Computación 1. Gráficos en 2D y 3D

Transcripción

1 Computación 1 Gráficos en 2D y 3D

2 Necesidades Visualizar tendencias, patrones, frecuencias, trayectorias o cambios que son difíciles de encontrar en un conjunto de datos. Una imagen vale más que mil palabras ("como muestra el gráfico..."). Los gráficos ayudan a la toma de decisiones.

3 Comentarios Los gráficos representados en una computadora son discretos. A partir de una curva (matemática, materialmente inexistente), se toman puntos representantes y un programa se encarga de realizar una interpolación. El resultado de la interpolación se asemeja en mayor o en menor medida a la curva original. Existen varias formas de realizar interpolaciones. Para representar curvas, en Octave utilizamos una interpolación lineal para aproximar el gráfico a la curva original.

4 Observaciones Cuantos más puntos, mejor será la aproximación Ejemplos:

5 Conceptos previos Operador : Se trata de una de las formas de definir vectores y matrices más usada y más fácil de utilizar, dada la rápida visualización de la salida sin necesidad de ver el resultado >> x=1:1:10 >> x x = De alguna manera, el : representa un rango, en este caso desde 1 hasta 10 y en el centro se coloca el paso (o sea con que incremento se llega desde 1 hasta 10).

6 Operador : Por defecto el paso es 1 pero puede ser cualquier número entero o real, positivo o negativo: >> x=10:-1:1 x =

7 Gráficos bidimensionales Funcioón plot: traza lineas, crea un gráfico a partir de vectores y/o columnas de matrices, con escalas lineales sobre ambos ejes. Esta es la función clave de todos los gráficos bidimensionales en Octave.

8 plot Ejemplo sencillo: >> x=[ ] x = >> plot(x)

9 plot (II) Cuando a la función plot() se le pasa un único vector real como argumento, dicha función dibuja en ordenadas el valor de los n elementos del vector frente a los índices 1, 2,... n del mismo en abscisas.

10 plot (III) Una segunda forma de utilizar la función plot() es con dos vectores como argumentos. En este caso los elementos del segundo vector se representan en ordenadas frente a los valores del primero, que se representan en abscisas. >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> plot(x,y)

11 plot (IV) La función plot() permite también dibujar múltiples curvas introduciendo varias parejas de vectores como argumentos. En este caso, cada uno de los segundos vectores se dibujan en ordenadas como función de los valores del primer vector de la pareja, que se representan en abscisas. >> x=0:pi/25:6*pi; >> y=sin(x); >> z=cos(x); >> plot(x,y,x,z)

12 plot (V) Si el usuario no decide otra cosa, para las sucesivas líneas se utilizan colores que son permutaciones cíclicas del azul, verde, rojo, cyan, magenta, amarillo y negro.

13 Otro ejemplo gráfico de la función 0.1 * x * sin(x) graficaremos usando valores para x entre -2π y 2π % Generamos el vector x entre -2p y 2pi x = -2*pi:0.1:2*pi %dibujamos plot(x, abs(0.1*x).* sin(x)); Tener en cuenta que * es el producto de matrices, no funcionará con vectores, mientras que.* es el producto miembro a miembro de los elementos de cada vector

14 Resultado

15 Varias gráficas a la vez... Generalicemos nuestra función: a * x * sin(x) y graficámos dando 3 diferentes valores a la variable a. Por ejemplo: plot(x, abs(0.1*x).* sin(x)) plot(x, abs(0.2*x).* sin(x)) plot(x, abs(0.3*x).* sin(x)) Cómo hacemos si queremos ver los tres gráficos en una misma pantalla? hold on

16

17 Otras funciones útiles grid: muestra una cuadrícula en la pantalla del gráfico. Usando grid on se activa y con off se desactiva title( titulo): Coloca un título al gráfico xlabel( leyenda x ): Coloca una leyenda al eje x ylabel( leyenda y ): Coloca una leyenda al eje y text(x,y,'texto'): introduce 'texto' en el lugar especificado por las coordenadas x e y. Si x e y son vectores, el texto se repite por cada par de elementos. Si texto es también un vector de cadenas de texto de la misma dimensión, cadaelemento se escribe en las coordenadas correspondientes

18 Otras funciones útiles(ii) legend(): define rótulos para las distintas líneas o ejes utilizados en la figura. grid: activa la inclusión de una cuadrícula en el dibujo. Con grid off desaparece la cuadrícula.

19 Control de ejes Octave ajusta la escala de cada uno de los ejes de modo que varíe entre el mínimo y el máximo valor de los vectores a representar. Este es el llamado modo "auto", o modo automático. Para definir de modo explícito los valores máximo y mínimo según cada eje, se utiliza la función axis: Mientras que : axis([xmin, xmax, ymin, ymax]) axis('auto') devuelve el escalado de los ejes al valor por defecto o automático.

20 Control de ejes(ii) v=axis: devuelve un vector v con los valores [xmin, xmax, ymin, ymax] axis(axis): mantiene los ejes en sus actuales valores, de cara a posiblesnuevas gráficas añadidas con hold on. axis('ij'): utiliza ejes de pantalla, con el origen en la esquina superior izda.y el eje j en dirección vertical descendente. axis('xy'): utiliza ejes cartesianos normales, con el origen en la esquina inferior izquierda y el eje y vertical ascendente. axis('equal'): el escalado es igual en ambos ejes. axis('square'): el escalado es igual en ambos ejela ventana será cuadrada.

21 Control de ejes(iii) axis('image'): la ventana tendrá las proporciones de la imagen que se desea representar en ella (por ejemplo la de una imagen bitmap que se desee importar) y el escalado de los ejes será coherente con dicha imagen. axis('normal'): elimina las restricciones introducidas por 'equal' y 'square'. axis('off'): elimina las etiquetas, los números y los ejes. axis('on'): restituye las etiquetas, los números y los ejes.

22 Ejemplo x=-2*pi:.1:2*pi; y=sin(x)-cos(sqrt(2)*x); plot(x,y,'r','linewidth',2) axis tight grid on xlabel('eje x') ylabel('eje y') title('grafica de y=sin(x)-cos(sqrt(2)*x)','fontsize',14)

23 Ejemplo(II)

24 Colores y trazos En las siguientes tablas se muestran las posibilidades de colores y estilos de líneas:

25 Colores y trazos(ii) >> n=1:10; >> m=1./n; >> plot(n,m,'o')

26 Colores y trazos(iii)

27 Función ezplot La instrucción plot es muy versátil, pero si queremos producir una gráfica estándar que represente una sola curva sin complicarnos generando una tabla de valores, disponemos del comando ezplot, que traza la curva correspondiente a una expresión funcional que se introduce como una cadena de caracteres. ezplot('exp(sin(x))-1',[0,10])

28 Función ezplot(ii)

29 Función ezplot(iii) ezplot('x^2+2*x*y-3*x+1',[ ])

30 Función subplot Una ventana gráfica se puede dividir en m particiones horizontales y n verticales, con objeto de representar múltiples gráficos en ella. Cada una de estas subventanas tiene sus propios ejes, aunque otras propiedades son comunes a toda la figura. subplot(m,n,i) donde m y n son el número de subdivisiones en filas y columnas, e i es la subdivisión que se convierte en activa.

31 Función subplot(ii) y=sin(x); z=cos(x); w=exp(-x*.1).*y; v=y.*z; subplot(2,2,1), plot(x,y) subplot(2,2,2), plot(x,z) subplot(2,2,3), plot(x,w) subplot(2,2,4), plot(x,v)

32 Múltiples gráficas La función plot() permite también dibujar múltiples curvas introduciendo varias parejas de vectores como argumentos. En este caso, cada uno de los segundos vectores se dibujan en ordenadas como función de los valores del primer vector de la pareja, que se representan en abscisas. Observe bien cómo se dibujan el seno y el coseno en el siguiente ejemplo (usamos el mismo x definido al comienzo): >> y=sin(x) >> z=cos(x) >> plot(x,y,x,z)

33 Multiples gráficas(ii)

34 Otras funciones gráficas 2-D bar(): crea diagramas de barras barh(): diagramas de barras horizontales bar3(): diagramas de barras con aspecto 3-D bar3h(): diagramas de barras con aspecto 3-D pie(): gráficos con forma de tarta pie3(): gráficos con forma de tarta y aspecto 3-D area(): similar plot(), pero rellenando en ordenadas de 0 a y stairs(): función análoga a bar() sin líneas internas errorbar(): representa sobre una gráfica mediante barras valores de errores hist(): dibuja histogramas de un vector

35 Ejemplo, opción bar x=[rand(1,25)*10]; plot(x) bar(x)

36 Función fplot La función plot vista anteriormente dibuja vectores. Si se quiere dibujar una función, antes de ser pasada a plot debe ser convertida en un vector de valores. Esto tiene algunos inconvenientes, por ejemplo, el que "a priori" es difícil predecir en que zonas la función varía más rápidamente y habría por ello que reducir el espaciado entre los valores en el eje de abscisas. La función fplot admite como argumento un nombre de función o un nombre de archivo *.m en el cual esté definida una función de usuario. La función puede ser escalar (un único resultado por cada valor de x) o vectorial. )

37 Función fplot(ii) fplot('funcion', limites, 'cadena', tol) 'funcion': representa el nombre de la función o del archivo *.m entre apóstrofos (pasado como cadena de caracteres), limites : es un vector de 2 ó 4 elementos, cuyos valores son [xmin,xmax] o [xmin,xmax,ymin,ymax], 'cadena': tiene el mismo significado que en plot y permite controlar el color, los markers y el tipo de línea. tol: es la tolerancia de error relativo. El valor por defecto es 2e-03. El máximo número de valores en x es (1/tol)+1

38 Gráficas en 3D plot3() La función plot3() dibuja curvas en tres dimensiones, o ternas de valores arbitrarios sin necesidad de que formen una superficie. Por ejemplo, el código siguiente dibuja una espiral en tres dimensiones: fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'b')

39 Gráficas en 3D(II)

40 Gráficas de malla La funcion mesh() dibuja un gráfico de malla en la forma Z=f(X,Y), tomando la Z como elevación y haciendo el color del mallado proporcional al valor de Z. Si Z es una matriz cuyas dimensiones son [m,n], el vector de las coordenadas x tendrá que tener m elementos, y el vector de las componentes y tendrá n elementos.

41 Gráficas de malla(ii) mesh(z): dibuja el gráfico de malla 3D correspondiente a Z=Z(x,y) haciendo x=1:m e y=1:n con [m, n] = size(z). El color es proporcional al valor de Z. mesh(x, Y, Z): dibuja el gráfico de malla 3D con el color determinado por el valor de Z. Si X e Y son vectores las dimensiones tienen que cumplir: m=length(x), n=length(y) y [m, n]=size(z). En este caso, los puntos de la superficie serán (X(j), Y(i), Z(i,j)). Si X, Y, Z son matrices, sus dimensiones serán iguales. En este caso los puntos del mallado serán: (X(i,j), Y(i,j), Z(i,j))

42 Gráficas de malla(iii) meshgrid(x,y): Dados dos vectores de coordenadas x e y, la función meshgrid() devuelve una pareja de matrices Mx, My que se corresponden con la red de puntos de intersección de las dos series x e y. Estas matrices se pueden pasar directamente a la función mesh() y también se pueden utilizar para calcular los valores de Z si conocemos su expresión en la forma Z=f(X,Y).

43 Ejemplo (mesh) u=-8:0.5:8; v=u; [U,V]=meshgrid(u,v); R=sqrt(U.^2+V.^2)+eps; W=sin(R)./R; mesh(w)

44 Ejemplo (surf) u=-8:0.5:8; v=u; [U,V]=meshgrid(u,v); R=sqrt(U.^2+V.^2)+eps; W=sin(R)./R; surf(w)

45 Ejemplo(meshc()) meshc(): Es similar a mesh() pero dibuja además las curvas de nivel sobre el plano x-y: El resultado se puede ver en la siguiente figura: