Semana 2. Eliminación de Gauss-Jordan. Semana Regla de Cramer 3. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...

Transcripción

1 Semana Regla de Cramer 3 Semana 2 Empecemos! En esta sesión mostramos otra manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método, a diferencia de la regla de Cramer, es aplicable a matrices no cuadradas, es decir, sistemas donde el número de ecuaciones e incógnitas no necesariamente son iguales. La idea es presentarte una variedad de métodos de resolución de los sistemas y que seas tú quien elija el que te parezca más conveniente según cada situación. Qué sabes de...? Una persona compró para su oficina 3 cajas de marcadores y 4 cuadernos (unidades) por 327 Bs.; en otra oportunidad compró una caja de marcadores y 2 cuadernos por 121 Bs. Cuánto le costarán 6 cajas de marcadores y 8 cuadernos?, 4 cajas de marcadores y 6 cuadernos?, 2 cajas de marcadores y 2 cuadernos?, una caja de marcadores y un cuaderno? Intenta traducir todas las operaciones efectuadas al lenguaje algebraico. La idea es que visualices cómo obtener los respectivos resultados sin resolver directamente el sistema de ecuaciones. El reto es... El complejo recreativo Acuaticpark tiene 101 mesas, las cuales cuentan con 4, 6 y 8 asientos, siendo la capacidad total de asientos de 552. Varios participantes del CCA, con motivo de su graduación, decidieron compartir en este hermoso lugar. Para la ocasión se ocupó la mitad de las mesas con 4 asientos, un octavo de las mesas con 6 asientos y un tercio de las de 8 asientos, para un total de 35 mesas. Cuántas mesas de cada tipo se usaron ese día? Cuántas personas asistieron? Cuál es el menor número de mesas que podría ocuparse con las personas asistentes? Resuelve este ejercicio empleando los métodos conocidos hasta el momento. Al final de la semana puedes resolverlo empleando el método de Gauss-Jordan. 171

2 Semana 3 Vamos al grano Matriz ampliada Una matriz ampliada contiene las partes esenciales del sistema (1). a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n b 3 a m1 a m2 a m3 a mn b m La barra vertical se incluye sólo para separar los coeficientes de las incógnitas de los términos independientes. Con esta notación no se usan las incógnitas, es decir, sólo se trabaja con los coeficientes y, para facilitar el manejo de éstos, se hace uso de las matrices. La idea es aprender a manejar las matrices ampliadas de manera que se obtenga la solución del sistema (1), si es que existe. El objetivo es empezar con la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales y transformarla por medio de operaciones sobre filas o columnas en una matriz equivalente. Una matriz ampliada puede transformarse en una matriz equivalente por filas (o columnas) si: 1. Se intercambian dos filas (o columnas) f i f j (significa que hay un intercambio, de las filas iésima por la fila jésima o viceversa). 2. Se multiplica una fila (o columna) por una constante no nula. f i K f j 3. Se suma un múltiplo constante de una fila (o columna) a otra fila (o columna) dado. f i K f j + f i. La flecha significa es reemplazada por. 172 Veamos la situación planteada en Qué sabes de?. Llamemos M al precio de la caja de marcadores y C al precio del cuaderno. Tenemos que 3M+4C=327 y M+2C=121. Por ejemplo, si queremos hallar cuánto costarán 6 cajas de marcadores y 8 cuadernos?, qué se te ocurre? Exacto! Basta con multiplicar por 2 la ecuación 3M+4C=327; esto es 6M+8C=654. Observa que se ha aplicado la

3 Semana 3 transformación 2, se multiplicó la ecuación por una constante no nula (por 2 en este caso) en ambos lados de la igualdad. Matrices reducidas La forma simple que se habrá de obtener al aplicar esas operaciones se llama matriz-reducida y debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. Cada fila que tenga todos sus elementos nulos (ceros) está debajo de una fila que tenga al menos un elemento no nulo. 2. El primer elemento no nulo de cada fila es La columna que contenga el primer elemento1 de cada fila debe tener ceros tanto arriba como debajo de éste. 4. El primer 1 de cada fila debe estar a la derecha del primer 1 de la fila anterior. Ejemplos de matrices reducidas: sería conveniente que verifiques que cumple las condiciones establecidas a) b) c) d) Veamos mediante un ejemplo como se llegará a una matriz reducida. Resolvamos el siguiente sistema: 2x-y= 7 (2) x+2y= 4 Se escribe la matriz ampliada del sistema Para obtener un 1 en la esquina superior izquierda, se intercambian las filas (condición 1). Para obtener un cero en la posición a 21 (esquina inferior izquierda), se multiplica por (-2) y se suma a (condición 2) esto modifica, pero no a. Algunos suelen escribir (-2) fuera de la matriz (los números rojos representan -2 ), para ayudarse a prevenir errores aritméticos

4 Semana 3 Por la condición 2 el elemento no nulo de cada fila es 1, por esa razón aplicamos la operación 3 de filas equivalentes, para obtener 1 en la posición a 22, multiplicamos por 1/3 (equivale a dividir por 3). Luego encima (o debajo) de cada 1 debe ir un cero, en la posición a 12, para ello multiplicamos por -2y se suma a 1/ /3-2 + Observa que las operaciones de multiplicación y suma se realizan en ambos lados de la barra vertical. Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan proporciona una forma sistemática de transformar un sistema de ecuaciones dado en otro equivalente. Tomando la matriz ampliada del sistema y, mediante operaciones elementales en sus filas, la transformamos en la forma reducida. De esta manera, obtenemos un sistema equivalente al inicial más fácil de resolver. Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitas se utilizará el método de Gauss-Jordan. Ahora, resuelve por eliminación de Gauss-Jordan: 2x -2y + z= 3 3x + y- z= 7 x-3y + 2z= 0 La representación matricial del sistema de ecuaciones viene dado por: x y = z 0 A partir de la matriz ampliada y aplicando el método de Gauss, obtenemos: 174 un 1 aquí n dos 0 aquí Paso 1. Escoge la fila que no sea nula y trata de obtener un 1 en la parte superior. Puedes dividir la fila por 2 o reemplazar por la fila 3. En este caso hemos optado por esto último. Paso 2. Con múltiplos de la primera fila obtén ceros debajo del 1 que obtuviste en el paso 1. Por ejemplo, multiplicas por -3 la fila 1, el resultado lo sumas a la fila 2 y consigues el primer cero.

5 Semana 3 un 1 aquí un 0 aquí / /10 7/ Paso 3. Para obtener un 1, basta dividir por 10. Repite los pasos 1 y 2 con la submatriz (la que queda después de borrar la fila superior y la primera columna). Repite el proceso anterior (pasos 1 y 3) hasta conseguir la matriz reducida. un 1 aquí n dos 0 aquí un 0 aquí /10 7/ /5 1/5 (-5) 0 1-7/10 7/ / Debes usar los múltiplos adecuados para obtener cero arriba del 1 de la tercera fila. Para hacer cero el elemento -7/10 se multiplica 1 por 7/10 y se le suma ese producto. Finalmente la matriz ya tiene la forma reducida y se puede escribir la solución del sistema. Por simple inspección es la terna (2, 0,-1). Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss-Jordan: w + x - 3y -4z= -1 2w + 2x -y -2z= 3 w + x + 2y + 2z=

6 Semana 3 Para saber más Revisa el multimedia, allí encontrarás una serie de ejercicios para reforzar y profundizar en las diferentes soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Aplica tus saberes 1. Realiza una investigación sobre las distintas soluciones que se obtienen al aplicar el método de Gauss-Jordan. Puedes orientarte a través de las siguientes preguntas: Cómo es la solución del sistema si una fila es múltiplo de la otra?, cómo es la solución si luego de haber reducido el sistema tienes una fila de elementos nulos?, cómo es la solucióndel sistema si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas?, entre otras. 2. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones lineales e identifica si el sistema tiene una solución, si es infinita o no tiene. a) x 1 +2x 3 = 6-3x 1 +4x 2 +6x 3 = 30 -x 1-2x 2 +3x 3 = 8 d) 2x-y-3z= 8 x-2y = 7 b) 3x 1 +2x 2-3x 3 +5x 4 = -2-2x 1 +3x 2 +5x 3 +2x 4 = 0 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 1 -x 2 +x 3 -x 4 = -2 e) 3x-4y-z= 1 2x-3y+z= 1 x-2y+3z= 2 c) 2x-y= 0 3x+2y= 7 x-y= -2 f) 2x+3y-z= 1 x-2y+2z= Resuelve el siguiente problema empleando el método de Gauss-Jordan. 176 Las edades de tres hermanos son tales que el quíntuplo de la edad del primero, más el cuádruplo de la edad del segundo, más el triple de la edad del tercero, es igual a 60. El cuádruplo de la edad del primero, más el triple de la edad del segundo, más el quíntuplo de la del tercero, es igual a 50. Y el triple de la edad del primero, más el quíntuple de la del segundo, más el cuádruplo de la del tercero, es igual a 46. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones que permita determinar las edades de los hermanos.

7 Semana 3 Comprobemos y demostremos que 1. Discutan con el facilitador en el CCA el informe de la investigación realizada. Luego formen grupos pequeños para resolver los problemas planteados en la sección anterior. 2. Autoevalúate. La finalidad de esta autoevaluación es hacer evidente la valoración del trabajo que has conseguido en relación a los sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo cuáles han sido tus logros y dificultades para asumir las acciones necesarias para mejorar. Qué sabías del tema? Cómo lo has ido aprendiendo? Qué sabes ahora? 3. Propuesta de mejora: Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. Goethe 177