MUESTRAL PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN. El mundo de las probabilidades

Transcripción

1 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN MUESTRAL El mundo de las probabilidades El economista colombiano Ciro Martínez (2008), en su trabajo Estadística y muestreo, señala que: El concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indefinible, pero utilizado para expresar, de algún modo, un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso; nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tenga. Cuando observamos o escuchamos el estado del tiempo, o sea los pronósticos meteorológicos sobre la posibilidad de buen tiempo o la presencia de lluvias fuertes o ligeras, gran nubosidad, vientos fuertes o en calma; los hinchas de diferentes equipos de futbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificación o de ganar el campeonato; algo similar ocurre con los que juegan lotería o apuestan en las carreras de caballos; todos ellos son pronósticos que hacemos con la esperanza de que sucedan. (p. 178)

2 Hola, Jorge! Listo para desempolvar algunos libros de matemática y estadística? Sí, precisamente estaba repasando algunos conceptos de estadística sobre probabilidades y distribuciones muestrales. No soy muy fuerte en este campo y necesito dominar muy bien el tema para poder analizar y organizar los datos que recolectamos en Colchones El Buen Descanso. No te preocupes, lo importante es tener claridad sobre estos conceptos y su pertinencia y utilidad para este proceso de diagnóstico, antes de comenzar el análisis de los datos. Así es, comprender la teoría de las probabilidades nos puede ayudar a obtener o determinar la frecuencia de un evento mediante la realización de experimentos aleatorios. Esto puede ser de gran utilidad para el empresario cuando se requiera determinar algún tipo de sistema a implementar en la organización. Gracias a esta teoría es posible conocer los posibles resultados de una situación si se tienen condiciones estables para la observación. Tienes razón, igualmente, conocer diferentes técnicas de coteo y de distribución de muestras nos puede ayudar a enumerar eventos que son difíciles de cuantificar. Comencemos entonces a explorar el fascinante mundo de las probabilidades.

3 1 i Probabilidades y posibilidades En el campo de la estadística, el concepto de probabilidad se puede aplicar de múltiples formas para lograr resolver problemas en diferentes áreas, como la economía, las ciencias sociales, las ciencias físicas, la industria, el comercio y el gobierno, con la particularidad de que en cada una de ellas, este concepto presentará unas características específicas. En los estudios estadísticos, se hace referencia constantemente a dos nociones de gran importancia, estas son: Posibilidad Se refiere a la comparación entre el número de resultados favorables con los desfavorables: Se refiere al cociente entre el número favorable sobre el total de casos posibles: No.de defectuosos No.de no defectuosos No.de defectuosos Total de casos posibles Posibilidad 1 i Probabilidades y posibilidades

4 En este apartado, se hará una aproximación a la definición de probabilidad abordada desde los puntos de vista de diferentes métodos o teorías relacionadas con la lógica y la matemática. Como lo dice Martínez (2008), si bien no es posible definir de manera concreta o exacta el concepto de probabilidad, sí se puede obtener una definición aproximada que permita comprender su naturaleza e importancia dentro del campo de los estudios estadísticos. Definición de probabilidad según el método axiomático Según el método axiomático, se hace referencia a la probabilidad de ocurrencia de un evento. Esta probabilidad se concibe como un número comprendido entre 0 y 1. Este concepto guarda estrecha relación con la noción de frecuencias relativas, donde 0 < hi< 1. Para comprender mejor esta noción, se observará el siguiente ejemplo tomado del libro Estadística y muestreo (2008): Supongamos que se lanza 100 veces una moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes: Frecuencia absoluta: Frecuencia relativa: Probabilidad: Cara 56 veces 56/100 p=56% (éxito) Sello 44 veces 44/100 q=44% (fracaso) Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1. La probabilidad igual a uno corresponde al límite superior, el cual se considera como la certeza absoluta; para el otro extremo igual a 0 se habla de imposibilidad absoluta.

5 Definición de probabilidad según el método empírico o práctico El método empírico concibe la probabilidad de un suceso como aquel número al cual se aproxima cada vez más la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso, cuando las veces que se repite el experimento que origina ese suceso es lo bastante grande (Martínez, 2008). El autor señala que esta noción del concepto de probabilidad se relaciona con el experimento de Quetelet, matemático considerado el padre de la estadística moderna y quien observó que la probabilidad de un suceso tiende a estabilizarse en un punto, cuando el número de experimentos aumenta. Fuente: (Fotolia, s.f.) Definición de probabilidad según el método empírico o práctico En el caso del método descrito anteriormente, se habla generalmente de las nociones de probabilidad empírica y probabilidad teórica. La primera de ellas se establece mediante la ejecución de un determinado número de experimentos, siguiendo la fórmula: P = número de casos favorables/número de casos posibles Por ejemplo, al tirar una moneda, se quiere que salga sello: Casos favorables: 1 (que salga sello) Casos posibles: 2 (puede salir cara o sello) Probabilidad = 1 / 2 = 0,5 (o 50%, la probabilidad se representa en porcentaje) Fuente: (Fotolia, s.f.)

6 Definición de probabilidad según el método clásico Según este método, la probabilidad de ocurrencia de un suceso está dada por el cociente de la división del número de casos favorables o resultados exitosos que pueden salir de una prueba, entre el total de casos posibles (cantidad empírica). Para determinar la probabilidad, se hace uso de la siguiente fórmula: P = Número de casos exitosos Total de casos posibles Fuente: (Fotolia, s.f.) Otras definiciones de probabilidad Probabilidad a priori Probabilidad objetiva y subjetiva Probabilidad con base en las frecuencias relativas Es aquella que se puede determinar de antemano, sin necesidad de realizar el experimento. Ejemplo: la probabilidad de que aparezca cara en el lanzamiento de una moneda, se sabe de antemano que es igual a 0,5." (Martínez, 2008). Según Martinez (2008), se denominan así porque se obtienen de la experiencia luego de observar las repeticiones de un evento o suceso concreto. La probabilidad subjetiva depende de la percepción o criterio personal que se tenga sobre la ocurrencia de un hecho, p.ej., perderá la selección de fútbol en el próximo partido? Este tipo de probabilidad parte de la observación de la ocurrencia de un fenomeno en el pasado para determina qué tan probable es que vuelva a ocurrir en el futuro. Se calcula así: Probabilidad de ocurrencia = Número de veces de ocurrencia del evento en el pasado Número total de observaciones

7 De inición de probabilidad estadística Tareasplus. (Productor) (2014). Definición de Probabilidad: Introducción. [Vídeo]. Disponible en 1 i Probabilidad: técnicas de conteo Contar el número de posibles arreglos de elementos dentro de uno o varios conjuntos o muestras puede convertirse en una tarea un poco compleja; no obstante, se puede hacer uso de algunas técnicas de conteo existentes para facilitar la enumeración de eventos que pueden resultar díficiles de cuantificar. A continuación, se mencionarán algunas de estas técnicas, pero vale la pena resaltar que, en esta ocasión, se profundizará en las dos últimas por ser las de mayor relevancia en lo que respecta los estudios estadísticos: Principio de la multiplicación Principio aditivo Principio de la suma o adición Principio de permutación Principio de combinación

8 Combinaciones Las combinaciones, junto con las permutaciones, son dos fórmulas que permiten simplificar el conteo de conjuntos muestrales. El criterio que se utiliza para difenciarlas es si el orden en que están agrupados o combinados los elementos del conjunto es importante o no. En el caso de las combinaciones, en lo que respecta al arreglo de los elementos, no importa el orden en el que estos estén dispuestos. Para calcular una combinación, se utiliza la siguiente fórmula: Fuente: (Fotolia, s.f.) Donde ncr = n! (n-r)!r! n: número de elementos r: número de elementos tomados del conjunto Se desea combinar las cuatro primeras letras del alfabeto A, B, C, D. Cuántas combinaciones se podrán hacer? Solución: una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo ABCD=ADBC=ACBD=CBAD=DACB= etc. 4C4 == 4! (4-4)!4! 4! (0)!4! = 4! (1) 4! = 1

9 Si se fueran a combinar esas 4 letras de dos en dos, se tendría: AB=BA ; AC=CA ; BC=CB ; BD=DB ; CD=DC ; AD=DA Se pueden combinar de 6 maneras: 4C2 == 4! (4-2)!2! 6 En este mismo ejercicio, al combinar las letras de 3 en 3, el resultado sería: ABC = BCA = CBA = ACB = BAC = CAB ABD = ADB = BDA = BAD = DAB = DBA ACD = ADC = CAD = CDA = CDA = CAD BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB En total, se pueden combinar de 4 maneras, mediante la aplicación de la fórmula será: 4! 4! 4C34 == = (4-3)!3! 1!3!

10 Permutaciones Recordando el criterio mencionado anteriormente, una permutación es el arreglo de los elementos dentro de un conjunto donde se mantiene un orden específico, es decir que el orden en esta distribución de elementos sí importa. Los elementos del conjunto deben incluirse en su totalidad y no se pueden repetir. La permutación se simboliza por: Pn = n! o como npn = n! y se lee como permutaciones de n elementos tomados de n en n. El símbolo n! se lee como n factorial. Consideremos nuevamente un ejemplo tomado de Martínez (2008): Fuente: (Fotolia, s.f.) 8!=8x7x6x5x4x3x2x1 se puede escribir también: 8!=8x7x6x5! Supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4 y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la anterior fórmula, se tendrá que: 4P4=P4=4!= 4X3X2X1=24 Ahora, en la primera línea del salón de clases se tienen colocados 8 pupitres y se quiere sentar a 8 alumnos; de cuántas maneras diferentes se podrán colocar? 8P8=P8=8!=40.320

11 Permutaciones con repetición Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía. La fórmula que se debe aplicar es: Pn (r) = n! Tomando nuevamente un ejemplo de Martínez (2008), se observa lo siguiente: Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra Barranquilla? Primero, contamos el número de letras, para determinar el valor de n, en este caso n=12; luego, las letras repetidas; A se repite 3 veces (r1 = 3); R dos veces (r2 = 2) y la L dos veces (r3 = 2). Aplicando la fórmula se tendrá: r! 12! 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3! P12(r:3,2,2) == = !2!2! 3!x2x1x2x1

12 Variaciones En las permutaciones, cuando no se utilizan todos los elementos, sino solo una parte de ellos, se denominan como variaciones, cuya fórmula está dada así: npr = nvr = n! / (n-r)! Ahora, si de los 8 pupitres colocados en la primera línea del salón del ejemplo anterior, se quiere determinar de cuántas maneras se puede ordenar a 5 alumnos, se tendrá: 8P5 8! 8! 8x7x6x5x4x3! == == (8-5)! 3! 3! maneras 1 i Probabilidad de eventos

13 En lo que respecta a la teoría de las probabilidades, se entiende como evento o suceso al conjunto de posibles resultados que pueden presentarse como consecuencia de un experimento aleatorio. En pocas palabras, el término hace referencia a la ocurrencia de aquellos sucesos sobre la cual no se puede tener ninguna certeza o seguridad, aun observando la repetición del mismo evento muchas veces. Eventos excluyentes Una serie de sucesos que se catalogan como mutuamente excluyentes no pueden ocurrir de manera simultánea en un mismo espacio de tiempo, es decir que la ocurrencia de uno de los sucesos excluye la ocurrencia de otros. Evento A Espacio muestral S Evento B P= p1+p2+p3+..+pn Figura 1. Representación gráfica de sucesos mutuamente excluyentes El cálculo de la probabilidad de estos eventos se denomina probabilidad aditiva y se determina sumando la probabilidad de ocurrencia de cada evento: Siendo p1, p2, p3.pn las distintas probabilidades de ocurrencia de n eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad (P) de que uno de estos eventos se presente en un solo ensayo, estará dada por la suma de las probabilidades para cada evento P= p1+p2+p3+ +pn Un ejemplo de sucesos mutuamente excluyentes sería el siguiente: Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado) (Eye in the sky, s.f.).

14 Entonces, si se quiere calcular la probabilidad de ganar, se tiene que el evento de que salga el punto 1 tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6 (evento A), al igual que el evento de que aparezca el punto 6 (evento B). La probabilidad de ganar se calculará mediante la fórmula: Tomando la fórmula para resolver el caso del ejemplo, se tendría el siguiente resultado: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6 Lo anterior significa que el jugador para poder ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos o resultados posibles. P(A o B) = P(A) + P(B) P (A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) También se presenta como: P(A U B) = P(A) + P(B) Donde U significa unión. Eventos compatibles o no excluyentes Ahora, una serie de eventos no excluyente serán aquellos sucesos compatibles, donde la ocurrencia de uno no excluye la aparición de otros. Un ejemplo de eventos mutuamente no excluyentes sería: Un mazo normal de 52 cartas es mezclado, un jugador puede ganar una cantidad de dinero si al extraer la primera carta saca un As o cualquier carta de diamantes. En este caso ambos sucesos no son mutuamente excluyentes, ya que si se extrae un As, este puede ser un As de diamante, con lo cual ambos eventos se estarían presentando de manera simultánea sin excluirse el uno al otro. Fuente: (Fotolia, s.f.)

15 En este caso la probabilidad de uno de los dos eventos se halla así: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) Ahora, tomando la fórmula para resolver el caso del ejemplo anterior, se tendría el siguiente resultado: P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A n B) P(A o B) = = 4 13 Es decir que la probabilidad de que el jugador saque un As o una carta de diamantes es de 4 oportunidades entre 13. Eventos independientes Se dice que dos o más eventos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro. Si el resultado de un evento no afecta al otro, se dice que son independientes, por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada evento: P=p1xp2xp3x x pn Fuente: (Fotolia, s.f.)

16 Las probabilidades de que se obtengan dos Reyes, cada uno de un baraja diferente seria de 1 en 100. Para comprender mejor el concepto de eventos independientes, se analizará el siguiente ejemplo: Qué probabilidad tendremos de obtener dos Reyes sacando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja? (Martínez, 2008) P(A y B) = P(A) P(B) P = = Ahora, se tomará un segundo ejemplo para ilustrar mejor este fenómeno: Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas cada una. Se desea extraer tres cartas, una de cada baraja; cuál es la probabilidad de obtener un as y un rey de oros y un seis de copas? (Martínez, 2008) Solución: En la primera baraja se tienen 4 ases, siendo: P(A) = 4/40 En la segunda baraja se tiene un rey de oros: P(B) = 1/40 Y en la tercera baraja hay un seis de copas: P(C) = 1/40 Observamos que los resultados son independientes, pues ninguno de ellos se ve afectado por la aparición del otro; en estos casos aplicamos la regla especial de la multiplicación, siendo: P(A y B y C) = 4 40 x 1 40 x == 0,

17 Eventos dependientes Según Martínez (2008): Se dice que los eventos son dependientes, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo evento depende del primer evento, el del tercero de lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente. Para calcular esta probabilidad, se utiliza la siguiente fórmula: P=p1xp2xp3x x pn Fuente: (Fotolia, s.f.) Cuál es la probabilidad de obtener 3 ases, sacando sucesivamente tres cartas de una baraja española, sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón? Solución: P1 = 4 40 P2 = 3 39 P3 = 2 38 P = 4 40 xx = =

18 Eventos condicionales La probabilidad condicional es aquella que determina la ocurrencia de un evento sujetándola a la aparición de otro suceso o evento. Es decir la probabilidad de que un evento ocurra si otro ya lo ha hecho anteriormente. En la regla de la multiplicación, la probabilidad conjunta de A y B se calcula mediante la aplicación de la fórmula P(A y B) = P(A) P(B A) = P(A n B) de donde se puede despejar la fórmula para la probabilidad condicional de un evento: P(B A) == P(A y B) P(B) P(A n B) P(B) Se encuentra en una facultad que del 70% de los alumnos matriculados, el 70% son mujeres y el 18%, mujeres estudiantes de economía. Si elegimos un estudiante al azar y resulta que es mujer, cuál es la probabilidad de que esté estudiando economía? (Martínez, 2008) Solución: (P(AnB) ) 0,18 P(B A) == = 0,2571=25,71% P(B) 0,70

19 Figura 2. Retrato del reverendo Thomas Bayes Fuente: (Hablando de ciencia, s.f.) La fórmula general para aplicar el teorema es: Para ilustrar la aplicación de este teorema se utilizará el siguiente ejemplo: Se tiene 3 recipientes; el primero contiene 6 bolas azules y 2 rojas; el segundo 4 azules y 4 rojas y el tercero 6 azules. Se selecciona una de las tres urnas al azar y de ella se extrae una bola que resulta ser azul. Con la anterior información, cuál es la probabilidad de que el recipiente escogido sea el primero? Sea el tercero? (Martínez, 2008, p. 209) P(A1 B) = P(A1)P(B A1) P(A1)P(B A1)+P(A2)P(B A2)+....+P(An)P(B An)

20 Resolviendo el problema planteado en el ejemplo anterior se tiene: P(A1) = 1 3 P(A2) = P(A3) = P(B A1) = = 3 4 P(B A2) = 4 8 = 1 2 P(B A3) = 6 6 = 1 La probabilidad de que la bola azul provenga del primer recipiente será: P(A1 B) P(A1)P(B A1) = P(A1)P(B A1)+P(A2)P(B A2) +P(A3)P(B A3) P(A1 B) = (1/3) (3/4) (1/3) (3/4) (1) = 1 3 = 0,33

21 La probabilidad de que provenga del tercer recipiente: P(A3 B) = (1/3) (1) (1/3) (3/4) (1) = 4 9 = 0,44 1 i Distribución de probabilidades

22 En el campo de los estudios estadísticos, la distribución de una probabilidad se refiere a toda la escala de valores que podría generarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. La distribución de una probabilidad señala la posibilidad de ocurrencia de un evento en el futuro, constituyendo así una herramienta de vital importancia para los estudios prospectivos, en tanto que permite diseñar escenarios posibles de eventos futuros teniendo en cuenta tendencias actuales de mutliples fenómenos naturales. Dado que toda distribución de probabilidad puede adoptar diferentes valores, se dice que es generada por una variable aleatoria x, la cual puede ser de dos tipos: variable aleatoria discreta y variable aleatoria contínua. Distribución binomial También denominada como método exacto, corresponde a una distribución de variable aleatoria discreta. De acuerdo con Martínez (2008), se puede suponer que si durante repetidos ensayos, siendo p la probabilidad de éxito en un solo ensayo, la cual debe permanecer fija, y q la probabilidad de fracaso, entonces la probabilidad P de que se obtenga x éxitos en n ensayos, es el término del desarrollo binomial de (q+p)n (p.219). La fórmula a aplicar en este caso es: P(x) = n ( ) x p x q n-x Donde n= número de ensayos x= número de éxitos p= probabilidad de éxito en cada ensayo q= probabilidad de fracaso en cada ensayo

23 Martínez (2008), también establece que los criterios que debe satisfacer una experiencia binomial son: a) Debe existir un número fijo de pruebas repetidas (n) b) Cada una de las n pruebas debe tener dos resultados, favorable o desfavorable. En el caso de la moneda, será: cara o sello, por lo tanto son mutuamente excluyentes. c) La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fija, algo similar sucede con la probabilidad de fracaso. d) Las pruebas son independientes, ya que el resultado de un ensayo, no afecta el resultado del otro. e) Nos interesa el número de éxitos en n pruebas. (p.220) Figura 3. Gráfica de una distribución binomial (n=0.5) para n= 20, 40, 60, 80 y 100. Para comprender mejor este concepto, se analizará el siguiente ejemplo: Una institución universitaria establece nuevos métodos de aprendizaje y de evaluación, con el resultado donde el 85% de sus alumnos aprueban todas las asignaturas. Supongamos que se seleccionan 8 estudiantes de dicho plantel, cuál es la probabilidad para los siguientes escenarios? a) exactamente 3 aprueben todas las asignaturas b) exactamente 3 pierdan alguna asignatura c) por los menos dos pierdan alguna asignatura (Martínez, 2008, p. 224)

24 La probabilidad de que 3 aprueben será: P = 0,85 (aprobar) n = 8 X = 3 ( ) = P(x =3) (0,85) (0,15) =0,0026= 0,26% Se busca en la primera columna de la tabla, donde aparece el valor de n=8 (ver tabla). Luego, en la segunda columna el valor de x. Se localiza 0,85 en el renglón de p; se observa que se llega a 0,50, y se toma su complemento 0,15. Se observa que en la tabla al frente de 5 y en la columna 0,15 aparece 0,0026. Como se pide que 3 aprueben, es lo mismo que decir que 5 pierdan alguna asignatura,siendo n=8; p=0,15; X=5. ( ) = P(x =5) (0,15) (0,85) =0,0026= 0,26% El resultado es igual al anterior.

25 La probabilidad de que exactamente 3 pierdan alguna asignatura será: n = 8 P = 0,15 q = 0,85 X = 3 ( ) = P(x =3) (0,15) (0,85) = 0,0839 = 8,39% Al frente de 5 y debajo de la columna 0,15 aparece el valor de 0,0839 (ver tabla). La probabilidad de que por lo menos dos pierdan alguna asignatura será: n = 8 P = 0,15 q = 0,85 X = 2,3,4,5,6,7,y 8 P(x >2) = 1 - [P(x=0) + P(x=1)] = 1 - [0, ,3847] = 1 0,6572 = 0,3428 = 34,28%

26 Tabla 1. Distribución binomial. Cuando n = 8 P n x Fuente: tomado de Martínez, C. (2008). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Distribución Poisson Es una de las distribuciones más importantes de la variable discreta. Se aplica principalmente cuando se abordan experimentos donde se presentan eventos catalogados como raros, es decir eventos con una probabilidad mínima de ocurrencia (p) en un numero de observaciones (n) grande. Algunos ejemplos de este tipo de distribución según Martínez (2008), serían:

27 Número de reclamaciones o solicitudes a una compañía de seguros en un determinado período. Número de personas que llegan a un almacén, banco o aeropuerto en un tiempo determinado. Número de defectos en piezas similares en el material,ya sea por centímetro cuadrado o centímetro lineal. Número de llamadas telefónicas por minuto. De la distribución probabilística de Poisson se dice que: Es una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta, y p, la probabilidad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras que q la probabilidad de fracaso se aproxima a 1, de tal manera que el producto de np, simbolizado por lambda λ, sea menor o igual a 5, debe utilizarse la distribución de Poisson. No sólo el hecho de que p sea muy pequeña, sino también cuando p es tan grande que se aproxima a 1, y λ 5, en ambos casos, se puede aplicar esta distribución. (Martínez, 2008, p. 235)

28 La fórmula general para aplicar el teorema es: P(x) = X! Donde e= 2,71828 (base de los logaritmos neperianos) λ= np X= número de casos favorables P(x)= probabilidad que se va a calcular para Ahora se observarán los siguientes ejemplos para comprender mejor la aplicación de esta distribución probabilística. Si el 1% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que, en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas. = 100 (0,01) =1 X = e 3! P(x =3) = = = 0,06131 = 6,13% 1(0,36788) (3)(2)(1)

29 Ahora se observarán los siguientes ejemplos para comprender mejor la aplicación de esta distribución probabilística. Si la probabilidad de que una persona adquiera la enfermedad como consecuencia de una vacuna contra la misma, es 0,0002, cuál es la probabilidad de que la adquieran exactamente 5 personas en una población de vacunados? = 10,000 (0,0002) =2 X = 5 5!=5x4x3x2x1= e 5! P(x =5) = = = 0,03609 = 3,61% 32(0,313534) 120 P(x=5) =3,61% Distribución normal Corresponde a una distribución de variable aleatoria continua, que se extiende sobre un campo de variabilidad infinito (Martínez, 2008). La distribución normal de una probabilidad está dada por la siguiente función: Donde Y = N e

30 Ejercicio de aplicación A continuación, se analizará paso por paso el ejemplo que Martínez (2008) plantea en su libro sobre estadística y muestreo para ilustrar el concepto de distribución normal: el experimento de lanzar 12 monedas, nos permite elaborar una tabla de frecuencias teóricas o probabilísticas, con lo cual se obtendrán las probabilidades de aparición de 0 caras, 1 cara, 2 caras...12 caras, con los resultados se podrá calcular la media, la varianza y la desviación típica, al igual como lo hacíamos en la estadística descriptiva a fin de compararlo con los resultados obtenidos a través de la distribución binomial, donde: 2 Los resultados son los siguientes (ver tabla): Tabla 2 Distribución de frecuencias Variable continua X - X i-1 i Variable discreta Número de caras X i Frecuencia esperada o teórica n i Probabilidad P(x) hi X n i i 2 X i n i (-0,5) -- 0, /4.096 = 0, ,5 -- 1, /4.096 = 0, ,5 -- 2, /4.096 = 0, ,5 -- 3, /4.096 = 0, ,5 -- 4, /4.096 = 0, ,5 -- 5, /4.096 = 0, ,5 -- 6, /4.096 = 0, ,5 -- 7, /4.096 = 0, ,5 -- 8, /4.096 = 0, ,5 -- 9, /4.096 = 0, , , /4.096 = 0, , , /4.096 = 0, , , /4.096 = 0, Σ ,000 = 1, Fuente: tomado de Martínez, C. (2008). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe i

31 S = ( xini) X = = = 6 N ( xini) N = x = =39-36= Ejercicio de aplicación Con los datos de la tabla anterior, se realizará ahora un histograma de frecuencias, teniendo en cuenta que el número de aparición de caras corresponde a una variable discreta y al no tener intervalos, se deberá colocar cada valor de la variable en el centro del rectángulo; al unir los puntos medios en la parte superior de cada rectángulo, se obtendrá una curva, conocida con los nombres de curva normal, curva de Gauss, curva de error o curva de probabilidad. Es importante recordar que la variable en una distribución binomial es discreta y que se debe transformar en una variable continua, cuando se requiere utilizar la distribución normal; dado que la amplitud del intervalo siempre va a ser uno (c=1), se divide entre 2 (c/2), siendo igual a 0,5. Ahora, al restarlo se establece el límite inferior y al sumarlo se obtiene el límite superior de cada intervalo, de esta manera se elaboró la primera columna de la tabla 1. Con la variable continua se elabora el histograma y el polígono de frecuencias: Se utilizarán las siguientes fórmulas para el desarrollo del ejercicio:

32 Ejercicio de aplicación Ejercicio de aplicación A continuación se observan algunas de las condiciones que debe cumplir una curva norma o probabilística según Martínez (2008): La curva es simétrica. El área bajo la curva es igual al 100%. La curva no toca el eje horizontal (x) ya que es asintótica, se prolonga indefinidamente. La media µ se localiza en el centro, es decir, cada parte es igual al 50%. X toma valores de menor a mayor, es decir, de izquierda a derecha. Al estandarizar, convertir los valores de x en valores de z, ésta tendrá una media µz = 0 y z = 1 y z tomará valores desde -3 hasta +3 que cubre un área del 99,7% casi igual al 100%. La variante estadística Z=(x-µ) es una medida de las desviaciones estándar o de las llamadas unidades estandarizadas, conocida como desviación normal. (p. 249)

33 1 i Distribuciones muestrales La muestra que se utilizará para analizar y estimar las características de una población debe ser representativa. La selección de dicha muestra puede atender diferentes criterios, como la disponibilidad de tiempo, los recursos a utilizar, el conocimiento y habilidad para tomar la muestra, entre otros elementos. A continuación se describirán algunos métodos utilizados para la selección de muestras. Distribuciones muestrales Muestreo aleatorio simple En este tipo de muestreo, se presenta la misma posibilidad de selección a cada elemento o la muestra dentro de la población. El muestro aleatorio simple se puede plantear bajo dos puntos de vista: Sin reposición de los elementos: la misma unidad no puede ser seleccionada más de una vez, esto hace variar la probabilidad de obtener una determinada muestra. Con reposición: el elemento extraído es devuelto al universo, donde en la población de tamaño N se pueden realizar extracciones de n elementos. Ejemplo: tomar una muestra de tamaño 80 y si hay más de 6 artículos defectuosos se rechaza el lote.

34 Fuente 5: Representación gráfica del muestreo aleatorio simple Distribuciones muestrales Muestreo estratificado La asignación es igual, proporcional y óptima, garantizando la representatividad, reduciendo el error de la muestra al formar grupos o subpoblaciones más o menos homogéneas, en cuanto a su composición interna o heterogénea cuando se comparan los estratos entre sí. N = N 1 + N N K Distribuciones muestrales Muestreo doble Se realiza cuando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, entonces se extrae una segunda de la misma población y las dos muestras son combinadas para analizar los resultados. Está definido por: n1= tamaño de la primera muestra n2= tamaño de la segunda muestra N= tamaño de lote c1= número de aceptación para la primera muestra c2= número de aceptación para las dos muestras

35 Muestreo doble El siguiente ejemplo de Martínez (2008) ilustrará mejor este último concepto. Con el plan N=3000, n1=80, c1=1, n2=80, c2=4; del lote de 3000 piezas se toma una muestra inicial de 80 y con base a la información aportada por esta primera muestra se toma una de las tres decisiones siguientes: Aceptar el lote, cuando la cantidad de unidades defectuosas sea menor o igual que 1 (c1). Rechazar el lote, cuando el número de piezas defectuosas sea mayor que 4 (c2). Tomar una segunda muestra de 80 unidades, cuando el número de piezas defectuosas detectadas en la primera muestra sea mayor que 1 (c1) pero no exceda de 4 (c2). Si al sumar la cantidad de unidades defectuosas en las dos muestras, esta no es mayor que 4 (c2), el lote es aceptado, pero si es mayor que 4 (c2), entonces el lote es rechazado. Recursos bibliográficos Álvarez, S. (2000). Estadística aplicada: teoría y problemas. Madrid: Editorial CLAGSA. EcuRed. (s.f.). Medidas de dispersión. Consultado el 19 de agosto de 2014, en ecured.cu/index.php/medidas_de_dispersi%c3%b3n Martínez, C. (2005). Estadística y muestreo. Bogotá: Ediciones Ecoe. Naiman, A., Rosenfeld, R. & Zirkel, G.(1987). Introducción a la Estadística. Mexico D.F.: McGraw-Hill. Quesada, V. & López, I. (1989). Curso y Ejercicios de Estadística. Méxco: Alhambra. Ruíz, M., Morcillo M.C., García, J. & Castillo, C.(2000). Curso de probabilidad y estadística. Málaga : Universidad de Málaga. Sarabia, A. & Mate Jiménez, C. (1993). Problemas de Probabilidad y Estadística: elementos teóricos, cuestiones, aplicaciones con Statgraphics. Madrid: CLAGSA, D.L. Walpole, R., Myers, R. & Myers, S. (1998). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. México D.F.: Prentice Hall Hispanoamericana.

36 GLOSARIO Muestreo: técnica para la selección de una muestra a partir de un población. Probabilidad: mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un resultado o suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores expresados en porcentajes o valores entre 0 y 1. Variable continua: es aquella que se agrupa de manera parcial por categorías, ya que por su naturaleza puede tener un valor cualquiera durante una escala numérica continua. Variable discreta: es aquella que se congrega naturalmente por categorías, ya que la variable sólo puede tomar valores determinados o enteros Variable: corresponde a una característica que puede ser medible en varios individuos, y que puede adoptar diferentes valores. Varianza: es una medida de dispersión definida como el promedio de las distancias al cuadrado que van de las observaciones la media.

37 Créditos Líder de línea de producción Alba Lucía Ramírez Asesoría pedagógica Ingrid Flórez Guionización Ingrid Flórez Equipo técnico-pedagógico Carolina Díaz Carolina Calderón Jorge Ardila Carlos Ríos Diseño gráfico Carolina Gómez Catalina Perea Desarrollo multimedia Andrés Salcedo

38 Mapa conceptual Probabilidad Es el grado de creencia sobre la ocurrencia de un suceso Técnicas de conteo Probabilidad de eventos Distribución de probabilidades Técnicas de muestreo Combinación Permutación Eventos excluyentes Eventos compatibles Eventos dependientes Eventos independientes Eventos condicionales Distribución binomial Distribución Poisson Distribución normal Muestreo aleatorio simple Muestreo estratificado Muestreo doble El arreglo de los elementos se hace sin importar el orden. Sí importa el orden de los elementos dentro del conjunto.