Bloc I. ARIMÈTICA. Tema 4: LES FRACCIONS TEORIA

Transcripción

1 1. INTRODUCCIÓ. IES L ASSUMPCIÒ d Elx w.ieslaasuncion.org El cuiner de la imatge ha de repartir la lassagna que ha cuinat entre 6 persones. Quina part li correspon a cadascú? I si en lloc de 6 persones en foren només 3, a quant tocarien?. CONCEPTE DE FRACCIÓ. * Una fracció a b és el quocient de dos nombres enters, sent el divisor diferent de zero. * El nombre enter "b" s anomena denominador i és el nombre de parts iguals en què es dividix la unitat. * El nombre enter "a" s anomena numerador i és el nombre de parts que es prenen. * Per a calcular la fracció d un número, es dividix el número entre el denominador, i el resultat es multiplica pel numerador. * Si el numerador és menor que el denominador la fracció s anomena pròpia perquè és menor que 1. * Si el numerador és major que el denominador la fracció s anomena impròpia perquè és major que 1. 1

2 * Per a representar una fracció a b en la recta, es dividix la unitat en tantes parts iguals com indique el denominador i es prenen tantes com indique el numerador. Si la fracció és impròpia convé fer primer la divisió per a poder expressar la fracció com la suma d un nombre enter i una fracció pròpia. Primer dibuixem la recta. Com la fracció es pròpia, dividim la unitat en tantes parts iguals com indica el denominador i en prenem tantes com indica el numerador 9 Primer dibuixem la recta. Com la fracció es impròpia, 9 primer la transformarem en =1+. Ara dibuixem la recta com en el cas anterior Si ara volem representar (fracció pròpia) podriem visualitzar-ho d aquesta manera: Anàlogament, per a representar (fracció impròpia): = 1+ ERV: 1 3. FRACCIONS EQUIVALENTS. * Dos fraccions són equivalents quan expressen la mateixa porció d unitat. Per exemple:

3 * Si multipliquem el numerador i el denominador per un mateix nombre enter n, diferent de zero, obtenim una fracció equivalent, és a dir, a b = a" n. Diem que hem amplificat la fracció i ho utilitzarem per a ordenar o b " n sumar fraccions amb distint denominador. * Si dividim el numerador i el denominador per un mateix nombre enter n, obtenim una fracció equivalent, és a dir, a b = a : n. Diem que hem simplificat la fracció. Si la fracció no es pot simplificar es diu que la fracció és b : n irreductible. Amplificar la fracció: = " 3 " 3 = 6 Simplificar la fracció: 1 30 = 1 : 30 : = 6 = 6 : 3 : 3 = " Fracció Irreductible a c * Hi ha dos formes distintes per a saber si dos fraccions i són equivalents: b d 1) Són equivalents si al simplificar-les obtenim la mateixa fracció irreductible. ) Són equivalents si els productes creuats són iguals, és a dir, si: a " d = b " c 6 i són equivalents? 6 i són equivalents? 1) Obtenint la fracció irreductible: 6 = 6 : 3 : 3 = " si ho són ) Utilitzant els productes creuats: = 6 # = 30$ " % són equivalents # 6 = 30 & ERV:. REDUCCIÓ DE FRACCIONS A COMÚ DENOMINADOR. * Comparar o sumar fraccions és molt senzill quan tenen el mateix denominador, per exemple, és < o + = 6, per això, quan no tenen el mateix denominador, substituïm les fraccions per altres equivalents amb el mateix denominador amplificant la fracció convenientment. Com? 3

4 1r) Primer calculem el mínim comú múltiple de tots els denominadors. n) Després es divideix el m.c.m. entre cadascú dels denominadors i el resultat es multiplica pel numerador corresponent. D esta manera totes les fraccions tindran com a denominador el mcm abans calculat.. SUMA Y RESTA DE FRACCIONS. * La suma i resta de fraccions amb el mateix denominador és una altra fracció que té per numerador la suma o resta de numeradors i per denominador el mateix que el de les fraccions. Sempre que es puga simplificarem el resultat, per expressar-lo en forma de fracció irreductible. * La suma i resta de fraccions amb distint denominador es realitzen com abans però reduint-les prèviament al mateix denominador. Sempre que es puga simplificarem el resultat, per expressar-lo en forma de fracció irreductible. Si tenen el mateix denominador: 9 1 " = 9 " 3 + = 11 # El resultat ja és una fracció irreductible 1 1 Si no tenen el mateix denominador: 1 " mcm(1,8,6) = :1 = # 1 = $ 1$ = 1 % ' : 8 = 3 # 8 = $ 3 8$ 3 = ' & ' : 6 = # 1 6 = 1$ 6 $ = ' (' # 1 " = 1 " + 1 " + = = 3 = 3 : 3 : 3 = 1 8 ERV: 3

5 6. MULTIPLICACIÓ O PRODUCTE DE FRACCIONS. * El producte de dues fraccions és una altra fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte dels denominadors. * El resultat d operar fraccions és una nova fracció que hem de simplificar fins a ser irreductible. Sovint, al multiplicar fraccions, obtenim fraccions reductibles. És convenient descompondre els nombres abans de 1 multiplicar perquè la simplificació siga més fàcil. Per exemple, si desitgem multiplicar!, podem operar de 3 6 dos formes: 1ª forma: 3 " 1 6 = " 1 3" 6 = 8 8 : = : = ja que 8 i 10 són múltiples de. ª forma: 3! 1! = 6!!! 3!!! 3 = = 3!!! 3! * Dues fraccions es diuen inverses si el seu producte és u. La fracció inversa de b a és a b. Donada la fracció: 3 la fracció 3 és la seua fracció inversa ja que 3 " 3 = 3" " 3 = 1 1 =1 * Si multipliquem 3 o més fraccions, aplicant la propietat associativa, deduïm, per exemple: a c e a! c! e!! = b d f b! d! f. Molt d ull!!! Recorda aplicar la regla de signes. a) " 10 6 # $ " ' & )# 1 % ( = "10 # (") #1 6# # = 0 10 = 1 6 b) 6 # (") = 6 # $ " ' & ) = % 1( # (") 6#1 = "0 6 = "10 3

6 . DIVISIÓ O QUOCIENT DE FRACCIONS. * El quocient de dos fraccions és una altra fracció que s obté al multiplicar els termes creuats. * Igual que en la multiplicació de fraccions, al dividir fraccions obtenim, sovint, fraccions reductibles. És convenient descompondre els nombres abans de dividir perquè la simplificació siga més fàcil. a) 8 : 3 = 8" 3 " = 30 = b) (#6) : 3 = #6 1 : 3 = (#6) " 1" 3 = #30 3 = #10 ERV: 8. JERARQUIA DE LES OPERACIONS I ÚS DEL PARÈNTESI. * La jerarquia de les operacions i ús del parèntesi diu que quan es tenen distintes operacions combinades s ha de seguir l orde: a) Parèntesi. b) Multiplicacions i divisions c) Sumes i restes. d) Si les operacions tenen el mateix nivell, es comença per l esquerra. " % $ # & ' : " 6 ( 3 % $ # & ' = " % " 30 $ # 8 ' : & ( 3 % $ ' = 3 # & 8 : = 3) ) 8 = 1 8 ) " + % $ ') 3 # 3& = 1 8 ) " % $ ') 3 # 6 & = 1 8 ) 6 ) 3 = ) 3 8 ) 6) = 3 8 ERV:, 6 i 6

7 9. PROBLEMES ARITMÈTICS AMB NOMBRES FRACCIONARIS. * Se presenta una sèrie de problemes tipus, la comprensió de la qual et facilitarà el camí per a resoldre, per analogia, moltes situacions amb fraccions. PROBLEMA 1: CÀLCUL DE LA FRACCIÓ En una marató han pres l eixida 1 participants, però durant la prova han abandonat 330. Quina fracció del total dels inscrits ha arribat al final? 1 " = 8 1 = PROBLEMA : CÀLCUL DE LA PART (PROBLEMA DIRECTE) En una marató han pres l eixida 1 participants. Durant la prova han abandonat / dels corredors. Quants han arribat a la meta? Abandonen de 1 =1 : " = 330 # Arriben 1 $ 330 = 8 PROBLEMA 3: CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS) En una marató han arribat a la meta 8 corredors, la qual cosa suposa / dels que van prendre l eixida. Quants corredors van prendre l eixida? Arriben del total = 8 " El total = 8# : =1 " Són 1 corredors PROBLEMA : CÀLCUL DE LA FRACCIÓ Un hortolà sembra / de la seua horta de melons i 1/3 de l horta de melons d alger. Quina part del terreny queda encara lliure? = 6 + = 11 està sembrat " Queda lliure PROBLEMA : CÀLCUL DE LA PART (PROBLEMA DIRECTE) Un agricultor sembra / de la seua horta de melons i 1/3 de melons d alger. Si l horta té m, quina superfície queda sense sembrar? Segons el que hem vist al problema anterior, queda lliure de 3000 = 3000 : " = 800m

8 PROBLEMA 6: CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS) Un agricultor sembra / de la seua horta de melons i 1/3 de melons d alger. Si encara li queden 800 m lliures, quina és la superfície total de l horta? Segons el que hem vist al problema anterior, queda lliure El total = 800 : " = 3000m del total = 800 PROBLEMA 10: CÀLCUL DE LA FRACCIÓ D un depòsit de reg que estava ple, s han extret, al matí, /3 del seu contingut i, a la vesprada, 3/ del que quedava. Quina fracció de dipòsit queda al final del dia? PEL MATI " 3 del total (queda 1 $ del total) 3 & PER LA VESPRADA " 3 de 1 3 = 3 # 1 3 = 3 % del total& ' " = 13 PEL MATI + PER LA VESPRADA lleven 13 " Queden del total PROBLEMA 11: CÀLCUL DE LA PART (PROBLEMA DIRECTE) D un dipòsit de reg de litres que estava ple, es trauen, al matí, /3 del seu contingut i, a la vesprada, 3/ del que quedava. Quants litres queden en el dipòsit? Segons el problema anterior : Queden de = : " =1000 litres PROBLEMA 1: CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS) D un dipòsit de reg que estava ple, s han extret, al matí, /3 del seu contingut i, a la vesprada, 3/ de la resta. Si al final del dia encara queden 1000 litres, quina és la capacitat total del dipòsit? Segons el problema10 : Queden del total =1000 " El total =1000 : # = litres ERV: Del 9 al 8 8

9 Bloc I. ARIMÈTICA. Tema : LES FRACCIONS EXERCICIS Resolts en 1. Concepte de fracció: EXERCICIS a) A quin número decimal equival 3? Dibuixa un quadrat i representa eixe número. b) Quina fracció està representada en el dibuix? És una fracció pròpia o impròpia? ! c) Representa en la recta les fraccions:,!,,. Quin número està representat? 3 d) Calcula /3 de 18 i /3 de 18.. Fraccions equivalents: a) De les fraccions següents: 6, 8, 6 quines són equivalents? 9 8 b) Donada la fracció, troba una fracció equivalent de denominador 100 i una altra de numerador, quan 0 has simplificat i quan has amplificat?. Quina és la fracció equivalent irreductible? Per què? c) Ordena les fraccions 10 9, 3, 6, 11, 3 trobant primer fraccions equivalents amb el mateix denominador. 3. Suma i resta de fraccions: a) Calcula b) Calcula c) D una caixa de bombons els amics d Andrea s han menjat /3 i l endemà 1/, quina fracció de la caixa s han menjat en total?. Si havien 30 bombons, quants queden? d) Si sumem un número i el seu oposat, quin número obtenim?. Multiplicació i divisió de fraccions: a) Calcula!,! i! b) Calcula :, : i : c) Calcula " i " % $ '( # 3& 3 d) Hi ha 18 amics reunits. Si cadascú beu 1/3 de litre de Coca-Cola, quants litres han begut? e) Disposem de 18 litres de Coca-Cola, quants gots d 1/3 de litre podem omplir? f) Si multipliquem una fracció per la seua fracció inversa, quin número obtenim?. Calcula: 1 6 a) +!! b) 6. Calcula: "! " 3 8 a) ( )! ( 1 % ( 3 % & 1 # & 3 #! + c) & 3! # " &! # +! 3" (! ) d) $ 3 '! ' $ '! + 10 ' $ ' $ % " % " & # b) : 3 : $ '! 8 % " c) & # : 3" d) : $ ( 3'! 8! 8 % ". Calcula: a) " 11 : $ " 3 + ' ' ' 1! 1$ $ & ) b)! ( %!! %! ""! c) % # ( 10 +1) ( & 3 & 6 ## "! : 9

10 Bloc I. ARIMÈTICA. Tema : LES FRACCIONS EXERCICIS Resolts en 8. Amb ajuda de la calculadora o de wiris calcula Escriu diverses operacions de fraccions amb parèntesi dins d altres parèntesis. Troba-ho amb llapis i paper i després comprova el resultat amb la calculadora o amb wiris. 9. a) Quina fracció de la setmana són tres dies? b) Quina fracció d hora són minuts? I 10 minuts? I 1 minuts? c) En una classe de alumnes, 8 juguen al tenis. Quina fracció juga al tenis? d) El % de les flors d un jardí són roses. Quina fracció són roses? e) Víctor tenia 30 i ha gastat dos cinquenes parts. Quant ha gastat? f) Ana ha gastat /3 del seu diners i encara li queden. Quant tenia? 10. En una classe de 1r ESO de l IES l Assumpció hi ha 36 estudiants, sent 8 d ells xics. Si suspenen matemàtiques 6 xics i 3/ de les xiques. a) Quina fracció dels estudiants ha suspés matemàtiques? Quin percentatge representa? b) Quina fracció dels xics ha suspés matemàtiques? c) Quina fracció dels estudiants és xic i suspén matemàtiques? d) Suspenen més xics que xiques? Per què està mal formulada la pregunta? 11. Amb un bidó de 0 litres s omplin 00 flascons d aigua de colònia. Quina fracció de litre entra en cada flascó? 1. En un concurs-oposició aproven candidats i suspenen 3. Quina fracció dels opositors ha aprovat? 13. Ana i Rosa han comprat un bolígraf cadascuna. Ana ha gastat / d un euro, i Rosa, cèntims. Quin dels dos bolígrafs ha eixit més car? 1. Julia va comprar un formatge de quilos i 800 grams, però ja ha consumit dos quints. Quant pesa el troç que queda?. Quant costen tres quarts de quilo de pastes de te, que estan a 1 euros el quilo? 16. En una parcel la de 800 metres quadrats, s ha construït una casa que ocupa / de la superfície i la resta s ha enjardinat. Quina superfície ocupa la casa? I el jardí? 1. Un hotel té 80 habitacions, de les que el 0% estan buides. Quina fracció de les habitacions estan buides? Quantes estan buides? 18. Tres quilos de pastissos es repartixen en cinc safates. Cada safata es ven per 6 euros. A com es ven el quilo de pastissos? 19. He comprat / d una empanada que han pesat 300 grams. Quant pesava l empanada completa? 0. Una bossa d arròs, de tres quarts de quilo, costa 1,80. A com ix el quilo? 1. S han sembrat d alfals els / de la superfície d una finca, i encara queden 600 metres quadrats sense sembrar. Quina és la superfície total de la finca?. Rosario ha tret 3/ dels diners que tenia en la vidriola i encara li queden 1 euros. Quant tenia abans d obrirla? 3. Un camió pot carregar kg i porta 3/ de la càrrega. Quants quilos porta? 10

11 Bloc I. ARIMÈTICA. Tema : LES FRACCIONS EXERCICIS Resolts en Un autocar de places té els /9 de les places ocupades. Quantes places queden lliures?. Una aixeta plena els / d un dipòsit en una hora, i una altra aixeta, els /. Quina fracció de dipòsit falta per a què estiga ple? 6. Calcula el temps transcorregut des de les nou i mitja del matí fins a les dotze i quart del matí.. Comprem una garrafa de litres d aigua i gastem tres litres i quart. Quant li queda? 8. Un dipòsit d aigua té 600 litres de capacitat i està ple. Gastem 1/ del total i després 1/3 del total. Quants litres queden al dipòsit? 9. Una ciutat té habitants; els /8 tenen menys de 0 anys, i d estos els / són estudiants. Quants estudiants menors de 0 anys té eixa ciutat? 30. El sòl d un magatzem té 1.00 m de superfície. Luis pinta un dia 1/, i un altre dia, 1/3; el seu company Juan pinta la resta. Si paguen a el metre quadrat, quant cobra cadascú? 31. Una caixa conté 0 bombons. Teresa es va menjar els /, i Marcos, 1/. Quants bombons queden en la caixa? 3. Un llibre té 0 pàgines. El primer dia llegim 1/; el segon, 1/6; el tercer, 1/8. Quantes pàgines queden sense llegir? 33. Sonia té una paga mensual de 1. El dissabte es gasta 1/3 i el diumenge 1/. Quants diners li queden per a la resta de la setmana? 3. En una classe de 30 alumnes, 1/3 són xics, i la resta, xiques. De les xiques, 1/ són morenes. Quantes xiques morenes hi ha en la classe? 3. Plantem en un parc 600 arbres: 1/3 són palmeres, 1/ pins, i la resta, oliveres. Si cada palmera costa 30, cada pi 3 i cada olivera, quants diners costen tots els arbres? 36. El dipòsit de gasoil d un cotxe conté 60 litres i gasta /3 a fer un trajecte. Si el litre de gasoil costa a 0,8, quant ha gastat en el trajecte? 3. En una classe de 30 alumnes, aproven les Matemàtiques els /3, i 1/ d estos obtenen excel lent. Quants alumnes han obtingut excel lent? 38. Una família guanya a l any. Gasta en menjar 3/10, en roba 1/8, en transport 1/1 i en altres coses Quant estalvia a l any? 39. Un pal de telèfons té baix terra 1/ de la seua longitud. Si la longitud del pal sobre el sòl és de m, quant mesura el pal en total? 0. Un agricultor ha collit un camp de blat en tres dies. En el primer dia va recol lectar 3/ de la finca, en el segon dia, 1/, i en el tercer, la resta. En quin dels tres dies ha recol lectat major quantitat de terreny? 1. Arancha obri una botella d oli de 3/ de litre i retira un got per a la recepta d un gaspatxo. Si la capacitat del got és de / de litre, quant oli queda en la botella?. La meitat dels habitants d una aldea viuen de l agricultura; la tercera part, de la ramaderia, i la resta dels servicis. Quina fracció de la població viu dels servicis? 3. Un pastor va esquilar ahir els 3/8 de les seues ovelles, i este matí, la cinquena part. a) Quina fracció del ramat ha esquilat? b) Quina fracció queda per esquilar?. Un embassament estava ple a finals de maig. En el mes de juny es van consumir 3/10 de les seues reserves i a finals de juliol només quedava la meitat. Quina fracció de l embassament es va consumir en el mes de juliol?. Un pelegrí recorre 1/6 del camí en la primera setmana, 1/3 en la segona setmana i /9 en la tercera. Quina fracció del camí li queda per recórrer al principi de la quarta setmana? 11

12 Bloc I. ARIMÈTICA. Tema : LES FRACCIONS EXERCICIS Resolts en 6. Una furgoneta de repartiment carrega 0 caixes de vi. Cada caixa conté 1 botelles de tres quarts de litre, quants litres de vi van en la furgoneta?. Quants litres de perfum es necessiten per a omplir 100 flasconets de 3/0 de litre? 8. Quants flascons de perfum s omplin amb un bidó de litres, sabent que la capacitat de cada flascó és de 3/0 de litre? 9. Raquel avança 3/ de metre amb cada pas. Quina distància avança en 00 passos? 0. D una caixa de galetes de tres quarts de quilo, s han consumit dos cinquenes parts. Quant pesen les galletes que queden? 1. Dos cinquenes parts dels empleats d una empresa treballen en el torn de nit. La quarta part dels del torn de nit pertanyen a la secció de manteniment. Quina fracció dels empleats de l empresa treballen en manteniment durant la nit?. Ana, Loli i Mar han comprat un formatge per 3. Ana es queda amb la meitat; Loli, amb la quarta part, i Mar, amb la resta. a) Quina fracció de formatge es porta Mar? b)quant ha de pagar Mar per la seua banda? 3. Ana, Loli i Mar han comprat un formatge. Ana es queda amb la mitat; Loli, amb la quarta part, i Mar, amb la resta. Sabent que Mar, per la seua porció, ha posat 8 euros, quant va costar el formatge sencer?. Juan va comprar ahir un pastís d 1 00 grams i va consumir /. Hui ha consumit 1/3 del que quedava. a) Quina fracció de pastís ha consumit? b)quina fracció queda? c) Quant pesa el tros que queda?. Juan va comprar ahir un pastís i va menjar /. Hui ha menjat 1/3 de la resta. Si el tros que queda pesa 600 grams, quin era el pes del pastís sencer? 6. Un sastre utilitza la tercera part d un tall de tela per a confeccionar l americana d un trage; la quarta part, per al pantaló, i la sexta part, per al jupetí. Si encara li ha sobrat un metre, quina era la longitud del tall?. Un pintor utilitza /3 d un pot de pintura per a repassar la tanca d un xalet, i / del que li quedava, per a pintar el cobert del jardí. Finalitzada la tasca, encara li queden quilos de pintura. Quant pesava el pot abans de començar? 8. a) Andrea ha gastat /3 del seu diners en un vestit i 1/ en un mocador. Quina fracció dels diners li queda? b) Si a Andrea li queden 0, quant tenia al principi? c) Ivan ha gastat /3 del seu diners en una camisa i 1/ del que li quedava en una corbata. Quina fracció diners li queda? d) Si a Ivan li queden 0. Quant tenia al principi? 1