Programación lineal. El puente aéreo de Berlín.

Transcripción

1 Programación lineal. El puente aéreo de Berlín. Introducción Los acuerdos de Yalta, durante la Segunda Guerra Mundial dividía Alemania entre las tres potencias vencedoras (Gran Bretaña, USA y URSS). A su vez la capital del III Reich, Berlín, también se dividía a su vez en tres partes. Berlín quedaba enclavada como un islote en la zona soviética. En 1948, los rusos cortaron las vías de comunicación terrestres, teniendo que ser abastecida Berlín, por vía aérea. Los aparatos de la época tenían relativamente poca capacidad y la antigua capital de Alemania estaba destruida por los bombardeos. Se planteaba un problema de abastecimiento muy difícil y donde había que elegir con buen criterio los productos que debían llegar y en que orden. Este problema logístico fue el primer gran problema de Programación Lineal de la Historia. Esta rama de las Matemáticas tuvo mucho que ver en la primera victoria Occidental en la llamada guerra fría que finalizó con la caída del telón de acero. 1

2 1.- Situación de Berlín en 1948 Ya en la primavera de 1946, Winston Churchill sostuvo: Desde Stettin, hasta Trieste, un telón de acero ha caído sobre el continente. En ese momento todavía existían relaciones cordiales entre las potencias vencedoras. En 1947 el general George Marshall anuncia un plan de ayudas americanas a la Europa Occidental, que estaba terriblemente asolada por la guerra. Esta ayuda no afectaba a la parte alemana dominada por los soviéticos. Americanos y británicos crean una nueva moneda: El Deutschemark. La administración soviética pide explicaciones por esta nueva política. Pocos días después, los controles rusos empezaron a entorpecer el tráfico de trenes de mercancías con destino a Berlín. Comenzaba así, una escalada de restricciones, que culminaban el 20 de junio de 1948, fecha en la que se suspendían el tráfico fluvial, ferroviario y por carretera de mercancías y pasajeros. Empezaba así la primera batalla de la guerra fría, que dejaba dos tercios de la ciudad de Berlín aislada detrás del telón de acero. Podrían sobrevivir los habitantes berlineses de la zona Occidental? El invierno de fue terrible. Las temperaturas descendieron a -20 grados centígrados. Las casas seguían destruidas en su mayoría. Los árboles se arrancaban y convertían en leña. Los rusos ofrecieron abundantes raciones de alimentos y combustible a la población que se registrara en la parte Oriental, Sólo uno berlineses aceptaron. Berlín Occidental necesitaba toneladas diarias, entre alimentos, carbón, materias primas y artículos diversos. 2.- Puente aéreo El 26 de junio empezó a funcionar el puente aéreo. La aviación norteamericana transportó 73 toneladas y 7 los británicos. A los tres meses se habían transportado toneladas en casi vuelos, a razón de 2000 toneladas-día al principio y 3000 toneladas-día al final. Hasta los seis meses de funcionamiento no se alcanzaron las 4000 toneladas-día que era el mínimo considerado para la supervivencia de la ciudad. Pero en diciembre se llegó a las 7000 toneladas diarias y posteriormente en enero y febrero de 1949 se rondaron las toneladas diarias, con una cifra record el día 16 de abril de 1949 de toneladas 3.- Cómo se consiguió subir tan espectacularmente las cantidades trasladadas con, prácticamente, los mismos recursos? La perfección en la planificación de los vuelos y su escalonamiento permitió el mejor aprovechamiento logístico de todos los recursos. Se ponía en práctica una parte de las matemáticas llamada: Programación lineal. Sólo en el plano alimenticio se optimizó a unas 1304 toneladas diarias de víveres: 586 toneladas de trigo y harina, 113 de otros cereales, 58 de grasas, 99 de carne y pescado, 163 de patatas deshidratadas (lo que suponía un ahorro de 80 viajes, ya que de ser frescas habrían sido 816 las toneladas que se hubieran precisado diariamente), 2

3 77 de azúcar, 10 de café, 21 de leche en polvo, 3 de levadura fresca, 131 de verduras deshidratadas, 34 de sal y 9 de queso. Las perdidas en verduras frescas se compensaban con tabletas de vitamina C. Con estas cantidades no sobraban en las diferentes combinaciones que se realizaban, ni se estropeaban alimentos, ni había necesidad de almacenarlos. Además hubo que trasladar carbón, combustible líquido, papel, materias primas para el funcionamiento de las fábricas, ropa, material sanitario Respecto a los aviones se eligieron aquellos cuya carga y velocidad permitían obtener un mayor rendimiento con menores dificultades de tránsito. Se escogieron cuya velocidad les permitía volar en una larga formación en columna. El avión más utilizado fue el Douglas C-54 Skymaster muy seguro y fácil de reparar, que sin embargo, no era ni el más veloz, ni el que tenía mayor capacidad de carga. Era el más óptimo. Respecto a la organización el puente aéreo se componía de 8 divisiones: personal, comunicaciones, aeropuertos, planificación, mantenimiento, abastecimiento, carga y operaciones. Se estructuraban ordenadamente sin entorpecer el trabajo de las demás divisiones. No se reparó en gasto de combustible alcanzándose un consumo de 17 millones de litros. Esta variable no se optimizó. Por último respecto a la infraestructura del puente aéreo, el acceso a Berlín se trazó mediante tres pasillos de 32 kilómetros de ancho entre Alemania Occidental y Berlín Oeste: El pasillo norte partía de Hamburgo en dirección sudeste El central de Hannover en dirección este El del sur Frankfurt hacia el noroeste Los tres terminaban en Berlín, en los aeropuertos de Tempel off, Gamow y Hegel. Todos estos inmensos cálculos se realizaron sobre papel, utilizando inmensas tablas y los mejores matemáticos del momento del lado Occidental. Finalmente destacar que el puente aéreo duró 403 días, en los que se transportaron de toneladas de mercancías, en un total de vuelos. 3

4 4.- Qué es la programación lineal? La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). El propósito de la programación lineal es el de MAXIMIZAR o MINIMIZAR funciones lineales de la forma: f X c x c x c x ( ) = n n Sujeta a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales: a11x1 + a12 x a1 nxn b1 a21x1 + a22x a2nxn b2... a x + a x a x b m1 1 m2 2 mn n m Donde las variables x i (i = 1, 2,3,, n) son no negativas. Los problemas de programación lineal para dos variables consiste en optimizar (maximizando o minimizando) una función lineal de la forma ax + by = z, en la que z es el valor de la programación lineal (punto que buscamos para conseguir el máximo o el mínimo), a el coeficiente de la variable x y b el coeficiente de la variable, a la que llamamos función objetivo, y está sujeta a un sistema de inecuaciones (restricciones) de la forma ax + by d ó ax + by d. Estas inecuaciones determinan un semiplano. Una inecuación lineal es de la forma: ax + by + c 0 ax + by + c 0 Geométricamente, representa el conjunto de puntos de cada una de los dos semiplanos en los que la recta de ecuación ax + by + c = 0 divide al plano 4

5 5.- Diversos ejemplos Ejemplo 1: Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. MAYORISTA A MAYORISTA B Necesidades mínimas Naranjas cajas Plátanos cajas Manzanas cajas Distancia 150 Km 300 Km VARIABLES INSTRUMENTALES Llamamos x al número de contenedores del mayorista A Llamamos y al número de contenedores del mayorista B FUNCIÓN OBJETIVO (Minimizar): F(X) = 150x + 300y RESTRICCIONES REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA Observamos que el mínimo se alcanza en el punto R(3,2) (solución óptima) Por tanto el frutero solicitará 3 contenedores del mayorista A y 2 contenedores del mayorista B. 5

6 Ejemplo 2: Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares. Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? Mina A Mina B Necesidades mínimas Alta Media Baja Coste diario 150 $ 200 $ VARIABLES INSTRUMENTALES Llamamos x al número de días trabajados en la mina A Llamamos y al número de días trabajados en la mina B FUNCIÓN OBJETIVO (Minimizar) F(X) = 150x + 200y RESTRICCIONES REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA El mínimo se obtiene en el punto R(60,5) es decir, la compañía debe trabajar 60 días en la mina A y 5 días en la mina B para que el coste sea mínimo. VALOR DEL PROGRAMA LINEAL Como la función objetivo es F(X) = 150x + 200y el valor del programa lineal (gasto) es F(X) = = $ diarios. 6

7 Ejemplo 3: En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5g. Además se utiliza por lo menos 1g de B y se requiere 1 g de A. La sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo. VARIABLES INSTRUMENTALES: Llamamos x a la cantidad de sustancia A Llamamos y a la cantidad de sustancia B FUNCIÓN OBJETIVO (Maximizar): F(X) = 5x + 4y RESTRICCIONES REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA Se encuentra en el punto Q(10/3, 5/3), es decir la cantidad de sustancia B para que el beneficio sea máximo debe ser 5/3 g. Bibliografía Guzmán, M. y Colera, J. Matemáticas II Editorial Anaya. Siglo XX. La guerra fría Editorial Orbis. Imágenes de la Guerra. Historia de la II Guerra Mundial Ediciones Rialp. Pérez, N., Parrado, C. y Vahí, L. Programación lineal Fundación Vedruna. 7