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Transcripción

1 Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

2 Análisis de Fourier y sus aplicaciones 1

3 Muchos de los sistemas ublizados en ingeniería se pueden modelar como: Sistemas lineales Sistemas invariantes en el Bempo 2

4 Qué significa que un sistema sea lineal e invariante en el Bempo? La entrada del sistema se denota por x(t) La salida del sistema se denota por y(t) X(t) Entrada Sistema lineal e invariante en el 4empo y(t) Salida 3

5 Un sistema es lineal si sabsface lo siguiente: Entrada Salida x 1 (t) y 1 (t) x 2 (t) y 2 (t) ax 1 (t)+bx 1 (t) ay 1 (t)+by 2 (t) 4

6 Un sistema es invariante en el Bempo si sabsface que: Entrada Salida x 1 (t) y 1 (t) x 1 (t t 0 ) y 1 (t t 0 ) 5

7 Un hecho importante es que, en general, cualquier señal que pase a través de un sistema lineal e invariante en el Bempo se distorsiona, es decir, cambia su forma. La única señal que no se distorsiona al pasar a través de un sistema de este Bpo es una sinusoidal pura. 6

8 Una señal sinusoidal pura no cambia su forma pero si cambian: Su amplitud. Su fase. En general, el cambio en la amplitud y en la fase dependen: del sistema. de la frecuencia de la señal sinusoidal. 7

9 El análisis de Fourier permite determinar la amplitud y fase de cada una de las componentes de frecuencia que Bene una señal. Para señales periódicas se ublizan las series de Fourier. Para señales no periódicas se usa la transformada de Fourier. 8

10 Las series de Fourier permiten determinar la amplitud y fase de cada una de las componentes de frecuencia que Bene una señal periódica. Existen dos formas de la serie de Fourier: Forma rectangular. Forma compleja 9

11 Si x(t) es una señal periódica con período T 0, su serie de Fourier en forma rectangular es: x(t ) = a 0 + a n cos(2πnt / T 0 ) + b n sen(2πnt / T 0 ) donde n=1 [ ] a 0 = 1 T 0 T 0 / 2 T 0 / 2 x(t )dt a n = 2 T 0 T 0 / 2 x(t ) cos(2πnt / T 0 )dt b n = 2 x(t )sen(2πnt / T 0 )dt T 0 T 0 / 2 T 0 / 2 T 0 / 2 10

12 La componente de corriente directa o valor promedio de la señal es La componente de frecuencia Hertz está f n = n T definida por: 0 Su amplitud A n = a 2 2 n + b n a 0 Su fase φ n = arctan b n a n 11

13 La serie de Fourier en forma compleja para una señal periódica x(t) con período T 0, es: n= x(t ) = c n e j2 πnt / T 0 donde c n = 1 T 0 T 0 / 2 T 0 / 2 x(t )e j 2 πnt / T 0 dt 12

14 La componente de corriente directa o valor promedio de la señal es La componente de frecuencia Hertz está f n = n T definida por: 0 Su amplitud A n = 2 c n c 0 Su fase φ n = fase de c n 13

15 Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia. 14

16 Usando la forma rectangular de la serie se obbene: a 0 = 1 a n = 2 [ sen(3nπ/4)+ sen(nπ/4) ] nπ b n = 2 cos(3nπ/4) + cos(nπt/4) nπ [ ] A n = 4 nπ sen(nπ / 2) φ cos(3nπ/4) - cos(nπt/4) n = arctan sen(3nπ/4) + sen(nπt/4) 15

17 Usando la forma compleja de la serie se obbene: c n = 2 nπ sen(nπ/2)e-jnπ / 4 c 0 = 1 16

18 Las primeras componentes de frecuencia son: 17

19 A conbnuación se muestra cómo se va aproximando la señal periódica al ir sumando sus componente de frecuencia. 18

20 Sumando las primeras 2 componentes de frecuencia de la señal periódica. 19

21 Sumando las primeras 3 componentes de frecuencia de la señal periódica. 20

22 Sumando las primeras 9 componentes de frecuencia de la señal periódica. 21

23 Sumando las primeras 40 componentes de frecuencia de la señal periódica. 22

24 Sumando las primeras 100 componentes de frecuencia de la señal periódica. 23

25 Para analizar el contenido de frecuencia de las señales no periódicas se ubliza la transformada de Fourier. Señal no periódica x(t ) Su transformada de Fourier está dada por: X(ω ) = F x(t ) { } = x(t )e jωt dt 24

26 La transformada de Fourier también permite analizar cómo cambia la amplitud y fase de una señal sinusoidal pura cuando pasa a través de un sistema lineal e invariante en el Bempo. Para conocer lo anterior se obbene la función de transferencia del sistema, definida como: H(ω ) = F { salida } F { entrada} = Y(ω ) X(ω ) 25

27 La relación de la amplitud de la salida a la amplitud de la entrada representa la ganancia del sistema y ésta es función de la frecuencia de la señal de entrada. Ganancia = H(ω ) La fase de la señal de salida en relación a la fase de la señal de entrada también depende la frecuencia y está dada por. Cambio de fase = fase de H(ω ) 26

28 Considere un sistema lineal e invariante en el Bempo cuyo modelo es el siguiente. d 2 y(t ) +10 dy(t ) dt 2 dt +100y(t ) = 100x(t ) La función de transferencia de este sistema es. H(ω ) = Y(ω ) X(ω ) = ω 2 + j10ω 27

29 Las gráficas de la ganancia y cambio de fase para este sistema en función de la frecuencia son. 28

30 A conbnuación se muestra la entrada (en azul) y la salida (en rojo) del sistema del ejemplo cuando se le aplican entradas sinusoidales de diferentes frecuencias. 29

31 x(t ) = cos(2t ) 30

32 x(t ) = cos(6t ) 31

33 x(t ) = cos(10t ) 32

34 x(t ) = cos(20t ) 33

35 x(t ) = cos(50t ) 34

36 A conbnuación se muestra la entrada (en azul) y la salida (en rojo) del sistema del ejemplo cuando se le aplican entradas sinusoidales con dos diferentes frecuencias. Obsérvese cómo se distorsiona la señal. 35

37 x(t ) = cos(2t ) + sen(8t ) 36

38 x(t ) = cos(10t ) + sen(20t ) 37

39 x(t ) = cos(10t ) + sen(40t ) 38

40 Para qué se aplica el análisis de Fourier? Se aplica para: Analizar contenido de frecuencia de las señales. Determinar cómo cambia la amplitud y la fase de las señales sinusoidales cuando éstas pasan a través de un sistema lineal e invariante en el Bempo. 39

41 Dónde se aplica el análisis de Fourier? Se ubliza en muchas áreas de ingeniería donde se analizan y diseñan sistemas dinámicos. Algunas áreas son: Comunicaciones. Ingeniería mecánica. Ingeniería de control. Campos electromagnébcos. Procesamiento de señales de audio. Procesamiento de imágenes. En el área médica. 40

42 En comunicaciones: Para analizar contenido de frecuencia de las señales. Diseñar los sistemas de transmisión de señales para transmibr información. Analizar los cambios que ocurren cuando las señales viajan a través de un medio de transmisión. Diseñar sistemas para compensar la distorsión de las señales en los sistemas de transmisión. Para diseñar supresores y canceladores de eco en líneas telefónicas. 41

43 En ingeniería mecánica: Para estudiar los problemas relacionados con vibraciones mecánicas en los motores, generadores y equipos rotatorios en general. Para balancear rotores y eliminar la vibración que generan cuando no están balanceados. Para diseñar sistemas para absorber vibraciones y eliminar sus efectos. 42

44 En ingeniería de control: Para estudiar la estabilidad de los sistemas de control ublizados en diversos equipos. Para análisis y diseño de sistemas de control que sabsfagan los requerimientos establecidos. Para compensar sistemas de control que Bene problemas de estabilidad. 43

45 En campos electromagnébcos: Para resolver ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de frontera para determinar la distribución de los campos electromagnébcos en un espacio dado. 44

46 En procesamiento de señales de audio: Para compactar señales de audio (MP3, MP4). Para producir efectos de sonidos. Para diseñar sintebzadores de audio. Para diseñar ecualizadores. 45

47 En procesamiento de imágenes: Para filtrar imágenes. Para extraer caracterísbcas de interés sobre las imágenes. Para realizar transformaciones de imágenes. Para compactar imágenes. 46

48 En el área médica: Para procesar las imágenes generadas por ecogramas, resonancia magnébca, tomograda axial, etc. Para extraer caracterísbcas de interés sobre las imágenes. Para acondicionar las señales para equipos médicos de adquisición de datos. 47

49 En diversas áreas de ingeniería: Para analizar el comportamiento de los sistemas en relación a las frecuencias de las señales de entrada. Para modelar sistemas en el dominio de la frecuencia. Para análisis y diseño de sistemas de que sabsfagan los requerimientos establecidos. 48

50 El análisis de Fourier ha hecho posible que actualmente tengamos a nuestra disposición muchos disposibvos tecnológicos que contribuyen a hacer nuestra vida más fácil, segura y placentera. Muchas veces no nos damos cuenta de que detrás muchos disposibvos está el análisis de Fourier. 49

51 GRACIAS 50

52 AcBvidades. 1. Una señal x(t) es par si sabsface que x(t)=x( t) para todo Bempo. Demuestre que la serie de Fourier de una señal periódica par no conbene términos seno en su forma rectangular. 51

53 AcBvidades. 2. Una señal x(t) es impar si sabsface que x(t)= x( t) para todo Bempo. Demuestre que la serie de Fourier de una señal periódica impar solamente conbene términos seno en su forma rectangular. 52

54 AcBvidades. 3. Determine la transformada de Fourier de la seña x(t ) = e at, t 0 0, t < 0 donde a es una constante real posibva. 53