18 k = 2 Vector t k = 0,8 k = 2 18 k = 2 Vector v k = 0,8 k = 2

19 Vector w k = 2 k = 0,8 k = 2 19 Vector x k = 2 k = 0,8 k = 2

20 iv.- DADOS LOS SIGUIENES VECTORES, SUMALOS O RESTALOS, SEGÚN LAS INDICACIONES DADAS. PARA CADA par de VECTORES, USA EL METODO DEL PARALELOGRAMO, EL METODO TRIANGULAR Y EL METODO DE SUMAR SUS COMPONENTES. (Revisa las paginas 12, 13 y 14, para guiarte) 20 EJEMPLO Suma los vectores u + v i.- Método del paralelogramo: w = u + v ii.- Método del triángulo: w = u + v iii.- Método de sumar sus componentes: w = u + v PARA u i.- CALCULEMOS PRIMERO SUS COMPONENTES COORDENADAS (4,3)-(2,2) u = (4-2), (3-2) =(2,1) PARA v i.- CALCULEMOS PRIMERO SUS COMPONENTES COORDENADAS (2,5)-(1,2) v = (2-1), (5-2) =(1,3) Si = u (2,1) y v(1,3) entonces u + v = (2 + 1, 1 + 3) = (3, 4)

21 a).- suma los vectores a y b 21 i.- método por sus componentes ii.- método del paralelogramo iii.- método del triángulo

22 b).- suma los vectores p y q 22 i.- método por sus componentes ii.- método del paralelogramo iii.- método del triángulo

23 c).- resta los vectores p y q 23 i.- método por sus componentes ii.- método del paralelogramo iii.- método del triángulo

24 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS: Las transformaciones geométricas están presentes en diversos campos de la actividad humana así como también en dentro de la naturaleza. Los artistas suelen utilizar con frecuencia movimientos de diversas Figuras en el plano para realizar sus creaciones artísticas como los mosaicos. De igual forma, dentro de la naturaleza podemos notar como las alas extendidas de las mariposas guardan cierta relación con la repetición de los mismos colores y diseños. Estos ejemplos nombrados anteriormente tienen directa relación con algunas transformaciones isométricas que estudiaremos mas adelante. 24 La palabra isometría significa igual medida", por lo tanto la transformación isométrica de una Figura en el plano corresponde aquellos movimientos que no alterar ni la forma ni el tamaño de la Figura, sino que solo alteran su posición u orientación. De acuerdo a lo anterior, luego de realizar cualquier transformación isométrica, obtendremos como resultado una figura final geométricamente congruente a la figura inicial. Entre las transformaciones isométricas que estudiaremos se encuentran las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones o simetrías. Cuando trabajemos con cualquiera de estas tres transformaciones nos sería útil acudir a un sistema de coordenadas para poder describir la posición de diferentes puntos que forman nuestras figuras a transformar.

25 TRASLACION DE FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO Traslación Una traslación corresponde a un movimiento de una figura en una dirección fija, por lo tanto lo que se realiza es un desplazamiento que produce un cambio en la posición de la figura conservando los ángulos y las distancias entre sus puntos. 25 Este cambio de lugar que se le realiza a la figura esta determinado por tres factores: Por una magnitud que indica la distancia que hay que desplazar la figura, por lo que, corresponde a la distancia entre el punto inicial y el punto final trasladado. Por un sentido que indica hacia donde se está desplazando la figura, por ejemplo, en la imagen superior el ABC se desplaza hacia la derecha. Por una dirección que indica la pendiente con que se realiza el movimiento, por ejemplo, en la imagen superior el ABC se desplaza de manera horizontal con una pendiente igual a 0. Estos tres factores antes vistos corresponden justamente a las características fundamentales de un vector, por lo tanto, toda traslación queda definida por un vector de traslación. Usualmente los vectores se designan con letras minúsculas y con una flecha arriba, por ejemplo: v. En general a las traslaciones las designamos como T o como T = (a, b), en donde el par ordenado (a, b) denota las componentes del vector trasladado, de esta forma si tengo que realizar la traslación T = (a, b) significa que tengo que mover todos los puntos del plano a unidades en la dirección del eje x y b unidades en la dirección del eje y. El sentido del movimiento lo indicara el signo que poseen los elementos de mis pares ordenados, en caso de que a < 0 movemos los puntos hacia la izquierda o en caso contrario, hacia la

26 derecha, por otro lado si b < 0 movemos los puntos hacia abajo o en caso contrario, hacia arriba. Cuáles son las imágenes de los vértices del triángulo ABC según el vector u =(-3,3)? Vértices Traslación respecto al vector Vértices nuevos 26 A(1,-2) A (1+ -3, -2+3) A (-2,1) B(4,-1) B (4+ -3, -1+3) B (1,2) C(3,2) C (3+ -3, 2+3) C (0,5) u

27 REFLEXION de FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO Reflexión Una reflexión o simetría corresponde aquellos movimientos que invierten los puntos y las figuras en el plano. Esta transformación isométrica se puede dividir en simetría axial y simetría central. 27 Simetría Axial La simetría axial corresponde aquellas reflexiones que se realizan respecto a una recta denominada eje de simetría. La característica que cumple esta reflexión es que cada punto de la figura con su respectiva imagen están a la misma distancia perpendicular del eje de simetría. Por ejemplo, si queremos reflejar el cuadrilátero ABCD respecto al eje de simetría L debemos trazar desde los 4 vértices de la figura las perpendiculares a esta recta y luego copiar la medida de cada segmento formado al otro lado de la recta tal como se muestra a continuación: De acuerdo a esta construcción tenemos que el cuadrilátero A B C D corresponde a la reflexión del cuadrilátero ABCD respecto a la recta L. ugooxx/transformaciones -isomtricas-en-el-planocartesiano Simetría Central La simetría central corresponde a las reflexiones que se realizan respecto a un punto llamado centro de simetría. La característica que cumple esta reflexión es que cada punto de la figura con su respectiva, de tal forma que los segmentos que se forman son de igual medida.

28 Por ejemplo, si queremos reflejar el pentágono regular ABCDE con respecto el punto O debemos trazar rectas entre los vértices y el punto de simetría y luego copiar las medidas que hay entre los vértices al punto O al otro lado del punto para así formar el pentágono regular A B C D E que corresponde a la reflexión de la figura inicial. 28 En el caso de este tipo de simetría cabe notar que corresponde a una rotación en 180 respecto al centro de simetría. OBSERVACIONES 1) Una simetría central respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de centro O. 2) El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj. 3) Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene su simétrico A' ( x, y) con respecto al origen O (0, 0). 4) En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del reloj. 5) Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A' (x, y) con respecto al eje de las abscisas A' ( x, y) con respecto al eje de las ordenadas.

29 ROTACIÓN DE FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO Rotación Una rotación corresponde aquellos movimientos que hacen girar todos los puntos del plano en un cierto Angulo, por lo tanto lo que produce esta transformación es un cambio en la orientación de la figura con la que se está trabajando. 29 Las rotaciones están definidas por un ángulo de giro y por un centro de rotación, de tal forma que si el ángulo de giro es negativo la rotación se realiza a favor de las manecillas del reloj, es decir, en Sentido horario, por el contrario, si el ángulo es positivo la rotación se realiza en contra de las manecillas del reloj, es decir, en sentido anti horario. En general a las rotaciones las designamos por R = (O; α), donde O representa el centro de la rotación y α representa el ángulo de giro. Para realizar una rotación en el plano debemos proceder de la siguiente forma. Por ejemplo, si queremos rotar el ABC respecto al punto O en 60 debemos realizar la rotación de todos los puntos del plano. En el caso de cualquier figura basta con realizar la transformación isométrica a los vértices para obtener la imagen ya que las distancias y ángulos se conservan en la isometría. De acuerdo a esto, para realizar la rotación del vértice B del ABC unimos el punto O con el vértice B y trazamos una circunferencia de centro O y radio OB. Luego trazamos un ángulo de 60 a partir del rayo OB. Finalmente el punto de intersección entre el otro rayo del ángulo de 60 y la circunferencia corresponde a la imagen del vértice B. Si procedemos de la misma forma para los otros dos vértices obtenemos lo siguiente:

30 30 Luego de realizada la rotación a los vértices del ABC en 60 respecto al punto O obtenemos el A B C. Ahora bien, si al mismo trapecio ABCD le aplicamos la rotación R =((0,0),120 ) obtenemos nuevamente el mismo trapecio A B C D. En este caso podemos notar que el ángulo de rotación de R es igual a la suma de los ángulos de las rotaciones anteriores, es decir, 120 = , por lo tanto la aplicación de dos rotaciones se puede reducir a la aplicación de una única rotación cuyo ángulo de giro corresponde a la suma de los ángulos de las rotaciones por separado.

31 OBSERVACIONES Es importante visualizar que: A. Un giro de 90 en sentido horario es equivalente a un giro de 270 en sentido anti horario. B. Un giro de 180 en sentido horario es equivalente a un giro de 180 en sentido anti horario. 31 EN CONCLUSIÓN Si rotamos el punto P(x, y) con respecto al origen O(0,0) en un ángulo de giro o de rotación α, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.

32 LICEO DOMINGO SANTA MARÍA RENAICO MARCELO ARAVENA CÁCERES AE 03 Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano Nombre GUÍA N 3 1 AÑO MEDIO 32 Curso Fecha N LISTA Para esta guía, necesitaras regla, compas, transportador de 360, lápiz de mina, lápiz de pasta, lápices de colores, goma de borrar I.- APLICA EL VECTOR DE TRASLACIÓN A CADA FIGURA. LUEGO, NOMBRA LOS VERTICES DE CADA UNA DE ELLAS. DESTACA CON DIFERENTE COLOR LA FIGURA TRASLADADA. A) B). C).- D).-

33 II.- REALIZA LAS SIGUIENTES SIMETRIAS, EN LOS POLIGONOS PROPUESTOS. LUEGO, NOMBRA LOS VERTICES DE CADA UNA DE ELLAS. DESTACA CON DIFERENTE COLOR LA FIGURA REFLEJADA. A) B). 33 c). D) E). F).

34 G) 34 H)

35 III.- CONSTRUYE UTILIZANDO REGLA, COMPAS Y TRANSPORTADOR LAS ROTACIONES INDICADAS RESPECTO A CADA UNA DE LAS FIGURAS REALIZADAS. LUEGO, NOMBRA LOS VERTICES DE CADA UNA DE ELLAS. DESTACA CON DIFERENTE COLOR LA FIGURA OBTENIDA. A).- R (O, 90 ) b).- R (O, 120 ) 35 c).- R (O, 180 ) A).- R (O, -170 )

36 COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO i).- Composición de Traslaciones Cuando hablemos de composición de traslaciones estamos haciendo referencia a la aplicación de dos o más traslaciones a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra. 36 Por ejemplo si a un círculo de centro O (-4; 2) le aplicamos la traslación T = (2;-4) y luego otra traslación T = (6; 4) obtenemos un círculo cuyo centro es el punto O (4; 2). Por otro lado, si al mismo círculo de centro O(-4; 2) le aplicamos las traslaciones en sentido inverso, es decir primero le aplicamos T = (6; 4) y luego T = (2;-4) obtenemos un círculo cuyo centro es el mismo punto O (4; 2).

37 Ahora bien, si al círculo de centro O(-4; 2) le aplicamos una única traslación T = (8; 0) obtenemos un círculo cuyo centro es el mismo punto O (4; 2). 37 Podemos notar que el vector traslación v = (8; 0) que se le aplico al círculo corresponde a la suma de los dos vectores traslaciones antes vitos, es decir, (8; 0) = (2 + 6, ) = (2, -4) + (6, 4). En base a esto podemos decir que aplicar dos traslaciones es equivalente a aplicar una única traslación determinada por la suma de los vectores de traslación.

38 ii).- Composición de Rotaciones Cuando hablemos de composición de rotaciones estamos haciendo referencia a la aplicación de dos o más rotaciones con el mismo centro a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra. Por ejemplo si a un trapecio ABCD le aplicamos la rotación R=((0,0); 90 ) y luego una rotación R = ((0; 0); 30 ) obtenemos el romboide A B C D. 38 Por otro lado, si al mismo trapecio ABCD le aplicamos las rotaciones en sentido inverso, es decir le aplicamos la rotación R = ((0,0), 30 ) y luego la rotación R = ((0,0), 90 ) obtenemos el mismo romboide A B C D. De acuerdo a lo anterior podemos decir que el orden en que se aplican las rotaciones a una figura no influye en el resultado final,

39 ya que en ambos casos el trapecio ABCD luego de las rotaciones resulto en el lugar del trapecio A B C D. 39 iii).- Composición de Simetrías Centrales Cuando hablemos de composición de simetrías centrales estamos haciendo referencia a la aplicación de dos simetrías centrales a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra. Por ejemplo, si reflejamos el rectángulo ABCD respecto al punto O y luego respecto al punto O obtenemos el rectángulo A B C D que se muestra en la figura: Por otro lado, si realizamos las rotaciones en sentido inverso sobre el mismo rectángulo ABCD, es decir si primero reflejamos la figura respecto al punto O y luego la reflejamos respecto al punto O obtenemos el rectángulo A B C D que se muestra a continuación:

40 A partir de lo anterior, podemos notar que al igual que con la simetría axial, en la composición de simetrías centrales si influye el orden en que reflejo mi figura. 40 iv).- Composición de simetrías axiales Cuando hablemos de composición de simetrías axiales estamos haciendo referencia a la aplicación dedos simetrías axiales a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra. Por ejemplo, si reflejamos el sector circular OAB respecto a la recta y = 2 y luego respecto al eje de las ordenadas obtenemos el sector circular O A B que muestra la siguiente figura:

41 LICEO DOMINGO SANTA MARÍA RENAICO MARCELO ARAVENA CÁCERES AE 04 Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano AE 05 Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. Nombre GUÍA N 4 1 AÑO MEDIO 41 Curso Fecha N LISTA Para esta guía, necesitaras regla, compas, transportador de 360, lápiz de mina, lápiz de pasta, lápices de colores, goma de borrar I.- REALIZA LA COMPOSICIÓN DE LAS SIGUIENTES FIGURAS. LUEGO, NOMBRA LOS VERTICES DE CADA UNA DE ELLAS. DESTACA CON DIFERENTE COLOR LA FIGURA TRASLADADA. A).- R=((0,0); 90 ) y luego una rotación R = ((0; 0); 30 )

42 B).- Al círculo de centro O (-4; 2) aplícale la traslación T = (2;-4) y luego otra traslación T = (6; 4) 42 C).- Refleja el rectángulo ABCD respecto al punto O y luego respecto al punto E.

43 D).- Reflejamos el sector circular OAB respecto a la recta y = 2 y luego respecto al eje de las ordenadas 43 E).- Al sector circular OAB aplícale la traslación u, y luego refléjala respecto al eje de las ordenadas.

44 CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS Congruencia Dos figuras son congruentes ( ) si tienen la misma forma y el mismo tamaño, esto lo podemos verificar superponiendo las dos figuras, las cuales deben calzar exactamente. Tenemos que dos puntos cualesquiera siempre son congruentes así también dos rectas de la misma longitud y dos ángulos de la misma medida. Dos figuras geométricas, se consideran equivalentes si tienen el mismo tamaño, es decir, áreas iguales. Símbolos más usados en geometría: Triangulo : Congruente = : es igual : Perpendicular (90 ) : Angulo alpha : Ángulo 44 Dos figuras geometrías de diferente tamaño, pero de igual número de lados se consideran semejantes si tienen ángulos interiores congruentes y lados proporcionales. Ejemplo: Dos polígonos son congruentes, si cada uno de sus ángulos interiores y lados correspondientes tienen la misma medida.

45 POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Hay postulados que establecen si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar que sus tres ángulos y sus tres lados lo sean. Por lo común basta con asegurar la congruencia de tres de estos seis elementos. 45 i.- Postulado LLL LLL significa lado-lado-lado. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente de igual medida, es decir congruentes. AB A B Ver: PSU: Geometría; BC B C CA C A ii.- Postulado LAL LLA significa lado-lado-ángulo Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. CA C A CAB C A B AB A B iii.- Postulado ALA ALA significa ángulo-lado-ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales. CAB C A B ABC A B C AB A B

46 DEMOSTRACIÓNES CONGRUENCIA UTILIZANDO Demostración en geometría La demostración de la validez de una proposición a través del razonamiento se fundamenta en otras proposiciones ya demostradas, o bien, en otras proposiciones que sin haber sido demostradas las aceptamos como verdaderas. Los elementos que intervienen en una demostración: Teorema: es una proposición que puede ser demostrada. Hipótesis: datos del enunciado del teorema que se asumen verdaderos. Tesis: es lo que se quiere demostrar. Para llegar de la hipótesis a la tesis se utiliza un procedimiento llamado demostración. Demostración: es una sucesión finita de afirmaciones fundamentadas por definiciones, axiomas y postulados ligados mediante un razonamiento lógico que conduce a la tesis. Ejemplo: Teorema: Si en el ABC CD AB y D Es punto medio de AB entonces AC BC Hipótesis: En ABC CD AB y D Es punto medio de AB Tesis: AC BC Proposición: Una proposición es una expresión idiomática susceptible a adquirir un valor de verdad, es decir una idea de la cual tiene sentido decir que es verdadera o falsa. Axioma: Un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. 46 Demostración: Como CD AB, entonces m( ADC) = m( BDC) = 90, además CD es lado común y como D es punto medio, se tiene que AD BD. Por lo tanto, usando el postulado de congruencia LAL, se tiene que DCA DCB, entonces AC BC.

47 LICEO DOMINGO SANTA MARÍA RENAICO MARCELO ARAVENA CÁCERES AE 06 Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. AE 07 Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. AE 08 Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. GUÍA N 5 1 AÑO MEDIO 47 Nombre Curso Fecha N LISTA I.- IDENTIFICA LOS PARES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES UTILIZANDO EL POSTULADO LLL. Ejemplo: a).- b).- EFG y PQR son equilateros c).- d).-

48 II.- IDENTIFICA LOS PARES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES UTILIZANDO EL POSTULADO LAL. Ejemplo: 48 a).- b).- c).- d).-

49 III.- IDENTIFICA LOS PARES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES UTILIZANDO EL POSTULADO ALA. EJEMPLO: 49 a).- b).- C).- d).-

50 IV.- CALCULA LA MEDIDA PEDIDA A PARTIR DE LA CONGRUENCIA DE LAS FIGURAS. EJEMPLO: 50 F A).- ENCUENTRA EL LADO AC y EF B).- ENCUENTRA EL LADO KM y GF C).- ENCUENTRA EL LADO BC, CE y DE C).- ENCUENTRA EL LADO BC, CE y DE

51 EN ESTE CUADERNO AUXILIAR SE PRESENTAN LOS TEMAS BASICOS DE LA GEOMETRIA PARA 1 ENSEÑANZA MEDIA, MEDIANTE EJEMPLOS Y GUIAS DE EJERCICIOS, QUE NOS PERMITIRAN COMPRENDER EL MUNDO DEL LA GEOMETRÍA. 51 ESTE CUADERNO AUXILIAR TE OFRECE LA OPRTUNIDAD DE ACERCARTE A LAS MATEMATICAS Y OLVIDARTE QUE PUEDEN SER UN TORMENTO ESCOLAR. INCLUYEN EJERCICIOS SENCILLOS DESARROLLADOS PASO A PASO, ALGUNOS DE ELLOS CON APLICACIONES A LA VIDA DIARIA Y OTROS NO TANTO, PERO TODOS ELLOS ESTAN DISEÑADOS PARA RETARTE Y PONER A PRUEBA TÚ IMAGINACIÓN E INTELIGENCIA. MAAC 2015 Este cuaderno auxiliar de Matemática, fue diseñado por Marcelo A. Aravena C. exclusivamente para 1 de E. M. del Liceo Politécnico Domingo Santa María. 2016