Introducción a la Geometría Fractal

Transcripción

1 Gonzalo Cousillas Federico De Olivera Cristina Ochoviet Marzo 2009 Instituto de Profesores Artigas

2 Nuestro abordaje: Realizaremos una aproximación parcial a la geometría fractal

3 Nuestro abordaje: Realizaremos una aproximación parcial a la geometría fractal Solamente trabajaremos con fractales que pueden ser generados por la iteración de un algoritmo geométrico.

4 Primeros ejemplos: Curva de Koch Curva de Koch: Paso 0

5 Primeros ejemplos: Curva de Koch Curva de Koch: Paso 0 Paso 1

6 Primeros ejemplos: Curva de Koch Paso 2

7 Primeros ejemplos: Curva de Koch Paso 2 Paso 3

8 Curva de Koch Paso n

9 Primeros ejemplos: Copo de Nieve de Koch Análogamente si se toma como figura inicial un triángulo equilátero en el paso n se obtiene:

10 Primeros ejemplos: Alfombra de Sierpinski Alfombra de Sierpinski: Paso 0

11 Primeros ejemplos: Alfombra de Sierpinski Alfombra de Sierpinski: Paso 0 Paso 1

12 Primeros ejemplos: Alfombra de Sierpinski Paso 2

13 Primeros ejemplos: Alfombra de Sierpinski Paso 2 Paso 3

14 Primeros ejemplos: Alfombra de Sierpinski Paso n

15 Un fractal viene a ser el producto final que se origina a través de la iteración infinita de un proceso geométrico bien especificado. Este proceso geométrico elemental, que es generalmente de naturaleza muy simple, determina perfectamente la estructura final, que muy frecuentemente, debido a la repetición infinita que se ha efectuado, tiene una complicación aparente extraordinaria. Miguel De Guzmán.

16 Los fractales como modelos de la naturaleza

17 Los fractales como modelos de la naturaleza

18 Los fractales han sido denominados la geometría de la naturaleza La geometría euclidiana es muy útil para describir objetos tales como cristales y colmenas..., pero no encontramos en ella objetos que puedan describir las nubes, las montañas y las costas.

19 Los fractales han sido denominados la geometría de la naturaleza La geometría euclidiana es muy útil para describir objetos tales como cristales y colmenas..., pero no encontramos en ella objetos que puedan describir las nubes, las montañas y las costas. Encontramos en los fractales la posibilidad de modelar tales objetos entre otros.

20 Los fractales han sido denominados la geometría de la naturaleza La geometría euclidiana es muy útil para describir objetos tales como cristales y colmenas..., pero no encontramos en ella objetos que puedan describir las nubes, las montañas y las costas. Encontramos en los fractales la posibilidad de modelar tales objetos entre otros. A base de repetir instrucciones sencillas como contraer, estirar, eliminar, plegar... se generan formas y estructuras complejas

21 Historia Introducción La geometría euclidiana tiene sus raíces en la antigua Grecia, en tanto los primeros elementos que posteriormente darían lugar a la geometría fractal, tienen sus orígenes a fines del siglo XIX.

22 Historia Introducción La geometría euclidiana tiene sus raíces en la antigua Grecia, en tanto los primeros elementos que posteriormente darían lugar a la geometría fractal, tienen sus orígenes a fines del siglo XIX. El término fractal fue acuñado en 1975, por Benoît Mandelbrot.

23 Historia Introducción Acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente, es frangere que significa romper en pedazos, crear fragmentos irregulares. 1 La geometría fractal de la naturaleza. Benoît Mandelbrot. Pag 19. Tusquets editores.

24 Historia Introducción Acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente, es frangere que significa romper en pedazos, crear fragmentos irregulares. Qué apropiado para nuestras necesidades!..., que, además de fragmentado, fractus signifique también irregular, y que ambos sentidos se preserven en fragmento 1 1 La geometría fractal de la naturaleza. Benoît Mandelbrot. Pag 19. Tusquets editores.

25 Historia Introducción Estos nuevos objetos creados a finales del Siglo XIX, fueron considerados patológicos, como una galería de monstruos.

26 Historia Introducción Por qué patológicos? Estos conjuntos poseen propiedades geométricas y anaĺıticas sorprendentes:

27 Historia Introducción Por qué patológicos? Estos conjuntos poseen propiedades geométricas y anaĺıticas sorprendentes: Encontramos en los fractales curvas que son continuas en todo punto y no derivables en ningún punto

28 Historia Introducción Encontramos figuras de área finita y perímetro infinito.

29 Historia Introducción Encontramos figuras de área finita y perímetro infinito. Encontramos conjuntos infinitos no numerables de medida nula.

30 Algunas características de los conjuntos fractales.

31 Algunas características de los conjuntos fractales. Son autosemejantes

32 Algunas características de los conjuntos fractales. Son autosemejantes Tienen una definición algorítmica sencilla

33 Algunas características de los conjuntos fractales. Son autosemejantes Tienen una definición algorítmica sencilla La característica de autosemejanza de algunos fractales nos permite obtener para ellos un indicador de su irregularidad al que denominaremos dimensión.

34 Algunas características de los conjuntos fractales. Son autosemejantes Tienen una definición algorítmica sencilla La característica de autosemejanza de algunos fractales nos permite obtener para ellos un indicador de su irregularidad al que denominaremos dimensión. Como veremos, esta dimensión puede ser no entera.

35 Introducción 9 = 3 2

36 Introducción 9 = = 3 3

37 Introducción 4 = 3 x

38 Introducción 4 = 3 x Por lo tanto x = ln(4) ln(3) 1,26

39 Cómo determinamos la dimensión?

40 Cómo determinamos la dimensión? Cómo hacemos para medir un segmento de recta de 1 metro con una regla de 20 cm,?

41 Cómo determinamos la dimensión? Cómo hacemos para medir un segmento de recta de 1 metro con una regla de 20 cm,? Si se usa en cambio una regla de 10 cm, estaría contenida 10 veces; si es de 5 cm veinte veces...

42 Construcción del concepto: Qué sucede si el segmento se curva?

43 Construcción del concepto: Qué sucede si el segmento se curva? Tratemos de usar el argumento anterior.

44 Construcción del concepto: Qué sucede si el segmento se curva? Tratemos de usar el argumento anterior. Por tanto se medirá de menos su longitud intentando contar la cantidad de veces que se puede aplicar la regla a la curva.

45 Construcción del concepto: Qué sucede si el segmento se curva? Tratemos de usar el argumento anterior. Por tanto se medirá de menos su longitud intentando contar la cantidad de veces que se puede aplicar la regla a la curva. Cuanto más corta es la regla, con más presición se seguirá la curva y mejores resultados se obtendrán.

46 Construcción del concepto En términos matemáticos, el resultado converge a la medida exacta de la curva cuando la unidad con la que estamos midiendo tiende a cero.

47 Construcción del concepto En términos matemáticos, el resultado converge a la medida exacta de la curva cuando la unidad con la que estamos midiendo tiende a cero. Se puede agregar que, para una unidad de medida lo suficientemente pequeña, si se divide por k su longitud, se multiplica por k el número de veces que se usa la unidad para medir la curva.

48 Intentemos aplicar este razonamiento en la naturaleza.

49 Intentemos aplicar este razonamiento en la naturaleza. EL ejemplo más utilizado por Mandelbrot para explicar qué cosas caracterizan a un objeto fractal es el siguiente:

50 Supongamos que se pretende medir la costa de una cierta península y que para ello se proporcionan un mapa de la misma a una cierta escala y un compás.

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53 Pero si se cambia el mapa por uno a escala mayor, apreciaremos más detalles, y más irregularidades que no habíamos considerado anteriormente.

54 Es posible entonces dar una nueva aproximación a la longitud: ahora damos al compás una abertura más pequeña que la anterior y contamos cuántas veces cabe a lo largo de la costa.

55 Esta medida será más precisa que la anterior, pero nuevamente estaremos encerrando en cada abertura muchas irregularidades que miden algo y no han sido consideradas.

56 Podríamos seguir este proceso hasta que...

57 ... finalmente se terminara por ir a la costa con un compás de abertura pequeña a contar el número de pasos necesarios para recorrerla toda.

58 A pesar de todo siempre se tendrán irregularidades no consideradas.

59 Mandelbrot descubrió en los escritos de un meteorólogo llamado Lewis Fry Richardson ( ) mediciones de diferentes costas.

60 Mandelbrot descubrió en los escritos de un meteorólogo llamado Lewis Fry Richardson ( ) mediciones de diferentes costas. En este trabajo Richardson encontró una relación entre el número (N) de entornos (pasos del compás) necesarias para cubrir una costa y el radio (ε) de dichos entornos (abertura del compás).

61 Mandelbrot descubrió en los escritos de un meteorólogo llamado Lewis Fry Richardson ( ) mediciones de diferentes costas. En este trabajo Richardson encontró una relación entre el número (N) de entornos (pasos del compás) necesarias para cubrir una costa y el radio (ε) de dichos entornos (abertura del compás). Se dio cuenta de que N crecía exponencialmente conforme ε decrecía, es decir: N(ε) = C ε α donde C es una constante.

62 Tratemos de despejar α de esta relación

63 Tratemos de despejar α de esta relación se tiene entonces ln(n) = α ln(ε 1 ) + ln(c) (1)

64 Tratemos de despejar α de esta relación se tiene entonces ln(n) = α ln(ε 1 ) + ln(c) (1) Por tanto α = ln(n) ln(c) ln ( ) 1 = ln(n) ε ln ( ) 1 ln(c) ε ln ( ) 1 (2) ε

65 Dado que se quiere tener una idea lo más precisa posible de la longitud de la costa es necesario analizar qué pasa cuando la abertura del compás se hace muy pequeña, es decir cuando ε 0.

66 Dado que se quiere tener una idea lo más precisa posible de la longitud de la costa es necesario analizar qué pasa cuando la abertura del compás se hace muy pequeña, es decir cuando ε 0. La función logaritmo es monótona creciente así que ln(1/ε) será muy grande cuando ε sea muy pequeño, a diferencia de ln(c) que permanece constante, por tanto lím ε 0 ( ln(c) ln( 1 ε ) ) = 0 (3)

67 Así, tenemos que D es el ĺımite de α cuando ε tiende a cero y entonces: ( ) ln(n) D = lím ε 0 ln( 1 ε ) (4)

68 Tomemos como ejempo la curva de Koch.

69 Tomemos como ejempo la curva de Koch. Para calcular su dimensión de semejanza necesitamos contar cuántos segmentos son necesarios para cubrirla.

70 Tomemos como ejempo la curva de Koch. Para calcular su dimensión de semejanza necesitamos contar cuántos segmentos son necesarios para cubrirla. Tomemos los segmentos de longitud (1/3) n para que sea cubierta exactamente la curva.

71 Para cada etapa n contaremos cuántos segmentos de longitud (1/3) n constituyen la curva.

72 Los resultados del conteo se pueden observar en : Etapa ε N (1/3) 4 2 (1/9) 16 3 (1/3) n (1/3) n 4 n

73 Dimensiónde Semejanza Si se hace hace algo análogo al desarrollo de la dimensión de una costa se tiene: ( ) ln(4 n ) D = lím n + 1 ln (1/3) ( n ln(4 n ) ) = lím n + ln(3 n ) = ln 4 ln 3 = 1,261...

74 El ejemplo del copo de von Koch es bastante sencillo dado que la razón permanece constante en el algoritmo de construcción y se elijió adecuadamente la unidad de medida.

75 El ejemplo del copo de von Koch es bastante sencillo dado que la razón permanece constante en el algoritmo de construcción y se elijió adecuadamente la unidad de medida. El desarrollo hubiera sido un poco más complicado si la longitud de medida hubiera sido diferente de la longitud del lado original y si hubieramos dividido por un número diferente de 3.

76 El ejemplo del copo de von Koch es bastante sencillo dado que la razón permanece constante en el algoritmo de construcción y se elijió adecuadamente la unidad de medida. El desarrollo hubiera sido un poco más complicado si la longitud de medida hubiera sido diferente de la longitud del lado original y si hubieramos dividido por un número diferente de 3. De todas maneras la razón tendría como ĺımite ln 4 ln 3 al tomar la unidad de medida lo suficientemente pequeña.

77 Construcción del concepto Esto nos determina una forma bastante sencilla de calcular la dimensión de semejanza de los objetos que se pueden construir mediante algoritmos recursivos similares a los planteados para el copo de nieve de von Koch.

78 Construcción del concepto Esto nos determina una forma bastante sencilla de calcular la dimensión de semejanza de los objetos que se pueden construir mediante algoritmos recursivos similares a los planteados para el copo de nieve de von Koch. La dimensión de semejanza D es entonces ln (N) D = ln ( ) 1 r donde r es la razón de semejanza y N el número de segmentos que tiene la poligonal generadora.

79 Terágonos triádicos Introducción Terágonos de Koch.

80 Terágonos triádicos Introducción Terágonos de Koch.

81 Terágonos cuadrangulares Terágonos de Koch Tomemos como figura inicial un cuadrado