Capitulo 7 Análisis multicriterio para la toma de decisiones

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1 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones 135 apitulo 7 Análisis multicriterio para la toma de decisiones De las múltiples herramientas para ayudar a la selección de alternativas bajo competencia, el método Electre destaca como uno de los mejores. En el diseño de procesos químicos continuamente se presenta el problema de selección de alternativas bajo un análisis multicriterio, como la elección de la ruta de reacciones más adecuada para el diseño de un proceso, como el caso que se presenta en este capitulo.

2 136 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones 7.1 Introducción. Los problemas de toma de decisiones involucran varias alternativas y de las cuales hay que decidir a favor de una. Para comparar las alternativas se ha de contar con medios de valorarlas, es decir, calificarlas, para ello se requiere primero definir los atributos comunes a las alternativas y sobre los cuales se califican, estos también se llaman criterios. Existen varios métodos para el análisis multicriterio en la toma de decisiones, desde el más simple que es la suma de calificaciones ponderadas a unos más complicados como los métodos Electre [1,2], Promethe [3], y otros. En este capitulo se describe el método Electre que permite jerarquizar las alternativas en un orden de preferencias, de la mejor a la peor. Los métodos de análisis multicriterio tienen muchas aplicaciones, por ejemplo en: a) Elección de la mejor ruta de reacciones, b) Discriminación de candidatos, c) Selección de proyectos de inversión, etc. En general se usan como una ayuda en la toma de decisiones. 7.2 Método de sumas ponderadas Ejemplo 7.1 Para ilustrar el método supóngase que se desea elegir a un candidato, entre varios, para un empleo. onsidérese como atributos importantes para evaluar a los candidatos, los siguientes criterios: riterio 1 riterio 2 riterio 3 riterio 4 La experiencia La escolaridad Dominio del ingles onocimientos de informática Para calificar a los candidatos en estos criterios hay que definir una escala de valoración, por ejemplo, para el criterio de experiencia se pueden tener las siguientes posibles calificaciones: ninguna, poca, regular y bastante. Mientras que para el criterio de escolaridad se pueden tener las posibles calificaciones siguientes: mínima, menor a la media, sobrepasa a la media y elevada. Si ha de calificarse a los candidatos en estos criterios, primero hay que normalizar las valoraciones de lo criterios. Para ello se define una escala de calificaciones, por ejemplo de 0 a 10, siendo 10 la mejor calificación y 0 la peor, se presupone que hay que maximizar los criterios. Se propone la conversión de las calificaciones de los criterios a valores numéricos de acuerdo a los siguientes intervalos: Tabla 7.1 Intervalos de correspondencia de calificaciones. lingüística numérica Ninguna Poca Regular Bastante

3 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones 137 Habiendo definido el ámbito de expresión para plantear el problema de toma de decisión, lo que sigue es la valoración de los candidatos. Se requieren evaluadores que han de ser expertos en la calificación de los criterios, también llamados jueces o actores en la toma de decisión. Del proceso de valoración los resultados se resumen en una tabla de calificaciones como la siguiente: Tabla 7.2 Matriz de calificaciones. andidatos A1 3 8* 7 6 A * 5 A3 7* 5 7 9* A Pesos, w En esta tabla los candidatos se identifican como A1, A2, etc. Mientras que los criterios se distinguen en las columnas como 1, 2, etc. La última fila contiene los valores de los pesos. A cada criterio se le asigna un valor numérico o peso, w i, que va de mayor a menor en el sentido en que disminuye su importancia relativa con los otros criterios. uando w h > w k implica que el criterio h es más importante que el criterio k y la expresión w h w k indica que ambos criterios son igualmente importantes. uando en un criterio se tiene la misma o casi la misma calificación para todas las alternativas se puede eliminar ese criterio, pues no brinda información relevante para la toma de decisiones. Se observa, por los valores de los pesos, que los evaluadores dan mayor relevancia a los conocimientos de informática e idiomas que a la experiencia y la escolaridad. En este ejemplo se eligen valores de los pesos normalizados, para que se cumpla que w j 1. Se marca con un asterisco las calificaciones mayores en los diferentes criterios y se puede ver que no hay ninguna alternativa que obtenga altas calificaciones en todos los criterios, es decir que a simple vista no se distingue a un candidato que sea mejor que los demás. on el método de sumas ponderadas se calculan las sumas de productos de las calificaciones de las alternativas en los diferentes criterios, multiplicadas por los pesos de ponderación de los criterios. álculo que se resume en la siguiente ecuación: M i m j 1 a w i, j * j (7.1) Donde M i alificación ponderada de la alternativa i. a i,j calificación de la alternativa i en el criterio j. w j Peso de ponderación del criterio j. Se ordenan las calificaciones ponderadas de mayor a menor y se selecciona la primera como la de mayor preferencia, la que le sigue tendrá la segunda preferencia, etc. on este método se supone que hay que maximizar todos los criterios. Se aplica la fórmula de la ecuación 7.1 a los datos de la Tabla 7.2 y se obtiene:

4 138 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones andidato alificación A1 5.9 A2 6.2 A3 7.6 A4 4.4 De acuerdo a las calificaciones se obtiene que el orden de preferencia de los candidatos es: A3 > A2 > A1 > A4, lo que indica que se elige al candidato A1 en primer lugar y A4 en último. 7.3 Método Electre Este método fue creado por B. Roy en 1969 [1] y desde entonces se ha modificado varias veces [2], la palabra Electre se forma con las siglas en francés de Elimination Et hoix Traduisant la reality. El método se aplica a través de la construcción de tablas o matrices que se construyen a partir de la tabla de calificaciones. Dos conceptos importantes del método son la preferencia por sobre-calificación y ciertos umbrales de indiferencia y preferencia. En la tabla de calificaciones se observa que el candidato A3 en los criterios 1 y 4 obtiene mayor calificación que los otros candidatos. Se dice que el candidato que obtiene una calificación mayor o igual que los otros, sobre-califica en las evaluaciones. Simbólicamente esto se expresa con la siguiente ecuación: Sobre calificación de A sobre A A S A (7.2) h k h j k La sobre-calificación indica que A h es mejor que A k. en el criterio considerado si la calificación de A h es mayor o igual que A k en el criterio considerado. El método Electre usa este concepto de sobre-calificación para ayudar en la toma de decisiones en la selección de alternativas bajo multicriterios. Establece que la alternativa A h será preferida a la A k si: calificación de Ah calificación de Ak + q Donde q es el umbral de indiferencia, indica la diferencia máxima entre dos valores que permite distinguirlos. Esto representa una forma de establecer una preferencia débil entre las alternativas, lo que hace necesario contar con una condición de fuerte preferencia. El método establece que la alternativa A h será fuertemente preferida a la A k si: calificación de A h calificación de A k p En el método se establecen dos pruebas en las que se determina la preferencia fuerte y débil entre dos alternativa. Para ello se forman dos tablas o matrices que usa de manera normalizada los valores de las calificaciones y los pesos. El método procede de acuerdo a las siguientes etapas.

5 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones Formar la tabla de concordancias. Indicar tanto en las hileras como en las columnas las alternativas y en cada celda el índice de concordancia, calculado con la fórmula: j j h k w j j: Ak S j Ak h, k w (7.3) El término en el numerador indica que sólo se suman los pesos de los criterios en los que la alternativa A h sobre-califica a la alternativa A k, es decir, que a h, j ak, j. Los elementos de la diagonal de la tabla se dejan en blanco ya que no se puede comparar a una alternativa con ella misma. La prueba de sobrecalificación se aplica a las alternativas de dos en dos. 2. Formar la tabla de discordancias de manera similar a la tabla de concordancias. alculando el valor en las celdas con la diferencia máxima positiva de las calificaciones. Es decir. máxima positivo( ak ah ) en los j criterios Dh, k (7.4) calificación mayor calificación menor El índice de discordancia D h, k expresa la diferencia mayor, positiva, de las calificaciones para las que la alternativa h es peor que la k, por lo que sólo se toman en cuenta los pares en los que A h no sobre-califica a la alternativa A k. El denominador representa la amplitud de las calificaciones considerada en cada criterio. 3. Para identificar los patrones de dominancias se definen dos límites o umbrales de comparación, p y q. Estos valores pueden especificarse por los analistas en la toma de decisión. Pero una forma práctica de obtener estos valores es con los índices de concordancia y discordancia. alcular el umbral de preferencia p con la tabla de concordancias como el valor próximo mayor o igual al promedio que exista en los números de la tabla de concordancia. Indica la diferencia con la que una calificación aventaja a otra. De la misma manera el umbral de indiferencia q se determina con el valor próximo menor o igual al promedio que exista en los números de la tabla de discordancias. Se construyen dos tablas con las dominancias, primero una con las comparaciones por hilera de las alternativas, de dos en dos, en las tablas de concordancia y discordancia si se cumplen las condiciones siguientes: La alternativa Ah domina a la alternativa A k si h k A esta expresión se le conoce como la prueba de dominancia., p y sólo si D h, k q (7.5) En la segunda tabla de dominancias se hacen las comparaciones por columna y deben cumplir la prueba de dominancia. 4. Se determina la lista de preferencias o jerarquía de las alternativas, ordenando las alternativas según el mayor número de dominancias por hilera y el menor número de dominancias por columna.

6 140 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones Las tablas o matrices de concordancia y discordancia son cuadradas, ya que contienen el mismo número de filas que de columnas. El índice de concordancia expresa una relación de preferencia, que puede resumirse en la siguiente proposición: Proposición de concordancia: el índice de concordancia cuantifica hasta que punto para un número de criterios la alternativa h es tan buena o mejor que la k. Esto implica que una alternativa puede preferirse a otra si las calificaciones en la mayoría de los criterios son iguales o superan a la otra. El índice de concordancia varia entre cero (ausencia total de preferencia, sea cual sea el criterio de valoración elegido) y uno (preferencia total de la alternativa sobre las demás). El índice de discordancia captura la opción de inaceptabilidad de una alternativa como preferente, si presenta un bajo desempeño en las comparaciones de las calificaciones, aunque sea en al menos uno de los criterios y sobresalga en los demás. Representa la existencia de una oposición significativa contra la proposición de concordancia. En el cálculo del índice de discordancia no interviene la prueba de sobrecalificación ni los pesos. El método Electre III y Electre TRI introducen modificaciones para determinar los valores de índices de concordancia y discordancia, por lo demás se aplica igual [2]. Ejemplo 7.2 Se ilustra el método Electre aplicándolo a la selección de la ruta de reacción para fabricar fenol. Se comparan las siguientes tres rutas de reacción: Alternativa A1: proceso catalítico. 1 ( u Fe)200º 6 H 6 + Hl + 2 O2 6 H 5l + H 2O conv 500º 6 H 5l + H 2O 6H 5OH + Hl conv 25% 15% Alternativa A2: proceso de oxidación del tolueno. 3,140º 6 H5H O2 sal de o 6H 5OOH + H 2O conv 1,240º 6 H 5OOH + 2 O2 sal u y Mg 6H5OH + O2 conv riterios de selección de las rutas de reacciones Puntos a favor 90% 90% Alternativa A3: proceso de división del cumeno. 100º 6 H 5H ( H 3) 2 + O2 6H5( H 3) 2OOH conv 40% H SO4 6H5( H 3) 2OOH 6H 5OH + H 3OH 3 2 conv 98%

7 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones Valor del potencial económico. 2- Obtención de subproductos comerciales 3- Rendimiento de las reacciones Puntos en contra 4- Manejo de sustancias peligrosas. 5- ondiciones de operación drástica 6- Utilización de catalizadores costosos. Se propone la siguiente tabla de calificaciones A A A w Nótese que se usa la misma escala para las calificaciones y los pesos. La matriz de concordancia es: h, k A1 A2 A3 A A A La concordancia de A1 con A2 se calcula según la ecuación 7.4 como sigue: A1 A De la misma manera se calculan las concordancias de las otras celdas. La discordancia de manera: D D A1 A2 se calcula con las diferencias de las calificaciones de la siguiente máxima positivo[(3 2),(1 1),(3 1),(3 1),(1 2),(1 1)] 2 (5 1) 4 A 1 A2 0.5 La matriz de discordancia queda:

8 142 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones D h, k A1 A2 A3 A A A La determinación de los umbrales de comparación para las dominancias, p y q se hacen con los valores promedios de las tablas de concordancia y discordancia, respectivamente. Valor promedio de concordancias Este valor se aumenta de tal forma que las preferencias distingan a las alternativas fuertemente dominantes de las no dominantes, se toma una valor p que es el valor próximo mayor al promedio de la tabla. Similarmente se determina un valor de umbral q 0.5 Las pruebas de dominancia de la alternativa A1 por fila son: on respecto a A2: A2. A < p y D q 1 A por lo que A1 no domina a A2 A2 on respecto a A3: y D por lo que A1 no domina a A3. < A 1 A3 > A 1 A3 Los resultados de las pruebas de dominancias se combinan en una sola tabla, de la siguiente manera. En las hileras colocar a las alternativas. La primera columna distingue a las alternativas, la segunda a las alternativas que dominan por filas, que pasen la prueba de dominancia, la tercera contendrá a las alternativas que dominan por columna de acuerdo a la prueba de dominancias. La cuarta columna contiene la diferencia de ocurrencias de dominancias de las columnas segunda menos la tercera. Alternativas Dominancias Dominancias Diferencia Por fila Por columna A1 ninguna A2 y A3-2 A2 A1 A3 0 A3 A1 y A2 ninguna 2 Los resultados deben interpretarse de la siguiente manera: la dominancia por fila corresponde a la frecuencia con la que una alternativa domina a las otras; la dominancia por columna corresponde a la frecuencia con la que una alternativa es domina por las otras. Por ejemplo, la alternativa A1 no domina a ninguna alternativa y es dominada por A2 y A3, mientras que la alternativa A2 domina a A1 pero es dominada por A3. Así que la diferencia de las dominancias por filas menos las dominancias por columna corresponde a un indicador de la jerarquía de las alternativas, el mayor valor positivo será la primera en orden de preferencias, la que le sigue en segundo valor mayor positivo será la segunda y así sucesivamente. Para el ejemplo el orden de preferencias de las alternativas es:

9 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones 143 Jerarquía Primero Segundo Tercero Alternativas A3 A2 A1 on el método se clasifican las alternativas de la mejor a la peor, cuando se presente un empate entre las alternativas pueden modificarse los valores de los umbrales, el umbral de preferencias p deberá aumentarse mientras que el umbral de indiferencia q deberá disminuirse. Se pueden obtener los mismos resultados de jerarquización si al aplicar el método no se usa en el cálculo del índice de concordancia la suma de los pesos en el denominador. También puede omitirse en el cálculo del índice de discordancia el uso del denominador en la fórmula. Referencias 1. Roy, B. lassement et choix en présence de points de vue multiples (la méthode ELETRE), Revue Internationale de Recherche Opérationnelle, no. 8, marzo-abril, Roy B., Mousseau V., A theoretical framework for analyzing the notion of relative importance of criteria, Journal of Multi-criteria Decision Analysis, vol. 5, , Brans, J.P., Vincke, Ph. and Marechal, B. "How to select and how to rank projects: The PROMETHEEmethod", European Journal of Operational Research, vol. 24, , 1986.

10 144 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones Problemas 1. En un proceso se deben tratar las materias primas, en dos etapas consecutivas, antes de entrar a la sección de reactores, se cuenta con cinco alternativas. A1: Modificar solamente la primer etapa de tratamiento, A2: modificar solo la segunda etapa de tratamiento, A3: Modificar ambas etapas de procesamiento, A4: Adquirir nueva tecnología para la primera etapa solamente sin modificar la segunda etapa, A5 Adquirir nueva tecnología para la segunda etapa sin modificar la primera etapa y A6: Usar nuevas tecnologías en ambas etapas. Las alternativas se califican de acuerdo a seis criterios 1: costo de la inversión, 2: Tiempo de suspensión de actividades para aplicar las alternativas, 3: Mejoramiento por ampliación de la capacidad, 4: Efectos sobre el medio ambiente, 5: Severidad de las condiciones de operación y 6: costo de reentrenamiento de operadores. Se dispone del siguiente arreglo de calificaciones y pesos de los criterios A A A A A Pesos, w on el método Electre jerarquice las alternativas e indique el orden de prioridad preferente. 2. En un proceso se desea purificar la corriente de subproductos. Se cuenta con cuatro alternativas de tratamiento A1 a A4. Las alternativas se califican con los siguientes criterios. 1: osto de la inversión, 2: ondiciones de operación, 3: Uso de solventes tóxicos, 4: osto por el manejo de desechos. Se dispone del siguiente arreglo de calificaciones y pesos de los criterios A A A A Pesos, w on el método Electra jerarquice las alternativas e indique el orden de prioridad preferente. 3. En un proceso se deben tratar las materias primas antes de entrar a la sección de reactores, Se cuenta con las siguientes alternativas de tratamiento, A1: Diluir, mezclar y calentar. A2: Mezclar, diluir y calentar, A3: Triturar, diluir y calentar y A4: Diluir y calentar. Las alternativas se califican con los siguientes criterios. 1: osto de la inversión, 2: ondiciones de operación, 3: Generación de desechos tóxicos y 4: peligrosidad. Se dispone del siguiente arreglo de calificaciones y pesos de los criterios.

11 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones A A A A w on el método Electra jerarquice las alternativas e indique el orden de prioridad preferente.

12 146 apitulo 7. Análisis multicriterio para la toma de decisiones