MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN EN TALLERES CON MÁQUINAS SIMILARES EN PARALELO Y RECURSOS VARIABLES

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1 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8-11 de abril de 2003 MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN EN TALLERES CON MÁQUINAS SIMILARES EN PARALELO Y RECURSOS VARIABLES R. Cortés 1, JP. García 2, C. Andrés 3. Departamento de Organización de Empresas, Economía Financiera y Contabilidad Universidad Politécnica de Valencia 1 racorfi@aaa.upv.es 2 jpgarcia@omp.upv.es 3 candres@omp.upv.es RESUMEN En una planta de fabricación de pinturas se debe hacer frente cada día al problema de programación (carga+secuenciación+temporización) de las órdenes de trabajo. En el presente trabajo se plantea el problema de programación de trabajos en un taller con máquinas en paralelo (similares aunque diferentes) y con disponibilidad de otros recursos variables, con el objetivo de minimizar los retrasos respecto a sus fechas de entrega. La formulación del modelo se plantea desde el punto de vista de los problemas de cubrimiento de conjuntos. A partir de datos reales obtenidos en una planta de producción, se ha observado que, en determinadas condiciones, es posible la obtención de una solución óptima al problema usando herramientas de amplio acceso. Palabras y frases clave: Secuenciación, máquinas en paralelo, problemas de cubrimiento de conjuntos Clasificación AMS: 90B30, 90B Introducción La programación de operaciones en talleres plantea, dependiendo del tipo de configuración productiva, problemas de una elevada complejidad matemática, que no siempre es posible resolver de manera óptima en un tiempo razonable. Machuca et al. (1995) definen este problema como la determinación de las operaciones que se van a 1

2 realizar sobre los distintos pedidos, durante cada momento del horizonte de planificación, en cada centro de trabajo, de forma que, con la capacidad disponible en cada uno de ellos, se cumplan las fechas de entrega planificadas, empleando el menor volumen de recursos e inventarios posibles. En el presente trabajo se considera una aplicación de dicho problema a un caso real en una planta de producción de recubrimientos. En este caso, el problema se puede plantear de la siguiente forma. Sea J ={1, 2,..., J} el conjunto de trabajos a procesar, cuyo subíndice asociado será j. Cada trabajo ha de ser procesado sin interrupción en alguna de las máquinas, las cuales sólo pueden procesar un trabajo simultáneamente. Al conjunto de máquinas se le denomina M ={1, 2,..., M}, y su subíndice asociado es m. Se trata de un conjunto de máquinas paralelas, aunque no idénticas, por lo que cada trabajo j puede ser procesado como mínimo en una de las máquinas. Cada trabajo j, tiene asociado un tiempo de proceso P j, que se considera independiente de la máquina en la cual se procesa, y una fecha de entrega planificada F j. El problema consiste en hallar la secuencia de trabajos que se ejecutará en cada una de las máquinas, de manera que el nº total de trabajos retrasados respecto a su fecha de entrega planificada F j sea mínimo. Tal y como se plantea el problema, su resolución resulta de gran interés, puesto que, estableciendo ciertas simplificaciones, resulta sencilla su extensión y adaptación a problemas concretos del sector químico en general, e incluso a otros sectores. 2. Revisión bibliográfica Por lo general, los problemas de secuenciación de máquinas, debido a su elevada complejidad algorítmica, se han abordado mediante el desarrollo de procedimientos heurísticos, cuyo rendimiento se evalúa mediante ratios que permiten la comparación. H Woeginger (1993) define T como el tiempo de finalización del último trabajo, max mediante el empleo de la heurística H para la secuenciación, y T max como el tiempo correspondiente habiendo realizado la secuenciación óptima. Independientemente de los H * datos del problema se cumple T max ρt max, para una constante ρ 1 lo más pequeña posible, que indica el rendimiento para el peor comportamiento de la heurística H. Para un estudio más detallado acerca de los análisis de rendimiento de heurísticas véase Fisher (1980). Un tipo de heurísticas que resulta muy atractivo por su sencillez son las denominadas heurísticas de secuenciación por lista. En ellas, se lleva a cabo un ordenamiento previo de los trabajos de acuerdo a algún tipo de regla, y se van asignando a las máquinas conforme éstas están disponibles. Graham (1969) demuestra que ordenando los trabajos en orden decreciente de tiempo de proceso, se obtiene un 4 1 ρ =. Posteriores trabajos, como el de Lawler et al. (1993), o el de Woeginger 3 3m (1993), mejoran los rendimientos empleando también este tipo de heurísticas bajo determinadas condiciones. * 2

3 Por otro lado, existe una línea de trabajo que ha permitido obtener resultados interesantes, y que consiste en la formulación del problema como un problema de cubrimiento de conjuntos. Este método de modelización, se ha empleado ampliamente para la resolución de problemas de combinatoria, como los problemas de programación de tripulaciones, Hoffman et al. (1993), problemas de asignación de rutas, Desrochers et al. (1992) y, por último, a problemas de secuenciación de máquinas, Van der Arker et al. (1995) y Chan et al. (1998). Mediante este método se resuelve en primer lugar el problema lineal asociado (PLA) o relajado, para posteriormente encontrar una solución entera al problema mediante otros métodos como Branch-and-Bound, o métodos de corte. Diversos autores, véase p.ej. Bramel et al. (1997), han demostrado que la diferencia existente entre la solución fraccionaria frente a la solución entera al problema (concretamente en el VRP) es, en determinadas condiciones, mínima. Incluso Chan et al. (1998) han demostrado que es posible establecer una relación entre la solución relajada al problema de cubrimiento y la solución al problema mediante heurísticas de secuenciación por lista. Algunos autores, como Cheng et al. (1994), plantean la extensión del problema introduciendo la variable de los tiempos de cambio de partida. Incluso Kang et al. (1999), extiende el problema por dos vías. Por un lado plantea los tiempos de cambio de partida dependientes de la secuencia, y por otro la posibilidad de dimensionar el tamaño de los lotes de fabricación en función de la demanda. En este enfoque, los autores plantean la resolución del problema mediante el método de generación de columnas, empleado tradicionalmente para los problemas de corte de materiales y empaquetado. Para una ampliación con más detalle, véase la completa revisión bibliográfica presentada por Haase (1994). 3. Descripción del modelo En el problema concreto modelado, la tarea de secuenciación y asignación de carga, se realiza a partir de un listado de órdenes de trabajo. Para procesar los trabajos, se dispone de depósitos de fabricación, y de agitadores. Los depósitos de proceso tienen un volumen de producto mínimo y máximo que puede ser procesado en ellos; esta restricción se debe a posibles excesos de salpicaduras y desbordamientos. Asimismo, los agitadores pueden procesar un volumen mínimo y máximo de producto, relacionado directamente como la potencias del motor de agitación principal. De esta forma, el volumen de cada trabajo es el que define en qué máquinas y qué depósitos puede ser procesado. El agitador empleado en el proceso queda totalmente impregnado de producto, y por ello puede ser necesaria su limpieza dependiendo del producto que se vaya a fabricar a continuación. Del mismo modo, una vez envasado el producto, el depósito de proceso ha quedado contaminado, aunque no siempre será necesaria su limpieza (según sea la siguiente Orden de trabajo a procesar en el depósito). Por ello, la secuencia de producción incide directamente sobre los tiempos de cambio de partida, así como sobre los costes de producción, por el consumo de disolventes empleados en la limpieza. 3

4 En una primera etapa de análisis, se ha planteado una simplificación del problema omitiendo la incidencia de la secuencia en los costes por tiempos de cambio de partida, e incluyendo estos tiempos en el tiempo total de proceso del trabajo P i. Como principal objetivo, se considera la minimización del nº de trabajos retrasados. Como se ha comentado en la introducción, el problema de programación consistirá en definir el instante de inicio de cada una de las órdenes de trabajo, y la máquina en que se llevará a cabo, de manera que se minimice el nº total de trabajos retrasados respecto a su fecha de entrega planificada. Para procesar los trabajos se dispone de M máquinas paralelas aunque no idénticas, definidas cada una de ellas básicamente por Pmin m y Pmax m, siendo estos valores los volúmenes máximo y mínimo procesables en dicha máquina. Análogamente, hay de un total de D depósitos de proceso, definidos por Vmin d y Vmax d. Es posible plantear dicho problema como un problema de cubrimiento de conjuntos. Para una determinada instancia del problema, cada máquina será capaz de procesar una serie de trabajos. Considerando todas las combinaciones posibles de estos trabajos, se obtiene una serie de asignaciones de trabajos procesables en cada una de las máquinas. Cada una de las asignaciones posibles es un subconjunto del conjunto de trabajos J. Planteado el problema de esta forma, se trata de seleccionar la asignación (subconjunto de trabajos) para cada máquina, de manera que entre todas ellas completen o cubran la totalidad del conjunto J, sin que se produzcan solapamientos, puesto que cada trabajo se procesa una única vez. En el modelo planteado se determina la secuencia de trabajos en cada asignación mediante el algoritmo propuesto por Moore (1968), que consigue minimizar el nº total de trabajos retrasados. En la figura 1 se presenta el diagrama correspondiente a dicho algoritmo. Toma el trabajo j con menor FE j Extrae de la secuencia el trabajo j con mayor P j Si C j >F j? No Toma el siguiente trabajo j con menor F j Quedan trabajos por secuenciar? Si No La secuencia es óptima. Los trabajos extraídos de la secuencia se entregan con retraso Figura 1: Algoritmo de Moore (1968) La solución óptima al problema corresponderá a M asignaciones (una por máquina), de manera que cada trabajo esté incluido en alguna de ellas, y el nº total de trabajos retrasados sea mínimo. 4

5 Para expresar este planteamiento de forma matemática llamamos N al nº total de asignaciones posibles, y las indexamos mediante el subíndice n. Así, se define: Rn Nº total de trabajo retrasados en la n-ésima asignación. 1, si la n ésima asignación está incluida en la solución óptima y n 0, en caso contrario Definiendo además dos variables binarias auxiliares: 1, si la n ésima asignación incluye el trabajo j α nj 0, en caso contrario 1, si la n ésima asignación corresponde a la máquina m β nm 0, en caso contrario De esta forma el problema se puede plantear como sigue: Modelo M Min N n= 1 s.a. y n R n N n= 1 N n= 1 α nj yn = 1 j = 1... J β nm yn = 1 m = 1... M El conjunto de J restricciones expresado mediante la ecuación (1), implica que cada trabajo j esté incluido en una única asignación n de la solución óptima. Por otro lado, el conjunto de M restricciones expresado mediante la ecuación (2), implica que a cada máquina m corresponda una única asignación de la solución óptima. (1) (2) 1. Determinar qué trabajos se pueden procesar en cada m M Mediante comparación Pmax m > V n >Pmin m? 2. Cálculo de K m (nº de trabajos procesables en m) y A m (Asignaciones de m) 3. Detalle de todas las asignaciones posibles de cada máquina 4. Secuenciación de las asignaciones mediante algoritmo de Moore Análisis 5. Cálculo de R j 6. Cálculo de matriz de coeficientes α nj 7. Cálculo de matriz de coeficientes β nm 8. Planteamiento y resolución del PL. Obtención de la matriz solución y n 9. Simulación de la solución respecto al recurso depósitos Resolución Simulación Figura 2. Etapas del problema 5

6 La transformación del problema en un problema de cubrimiento, requiere el análisis previo de éste, evaluar las asignaciones, secuenciarlas, calcular el retraso y los valores de los coeficientes α y β. En segundo lugar, se trata de resolver el problema una nj nm vez transformado, mediante algún paquete comercial que resuelva problemas de PLE, empleando algoritmos convencionales. Por último, se comprueba que esta solución es factible con respecto al otro recurso de fabricación, que en el problema considerado son los depósitos de proceso. En caso de que la solución no fuera factible, se añadiría como una nueva restricción al problema, y se resolvería de nuevo (Figura 2). 4. Resolución directa El modelo descrito en el capítulo 3 se ha aplicado a la resolución del problema, a partir de datos reales tomados durante un periodo de 100 días de trabajo en una planta de producción de recubrimientos formulados fundamentalmente a base de resinas de poliéster y resinas epoxídicas. En dicha planta se trabaja con un total de M=5 máquinas. Para el análisis de los datos se ha desarrollado una aplicación mediante Microsoft Visual Basic 6.0, que a partir de los datos iniciales (órdenes de trabajo, características, tiempos de proceso, fechas de entrega planificadas, etc.), calcula todas las asignaciones posibles y sus retrasos asociados, según se ha descrito en el capítulo 3. Una vez planteado el problema según el Modelo M, se emplea para su resolución el paquete MPL Modeling System 4.11 de Maximal Software Inc. En un principio, se trabajó con el SOLVER que incorpora la aplicación Microsoft Excel 2000, puesto que por su fácil acceso era una herramienta muy atractiva. Sin embargo, tras las primeros análisis se comprobó que la dimensión del problema era excesiva para esta herramienta. Como instrumento de trabajo se ha empleado un PC trabajando con Windows 2000 Pro como S.O., con un procesador Intel Pentium III con 256 Mb de memoria RAM. Para describir las diferentes instancias del problema, se han empleado las variables descriptivas que se muestran en la tabla 1, que son el nº de trabajos (J), el nº medio de trabajos procesables por máquina (Kmed), el nº de asignaciones posibles (N), los tamaños de lote máximo y mínimo (Qmax, Qmin) y el mayor y menor periodo en días entre la fecha de trabajo y la fecha de entrega planificada de alguno de los trabajos (Hmax, Hmin). Día J Kmed N Qmax Qmin Hmax Hmin 03/01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ ,

7 Día J Kmed N Qmax Qmin Hmax Hmin 22/01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /03/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /04/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ ,

8 Día J Kmed N Qmax Qmin Hmax Hmin 09/05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , /05/ , Tabla 1: Descripción de los problemas Destaca el gran nº de combinaciones posibles (N), para un número de trabajos (J) relativamente pequeño. Esto se debe a que en general la mayoría de los trabajos pueden ser procesados en más de una máquina (obsérvese los valores de Kmed), lo que multiplica el nº de combinaciones posibles. La ecuación (3) muestra la relación existente los asignaciones posibles de una máquina (A m), con respecto a los trabajos que esta es capaz de procesar (K m ): K A m m = 2 (3) Esto provoca que para valores elevados de J, y en talleres con máquinas de gran flexibilidad, el problema sea computacionalmente difícil de tratar, puesto que el tamaño de las matrices de coeficientes α y β es excesivamente grande. Sin embargo, para nj nm el caso concreto estudiado, ha sido posible hallar una solución óptima al problema en todos los casos, a pesar de que en alguna instancia se haya debido abordar el problema con más de α distintos, y más de incógnitas. El éxito en el nj planteamiento del problema para la aplicación concreta estudiada, radica por tanto en que el nº medio de trabajos ( J =19,76) por instancia es relativamente bajo, lo cual limita la magnitud del problema, a pesar de la notable flexibilidad de la planta ( Kmed = 4, 46 ). La tabla 2 muestra los valores medios de los parámetros estudiados para las 100 instancias analizadas. J Kmed H max H min N N * (1) 19,76 4,46 7,14 1, , ,76 (1) Media truncada. Se han eliminado 5 valores por cada extremo. Tabla 2: Valores medios Los valores de N y más concretamente N * dan una idea aproximada de la magnitud de las instancias con las que se ha trabajado. Para estos valores, los tiempos de computación para la resolución del problema, empleando el solver CPLEX del paquete MPL, han sido en todos los casos menores de un segundo, por lo que su análisis con detalle escapa de los objetivos del presente trabajo. Para un estudio más detallado del 8

9 comportamiento de esta herramienta, véase Kang et al. (1999). Sin embargo, el planteamiento del problema y la generación de las matrices de coeficientes mediante la aplicación desarrollada ha llegado a consumir un volumen importante de recursos del PC (tabla 3). Día J N Análisis Uso de Memoria Parsing Time Solver Solution Time 4/3/ KB 7,32 s 0,03 s 0 1/4/ KB 36,55 s 0,11s 1 26/2/ KB 70 s 2,14 s 7 16/4/ KB 63 s 0,15 s 1 2/5/ KB 1217 s 3,64 s 12 Tabla 3: Resultados computacionales Para problemas de mayor tamaño, con instancias simuladas imitando las características estudiadas y mayores valores de J, en torno a trabajos, se ha constatado que el PC no es capaz de almacenar las matrices de coeficientes, puesto que se alcanzan valores de N> , que desbordan la memoria del PC. Z J Kmed N Qmax Qmin Hmax Hmin 66 14, , , , , Tabla 4: Simulaciones interrumpidas por memoria insuficiente 5. Conclusión En el presente trabajo se presenta la resolución del problema genérico de programación de las órdenes de trabajo, en una planta con máquinas similares en paralelo. El modelo planteado ha sido contrastado con datos reales obtenidos en una planta de fabricación de recubrimientos, y se ha comprobado que para las dimensiones del problema estudiado es posible encontrar un solución óptima, planteándolo como un problema de cubrimiento de conjuntos. Es deseable avanzar el desarrollo del trabajo en la línea propuesta a través de simulación, para considerar otros recursos productivos, como son los depósitos de proceso, e incluso mano de obra. Además es interesante la línea de investigación que queda abierta al analizar el impacto sobre la solución de los costes de cambios de partida, provocados por el empleo de disolventes de limpieza, así como la posibilidad de modificar los tamaños de lote en función de la demanda de los diferentes artículos. 9

10 Referencias Van den Akker, J. M., J. A. Hoogeven, and S. L. Van de Velde (1995). Parallel machine scheduling by column generation. Proceedings of the 4 th Twente Workshop on Graphs and Combinatorial Optimisation. U. Faigle and C. Hoede (eds.) Bramel, J. and D. Simchi-Levi. (1997). On the effectiveness of Set- Covering Formulations for the Vehicle Routing Problem. Opns. Res. 45, Chan, L., A. Muriel,and D. Simchi-Levi, (1998) Parallel machine scheduling, linear programming, and parameter list scheduling heuristics. Opns. Res. 46, Cheng, T.C.E., Z.-L-Chen (1994), Parallel machine scheduling with batch setup times. Opns. Res. 42, Desrochers, M., J. Desrosiers, and M. Salomon (1992). A new optimisation Algorithm for the vehicle routing problem with time windows. Opns. Res. 40, Fisher, M.L. (1980). Worst-case analysis of heuristics algorithms. Mgmt Sci. 26, Graham, R.L. (1966). Bounds for certain multiprocessing anomalies. Bell System Technical Journal. 45, Haase, K. (1994). Lotsizing and scheduling for production planning. Lecture Notes in Ec. And Math. Systems 408, Springer-Verlag, Hoffman, K. L. and M. Padberg. (1993). Solving airline crew scheduling problems by Branch-and-Cut. Mgmt. Sci. 39, Kang, S., K. Malik, L.J. Thomas (1999). Lotsizing and scheduling on parallel machines with sequence-dependent setup costs. Mgmt. Sci. 45, Lawler, E.L., J.K. Lenstra, A H. G. Rinnoy Kan, and D.B. Schmoys (1993) Sequencing and scheduling: Algotithms and Complexity. Handbooks of Operations Research and Management Science, Volume 4: Logistics of production and Inventory. Machuca et al (1995). Dirección de Operaciones. Aspectos tácticos y operativos en la producción y los servicios. McGraw-Hill. Moore, J.M. (1968) An n job, one machine sequencing algorithm for minimizing the number of late jobs. Mgmnt. Sc.i 15 (1), Woeginger, G.J. (1994) Heuristics for parallel machine scheduling with delivery times. Acta Informatica. 31,