Álgebra Lineal. Qué significa aprender una idea matemática?

Transcripción

1 Álgebra Lineal. Qué significa aprender una idea matemática? Felipe Guevara Morales William Campillay Llanos Profesores de Matemática UDA-UCT. Otoño 2015, Temuco-Copiapo

2 Contenido 1 Qué es conocer? La demostración en Matemática 2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 3 Espacios vectoriales 4 Aplicaciones lineales

3 Para comenzar Están las ciencias sociales,

4 Para comenzar Están las ciencias sociales, en particular la economía, las ciencias políticas y las ciencias de la educación,

5 Para comenzar Están las ciencias sociales, en particular la economía, las ciencias políticas y las ciencias de la educación, LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA,

6 Para comenzar Están las ciencias sociales, en particular la economía, las ciencias políticas y las ciencias de la educación, LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA, LA DIDÁCTICA, fundadas en una adecuada compresión de la naturaleza del proceso de aprendizaje humano, de lo que determina la diversidad de las conductas humanas? (Él árbol del conocimiento)

7 La demostración en Matemática La demostración Las mesas Tienen el mismo ancho y largo? Que haría usted para comprobar su afirmación?

8 La demostración en Matemática La demostración La concepción de la demostración desde los años de la Grecia antigua no ha tenido grandes modificaciones hasta nuestros días, ha conservado su característica fundamental, que es la de entender la demostración como un encadenamiento de deducciones. Para realizar un estudio sintético de la demostración durante la historia nos hemos basado en una publicación de Evelyn Barbin (IREM du Mans, Francia), quien divide la historia de la demostración en tres etapas:

9 La demostración en Matemática Primera Etapa de la Demostración en Matemática La primera corresponde a los tiempos de la cultura en Grecia, donde la demostración buscaba convencer en medio del debate. Como cultura chilena debemos considerar el gran aporte de este pueblo a nuestros pensamientos, y como no mencionar personajes como Sócrates, Platón, Aristóteles, Euclides, Pitágoras, entre otros, quienes han contribuido, con su aporte intelectual a la formación de nuestros ciudadanos.

10 La demostración en Matemática Segunda Etapa de la Demostración en Matemática La segunda etapa correspondiente, se sitúa en el siglo XVII, en aquellos tiempos se buscaba que las demostraciones aclararán más que convencieran, donde los métodos de descubrimientos desempeñaban un papel fundamental. Siglo en cuál se conforma una nueva visión de pensamiento, esta nueva forma de mirar el mundo, de una perspectiva más racional queda perfectamente reflejada en el pensamiento de un personaje francés llamado René Descartes ( ), es importante destacar su aporte para el desarrollo de la humanidad, en su gran obra El discurso del método comienza escribiendo lo siguiente: Le bon sens est la chose du monde du mieux portagée

11 La demostración en Matemática Tercera Etapa de la Demostración en Matemática Y la tercera comienza en el siglo XIX, donde se regresa al rigor, que permitió hacer frente a nuevas concepciones de los objetos matemáticos, lo cual trajo consigo problemas de fundamentos de la Matemática y la aceptación de teorías antiintuitivas o no evidentes.

12 La demostración en Matemática Generalidades de la Lógica Matemática 1 Implicación. 2 Vocabulario. Notaciones. 3 Como demostrar una impliación. 4 Equivalencias. 5 Dos métodos muy útiles. 6 Noción de Contra-ejemplo. 7 Razonamiento por el absurdo. 8 Inducción Matemática.

13 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Es posible observar en las ideas de Liu Hui (Matemático Chino) cuando resolvía sistemas líneas de ecuaciones, las primeras técnicas utilizando una tabla de coeficientes. Es quizás la primera idea que convierte interesante las tablas de números. El estudio de sistemas lineales en el siglo XVIII conduce al desarrollo de cálculo de determinantes. Las complejas técnicas de cálculo fascinan a los matemáticos durante este siglo.

14 Notación Matricial La notación matricial como tabla rectangular o un cuadro de números, aparece en el siglos XIX: Gauss la utiliza cuando sustituye combinaciones lineales en términos de otros obteniendo un fórmula del producto de dos matrices cuadradas de orden 3, e indica que su resultado se extiende a dimensiones cualesquiera, sin precisar.

15 Determinantes El desarrollo de cálculo con determinantes conduce también a la noción de matriz. Es James Sylvester ( ) quien inventa la palabra en 1850 (en inglés: Matrix) para designar la tabla de números, y es Arthur Cayley ( ) que publica, en 1858, un artículo considerado como fundador. Las notaciones de Cayley en esta época son muy próximas a las actuales.

16 Nuevo Lenguaje Algunos años más tarde, en 1867, Edmond Laguerre ( ) expone las mismas ideas con una visión más próxima a las nuestra. Pero el cálculo matricial todavía era poco conocido por los No matemáticos en el año 1920, por ejemplo el físico Werner Heisenberg ( ). Quién se ve en la necesidad mezclra la física con la Matemática ya que para fundar la mecánica cuántica es importante comprender (en algún sentido) que esta teoría se expresa mejor en términos de matrices.

17 Espacios vectoriales: Idea de Estructura A finales del siglo XIX, la idea de estructura en matemática es una idea reciente, que no es todavía impuesta. Evariste Galois ( ) ha sido sin duda el primero en evidenciar esta noción para los cuerpos y grupos, en su trabajo sobre la resolución de ecuaciones algebraicas.

18 Primeras ideas En lo que concierne a los espacios vectoriales, es Hermann Grassmann ( ), un autodidacta alumbra a la comunidad matemática de su tiempo, que va hacer el primero en tener una aproximación formal a los problemas de geometría. Su tratado de 1844, muy oscuro, mezcla diferentes problemas geométricos, no fue muy comprendido. Grassmann redactará su trabajo en una forma más acabada en 1862, pero sin más que eso.

19 Una nueva mirada Es Giuseppe Peano ( ), que relee a Grasmann, y aprecia la noción de espacio vectorial, que llamada sistema lineari. Su definición es menos precisa de la que daremos en el curso pero contiene las mismas ideas. Peano expone algunos resultados sobre espacios vectoriales y de aplicaciones lineales. Después algunos matemáticos de la escuela italiana comienzan a explorar en esta dirección, como Salvatore Pincherle ( ), sin que sus ideas tuvieran mucha influencia.

20 Lo que sigue... Trataremos de percibir estos aspectos del álgebra Lineal a través del curso, pero es imposible da todavía idea de problemas de Análisis Funcional que han contribuido a la elaboración de todos los conceptos del álgebra lineal. Los estudiantes deben estar pacientes.

21 Aplicaciones lineales En un artículo de Giuseppe Peano escrito en 1888, en el cual define los espacio vectoriales y las aplicaciones lineales entre espacio vectoriales: que son aplicaciones con la propiedad de conservar la suma de vectores y el producto por un escalar. Definimos igualmente las compuesta de dos aplicaciones lineales y la inversa de una aplicación lineal.

22 Análisis Funcional Después de 30 años esta definición ha sido considerada para formalizar los problemas que se sitúan en otros campos de la matemática como el análisis funcional que desarrollará Stefan Banach.

23 Un poco de historia... Ciertamente la idea de linealidad es más antigua y matemáticos como Jean Bernoulli o Euler han utilizado las propiedades para hablar de la derivación, de diferencias finitas o incluso de cambio de coordenadas. Pero ellos no aplican la linealidad en los objetos sobre los cuales ellos trabajan.

24 Más ideas... Para hablar de aplicación Lineal, hay que tratar con aplicaciones lineales, no solamente sobre los objetos sobre los cuales se trabajan, sino también sobre todos los objetos del mismo tipo, es decir, pensar el espacio vectorial generado por estos objetos o un mismo espacio todavía más grande.