Complitud y continuidad uniforme

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1 Tema 5 Complitud y continuidad uniforme Como ocurría con la acotación, las nociones que ahora vamos a estudiar no son topológicas, pero se conservan en espacios normados al cambiar las normas por otras equivalentes. Gracias al teorema de Hausdorff, para estudiarlas en R N podemos usar cualquier norma. El concepto de sucesión de Cauchy se generaliza fácilmente, para manejarlo en un espacio métrico arbitrario, lo que nos llevará a la definición de espacio métrico completo. Generalizando el teorema de complitud de R, probaremos el resultado análogo en R N. En cuanto a la continuidad uniforme, probamos la versión general del teorema de Heine, completando así el análisis de los principales teoremas que conocíamos sobre continuidad de funciones reales de variable real. Entre las funciones uniformemente continuas destacamos las lipschitzianas, y entre ellas las llamadas contractivas. Sobre estas últimas trata un importante resultado, el teorema del punto fijo de Banach, que es útil en muy diversos campos y aquí servirá para el estudio del cálculo diferencial. Finalmente veremos una caracterización, también muy útil, de las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados Sucesiones de Cauchy Si recordamos las sucesiones de Cauchy de números reales, la siguiente definición no será ninguna sorpresa. Si E es un espacio métrico con distancia d, y x n E para todo n N, se dice que {x n } es una sucesión de Cauchy en E, cuando: ε > 0 m N : p,q m d(x p,x q ) < ε Es obvio que, en R con la distancia usual, las sucesiones de Cauchy son las que ya conocíamos, que coinciden con las convergentes. En general, tenemos siempre una implicación: En cualquier espacio métrico, toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Para comprobarlo, sea {x n } una sucesión de puntos de un espacio métrico E, y supongamos que {x n } x E. Dado ε > 0, existe m N tal que, para n m se tiene d(x n,x) < ε/2. Para p,q m, concluimos entonces que d(x p,x q ) d(x p,x) + d(x,x q ) < ε. 59

2 5. Complitud y continuidad uniforme 60 Es fácil ver que, en general, el recíproco del resultado anterior no es cierto. En el espacio métrico Q, subespacio métrico de R, existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes. Si r n Q para todo n N y, en el espacio métrico R, tenemos {r n } α R \ Q, es claro que {r n } es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico Q que no es convergente, pues si {r n } r Q, entonces {r n } también convergería a r en el espacio métrico R, luego α = r, lo cual es una contradicción. Aclaremos ahora que la noción de sucesión de Cauchy no es topológica: Ejemplo. Dos distancias equivalentes que no dan lugar a las mismas sucesiones de Cauchy. Sea d la distancia usual de R y definamos otra distancia ρ de la siguiente forma: ρ(x,y) = e x e y x,y R Es obvio que ρ(x,y) = ρ(y,x) para cualesquiera x,y R, así como que ρ(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y. La desigualdad triangular también es evidente, pues para x, y, z R se tiene: ρ(x,z) = e x e z e x e y + e y e z = ρ(x,y) + ρ(y,z) Por tanto ρ es una distancia en R, y vamos a ver que es equivalente a d, comprobando que las sucesiones convergentes son las mismas para ambas distancias. Si x n R para todo n N y x R, usando la continuidad de la exponencial y del logaritmo, tenemos {ρ(x n,x)} 0 { e x n e x } 0 { x n x } 0 {d(x n,x)} 0 Es claro que una sucesión {x n } es de Cauchy para la distancia ρ si, y sólo si, la sucesión {e x n } es de Cauchy para la distancia usual, es decir, es convergente. Como {e n } 0, vemos que { n} es una sucesión de Cauchy para la distancia ρ, pero obviamente no lo es para d. Está claro que, en R con la distancia ρ, existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes Complitud Dado un espacio métrico E con distancia d, la siguiente definición está ya motivada. Se dice que d es una distancia completa, o también que E es un espacio métrico completo, cuando toda sucesión de Cauchy de puntos de E es convergente. El teorema de complitud de R, como su nombre indica, afirma que la distancia usual de R es completa, o que R con la distancia usual es un espacio métrico completo. Pero en el ejemplo anterior hemos visto una distancia ρ en R, equivalente a la usual, que no es completa. Por tanto, la complitud de un espacio métrico no es una propiedad topológica. Diremos ahora que una norma en un espacio vectorial X es una norma completa, cuando es completa la distancia d asociada, definida por d(x,y) = y x para x,y X. Un espacio normado cuya norma es completa recibe el nombre de espacio de Banach, en honor del matemático polaco Stefan Banach ( ). Así pues, un espacio de Banach es un espacio normado que, con la distancia asociada a su norma, es un espacio métrico completo. Un espacio pre-hilbertiano cuya norma, la asociada a su producto escalar, es completa, recibe el nombre de espacio de Hilbert, esta vez en honor del matemático alemán David Hilbert ( ).

3 5. Complitud y continuidad uniforme 61 En el ambiente particular de los espacios normados tenemos una ventaja que no teníamos en espacios métricos cualesquiera: Dos normas equivalentes en un mismo espacio vectorial dan lugar a la mismas sucesiones de Cauchy. Por tanto, toda norma equivalente a una norma completa es completa. Si 1 y 2 son dos normas equivalentes en un espacio vectorial X, sabemos que existen constantes λ,ρ R + tales que λ x 1 x 2 ρ x 1. Entonces, para toda sucesión {x n } de vectores de X tendremos λ x p x q 1 x p x q 2 ρ x p x q 1 p,q N Es ya evidente que toda sucesión de Cauchy para 1 es de Cauchy para 2 y viceversa. Como ambas normas también dan lugar a las mismas sucesiones convergentes, deducimos que una de ellas es completa si, y sólo si, lo es la otra. Así pues, un espacio de Banach lo sigue siendo al sustituir su norma por otra equivalente. Gracias al teorema de Hausdorff, todas las normas en R N dan lugar a las mismas sucesiones de Cauchy, así que podemos hablar sin ambigüedad de sucesiones de Cauchy de vectores de R N. Pero es que, en realidad tales sucesiones no son otras que las convergentes: Teorema. Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. Por tanto, el espacio euclídeo N-dimensional es un espacio de Hilbert. Demostración. Basta, por ejemplo, probar que la norma del máximo en R N es completa. Si {x n } es una sucesión de Cauchy de vectores de R N, le aplicamos una desigualdad que ya hemos usado varias veces: x p (k) x q (k) x p x q p,q N k I N Deducimos que, para cada k I N, la sucesión de números reales {x n (k)} es de Cauchy luego, por el teorema de complitud de R, es convergente. Por tanto, {x n } es convergente. Procede preguntar ahora qué subespacios métricos de R N son espacios métricos completos, pero es preferible analizar esta pregunta en general, para subconjuntos de un espacio métrico cualquiera. La situación es muy similar a la que teníamos para la compacidad. Sea E un espacio métrico y A un subespacio métrico de E. Se tiene: (i) Si A es completo, entonces A es un subconjunto cerrado de E. (ii) Si E es completo y A es un subconjunto cerrado de E, entonces A es completo. (i). Si {a n } es una sucesión de puntos de A tal que {a n } x E, bastará ver que x A. Pero está claro que {a n } es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico A, luego es convergente: {x n } a A. Deducimos claramente que x = a, luego x A como queríamos. (ii). Sea {x n } una sucesión de Cauchy en el espacio métrico A, luego también en E. Por ser E completo, tenemos {x n } x E y, al ser A cerrado, deducimos que x A, luego {x n } es convergente en el espacio métrico A, así que A es completo.

4 5. Complitud y continuidad uniforme 62 Deducimos que, cuando el espacio métrico E es completo, un subespacio A es completo si, y sólo si, A es un subconjunto cerrado de E. Esto se aplica en particular al caso de R N con cualquier norma: los subconjuntos completos de R N no son otros que los cerrados. Para espacios normados, cabe destacar una consecuencia del resultado anterior. A menudo, un espacio vectorial de dimensión finita aparece como subespacio de otro, que puede ser de dimensión infinita. Por ejemplo, fijado k N {0}, en el espacio vectorial C [0,1] de todas las funciones continuas de [0,1] en R, podemos considerar el subespacio formado por las funciones polinómicas de grado menos o igual que k, que tiene dimensión k + 1. Para esta situación, el resultado anterior tiene una consecuencia importante: Si X es un espacio normado arbitrario, todo subespacio de dimensión finita de X es un subconjunto cerrado de X. En efecto, si Y es un subespacio de X que tenga dimensión finita, con la norma inducida por la de X tenemos que Y es un espacio normado de dimensión finita, luego es completo. El resultado anterior nos dice entonces que Y es un subconjunto cerrado de X Funciones uniformemente continuas La definición de continuidad uniforme no precisa ninguna motivación, basta observar que la definición que conocemos para funciones reales de variable real viene expresada en términos de la distancia usual de R. En lo que sigue fijamos dos espacios métricos E y F, cuyas distancias se denotan ambas por d, y una función f : E F. La continuidad de f se expresa en la forma x E ε > 0 δ > 0 : y E, d(x,y) < δ d ( f (x), f (y) ) < ε donde sabemos que δ puede depender tanto de ε como del punto x E considerado. Pues bien, tendremos continuidad uniforme cuando podamos conseguir que δ sólo dependa de ε. Por tanto, decimos que f es uniformemente continua cuando: ε > 0 δ > 0 : x,y E, d(x,y) < δ d ( f (x), f (y) ) < ε Está claro que así generalizamos la definición de continuidad uniforme que conocemos para funciones reales de variable real. Es evidente que toda función uniformemente continua es continua, pero sabemos que el recíproco es falso en el caso E = F = R, luego mucho menos puede ser cierto en general. Caracterizamos fácilmente la continuidad uniforme en términos de sucesiones: Si f es uniformemente continua y {x n }, {y n } son sucesiones de puntos de E tales que {d(x n,y n )} 0, entonces { d ( f (x n ), f (y n ) )} 0. El recíproco también es cierto, más concretamente: si f no es uniformemente continua, existen dos sucesiones {x n } e {y n } de puntos de E y existe un ε > 0 tales que d(x n,y n ) < 1/n para todo n N, pero d ( f (x n ), f (y n ) ) ε también para todo n N.

5 5. Complitud y continuidad uniforme 63 Fijado ε > 0, sea δ > 0 dado por la continuidad uniforme de f. Entonces existe m N tal que para todo n m se tiene d(x n,y n ) < δ y, por tanto, d ( f (x n ), f (y n ) ) < ε. Recíprocamente, si f no es uniformemente continua, existe un ε > 0 tal que, para todo δ > 0 se pueden encontrar puntos x,y E, que dependerán de δ, tales que d(x,y) < δ pero d ( f (x), f (y) ) ε. Para cada n N podemos entonces tomar δ = 1/n para encontrar x n,y n E verificando que d(x n,y n ) < 1/n y d ( f (x n ), f (y n ) ) ε. En particular {d(x n,y n )} 0 pero la sucesión { d ( f (x n ), f (y n ) )} no converge a cero. Podemos ya probar fácilmente el principal resultado acerca de la continuidad uniforme de una función entre espacios métricos. La versión que conocemos de este teorema afirma que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado, con valores reales, es uniformemente continua. En realidad, la demostración no utiliza que el conjunto de definición sea un intervalo, sino solamente que es un subconjunto cerrado y acotado de R. Por tanto, el siguiente resultado mejora y generaliza la versión conocida, pero con idéntica demostración, como vamos a ver. Teorema de Heine. Sean E y F espacios métricos y f : E F una función continua. Si E es compacto, entonces f es uniformemente continua. Demostración. Por reducción al absurdo, suponemos que f no es uniformemente continua. Existen entonces dos sucesiones {x n } e {y n } de puntos de E, y un ε > 0, tales que, para todo n N se tiene d(x n,y n ) < 1/n y d ( f (x n ), f (y n ) ) ε Por ser E compacto, tenemos una sucesión parcial {x σ(n) } que converge a un punto x E. Puesto que {d(x σ(n),y σ(n) )} 0, deducimos que también {y σ(n) } x. Como f es continua, tenemos { f (x σ(n) )} f (x) y { f (y σ(n) )} f (x), luego { d ( f (x σ(n) ), f (y σ(n) ) ) } 0, lo cual es una contradicción, ya que d ( f (x σ(n) ), f (y σ(n) ) ) ε para todo n N. Recordemos que el teorema anterior pone de manifiesto que la continuidad uniforme no es una propiedad local: si f : R R es una función continua, para cada x R existe un entorno U de x tal que f U es uniformemente continua, pero sabemos que esto no implica que f sea uniformemente continua Extensión de funciones uniformemente continuas Conviene profundizar un poco más en el estudio de la continuidad uniforme, para descubrir su mayor utilidad. Empezamos con una sencilla observación: Sean E y F espacios métricos y f : E F una función uniformemente continua. Si {x n } es una sucesión de Cauchy de puntos de E, entonces { f (x n ) } es una sucesión de Cauchy en F. Para ε > 0, sea δ > 0 dado por la continuidad uniforme de f. Entonces existe m N tal que, para p,q m se tiene d(x p,y q ) < δ, de donde d ( f (x p ), f (y q ) ) < ε.

6 5. Complitud y continuidad uniforme 64 La observación anterior carece de interés cuando el espacio métrico E es completo, pues entonces la sucesión de Cauchy {x n } es convergente, y la continuidad de f es suficiente para asegurar que { f (x n )} es convergente. Cuando E no es completo, puede servir para demostrar fácilmente que una función no es uniformemente continua. Por ejemplo, la función logaritmo log : R + R no es uniformemente continua, pues {1/n} es una sucesión de Cauchy de puntos de R + pero {log(1/n)} = { log n} no es de Cauchy. De hecho, el resultado anterior nos permite poner de manifiesto la principal utilidad de la continuidad uniforme: Sean E y F espacios métricos, A un subconjunto no vacío de E y f : A F una función. Supongamos que F es completo y que f es uniformemente continua. Entonces existe una única función continua g : A F que extiende a f, es decir, que verifica g(a) = f (a) para todo a A. De hecho, g es uniformemente continua. Para cada x A, existe una sucesión {a n } de puntos de A tal que {a n } x. En particular {a n } es una sucesión de Cauchy de puntos de E, luego por ser f uniformemente continua, { f (a n )} es una sucesión de Cauchy de puntos de F. Como por hipótesis F es completo, la sucesión { f (a n )} es convergente. Su límite sólo depende de x y no de la sucesión {a n } que hemos usado para encontrarlo, como vamos a comprobar enseguida. En efecto, si {b n } es otra sucesión de puntos de A con {b n } x, para la que también sabemos que { f (b n )} es convergente, tenemos claramente que {d(a n,b n )} 0 y, por ser f uniformemente continua, deducimos que { d ( f (a n ), f (b n ) )} 0, lo que claramente implica que { f (a n ) } y { f (b n ) } han de converger al mismo límite. Por tanto, si para x A, escribimos g(x) = lím n f (a n ), donde {a n } es cualquier sucesión de puntos de A tal que {a n } x, tenemos una función bien definida g : A F. Es claro que g extiende a f, pues para a A podemos tomar a n = a para todo n N, con lo que obviamente { f (a n )} f (a), luego g(a) = f (a). Probamos ahora que g es uniformemente continua. Fijado ε > 0, la continuidad uniforme de f nos da un η > 0 tal que a,b A, d(a,b) < η = d ( f (a), f (b) ) < ε/2 Tomamos entonces δ = η/3 y, para x,y A con d(x,y) < δ, veremos que d ( g(x),g(y) ) < ε. Sean {a n } y {b n } sucesiones de puntos de A tales que {a n } x y {b n } y. Existe un m N tal que, para n m se tiene d(a n,x) < δ y d(b n,y) < δ. Entonces, también para n m deducimos que d(a n,b n ) d(a n,x) + d(x,y) + d(y,b n ) < 3δ = η, luego d ( f (a n ), f (b n ) ) < ε/2 Como { f (a n )} g(x) y { f (b n )} g(y), es claro que { d ( f (a n ), f (b n ) )} d ( g(x),g(y) ), y concluimos que d ( g(x),g(y) ) ε/2 < ε, como queríamos. Comprobamos finalmente la unicidad de g. Sea pues ϕ : A F otra función continua que extienda a f. Fijado x A, tomamos una sucesión {a n } de puntos de A tal que {a n } x y tenemos claramente que { f (a n ) } = { ϕ(a n ) } ϕ(x), pero por definición tenemos también { f (an ) } g(x), luego ϕ(x) = g(x).

7 5. Complitud y continuidad uniforme 65 El resultado anterior, combinado con el teorema de Heine, da respuesta satisfactoria a una pregunta muy natural. Supongamos para concretar que A es un subconjunto no vacío y acotado de R N, por ejemplo una bola abierta para la norma euclídea, y que f : A R es una función continua. Es natural preguntarse si podemos extender f para obtener una función g que sea continua en A, que en nuestro ejemplo sería la correspondiente bola cerrada. Como R es completo, el teorema anterior nos dice que podemos hacerlo siempre que f sea uniformemente continua. Pero esta condición suficiente también es necesaria: como A es cerrado y acotado, luego compacto, si existe la extensión continua g que buscamos, el teorema de Heine nos dice que g es uniformemente continua, luego f también ha de serlo, por ser una restricción de g. Observemos ahora que la continuidad uniforme no es una propiedad topológica. Usamos para ello una distancia ρ en R, equivalente a la usual, que ya conocemos: ρ(x,y) = e x e y x,y R Si como espacio métrico E tomamos R con la distancia usual, mientras que F es R con la distancia ρ, entonces la función identidad f : E F no es uniformemente continua. Si lo fuese tendríamos que ε > 0 δ > 0 : x,y R, x y < δ e x e y < ε Esto sería tanto como decir que la función exponencial es uniformemente continua, vista como función de R con la distancia usual en sí mismo, cosa que sabemos que es falsa. Sin embargo, es obvio que si en F cambiamos su distancia por la usual de R tendremos la continuidad uniforme de f. Lo mismo ocurre si, tanto en E como en F usamos la distancia ρ. Tenemos así ejemplos en los que una función uniformemente continua deja de serlo cuando sustituimos la distancia del espacio partida, o del de llegada, por otra equivalente. Sin embargo, si X e Y son espacios normados, cuyas normas podemos denotar por 1, la continuidad uniforme de una función f : X Y se mantiene cuando sustituimos dichas normas por otras equivalentes, que podemos denotar por 2. Basta pensar que existen constantes λ,ρ R + tales que, para cualesquiera u,v X se tiene λ u v 1 u v 2 y f (u) f (v) 2 ρ f (u) f (v) 1 Dado ε > 0, existe η > 0 tal que f (u) f (v) 1 < ε/ρ cuando u v 1 < η, y tomando δ = λη, tenemos que f (u) f (v) 2 < ε cuando u v 2 < δ Funciones lipschitzianas Si E y F son espacios métricos, una función f : E F es lipschitziana cuando existe una constante M R + 0 tal que d ( f (x), f (y) ) M d(x,y) x,y E (1) Es evidente que toda función lipschitziana es uniformemente continua, y sabemos que el recíproco es falso, incluso en el caso E = F = R.

8 5. Complitud y continuidad uniforme 66 La mínima constante M 0 que verifica (1) es la constante de Lipschitz de f, que viene dada por { ( ) } d f (x), f (y) M 0 = sup d(x, y) : x,y E, x y Cuando M 0 1 se dice que f es no expansiva. Cuando se tiene de hecho M 0 < 1 decimos que f es contractiva. Por ejemplo, la norma de cualquier espacio normado X es una función no expansiva de X en R, puesto que x y x y x,y X pero, salvo en el caso trivial X = {0}, no es contractiva, ya que la anterior desigualdad es una igualdad cuando tomamos por ejemplo y = x/2 con x 0. Análogamente, en cualquier espacio métrico E, fijado z E, la aplicación x d(x, z) es no expansiva, puesto que d(x,z) d(y,z) d(x,y) x,y,z E Como función de dos variables, definida en el espacio métrico producto E E, la distancia es una función lipschitziana, pues para cualesquiera x, y, u, v E se tiene d(x,y) d(u,v) d(x,y) d(y,u) + d(y,u) d(u,v d(x,u) + d(y,v) 2 máx{d(x,u),d(y,v)} = 2 d ( (x,y),(u,v) ) Por tanto, d es uniformemente continua, y en particular es continua, cosa que ya sabíamos y de hecho hemos usado varias veces. El hecho de que una función sea lipschitziana, y no digamos su constante de Lipschitz, es muy inestable cuando cambiamos de distancias. En el ejemplo usado para mostrar que la continuidad uniforme no es una propiedad topológica, teníamos una aplicación no expansiva que dejaba de ser uniformemente continua al sustituir la distancia del espacio métrico de partida o de llegada por otra equivalente. En el caso de dos espacios normados, el mismo razonamiento usado para la continuidad uniforme prueba que una función lipschitziana lo sigue siendo al cambiar las normas por otras equivalentes, pero su constante de Lipschitz puede claramente cambiar Teorema del punto fijo de Banach El siguiente resultado muestra una propiedad importante de las aplicaciones contractivas y, de hecho, pone muy de manifiesto la utilidad de la complitud de un espacio métrico. Teorema. Sea E un espacio métrico completo y f : E E una aplicación contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe un único punto x E tal que f (x) = x. Demostración. Fijamos x 0 E arbitrario y definimos por inducción una sucesión {x n } de puntos de E, tomando x 1 = f (x 0 ) y x n+1 = f (x n ) para todo n N.

9 5. Complitud y continuidad uniforme 67 Si α < 1 es la constante de Lipschitz de f y ρ = d(x 0,x 1 ) comprobamos por inducción que d(x n,x n+1 ) α n ρ n N (2) En efecto, tenemos d(x 1,x 2 ) = d ( f (x 0 ), f (x 1 ) ) αd(x 0,x 1 ) = αρ y, suponiendo que (2) se verifica para un n N, deducimos que d(x n+1,x n+2 ) = d ( f (x n ), f (x n+1 ) ) αd(x n,x n+1 ) αα n ρ = α n+1 ρ Ahora, para cualesquiera n, k N tenemos d(x n,x n+k ) k 1 d(x n+ j,x n+ j+1 ) ρ j=0 k 1 α n+ j ρα n α j = ραn j=0 j=0 1 α (3) Dado ε > 0, como {α n } 0, existe m N tal que, para n m se tiene ρα n < ε(1 α). Entonces, para p,q m, suponiendo sin perder generalidad que p < q, usamos (3) con n = p y k = q p para obtener d(x p,x q ) = d(x n,x n+k ) ραn 1 α < ε Hemos probado así que la sucesión {x n } es de Cauchy. Como por hipótesis E es completo, tenemos {x n } x E. Entonces vemos también que { f (xn ) } = {x n+1 } x, pero f es continua, luego { f (x n ) } f (x) y concluimos que f (x) = x. Finalmente si y E \ {x} fuese otro punto fijo de f, se tendría d(x,y) = d ( f (x), f (y) ) αd(x,y) de donde 1 α, lo cual es una contradicción. El teorema anterior se aplica en contextos muy variados, pues se trata de una herramienta muy potente para resolver ecuaciones. Al fin y al cabo nos asegura que, bajo ciertas condiciones sobre el espacio métrico E y la función f : E E, la ecuación f (x) = x tiene solución única. La demostración que hemos hecho, que es la original de Banach, tiene la ventaja de ser constructiva: partiendo de un punto arbitrario x 0 E y usando iterativamente la propia función f, obtenemos una sucesión {x n } que converge al punto fijo x. De hecho, podemos estimar con facilidad el error cometido al tomar un término x n de la sucesión como aproximación de x. En efecto, fijado n N, tenemos claramente que x = lím x n+k y usando la desigualdad (3), que k es válida para todo k N, obtenemos d(x n,x) = lím k d(x n,x n+k ) ραn 1 α Fijado ε > 0 esta desigualdad nos da claramente el número n de iteraciones necesarias para conseguir que d(x n,x) < ε, esto es, para aproximar x con la precisión deseada.

10 5. Complitud y continuidad uniforme Continuidad de aplicaciones lineales Para una aplicación lineal entre espacios normados, vamos a caracterizar de varias formas su continuidad. La propiedad más débil que se nos puede ocurrir, la continuidad en un punto, equivale a la propiedad más fuerte, que nuestra aplicación sea lipschitziana. Su constante de Lipschitz servirá después para definir la norma de una aplicación lineal continua. Por otra parte, vemos también que la continuidad de una aplicación lineal equivale a que conserve los conjuntos acotados. Resumimos en un solo enunciado toda esta información. Teorema. Sean X,Y espacios normados y T : X Y una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe x 0 X tal que T es continua en x 0 (ii) T es continua en 0 (iii) T es continua (iv) T es uniformemente continua (v) T es lipschitziana (vi) Existe una constante M R + 0 tal que T (x) x para todo x X (vii) T está acotada en cada subconjunto acotado de X, es decir: si A es un subconjunto acotado de X, entonces T (A) es un subconjunto acotado de Y (viii) T está acotada en la bola cerrada unidad de X, es decir, T (B) es un subconjunto acotado de Y, donde B = {x X : x 1} (ix) T está acotada en la esfera unidad de X, es decir, T (S) es un subconjunto acotado de Y, donde S = {x X : x = 1} Demostración. Empezamos observando que (i) (ii). Si T es continua en un punto x 0 X y {x n } es una sucesión de vectores de X tal que {x n } 0, tenemos {x n + x 0 } x 0, luego {T (x n + x 0 )} T (x 0 ), de donde {T (x n )} = {T (x n + x 0 ) T (x 0 )} 0, y esto prueba que T es continua en 0. Recíprocamente, de (ii) se deduce (i) con x 0 = 0. Con las afirmaciones (ii) a (ix) haremos dos ciclos, de forma que todas ellas resultarán ser equivalentes a (vi). (ii) (vi). Como la bola cerrada unidad de Y es un entorno de 0 = T (0), la continuidad de T en 0 nos dice que la imagen inversa por T de dicha bola es un entorno de 0 en X. Por tanto: δ > 0 : z X, z δ T (z) 1 Dado x X \ {0}, tomando z = δx/ x tenemos claramente z = δ, luego T (x) = x δ x T (z) δ Como esta desigualdad es obvia cuando x = 0, hemos probado (vi) con M = 1/δ. (vi) (v). De (vi) deducimos que, para cualesquiera x, z X se tiene: T (x) T (z) = T (x z) M x z (v) (iv) (iii) (ii). Las tres implicaciones son evidentes.

11 5. Complitud y continuidad uniforme 69 Hemos cerrado un ciclo, mostrando que las seis primeras afirmaciones del enunciado son equivalentes. Con otro ciclo completaremos la demostración. (vi) (vii). Si A es un subconjunto acotado de X y ρ R + verifica que x ρ para todo x A, tenemos claramente y M ρ para todo y T (A). (vii) (viii) (ix). Basta pensar que B es un subconjunto acotado de X y que S B. (ix) (vi). Por hipótesis, existe M R + 0 tal que z M para todo z S. Dado x X, podemos escribir x = x z con z S, para obtener T (x) = T (z) x M x. Comentemos brevemente la utilidad de las distintas caracterizaciones que hemos obtenido para la continuidad de una aplicación lineal. La equivalencia entre las afirmaciones (i), (ii) y (iii) nos dice lo que ocurre cuando un aplicación lineal no es continua: no puede ser continua en ningún punto de X. Nunca nos encontraremos aquí en situación tan desagradable, pues veremos enseguida que toda aplicación lineal, de R N en cualquier espacio normado, es continua. La equivalencia entre las afirmaciones (iii), (iv) y (v) sí es importante, tres propiedades que en general, para una función entre espacios métricos, o incluso entre espacios normados, están muy lejos de ser equivalentes, resultan serlo cuando trabajamos con aplicaciones lineales. La afirmación (vi) es la que suele usarse para probar la continuidad de una aplicación lineal, pues se trata de una desigualdad que en la práctica suele ser fácil de comprobar. Su equivalencia con (v) es bastante obvia, pues como T es lineal, para M R + 0 se tiene: T (x) M x x X T (x) T (z) M x z x,z X En efecto, para la implicación hacia la derecha se usa x z en vez de x como hemos hecho en la demostración, y la otra es obvia tomando z = 0. Por tanto, la constante de Lipschitz M 0, que es la mínima constante que verifica la desigualdad de la derecha, también es la mínima constante que verifica la de la izquierda, es decir, M 0 = mín { M R + } 0 : T (x) M x x X = sup { T (x) / x : x X \ {0} } (4) Las caracterización de la continuidad dada por (vii), tiene también un significado útil: una aplicación lineal T : X Y es continua si, y sólo si, conserva la acotación. Además, en vista de (viii) y (ix), para comprobar en la práctica que T conserva la acotación, no es necesario manejar todos los subconjuntos acotados de X, basta usar su bola cerrada unidad B, o si se prefiere, sólo la esfera unidad S. De hecho, cuando comprobamos que T está acotada en S, podemos obtener directamente su constante de Lipschitz. Basta observar que la expresión de M 0 obtenida en (4) sólo involucra los valores de T en los vectores de la forma x/ x con x X \ {0}, es decir, todos los vectores de S. Se tiene por tanto: M 0 = sup { T (u) : u S } (5) También podemos usar B en lugar de S, pues de (5) y (4) deducimos que M 0 sup { T (v) : v B } sup { M 0 v : v B } = M 0 (6)

12 5. Complitud y continuidad uniforme 70 Probamos ahora una importante consecuencia del teorema de Hausdorff, que ya hemos anunciado: Si X es un espacio normado de dimensión finita, toda aplicación lineal de X en cualquier otro espacio normado, es continua. Sea Y otro espacio normado y T : X Y una aplicación lineal. Definimos una nueva norma T en X, de la siguiente forma x T = x + T (x) x X La comprobación de que T es efectivamente una norma en X, no tiene dificultad, es pura rutina. Como X tiene dimensión finita, el teorema de Hausdorff nos dice que T es equivalente a la norma de partida en X, luego existe una constante ρ R + tal que x T x para todo x X. Pero entonces está bien claro que T (x) x T ρ x x X y esto prueba que T es continua Norma de una aplicación lineal continua Si X e Y son espacios normados arbitrarios, denotaremos siempre por L(X,Y ) al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales y continuas de X en Y, cuya suma y producto por escalares vienen definidos, para T 1,T 2 L(X,Y ) y λ R, por ( ) ( ) T1 + T 2 (x) = T1 (x) + T 2 (x) x X y λt1 (x) = λt1 (x) De hecho, L(X,Y ) es un subespacio vectorial de C(X,Y ), el espacio vectorial de todas las funciones continuas de X en Y, que ya conocíamos. En el caso Y = X es costumbre escribir simplemente L(X), en lugar de L(X, X). La norma de una aplicación lineal continua T L(X,Y ), que se denota por T, es por definición la constante de Lipschitz de T. Según hemos visto en la igualdades (4), (5) y (6), disponemos de varias expresiones de esta constante: T = mín { M R + } 0 : T (x) M x x X = sup { T (x) : x X, x = 1 } = sup { T (x) : x X, x 1 } Antes de comprobar que efectivamente hemos definido una norma en el espacio vectorial L(X,Y ), explicamos la forma en que dicha norma se utiliza habitualmente. Como ya se ha dicho, se suele probar que una aplicación lineal T : X Y es continua, encontrando M R + 0 tal que T (x) M x para todo x X. Entonces, T M y se tendrá la igualdad cuando la constante M sea la mínima posible, es decir, cuando la desigualdad conseguida sea inmejorable.

13 5. Complitud y continuidad uniforme 71 Si por el contrario ya sabemos que T L(X,Y ), podemos escribir T (x) T x x X (7) y estaremos usando la mejor desigualdad posible, en el sentido de que T es la mínima constante que puede aparecer en ella. Esta situación es la que tendremos siempre en lo que sigue, pues X será un espacio normado de dimensión finita. En general, comprobar que efectivamente tenemos una norma en L(X,Y ) es bien fácil. Para T 1,T 2 L(X,Y ), usando (7) se tiene: ( ) T 1 + T 2 (x) T1 (x) + T 2 (x) ( T 1 + T 2 ) x x X Esta desigualdad prueba que T 1 + T 2 es continua como ya sabíamos, pero también nos dice que T 1 + T 2 T 1 + T 2. Para la homogeneidad por homotecias se puede razonar de forma análoga, pero es más directo pensar que, para T L(X,Y ) y λ R se tiene: λt = sup { λt (x) : x X, x = 1 } = sup { λ T (x) : x X, x = 1 } = λ T Finalmente es obvio que de T = 0 se deduce T = 0. Conviene finalmente resaltar que, aunque el espacio vectorial L(X,Y ) sólo depende de las topologías de X e Y, la norma que hemos definido en L(X,Y ) sí depende esencialmente de las normas concretas que tengamos en X e Y. Si sustituimos dichas normas por otras equivalentes, la norma de L(X,Y ) también cambiará, aunque es fácil ver que la nueva norma en L(X,Y ) también será equivalente a la de partida Ejercicios 1. Probar que, en cualquier espacio métrico, toda sucesión de Cauchy está acotada. 2. Probar que, en todo espacio métrico, una sucesión de Cauchy, que admita una sucesión parcial convergente, ha de ser convergente. Deducir que todo espacio métrico compacto es completo. 3. Sea f : R R una función continua e inyectiva. Probar que definiendo ρ(x,y) = f (x) f (y) x,y R se obtiene una distancia en R, equivalente a la usual. Cuando es ρ completa? 4. Probar que la distancia discreta, en cualquier conjunto no vacío, es completa. 5. Sean X 1, X 2,... X N espacios normados y X = N X k k=1 el espacio normado producto. Probar que X es un espacio de Banach si, y sólo si, lo es X k para todo k I N.

14 5. Complitud y continuidad uniforme Enunciar y demostrar un resultado análogo al del ejercicio anterior, para un producto de espacios métricos. 7. Sea f : [0,1] R una función continua verificando que f (0) = f (1) = 0. Supongamos que existen dos sucesiones {a n } y {b n } de números reales tales que 1 lím f (t) a n cos(πt/2) b n sen(πt/2) dt = 0 n 0 Probar que f (t) = 0 para todo t [0,1]. 8. Enunciar y demostrar un resultado sobre la composición de dos funciones uniformemente continuas. 9. Dado un espacio normado X {0}, probar que la función f : X \ {0} R definida por f (x) = 1 x x X \ {0} no es uniformemente continua pero, para cada δ R +, la restricción de f al conjunto {x X : x δ} es una función lipschitziana. 10. Dado un subconjunto no vacío A de un espacio métrico E con distancia d, probar que la función f : E R definida por f (x) = d(x,a) = ínf { d(x,a) : a A } x E es no expansiva. 11. Dado y R N se define T y L(R N,R) usando el producto escalar en R N : T y (x) = ( x y ) x R N Calcular la norma de la aplicación lineal T y, considerando en R N a) la norma euclídea b) la norma del máximo c) la norma de la suma 12. Consideremos los espacios normados X = R N con la norma de la suma e Y = R N con la norma del máximo. Denotando como siempre por {e k : k I N } a la base usual de R N, probar que, para toda T L(X,Y ) se tiene: T = máx { ( T (e j ) e k ) : j,k IN }