Estadística aplicada II. Estadística en administración para la toma de decisiones

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1 Estadística aplicada II Estadística en administración para la toma de decisiones

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3 Estadística aplicada II Estadística en administración para la toma de decisiones Jesús odríguez Franco Alberto Isaac Pierdant odríguez Elva Cristina odríguez Jiménez PIMEA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014 GUPO EDITOIAL PATIA

4 info editorialpatria.com.mx Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Verónica Estrada Flores Diseño de interiores: Gustavo Vargas/Jorge Martínez Diseño de portada: Juan Bernardo osado Solís/Signx evisión Técnica: M. C. Alex Polo Velázquez UAM-A Estadística aplicada II. Estadística en administración para la toma de decisiones Derechos reservados: 2014, Jesús odríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant odríguez y Elva Cristina odríguez Jiménez 2014, GUPO EDITOIAL PATIA, S.A. DE C.V. enacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana egistro núm. 43 ISBN ebook: Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

5 Dedicatoria A mi familia Cristina, Katia, Jesús Miguel y a mis padres Martha Ester y Manuel. Jesús odríguez Franco A mi familia María Irma y Alberto Isaac y a mi madre aquel odríguez H. Alberto Isaac Pierdant odríguez A Jesús, a mis hijos Katia y Jesús Miguel y a mis padres Ángel y Angelina. Elva Cristina odríguez Jiménez

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7 Acerca de los autores Jesús odríguez Franco Profesor-investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y profesor definitivo de asignatura B en Matemáticas Financieras y Estadística I, en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam). Estudio la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional (ipn), tiene la maestría en ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (cinvestav-ipn), diplomados en: Educación Superior en la Universidad Autónoma Metropolitana Xochimilco y de Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas. Facultad de contaduría y administración universidad nacional autónoma de méxico. Tiene 29 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaría de Educación Pública (sep), es miembro del área de investigación: Desarrollo de las Matemáticas Aplicadas en las Ciencias Sociales en la uam-x y es miembro de la Academia de Matemática de la Facultad de Contaduría y Administración (unam), es integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (unam), también fue representante ante el Consejo Académico de Departamento de política y Cultura (uam-x) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales (uam-x) ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana (periodo ). Ha publicado un libro de matemáticas como coordinador y nueve libros de matemáticas como coautor, también ha publicado tres artículos en revistas especializadas y 16 artículos de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha tenido diferentes entrevistas radiofónicas en adio Educación y en MVS- Noticias, también ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional. Fue fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México de (noviembre de 1999 a junio 2004), Jefe del área de investigación: Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco ( ), trabajó como ingeniero en electrónica en la efinería 18 de Marzo y en la Dirección de Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos ( ), también ha sido profesor en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (esime) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus Sur. Alberto Isaac Pierdant odríguez Profesor investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.

8 viii Estadística aplicada II Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (ipn), tiene la maestría en ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la unam. Ha participado en diversos cursos de actualización, entre los que destacan: Evaluación Económica de Proyectos de Exploración egional de Hidrocarburos I en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. Evaluación Económica de Proyectos de Exploración egional de Hidrocarburos II en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. Petroleum Energy en The Institutte of Energy Economics, Japan, Septiembre-Noviembre 1989, Tokio, Japón. Tiene 30 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaría de Educación Pública (sep), es miembro del área de investigación: Desarrollo de las Matemáticas en las ciencias Sociales en la uam-x. Ha publicado cuatro libros de matemáticas como autor y cuatro libros de matemáticas como coautor hasta ahora, también ha publicado más de 20 artículos científicos y de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional. Fue fundador y es actualmente director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). Dentro de la consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, el ISSSTE, la comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola, FEMSA, el INBA, entre otros. Elva Cristina odríguez Jiménez Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y profesora definitiva de asignatura B Estadística I y asignatura A Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam). Estudio la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en Matemáticas Aplicadas a la Economía en la Facultad de Economía, el de Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional Autónoma de México. Tiene 15 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (unam). Es coautora de los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-UNAM, México, 2005 y Estadística para Administración, Editorial Grupo Editorial Patria, México, También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional. Participó en la investigación para el desarrollo de un método Fotocolorimétrico para la determinación de metionina, para la Organización de Estados Americanos (oea) y la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química de la unam (1984). Ocupo el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Gases, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la efinería 18 de Marzo ( ).

9 Prólogo Actualmente la Estadística se ha convertido en una herramienta indispensable en las ciencias administrativas y por ello los estudiantes de estas áreas deben tener un dominio suficiente de ella. La Estadística proporciona la base cuantitativa para la toma acertada de decisiones, partiendo de la organización, el análisis y la interpretación de información. Decisiones tales como el lanzamiento de nuevos productos, la ampliación de un negocio, la diversificación de productos, la realización de inversiones tienen una justificación más firme si se fundan en métodos estadísticos. En Estadística Aplicada II, Estadística en Administración para la Toma de Decisiones los autores tratan métodos estadísticos avanzados de gran importancia para las ciencias administrativas tales como: control estadístico de la calidad, análisis de varianza, análisis de datos categóricos, análisis de correlación y de regresión simple y múltiple, análisis de decisiones y estadística no paramétrica. Este libro presupone que el lector cuenta con los conocimientos básicos de Probabilidad y Estadística que se presentan en el libro de los mismos autores Estadística para Administración. Por su nivel este libro puede usarse como texto en los cursos avanzados de Estadística para ciencias administrativas tanto de licenciatura como de posgrado. En particular en la UAM Xochimilco cubre los programas de estadística. También los de la Facultad de Contaduría y Administración de la unam y los de otras universidades que incluyen estos temas en sus programas de estudio. El uso de herramientas computacionales (tales como Excel y su herramienta de análisis de datos y el paquete spss) es esencial en el análisis estadístico y, en particular, para los temas avanzados que se tratan en el presente libro. Para su uso completo y adecuado es necesario haber comprendido satisfactoriamente los conceptos teóricos. En Estadística en la toma de decisiones se presenta un equilibrio adecuado entre la presentación teórica y práctica de conceptos y el uso de herramientas computacionales para facilitar y agilizar el análisis estadístico de información. La explicación de las herramientas computacionales es muy didáctica ya que se hace paso a paso mostrando las diferentes pantallas y/o ventanas y explicando las diversas opciones que se presentan. En Estadística Aplicada II se presenta un gran número de ejercicios tanto resueltos como propuestos con respuesta, la mayoría de los cuales están relacionados con información real de instituciones o empresas nacionales lo cual lo hace más práctico y ameno. La exposición clara de los temas resultará útil no sólo para los estudiantes de cursos avanzados de Estadística, sino también para profesionales en activo que deseen repasar o actualizar sus conocimientos e incluso para autodidactas que sólo cuenten con conocimientos básicos de Probabilidad y Estadística. M. en C. Alex Polo Velázquez UAM-Azcapotzalco

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11 Contenido Acerca de los autores Prólogo vii ix Capítulo 1 Control estadístico de la calidad 1 Introducción 2 Control estadístico de procesos 3 Gráficas de control 4 Gráfica para variables 4 Gráfica de control de atributos 4 Tipos de gráficas de control 4 Gráfica de control para medias de procesos 5 Gráfica 5 Ejemplo Ejemplo de calidad en servicios 10 Gráfica de control para variabilidad de procesos 12 Gráfica 12 Ejemplo Gráfica G3 de control para variabilidad 14 Ejemplo Gráficas de control para atributos 16 Gráfica p 16 Ejemplo Ejemplo Gráficas de control para el número de defectos por unidad 20 Gráfica c 20 Ejemplo Ejemplo Gráficas de control para el número de defectos por muestra 24 Gráfica pn 24 Ejemplo Cómo interpretar las gráficas de control 27 Muestreo de aceptación 31 Muestreo de aceptación simple 32 Control de calidad 33 Criterio de aceptación (c) 33 Ejemplo Procedimiento para elaborar gráficas de control de calidad con SPSS 35 Ejemplo de elaboración 36 Problemas 38 Solución de problemas 43 Fórmulas 50 Bibliografía sobre control de calidad 52 Básica 52 Especializada 52 Anexo 1 53 Capítulo 2 Análisis de varianza 55 Introducción 56 Conceptos básicos 56 Análisis de varianza 58 Ejemplo Cálculo de la varianza entre las medias muestrales 59 Cálculo de la varianza dentro de las muestras 60 Prueba de hipótesis mediante el estadístico F 62 Cuadro resumen del análisis de varianza para un factor 64 Empleo del valor p en las pruebas de hipótesis 65 Ejemplo Análisis de varianza para un factor con spss 68 Pruebas para la diferencia entre pares de medias 70 Prueba de Tukey y de dms para diseños balanceados 70 Ejemplo Prueba de Tukey para diseños balanceados 71 Prueba de la diferencia mínima significativa (DMS) para diseños balanceados 73 Prueba dms modificada para diseños no balanceados 74 Ejemplo Análisis de varianza con dos factores 76 Ejemplo Análisis de varianza con dos factores (diseño aleatorizado en bloques) 77

12 xii Estadística aplicada II Prueba de hipótesis para anova con dos factores mediante el estadístico F 80 Cuadro resumen del análisis de varianza con dos factores 82 Ejemplo Análisis de varianza con dos factores mediante spss 85 Análisis de factores 87 Ejemplo Procedimiento de cálculo del análisis de factores 89 Problemas 92 Solución de problemas 96 Fórmulas 101 anova con dos factores 101 Análisis de factores 101 Bibliografía 102 Anexo de tablas 102 Cuadros de la distribución de probabilidad F. 102 Cuadros de la distribución de probabilidad F. 104 Cuadros q para método Tukey. 105 Capítulo 3 Análisis de datos categóricos 109 Introducción 110 Prueba de bondad de ajuste de Ji cuadrada χ Estadístico Ji cuadrada χ Distribución Ji cuadrada 111 Problema Prueba de bondad de ajuste de χ 2 con spss 113 Prueba de bondad de ajuste para normalidad 115 Problema Prueba de bondad de ajuste para normalidad con spss 117 Cuadros de contingencia (Crosstabs) para prueba de independencia 119 Problema Ejemplo Cuadros de contingencia (Crosstabs) para prueba de independencia con spss 125 Problemas 128 Solución de problemas 131 Fórmulas 135 Bibliografía 136 Anexo Capítulo 4 Análisis de correlación y regresión simple 137 Introducción 138 Análisis de correlación 138 Ejemplos de diagramas de dispersión 139 Estimación mediante la línea recta de regresión 144 Análisis de regresión con el método de mínimos cuadrados 146 Ejemplo de regresión con el método de mínimos cuadrados 151 Línea ajustada por el método de mínimos cuadrados 153 Solución del modelo de regresión lineal con Excel 154 Solución del modelo de regresión lineal con spss 156 Análisis de correlación 160 Medidas de variación en la regresión 160 Coeficiente de determinación 162 Método abreviado para calcular el coeficiente de determinación de la muestra 164 Coeficiente de correlación 165 Cálculo de los coeficientes de determinación y correlación con Excel y spss 166 Supuestos para el análisis de regresión lineal 167 Análisis del residual 168 Evaluación de las suposiciones 169 Linealidad 169 Independencia 170 Normalidad 171 Igualdad de varianza u homoscedasticidad 171 Error estándar de la estimación 172 Intervalos de confianza para la estimación 175 Ejemplo 175 Intervalos de predicción para el caso de muestras pequeñas (n < 30) 176 Estimación del intervalo de confianza para la media de Y con el error estándar exacto 177 Inferencia de parámetros de la población 177 Prueba de hipótesis para la pendiente β 1 de población mediante la prueba t 179 Ejemplo 179 Estimación del intervalo de confianza de la pendiente b Prueba t para el coeficiente de correlación simple 182 Ejemplo 183 Ejemplo de un cambio en el valor de la pendiente 183 Prueba F 185 Problemas 187 Solución de problemas 191 Fórmulas 196 Bibliografía 198 Capítulo 5 Análisis de regresión múltiple 199 Introducción 200 Ecuación de regresión múltiple 200

13 Contenido xiii Ejemplo Ejemplo Coeficientes parciales de la regresión 203 Cálculo de los coeficientes parciales 203 Error estándar de la estimación 203 Coeficiente de determinación múltiple 205 Coeficiente de correlación múltiple 205 Coeficiente de determinación múltiple ajustado 206 Estimación del plano de regresión de la población 207 Intervalo de confianza 209 Pruebas de significancia de un modelo de regresión múltiple 209 Prueba t para los coeficientes 209 Prueba F 210 Intervalos de confianza para el pronóstico 213 Solución de un modelo de regresión múltiple con Excel 213 Ejemplo Solución de un modelo de regresión múltiple con spss 217 Multicolinealidad 220 Ejemplo Problemas 223 Solución de problemas 229 Fórmulas 234 Bibliografía 235 Índice Nacional de Precios del Productor (INPP) 266 Índice de precios al mayoreo 268 Promedio industrial Dow-Jones 268 Elaboración de los números índice 268 Índice simple o no ponderado 268 Ejemplo Número índice compuesto 271 Método de agregados ponderados 271 Ejemplo Interpretación 272 Método del promedio ponderado de relativos 273 Consideraciones y problemas especiales 274 Corrimiento de la base de un número índice 274 Criterios para un buen índice 275 Prueba de la inversión temporal 275 Aplicaciones de los números índice 277 Inflación 277 Ejemplo eexpresión de estados financieros 277 Ejemplo Deflación de series cronológicas 278 Ejemplo Problemas 280 Solución de problemas 285 Fórmulas 289 Bibliografía 292 Capítulo 6 Series de tiempo 237 Introducción 238 Tipo de variaciones en las series de tiempo 238 Análisis de las tendencias seculares 241 Ejemplo Ejemplo Ecuación de segundo grado en una serie de tiempo 247 Ejemplo Variación cíclica 250 Método de residuos 250 Ejemplo Variación estacional 252 Método de razón de promedio móvil 253 Ejemplo Variación irregular 257 Ejemplo Números índice 263 Tipos de números índice 264 Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) 265 Sistema nacional de precios al consumidor 265 Capítulo 7 Estadística no paramétrica 293 Introducción 294 Prueba del signo para comparar dos poblaciones 295 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Prueba de angos con signo de Wilcoxon para un experimento por parejas 299 Ejemplo Ejemplo Prueba U de Mann-Whitney-Wilcoxon (muestras aleatorias independientes) 304 Procedimiento de cálculo 304 Ejemplo Ejemplo Prueba U de Mann-Whitney-Wilcoxon con spss 309 Prueba H de Kruskal-Wallis 311 Ejemplo Ejemplo Prueba H de Kruskal-Wallis con spss 316

14 xiv Estadística aplicada II Coeficiente de correlación de rangos de Spearman 318 Ejemplo Prueba de hipótesis con el coeficiente de correlación de rangos de Spearman 320 Coeficiente de correlación de rangos de Spearman con spss 321 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 322 Ejemplo Prueba de Kolmogorov-Smirnov con spss 325 Problemas 327 Solución de problemas 332 Fórmulas 337 Bibliografía 339 Anexo 339 Tablas 339 Capítulo 8 Análisis de decisiones 343 Introducción 344 Elementos del análisis de decisiones 344 Ambientes en los que se toman las decisiones 346 Toma de decisiones bajo riesgo 347 Criterio del valor esperado o de Bayes 347 Ejemplo Utilidad esperada con información perfecta 349 Criterio de racionalidad 350 Ejemplo Criterio de la máxima verosimilitud 352 Toma de decisiones bajo incertidumbre 352 Criterio Maximax 353 Ejemplo Criterio maximin 354 Ejemplo Criterio de arrepentimiento Minimax 355 Ejemplo Árbol de decisiones 356 Cálculo del valor esperado en un árbol de decisiones 358 Ejemplo Ventajas de usar árboles de decisión 361 Problemas 361 Solución de problemas 364 Fórmulas 368 Bibliografia 369 Consultas electrónicas 369

15 Capítulo 1 Control estadístico de la calidad

16 Estadística aplicada II Introducción Antes de la llamada evolución Industrial, la producción de bienes que la sociedad consumía era elaborada por artesanos especializados, quienes en muchas ocasiones firmaban cada pieza. Pero la demanda de nuevos productos, la producción en línea y la aparición de nuevos sistemas de fabricación, rompieron con el antiguo esquema de producción. En este nuevo sistema, el artesano pasó a ser un trabajador de fábrica, perdiéndose así la identificación de éste con cada producto elaborado y disminuyendo su calidad, ya que los requerimientos de producción en masa descuidaban las características que satisfacían las necesidades de los consumidores. Esta nueva forma de producir bienes disminuyó considerablemente la calidad de los productos, y no es sino hasta mediados de la década de 1920, que, Walter Shewhart, un investigador de Bell Laboratories, hizo un descubrimiento significativo en el área de mejoramiento de la producción: Identificó que aunque la variación en la fabricación de productos era inevitable, este hecho podría vigilarse y controlarse utilizando ciertos procesos estadísticos. Por lo que desarrolló la denominada carta de control, que es una gráfica simple que permitía determinar cuándo la variación en un proceso de fabricación excedía los límites aceptables. Más adelante, en el decenio de , un alumno de Shewhart, W. Edwards Deming, desarrolló toda una filosofía de gerencia de calidad con base en 14 puntos, los cuales establecen, entre otras cosas, que: con un clima organizacional apropiado, los métodos estadísticos de mejoramiento de procesos pueden reducir la variación a que se refería Shewhart y, reducir al mismo tiempo, los costos de producción, mejorando la imagen de la organización así como su situación financiera. Estas ideas fueron tomadas en las décadas de 1950 y 1960 por los fabricantes japoneses, lo que provocó una invasión mundial de sus productos de muy buena calidad. No es sino hasta la década de 1970 cuando los fabricantes estadounidenses voltearon a ver las ideas que Deming había enseñado a los fabricantes japoneses para retomarlas y elaborar productos de buena calidad. Joseph M. Juran, otro pensador de los problemas de la calidad de los productos, también fue reconocido por las empresas japoneses y, junto con Deming, establecieron los principios de lo que ahora se conoce como el control estadístico de calidad. Pero, qué es la calidad? No existe una definición exacta de calidad, pero sí una infinidad de ideas que explican a su manera el concepto. Algunas de ellas son: Las cosas de buena calidad son las que funcionan de la manera en que se espera. Joseph M. Juran afirmaba que calidad implica ser lo adecuado para usarse. Esto significa que: la calidad representa que un producto, bien o servicio debe cumplir con todos los requerimientos que satisfagan las necesidades de un consumidor. Para obtener productos de calidad, éstos no deben tener defectos. Los defectos en un producto se deben a: la variación en materiales, a la variación en las condiciones de la maquinaria de fabricación, a la variación en los métodos de trabajo y a la variación en las inspecciones. 1 Levin, ubin, Balderas, Del Valle y Gómez [2004], Estadística para administración y economía, Pearson Prentice Hall, México, p Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 2 y 3.

17 Control estadístico de la calidad 3 Entonces un producto se considera de calidad o no defectuoso si las características de calidad satisfacen ciertos requisitos para que las variaciones estén bajo control. En las líneas de producción actuales, las piezas defectuosas que no se detectan, provocan que todo el trabajo subsiguiente se desperdicie cuando al final el producto es rechazado por los inspectores de control de calidad. Esto último ha llevado a las empresas al objetivo de evitar los defectos en cada etapa del proceso de fabricación o de prestación de un servicio. Para logarlo, las personas que están encargadas de cada etapa tienen la responsabilidad de verificar su trabajo antes de entregarlo, de tal forma que el producto o servicio final se entregue al cliente sin defectos (cero defectos) al satisfacer así, totalmente todos sus requerimientos. Aunque las causas de la variación en la calidad son innumerables, no todas la afectan de igual manera. Algunas la afectan enormemente, mientras que otras tienen poco efecto sobre la variación en la calidad cuando se controlan adecuadamente. Por otra parte, Kume nos indica que: lo que necesitamos hacer es encontrar las causas vitales de los productos defectuosos y eliminar estas causas después de que se hayan identificado claramente. El proceso de encontrar las causas que producen los productos defectuosos se conoce como diagnóstico del proceso. Hay muchos métodos de diagnóstico del proceso; algunos emplean la intuición, otros dependen de la experiencia, otros más recurren al análisis estadístico de los datos y hasta se puede utilizar la investigación experimental. Los dos primeros son poco efectivos ya que vivimos en una época de progreso rápido, en donde la intuición y la experiencia no son fáciles de obtener. Por otro lado, la investigación experimental es costosa y lenta para un mercado ávido de productos, así que los métodos estadísticos son hasta ahora el mejor medio para lograr un diagnóstico adecuado del proceso y con ello establecer un buen sistema de control de la calidad. Control estadístico de procesos La calidad de un producto se puede lograr si como administradores entendemos que la variabilidad excesiva se puede evitar. Cuando algún proceso de producción no es confiable porque no cumple con los requerimientos establecidos, debemos examinar el proceso para encontrar los mecanismos que nos permitan controlarlo. Como resultado del proceso de producción podemos encontrar dos tipos de variación: Variación aleatoria (variación común o inherente). Variación sistemática (variación asignable o de causa especial). Cada una de estas variaciones requiere una solución diferente. La reducción de la variación aleatoria o inherente, en general, no puede lograrse sin cambiar el proceso hasta estar seguros de que toda la variación sistémica o asignable ha sido identificada y está bajo control; es decir, si un proceso está fuera de control, debido a que todavía está presente alguna variación de causa especial, primero deberá identificarse y corregirse la causa de dicha variación. Esto es, poner el proceso bajo control para posteriormente lograr una mejora en la calidad mediante el rediseño del proceso que reduzca la variabilidad inherente. Por ejemplo, considere el proceso de fabricación de lámparas incandescentes (focos) de 60 vatios (60 W), las variaciones en la producción pueden deberse a las variaciones de los materiales empleados (vidrio, lámina de hierro, tungsteno, entre otros); a fluctuaciones en la energía eléctrica que afectan a las máquinas de fabricación; a fluctuaciones en la calibración de la maquinaria; a las mediciones de la prueba de funcionamiento de la lámpara y a otra gran variedad de factores. 3 Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 5 y 6.

18 4 Estadística aplicada II Sin embargo, si uno o varios de estos factores se pueden controlar, por ejemplo, colocar reguladores que eviten las fluctuaciones de la energía eléctrica en las máquinas, entonces la variabilidad sistémica podrá controlarse y reducirse para obtener con ello una mejora de calidad. Gráficas de control En las siguientes secciones del capítulo se analizará con detalle la aplicación de las herramientas estadísticas ya estudiadas en el libro, Estadística para administración I 4 y las gráficas inventadas por Shewhart para inspeccionar la salida de un proceso productivo y saber el momento en que éste se sale de control para proponer una solución, y mejorar así la calidad del producto. Las técnicas estadísticas más usadas en el control de la calidad son los diagramas o gráficas de control y el muestreo de aceptación. Las gráficas, diagramas o cartas de control permiten detectar la variación sistémica generada en un proceso de producción con el objetivo de identificar y corregir antes de que se produzcan gran cantidad de partes o productos defectuosos. Existen gráficas de control tanto para las variables como para los atributos. Gráfica para variables Existen dos tipos de gráficas de control para variables; la primera sirve para medias de un proceso y la otra para la variabilidad de procesos y ambas sirven para analizar las medidas reales de una parte o producto y las representa en forma gráfica, por ejemplo, el peso de una lata de conservas o bien la cantidad de mililitros que contiene una botella de refresco. Gráfica de control de atributos Sólo miden la característica del producto como bueno (no defectuoso o aceptable) o defectuoso (inaceptable); por ejemplo, una lámpara incandescente (foco) que sale de una línea de producción es bueno (enciende) o defectuoso (no enciende). Estos diagramas son medios gráficos que le indican a un operario, a un supervisor, a un ingeniero de calidad o a un gerente en la línea de producción cuándo la fabricación de una o varias partes de cierto producto están bajo control o fuera de control. Si la situación en la línea está fuera de control, la gráfica de control no puede corregir la situación, ya que es sólo un documento con números y puntos; sin embargo, la persona responsable de esta parte del proceso podrá realizar los ajustes necesarios para regresar la línea de producción a un estado de control, lo que permite de manera inmediata mejorar la calidad del producto. Tipos de gráficas de control Antes de iniciar el estudio de las gráficas de control es importante establecer sus diferencias. H. Kume cita los tipos de gráfica 5 prescritos por Japanese Industrial Standars (JIS; véase el cuadro 1.1). 4 odríguez, J., Pierdant, A. y odríguez, E. [2008], Estadística para Administración I, Grupo Editorial Patria, México, capítulos 2 y 6. 5 Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 93 y 94.

19 Control estadístico de la calidad 5 Cuadro 1.1 Clasificación de las gráficas de control para la calidad y sus características. Tipo de variable Continua Discreta Nombre de la gráfica Gráfica para medias Gráfica X Gráfica de variabilidad o de rangos Gráfica Gráfica de valor medio Gráfica X Gráfica de número de unidades defectuosas Gráfica PN Gráfica de fracción de unidades defectuosas Gráfica P Gráfica de número de defectos Gráfica C Gráfica de número de defectos por unidad Gráfica U Límite superior de control Línea central LC Límite inferior de control LIC = X + A x 2 LC = X LIC = X - A x 2 = D 4 LC = LIC D = 3 = x LC = x LIC = x x s = pn + 3 pn( 1- p ) LC = pn LIC = pn - 3 pn( 1- p ) = p + 3 p ( 1- p )/ n LC = p LIC = p - 3 ( 1- p )/ n = c + 3 c LC = c LIC = c + 3 c = u + 3 u / n LC = u LIC = u - 3 u / n x s En el cuadro 1.1 se observa que las gráficas están clasificadas con base en el tipo de variable de estudio para la que se desean analizar algunas características de calidad. Si la variable es continua, podemos obtener una gráfica para medias, una gráfica de variabilidad o bien una gráfica de valor medio y, en los casos en los que la variable es discreta, las gráficas pueden ser de número de unidades defectuosas, de fracción de unidades defectuosas, de número de defectos y de número de defectos por unidad. Con base en esta clasificación revisaremos los principales tipos de gráficas de control estadístico de calidad más utilizados en la industria en México. Gráfica de control para medias de procesos Gráfica Permite medir la variación sistemática de una variable en un proceso de producción. Por ejemplo, la variación en la longitud de un eje automotriz, la variación en el diámetro interior de una tubería, la variación en la duración en horas de una lámpara incandescente, entre otras. Este tipo de gráfica de control estadístico de calidad emplea los conceptos teóricos de la estadística descriptiva y del muestreo (véanse los capítulos 2 y 6, en Estadística para administración I). En una línea de producción se selecciona una muestra pequeña de producto terminado, por ejemplo, cinco productos de un lote de fabricación y se calcula la media aritmética de la longitud de los productos en esa muestra (X 1 ). X 1 = 5 i= 1 longitud 1 + longitud 2 + longitud 3 + longitud 4 + longitud 5 5

20 6 Estadística aplicada II Se seleccionan posteriormente varias muestras más del mismo tamaño y también se calcula su respectivo promedio; es decir, se cuenta con las medias de las diversas muestras ( X 1, X 2, X 3... X k ), véase la figura 1.1. Lote de producción (población) Muestra 1 Muestra Muestra k X 1 x 2 x k X 1 X 2 X K Media de las medias X Figura 1.1 Medias de las diversas muestras ( x, x, x,... x k, ). Finalmente se calcula la media de las medias muestrales ( X ), la cual se denota como equis doble barra (véase la ecuación 1.1). k i= 1 Xi X1 + X Xk X = = ( 1. 1) k k El error estándar de la distribución de esas medias muestrales (véase la ecuación 1.2) se denomina como σ X (sigma de equis barra), y se calcula mediante: σ X σ = ( 1. 2) n Si elaboramos una gráfica de distribución de frecuencias con las medias de todas las muestras, ésta se aproximaría a la curva 1 en forma de campana. Y si a esta gráfica le agregamos una segunda gráfica elaborada con las mediciones reales, se vería como en la curva 2 (véase la figura 1.2). X Curva 1 Con medias muestrales Curva 2 Distribución de valores de población 6 σ n 6 σ Figura 1.2 Gráfica de distribución de frecuencias con las medias de todas las muestras.

21 Control estadístico de la calidad 7 Por tanto, la media aritmética (promedio) de una población (lote de producción) es igual a la media de todas las medias de las muestras aleatorias que fueron seleccionadas de esa población. Al mismo tiempo se observa que la dispersión total en la población (σ) es mayor que la de la distribución de las medias muestrales, en el factor n (véase la ecuación 1.2). También puede observarse que aun si la población es normal sólo en forma aproximada, las inferencias respecto a la distribución de las medias muestrales pueden obtenerse con base en una distribución normal (véase el cuadro 1.2). Cuadro 1.2 Distribución de las medias muestrales, en base a la distribución normal. Porcentaje de los promedios de las muestras Número de errores estándar dentro de la media de la población 68.26% 1 error ( ± 1σ ) 95.44% 2 errores ( ± 2σ ) 99.74% 3 errores ( ± 3σ ) Estas relaciones permiten establecer límites alrededor de los promedios de las muestras para mostrar qué tanta variación puede esperarse. Estos límites esperados reciben el nombre de límite superior de control () y, límite inferior de control (LIC). La gráfica de control para medias de procesos tiene como objetivo mostrar las fluctuaciones de las medias muestrales que se presentan dentro de estos límites. Si las medias muestrales caen dentro de los límites establecidos para un proceso (rango de aceptación), se dice que la variación que presenta el proceso sólo es aleatoria. Pero si las medias muestrales exceden el límite superior de control (lsc), o bien, caen por debajo del límite inferior de control (lic), entonces el proceso de producción está fuera de control, y deberá corregirse. En el control estadístico de la calidad de un producto deberán establecerse ambos límites de control ( y LIC) alrededor de la media de las muestras X. Por tanto, se emplea una regla empírica que establece que 99.74% de las observaciones en una distribución normal estarán dentro de este rango. Con base en esto los límites de control estarán definidos como: Límite superior de control () para las medias de procesos: x = X + 3σ ( 1. 3) Límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos: LICx = X - 3σ x ( 1. 4) Sin embargo, en la práctica el error estándar de las medias muestrales ( 3σ x ) se desconoce, entonces su valor se estima mediante A, en donde: ango 6 promedio de los rangos muestrales. A 2 Constante determinada con base en el tamaño de la muestra y cuyos valores se pueden obtener al consultar la tabla 1.1 (pág. 53) Factores críticos de las gráficas de control, en el Anexo 1 (pág. 53). Con base en estas estimaciones, nuestros límites de control del proceso se determinan con: Límite superior de control () para las medias de procesos: = X + x A ( 1. 5) x 6 ecuerde que para una muestra, un rango está definido como: ango = dato de mayor valor - dato de menor valor.

22 8 Estadística aplicada II Límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos: LIC X A x = - (1.6) Ejemplo 1.1 Una compañía empaca pasta italiana para sopa en bolsas de 15 g; el encargado de calidad en la línea sospecha que el llenado no se realiza correctamente de acuerdo con los estándares establecidos, así que decide recolectar 20 muestras de 5 bolsas de pasta para pesarlas en el laboratorio. Desea determinar si el proceso de empacado se encuentra bajo control, ya que un error considerable de empacado puede causarle serios problemas a la compañía, principalmente con sus clientes y con las autoridades de comercio (véanse los datos que obtiene el encargado de calidad en el cuadro 1.3). Para poder analizar si el proceso de empacado está bajo control, el encargado elabora una gráfica de control para la media con los pasos siguientes. 1. Se calcula la media aritmética de cada una de las muestras mediante la función POME- DIO en Excel [= Promedio (rango de datos)], véase la figura 1.3. Cuadro 1.3 Proceso de empacado de bolsas de pasta (g). Muestra Datos de la muestra Figura 1.3 Función POMEDIO en Excel [=Promedio (rango de datos)].

23 Control estadístico de la calidad 9 2. Se calcula el rango de cada muestra restando el valor mayor al menor. En Excel esta operación se obtiene con las funciones MAX( ) y MIN( ). Por ejemplo, para la muestra 1, el rango es: = MAX(C7:G7) - MIN(C7:G7) véase la figura 1.4. Figura 1.4 Cálculo rango en Excel [=MAX (rango de datos) MIN (rango de datos)]. 3. Se calcula la media aritmética de las medias muestrales con la ecuación (1.1). 4. Se calcula el promedio de los rangos ( ) X = = ( 1. 1) = = Se determina el límite superior de control y el límite inferior de control mediante las ecuaciones 1.5 y 1.6, respectivamente. 6. En la tabla 1.1 (Factores críticos de la gráficas de control) en el Anexo 1, se muestra el valor de A 2 para n = 5 (A 2 = 0.577). 7. Se determina el límite superior de control () para las medias de procesos mediante la ecuación 1.5: x = X + A ( 1. 5) x = ( )( 2. 47) = x 8. Se determina el límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos mediante la ecuación 1.6: LICx = X - A ( 1. 6) LICx LIC = ( )( 2. 47) = x 9. Con ayuda de la hoja electrónica de Excel se elabora la gráfica de control de la media para este proceso de empacado (G1).

24 10 Estadística aplicada II Promedios de las muestras LIC Muestra Media de los promedios Medias Gráfica 1.1 Gráfica de control (G1) para la media de empacado de pastas. Es importante observar en la gráfica 1.1 (G1) que, a partir de la muestra 17, el proceso empieza a generar medias grandes, con el cual se obtienen dos muestras (18 y 20) que exceden el límite superior de control, lo que permite afirmar que: El proceso de empacado de pastas está fuera de control debido a una variación de causa asignable. Es muy probable que el equipo esté desajustado. O bien, si una o varias piezas del mismo presentan desgaste y deberán ser cambiadas. Una vez identificada la causa, deberá corregirse para lograr el control nuevamente con la finalidad de obtener productos que estén dentro de los estándares de calidad establecidos. Ejemplo de calidad en servicios El gerente de un supermercado observó que los clientes que utilizan la caja exprés (máximo ocho artículos por cliente) están descontentos porque el tiempo requerido en la caja les parece demasiado, por lo que decide elaborar una gráfica para verificar el promedio de tiempo para atención al cliente y así poder verificar la calidad del servicio que presta la caja. El gerente elabora un muestreo en la mañana, a mediodía y en la tarde durante tres semanas, por lo que toma el tiempo de cada cliente desde que llega a la caja hasta que se retira. Debido a que son múltiples las actividades de la gerencia, sólo puede tomar los tiempos de 10 clientes por día (véase el cuadro 1.4). Con ayuda de una hoja electrónica de Excel, calculamos la media aritmética del tiempo de atención y el rango para cada una de las muestras (véase la figura 1.5). Cuadro 1.4 Proceso: tiempo de atención al cliente en caja exprés. Muestra Tiempo requerido por cliente (segundos) lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

25 Control estadístico de la calidad 11 Figura 1.5 Proceso: tiempo de atención al cliente en caja exprés. Posteriormente calculamos la media de las medias de atención (36.91 segundos) y el promedio de los rangos (8.71 segundos). En la tabla 1.1 Factores críticos de la gráficas de control del Anexo 1 (pág. 53) se muestra el valor de A 2 para n = 10 (A 2 = 0.308). Con este valor calculamos los límites de control para el problema de la siguiente manera: 1. Se calcula el límite superior de control () para las medias de procesos mediante la ecuación (1.5): x = X + A ( 1. 5) x = ( )( 8. 71) = x 2. Se calcula el límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos mediante la ecuación (1.6): x = X - A ( 1. 6) x = ( )( 8. 71) = x 3. Con ayuda de Excel construimos la gráfica de control (G2) para la media de tiempos de servicio en la caja exprés. Promedios por muestra Media de los promedios Medias LIC Gráfica 1.2 Gráfica de control (G2) para la media de tiempos de servicio en caja exprés.

26 12 Estadística aplicada II Efectivamente, los clientes tienen razón, los tiempos del servicio de la caja exprés están fuera de control debido a una variación de causa asignable: La empleada trabaja muy rápido de lunes a viernes (menos de 37 segundos), pero los fines de semana, sábado y domingo su eficiencia decae (más de 39 segundos), como puede observarse el primer domingo es de 41 segundos; el segundo sábado de 41 segundos; el domingo de 43 segundos, y el último sábado estudiado es de 41 segundos. Sin embargo, existe una probabilidad de que esta variación en la velocidad de la atención al cliente se deba a la fatiga acumulada durante los primeros días de la semana, o bien, a que el número de artículos comprados en la caja exprés crece demasiado los fines de semana. El gerente deberá analizar esta situación, ya que, por un lado, podrá rotar a su cajera exprés los fines de semana, o bien, abrir otra caja de este tipo durante esos días. Gráfica de control para variabilidad de procesos Gráfica Como ya indicamos, la calidad de un producto implica consistencia, confiabilidad y cumplimiento de los requerimientos para lo cual fue diseñado, de ahí que la variabilidad en esos requerimientos representa una disminución de calidad. Las gráficas de control para variabilidad (o amplitud) de un proceso tienen como objetivo determinar si las variaciones (totales) de las muestras de un proceso se encuentran bajo o fuera de control de la siguiente manera: Si los puntos que representan dichas amplitudes se encuentran dentro de los límites superior e inferior, nos permiten concluir que la producción en este proceso está bajo control. Por el contrario, si una variación queda arriba o debajo de los límites se concluye que alguna causa asignable afecta a la producción de modo que algunos productos o partes presentan una variabilidad notoria (partes o productos más grandes, más pequeños, más pesados o menos pesados, o bien una variación en la característica que se esté analizando). Sin embargo, es importante considerar que mientras en una gráfica de control para la media X se establecen límites para la media de muestras, en las gráficas de control de variabilidad la medición que se establece va dirigida a las observaciones individuales y no a las muestras debido a que la variabilidad en las medias de las muestras es mayor que la encontrada en una observación individual. Ahora bien, las gráficas de control para medir la variabilidad de un proceso de producción reciben el nombre de gráficas, en las cuales se grafican los valores de los rangos de cada una de las muestras; la línea central está ubicada en el valor promedio de los rangos () y, los límites de control se establecen con base en la distribución muestral de los rangos (). La distribución muestral de los rangos () se calcula a partir de su desviación estándar mediante la relación siguiente: σ = d 3 σ ( 1. 7) donde, σ = desviación estándar de la población d 3 = factor de dispersión calculado con base a n Los valores correspondientes a d 3 se pueden obtener en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1.

27 Control estadístico de la calidad 13 Por otro lado, la desviación estándar de la población puede sustituirse por: /d 2. También los valores de d 2 se pueden obtener en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1. Entonces, σ = d 3 /d 2, por lo que los límites de control para la variación (superior, e inferior LIC ) de los procesos se pueden establecer como: = + 3σ = + 3d3/ d2 = ( 1 + 3d3 / d2 ) LIC = - 3σ = - 3d3/ d2 = ( 1-3d3 / d2 ) definiendo, D 4 = (1 + 3d 3 /d 2 ) y D 3 = (1-3d 3 /d 2 ) Por lo que al sustituir estos valores (D 4 y D 3 ) en las ecuaciones de los límites de control para la variación obtenemos: = D4 ( 1. 8) LIC = D ( 1. 9) Para facilitar los cálculos en los laboratorios de calidad o en la línea de producción, los valores de D 4 y D 3 también se obtienen de la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control, en el Anexo 1. En las gráficas de control para variabilidad de procesos, el cálculo de los límites de control con las ecuaciones 1.8 y 1.9 deberá considerar lo siguiente. El rango de una muestra siempre es un número positivo; sin embargo, cuando n 6, el LIC, calculado con la ecuación 1.9, será negativo. En estos casos, el valor de ese límite será igual a cero. Por tanto, los valores de D 3 en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1 toman valor cero. Ejemplo 1.2 etomando el ejemplo de la compañía que empaca pasta italiana para sopa en bolsas de 15 g, obtendríamos los límites de control por rango mediante los siguientes pasos: 1. Calculamos los rangos de cada muestra (véase la figura 1.6). 2. Calculamos el promedio de los rangos: (véase la figura 1.6). 3. Obtenemos los valores d 2 y d 3 de la tabla 1.1 para n = 5 (d 2 = 2.326, d 3 = ). 4. Calculamos los límites de control por rangos del proceso. 3 es decir: = ( 1 + 3d / d ) 3 2 = ( 2. 47)( 1 + 3( ) /. 326) = 5. 2 LIC = ( 1-3d / d ) LIC 3 2 = ( 2. 47)( 1-3( ) /. 326) LIC = LIC = 0 ya que n 6

28 14 Estadística aplicada II Figura 1.6 Cálculo de rangos de cada muestra. 5. O bien, si nos encontráramos en la línea de producción, los límites de control por rangos los obtendríamos con las ecuaciones 1.8 y 1.9 y los valores D 4 y D 3 de la tabla 1.1 para n = 5 (D 4 = 2.115, D 3 = 0). LIC LIC = D 4 = ( 2. 47)( ) = 5. 2 = D 3 = ( 2. 47)( 0) = 0 Con esta información podemos construir la gráfica G3 de control para variabilidad del proceso de producción estudiado. ango por muestra Promedio de rangos angos LIC Muestra Gráfica 1.3 Gráfica de control (G3) por rangos del empacado de pastas. Gráfica G3 de control para variabilidad Con la gráfica G3 podemos confirmar que el proceso está fuera de control debido a una variación de causa asignable, ya que los rangos 19 y sobre todo el 20 se encuentran fuera de los límites. El encargado de la línea deberá corregir las causas para regresar el proceso a la zona de control y con ello garantizar los estándares de calidad establecidos.

29 Control estadístico de la calidad 15 Ejemplo 1.3 Una compañía que elabora carátulas para teléfonos celulares presenta problemas en su área de ensamble final, ya que las carátulas del modelo E380 parecen estar fuera de especificaciones. El inspector de calidad analiza los datos de longitud de la carátula (en cm) de los últimos 15 días mediante una gráfica de control de variabilidad para determinar si el proceso de fabricación está fuera de control (véase el cuadro 1.5). Cuadro 1.5 Proceso: fabricación de carátula para celular modelo E380. Muestra (día) Datos de la muestra en centímetros La solución a este problema comprende siguientes los pasos: 1. Calculamos los rangos de cada muestra (véase la figura 1.7). Figura 1.7 angos y promedios de rangos de cada muestra. 2. Calculamos el promedio de los rangos: = 0.07, como se muestra en la figura Obtenemos los valores d 2 y d 3 de la tabla 1.1 para n = 7 (d 2 = 2.704, d 3 = 0.833). 4. Calculamos los límites de control por rangos del proceso de la siguiente forma: = ( 1 + 3d / d ) 3 2 = ( 0. 07)( 1 + 3( ) / ) = LIC = ( 1-3d / d ) LIC 3 2 = ( 0. 07)( 1-3( ) /. 704) LIC =

30 16 Estadística aplicada II 5. O bien, si nos encontráramos en la línea de producción, los límites de control por rangos, los obtendríamos con las ecuaciones 1.8 y 1.9 y los valores D 4 y D 3 del cuadro 1.5 para n = 7 (D 4 = 1.924, D 4 = 0.076). LIC LIC = D4 ( 1. 8) = ( 0. 07)( ) = = D ( 1. 9) = ( 0. 07)( ) = Con esta información podemos construir la gráfica G4 de control para variabilidad del proceso de producción de la carátula del celular modelo E380. ango por muestra Promedio de rangos, 0.07, LIC, Gráfica 1.4 Gráfica de control (G4) por rangos de la fabricación de carátula E380. Un análisis de la gráfica 1.4 le indica al inspector de calidad que las longitudes de las carátulas no están fuera de especificaciones, por lo que el problema de ensamble no se debe a esta causa. Deberá inspeccionar el área de ensamble para detectar ahí el posible problema. Gráficas de control para atributos Gráfica p Las gráficas de control para las medias y la variabilidad en los procesos de producción ya revisadas permiten analizar la calidad mediante variables cuantitativas continuas; sin embargo, si la calidad de un producto se mide con un atributo que toma valores discretos, por ejemplo: Un producto que sale de una línea de producción puede ser bueno o defectuoso (los atributos), pero un lote de producción de éste bien puede tener cinco productos defectuosos (el valor discreto del atributo). Para estos casos, debemos utilizar gráficos que nos permitan medir el grado de aceptación del producto con base en la proporción 7 del número de productos defectuosos (gráfica p) o bien del número de defectos por unidad (gráfica c). Sea p la proporción de piezas defectuosas producidas por un proceso, entonces el número de defectuosos (x) en una muestra aleatoria de n artículos presenta una distribución binomial (bueno o defectuoso). 7 En los libros especializados de control de calidad el término utilizado es fracción de defectuosos, en vez de proporción de defectuosos. Creemos que este último término es más adecuado en el ámbito estadístico.

31 Control estadístico de la calidad 17 Para probar si un artículo es bueno o defectuoso, deberemos seleccionar muestras de tamaño n y calcular la proporción muestral p. Número de defectos en una muestra p = Tamaño de la muestra Al igual que en las gráficas anteriores es necesario tomar varias muestras, generalmente del mismo tamaño, produciéndose así varios valores para p. La proporción media de defectos para este grupo de muestras p se calcula como: Número total de defectos en todas las muestras p = Número total de artículos inspeccionados Este último valor ( p ) sirve como estimador de la proporción de defectos poblacionales que es un valor desconocido, por lo que su estimación se obtiene con la desviación estándar de la proporción de defectos, definida como: p( 1 - p) σ p = ( 1. 10) n Y cuyos límites superior e inferior de control se encuentran a tres desviaciones estándar por arriba y por debajo de la proporción media de defectos, es decir: p = p + 3σ p ( 1. 11) LIC = p - 3σ ( 1. 12) p Sustituyendo el valor de la desviación estándar de la proporción de defectos (ecuación 1.10) en las ecuaciones 1.11 y 1.12, obtenemos los límites de control para una gráfica de atributos. Límite superior de control () para proporción de unidades defectuosas en procesos: p = p p p p + ( 1 - ) 3 n Límite inferior de control (LIC) para proporción de unidades defectuosas en procesos: LIC = p p p p - ( 1 - ) 3 n ( 1. 14) Ejemplo 1.4 Una empresa que fabrica electrodomésticos está verificando si en la producción de la última semana hay planchas defectuosas. Si éste es el caso, el proceso de fabricación puede estar fuera de control. Se toman 15 muestras de 40 planchas de un lote de El laboratorio de calidad prueba únicamente si son buenas o defectuosas (véase el cuadro 1.6). Se desea elaborar una gráfica de control para proporciones de unidades defectuosas. ( 1. 13) Cuadro 1.6 Prueba: Número de planchas defectuosas. Muestra (n = 40) Número de planchas defectuosas

32 18 Estadística aplicada II Para solucionar este problema debemos realizar los pasos siguientes: 1. Calcular la proporción de defectuosos para cada una de las muestras y la proporción media de defectos como se muestra en la figura 1.8. Figura Con los datos anteriores se calculan los límites de control de la siguiente manera: Límite superior de control () para proporción de unidades defectuosas en fabricación de planchas: = p p p p + ( 1 - ) 3 n p = ( ) 40 = Límite inferior de control (LIC) para proporción de unidades defectuosas en fabricación de planchas: LIC = p p p p - ( - ) 3 n LIC p = ( ) 40 = Construimos en Excel la gráfica de control G5 para unidades defectuosas en fabricación de planchas Proporción de defectuosos por muestra Muestra proporción media proporción muestral LIC Gráfica 1.5 Gráfica (G5) de proporción de unidades defectuosas (planchas).

33 Control estadístico de la calidad 19 En la gráfica 1.5 (G5) observamos que en general el proceso está bajo control, salvo en el caso de la muestra 5 ( p = 0.675) y la muestra 13 (p = 0.650), lo que le indica al administrador que en esos casos el proceso se salió de control. Por tanto, el administrador deberá investigar lo que provocó que en ambas muestras su proporción sea defectuosa y que se haya salido del límite superior; es decir, deberá identificar la causa asignable del proceso, y remediar el proceso para poder regresar a los estándares de calidad establecidos. Ejemplo 1.5 El departamento de tarjetas de crédito de Citibank detectó que el departamento de mercadotecnia les está enviando solicitudes de tarjeta con errores, lo que puede provocar asignaciones incorrectas de créditos e incrementar los costos de operación del departamento, con lo cual se provocaría una mayor cartera vencida para el banco. El licenciado González, gerente operativo de crédito, selecciona 20 muestras con 50 solicitudes cada una, que ya están aprobadas y en las cuales detectan algunas que no debieron ser aceptadas. En el cuadro 1.7 se muestra un resumen de este trabajo. Para detectar si las solicitudes que presentan algún error fueron aceptadas y, por tanto, pueden representar para el banco un costo elevado, el gerente decide elaborar un gráfico de control de errores en solicitudes el cual elaboró de la siguiente manera: 1. Calcula la proporción de error en solicitudes por muestra como se observa en la figura Posteriormente calcula la proporción promedio de errores, por dos métodos. Primero con la relación: P = Número total de errores en todas las muestras número total de solicitudes inspeccionadas P = 198 = (10 muestras) (50 solicitudes por muestra) Segundo, se suma la proporción de errores de todas las muestras y se divide entre 20 que es el número de muestras (véase la figura 1.9). Cuadro 1.7 Proceso: solicitudes de crédito con errores. Muestra (n = 50) Solicitudes con errores (scerror) Figura 1.9 Prueba: proporción de errores de las 20 muestras.