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1 Curso de Excel Empresarial y Financiero SESIÓN : REGRESIÓN Rosa Rodríguez

2 Relación con el Mercado Descargue de yahoo.com los Datos de precio ajustado de cierre de las acciones de General Electric (GE), Coca-cola (KO), IBM (IBM)y el índice del mercado SP500 (^GSPC)desde Enero 2007 a Sept 2012, con frecuencia mensual. Ordene los precios en orden Ascendente. Calcule los rendimientos de las variables. R t = P t P t 1 P t 1 Dibuje un grafico de columna para los rendimientos del mercado (SP500) y las acciones de Coca-cola. Olvide el resto de rendimientos de momento. Para ello: Marque las columnas de rendimientos Inserte Grafico Barras Documento elaborado por Rosa Rodríguez

3 Gráficamente Hay RELACION entre las dos series? Documento elaborado por Rosa Rodríguez

4 Gráficamente Hay relación entre las dos series? Documento elaborado por Rosa Rodríguez

5 Gráficamente Hay relación entre las dos series? Este fenómeno es muy común en toda clase de acciones, que se muevan junto con el mercado. En años de subida todas las acciones tienden a subir y en años de caída todas tienden a bajar. Esta tendencia o movimiento conjunto se conoce como: COMOVEMENT Documento elaborado por Rosa Rodríguez

6 Relación con el Mercado Es importante tener en cuenta el movimiento conjunto con el mercado si no nos gusta el riesgo. Una inversión que aumente su valor cuando el resto de tus inversiones esta cayendo es un SEGURO, que te da dinero cuando más se necesita. Querremos esa inversión incluso si da poca rentabilidad. Cómo podemos medir que tipo de activo es coca-cola, es de los que sube cuando el mercado sube o de los que pierde cuando el mercado sube? La respuesta la tenemos también Gráficamente Documento elaborado por Rosa Rodríguez

7 Relación con el mercado Dibuje un grafico de dispersión entre los rendimientos del mercado y cocacola. Para ello: Marque las dos columnas de datos Inserte Grafico Dispersión Agregue línea de tendencia Añada nombre a los ejes Cambie a su gusto el marcador. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

8 Beta de Mercado q Si dibujamos las dos series una frente a la otra y representamos una recta que ajuste esa nube de puntos ( ya veremos más tarde como calcularla) q La pendiente de esa línea es la Beta de Mercado de Coca-cola. q Es la medida de movimiento conjunto. q Tiene una enorme importancia en finanzas.

9 Beta de mercado Pensemos en la diagonal que indicaría un movimiento idéntico entre ambas series. Beta = 1 Beta < 1 Coca Cola se mueve menos que el mercado

10 Tipos de Beta q Las acciones agresivas, β>1. amplifican cualquier movimiento del mercado. Su rentabilidad tiende a responder en más de una unidad ante cambios unitarios de la rentabilidad del mercado. q Las acciones defensivas β<1 no son muy sensibles a los movimientos del mercado. q Es una medida de la contribución al Riesgo. q En lugar de beta, podríamos haber medido el movimiento conjunto de los rendimientos con otro estadístico: LA CORRELACIÓN Documento elaborado por Rosa Rodríguez

11 Qué es la Correlación? Un número entre -1 y 1 que resume la relación entre dos variables, X e Y. Correlación Positiva: a medida que X incrementa, Y incrementa Correlación Negativa: Si X incrementa, Y disminuye. La magnitud nos habla de la fuerza de la relación entre X e Y. Cuanto más cercano a 1 más fuerte y positiva es la relación Cuanto más cercano a -1 mas fuerte y negativa es la relación. Una correlación cero implica que no hay relación entre X e Y Una correlación positiva implica una beta positiva y una correlación negativa una beta negativa. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

12 Correlación en Excel Entre 2 variables Si tenemos varias variables COEF.DE.CORREL(matriz1;matriz2) Matriz1 es un rango de celdas de valores. Matriz2 es un segundo rango de celdas de valores =COEF.DE.CORREL(A2:A13,B2:B13) 1 ρ21 M = ρ n1 ρ12 1 ρ n2 ρ 1n ρ2n 1 Para obtener la matriz de correlación entre varias variables podemos utilizar la herramienta Análisis de Datos Documento elaborado por Rosa Rodríguez

13 Análisis de Datos Cómo instalar la herramienta Análisis de Datos? Comprobamos si esta instalada, para ello iremos a la pestaña Datos Si no está instalada : Microsoft Office Botón Opciones de Excel Complementos. Ir Herramientas para el Análisis Documento elaborado por Rosa Rodríguez

14 Numéricamente La función coeficiente de correlación debe resultar: La herramienta Análisis de Datos Beta también era menor que 1 ocurre siempre? Documento elaborado por Rosa Rodríguez

15 Beta y Correlación Realice el siguiente ejercicio en Excel. Genere a partir de los rendimientos del SP500, 5 variables, multiplicando el rendimiento del mercado por 1, 1.5, 0.75, 0,5 y Represente un grafico de dispersión con todas las variables y el rendimiento del mercado CORRELACION Calcule los coeficientes de correlación. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

16 Beta y Correlación La correlación nos dice si la relación entre los rendimientos es fuerte o no, si la nube de puntos es muy gorda o no. Pero no nos dice si vamos a ganar más o menos que el mercado. Eso nos lo dice beta. Recuerde era la pendiente de la recta que mejor ajustaba a la nube de puntos. Practique y representa la nube de puntos con las otras dos acciones que tenemos y ajuste la recta de tendencia. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

17 Gráficos Dispersión y sus betas? El movimiento con el mercado es positivo en todas. Pero es mas fuerte la relación en GE

18 Regresión lineal El modelo de regresión lineal ajusta una recta a la nube de puntos igual que hemos hecho al añadir la línea de tendencia y nos da los valores de los coeficientes de esa recta. Volvamos a la relación entre el rendimiento de las acciones y el mercado. Centrémonos por ejemplo en GE y los rendimientos del SP500. Para resumir la relación hay que calcular de todas las rectas posibles que pasan por la nube de puntos, la que mejor describa los datos y =α + β x BETA

19 Modelo de Mercado Dicha relación lineal se conoce en finanzas como el Modelo de Mercado. GE + t = α + βrm, t u t

20 Calculo de Beta q q Además de representar el riesgo de las acciones frente al mercado. Conocer la Beta de las acciones será útil entre otras cosas q para conocer su rentabilidad esperada dado el modelo de valoración CAPM q Para saber el numero de contratos de futuros sobre el SP500 necesario para cubrir una posición en acciones de Coca-cola. q Para realizar un seguro de carteras utilizando opciones sobre el SP500 q Para calcular el Coste de capital de la empresa Documento elaborado por Rosa Rodríguez

21 Estimación Estimar la recta de regresión consiste en calcular, a partir de la muestra de datos, los valores numéricos de los parámetros: α, β y =α + β x Tendremos así una expresión numérica para explicar Y en función de la variable explicativa o independiente X. En nuestro caso la línea ajustada sirve para explicar la relación entre el Rendimiento de GE y el rendimiento del índice SP500. La recta ajustada es R = * Ge R m Una aumento del 1% en el índice de mercado debería implicar una aumento en las acciones de GE del 1.55%. Indudablemente, no todas los aumentos del 1% generarán un 1.55% porque la correlación no era del 100%.

22 Residuo q La diferencia entre el rendimiento real y el proporcionado por la recta de regresión es la componente aleatoria de la variable respuesta que el modelo no es capaz de predecir, por lo que se denomina error (o residuo) del modelo. q β 0 el intercept o constante, β 1 es la pendiente y el tercer termino es el residuo o termino de error. u = y ˆ β ˆ β t i 0 1 x

23 Hipótesis del modelo Para poder aplicar el modelo de regresión simple, los datos deben cumplir las siguientes hipótesis: Linealidad. Homocedasticidad. Independencia. Normalidad. Es muy importante comprobar que las hipótesis del modelo se cumplen. Para ello se realizará un análisis gráfico de los datos antes de estimar el modelo de regresión. (la explicación de las hipótesis del modelo escapa del alcance de un curso de Excel), Documento elaborado por Rosa Rodríguez

24 Criterio de MCO La estimación del modelo de regresión puede realizarse por el método de mínimos cuadrados. Exiten otros métodos como es el método de máxima verosimilitud. Cuando se cumple la hipótesis de normalidad de los residuos del modelo, ambos métodos coinciden Yt û 1 û 2 û 3 û û 5 [ ] y ˆ β β 2 n 2 n uˆ = ˆ i= 1 t i= 1 i 0 1x S. R. = Este método de estimación trata de obtener la recta que más se acerca a todos los puntos. Por ello se minimizará la suma de las distancias de cada punto a la recta, es decir minimiza la suma al cuadrado de los residuos Xt

25 Deducción de los estimadores [ ] = = = = = = n i i n i i n i i i x T y x y R S ˆ ˆ 0 1) ( ˆ ˆ 2 ˆ.. β β β β δβ δ [ ] 0 ˆ ˆ 0 ) ( ˆ ˆ 2 ˆ = = = = = = n i i i n i i i i n i i i x x x y x x y R S β β β β δβ δ ) ( ), cov( ˆ ˆ ˆ X Var X Y S S x x x x y x y x y X XY i i i i i = = = = β β β Ecuaciones Normales Despejando se obtienen los estimadores MCO

26 Ajuste Una vez construido el modelo es interesante conocer qué porcentaje de la variabilidad de Y es explicado por X. Si el ajuste es mejor, mayor sea la variabilidad explicada por la recta. Esta medida es proporcionada por el coeficiente de determinación R 2, que se define, porcentaje de variabilidad total explicada por la recta es una medida de la bondad del ajuste. Si el ajuste es excelente, los errores serán cero, y la variabilidad explicada del 100% un R 2 =1. Por otro lado si el ajuste es malo un R 2 de 0. Si la regresión incluye una constante el valor estará siempre 0< R 2 <1

27 Correlación y Ajuste En este caso de una sola variable independiente R 2 coincide con el cuadrado de coeficiente de correlación lineal. Coeficiente de correlación 57.7% Coeficiente de determinación R % Cuanto mayor es la correlación mejor es el ajuste de la recta

28 Procedimientos en Excel Conocida la serie histórica de precios de un conjunto de activos: Estimar la beta del activo mediante la pendiente de la recta de regresión. Excel da una serie de alternativas para estimar el coeficiente pendiente. =PENDIENTE( ) utiliza la función pendiente para estimar el beta i. De forma similar podemos calcular =INTERSECCION.EJE ( ) utilizando la función Sustituyendo los valores de alfa y beta en el modelo de mercado obtenemos los rendimientos estimados r ˆi, t = α i + βirm, t α i Documento elaborado por Rosa Rodríguez

29 1er Procedimiento Conocidos los rendimientos estimados podemos calcular los residuos mediante la diferencia entre los rendimientos reales y los estimados: ε i, t = r i, t rˆ i, t El tamaño del error puede observase en la celda mediante la función ERROR.TIPICO.XY, que nos da la varianza de los residuos. El R 2 de la regresión utiliza la función COEFICIENTE.R2 Documento elaborado por Rosa Rodríguez

30 2º Procedimiento Otra manera de poder obtener los mismos resultados es mediante la Herramienta/ Análisis de datos/regresión Una manera más concisa y más fiable es mediante la función ESTIMACION.LINEAL Documento elaborado por Rosa Rodríguez

31 Resultados para GE

32 Resultados de la regresion 64% de la variabilidad de GE se explica por las variaciones del mercado ( faltan factores de riesgo) Beta >1, acción agresiva

33 Ejercicio Estimar el beta para el resto de acciones Cuál es la acción más arriesgada? En que caso los rendimientos del SP500 explica mejor los rendimientos de la acción? Documento elaborado por Rosa Rodríguez

34 Resultados Regresión Conclusiones La más arriesgada es GE, seguida de IBM, Coca-cola, es la menos. En SP500 explica mejor los movimientos de GE que los del resto. Un 65% de los movimientos de GE se explican por movimientos del mercado. Son significativamente distintos de cero los parámetros? Documento elaborado por Rosa Rodríguez

35 Distribución de los coeficientes estimados q Una vez estimados los parámetros, es necesario obtener una medida de la precisión con que se han estimado estos coeficientes. ˆβ 1 q El valor estimado puede interpretarse como un valor extraído al azar de una distribución Normal Conocer su distribución Permite: - Construir un Intervalo de Confianza ˆ β 1 N β, 1 σ ( ˆ) ε S x n - Contrastar si su valor es distinto de cero, es decir si la variable es estadísticamente significativa. SE(β)

36 Intervalos de confianza 95% Si se quiere un nivel de confianza del 95% (probabilidad de que el auténtico valor del parámetro esté en el intervalo construido), puede aproximarse el intervalo de confianza (IC) mediante: valor estimado más menos dos veces el error estándar. IC = β ± 2SE( β ) Con un 95% de Probabilidad la verdadera beta de GE está entre 1.2 y 1.8 β 1 ( 1.55± 2(0.14) ) 1.27 < β <

37 Contraste Influye la variable X sobre la variable Y? Necesitamos plantear un contraste, plantear la hipótesis nula y hipótesis alternativa y comprobar cuál de las dos hipótesis es más cercana a nuestros datos. Así, si planteamos H o H 1 : β = a : β a Para aquellos alumnos familiarizados con la estadística se puede demostrar que el estadístico asociado al contraste es (ˆ β a) t siendo n el número de observaciones en la muestra n 2 = SE(ˆ) β De esta forma, dado el valor estimado del parámetro y el error estándar de la estimación, bastará con sustituirel valor auténtico (a) que queremos comprobar. Normalmente es a=0 y el estadístico es βˆ t = σ(ˆ) β El valor del estadístico t obtenido deberá pertenecer a una distribución t con n-2 grados de libertad.

38 Interpretación del contraste Tenemos dos valores para juzgar los resultados del contraste: El estadístico t : Si t >2, el parámetro que estamos contrastando será significativo. Si t <2, el parámetro no será significativo (será cero). El p-value.una interpretación sencilla del p-valor es asemejarlo a la probabilidad de que sea cierta la hipótesis nula del contraste. Esta hipótesis suele ser que el parámetro sea cero. Por tanto, para que el parámetro sea significativo, (distinto de cero) necesitamos que la probabilidad de que se cumpla la hipótesis nula sea muy pequeña. Decimos que un parámetro es significativo si su p-valor es menor de 0,05. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

39 Es significativa β? Beta es significativa porque t>2 y el p-valor <0.005 (Rechazamos b1=0) Luego el Rendimiento del mercado es significativo a la hora de explicar el movimiento de los rendimientos de GE La constante es no significativa. No podemos rechazar que su valor sea igual a cero El resto de estadísticos escapan del alcance de este curso.

40 Ejercicio Son significativamente distintos de cero los parámetros? En todos los casos la beta es significativamente distinta de cero, pero la constante no siempre. CO IBM Documento elaborado por Rosa Rodríguez

41 La beta de una cartera Una vez calculado el coeficiente beta de cada activo podemos calcular el beta de una cartera sin más que calcular la suma ponderada de la betas de los activos que la componen. Donde las ponderaciones son la proporción que de cada título invertimos en la cartera. Con 2 activos β p = w 1 β 1 + w 2 β 2 Con N activos β = N p w i i= 1 β i Calcule la beta de una cartera equiponderada de los tres activos.

42 Beta Cartera Equiponderada Repase la multiplicación de matrices. También podía haberse obtenido con la función promedio. cual es el beta de una cartera que tenga 20% GE, 40% CO y 40% IBM? 0.8 cual es el beta de una cartera que tenga 50% GE, 25% CO y 25% IBM? Beta 1

43 Forecasting A nivel empresarial a menudo necesitamos hacer predicciones. Por ejemplo de ventas (Un proceso que implica estimar ventas futuros basados en la información pasada) Estimar la recta de regresión nos ayuda a ver cual sería la ecuación lineal. La función +TENDENCIA() nos puede ayudar de forma fácil a crear predicciones qué volumen de ventas podría conseguir si aumento a 40 el número de empleados?

44 Predicción Ventas Podemos calcular la recta de regresión que se ajusta a esa nube de puntos y posteriormente calcular la predicción como: Ventas = *(50) =

45 Predicción Ventas O utilizar la función tendencia en excel. Es una función matricial.

46 En el caso de series temporales Si lo que tenemos es una serie temporal, puede servir como primera aproximación de prediccion hacer una media movil. Habrá el archivo ventas.xls y suponga que son las ventas mensuales de su empresa. Para hacer una media movil con 5 datos por ejemplo podemos utilizar la funcion promedio Documento elaborado por Rosa Rodríguez

47 En el caso de series temporales O la herramienta media móvil del análisis de datos En intervalo, pondremos el numero de periodos con los que queremos hacer la media Ponemos D3 en lugar de D2 para que haga predicción sino estaríamos utilizando los valores contemporáneos que no son conocidos

48 En el caso de series temporales

49 Regresión Múltiple En la mayoría de las relaciones económicas intervienen más de dos variables. Un modelo de regresión múltiple es una generalización de un modelo de regresión simple en el que se da entrada a un mayor número de variables independientes que expliquen la variable respuesta. La formulación de un modelo de regresión múltiple resulta inmediata sin más que introducir en su expresión un mayor número de variables explicativas. Y = x x x β + β + β + + ε

50 Ejercicio CEO En el archivo CEO.xls dispone de los datos de la remuneracion de los Chief Executive Officers ( Directores Generales) de 99 empresas norteamericanas. Las variables incluidas en el fichero son las siguientes: Documento elaborado por Rosa Rodríguez

51 CEO.XLS Documento elaborado por Rosa Rodríguez

52 Determinantes del Salario del CEO QUÉ VARIABLES DETERMINAN EL SALARIO DEL CEO? Un incremento de las ventas incrementa la compensación del CEO ( sin incluir las acciones que posee )? Supongamos un primer modelo que nos diga que el salario esté relacionado con la edad, con el numero de años que lleva de CEO, con el valor en bolsa de sus acciones y con las ventas de la empresa Comp = α + β 1 edad + β 2 Nceo + β 3 Valbolsa + β 4 Ventas + e i,t

53 Procedimiento matricial ESTIMACION.LINEAL es una fórmula que devuelve una matriz con tantas columnas como variables incluida la constante y filas : Por lo que se para nuestro modelo deberemos seleccionar un rango cinco por cinco para insertar la fórmula : Para insertar una formula de forma matricial utilizar F2 y después Ctr+May +Enter. La fórmula devuelve solo la matriz de resultados, los títulos hay que escribirlos.

54 Procedimiento matricial Los títulos hay que introducirlos Beta, SE (beta) no te los da. El estadístico t, se calcula dividiendo por su Estándar Error. Los resultados de los coeficientes por columnas salen justo al reves de lo introducido.

55 Regresion Multiple Los resultados no varían por el procedimiento utilizado. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

56 Impacto de las ventas. Como EDAD y ValBolsa no resultan significativas podemos eliminarlas Y vemos como un incremento de las ventas aumentaría la remuneración. Documento elaborado por Rosa Rodríguez

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