UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN GEOTECNIA APUNTES TEMA 5 TEMA 5. CONSOLIDACIÓN DE SUELOS SATURADOS 5.1 COMPONENTES DE LA DEFORMACIÓN DEL SUELO. CONSOLIDACIÓN PROCESO DE CONSOLIDACIÓN PRIMARIA ECUACIÓN DE LA CONSOLIDACIÓN PRIMARIA. DEFORMACIÓN DEL SUELO EN CONDICIONES EDOMÉTRICAS ECUACIÓN DE LA CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL. PLANTEAMIENTO ADIMENSIONAL. GRADO DE CONSOLIDACIÓN SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL CON FLUJO VERTICAL Carga uniformemente repartida sobre estrato finito Variación de los nieles piezométricos en estrato finito Expresión aproximada para el grado de consolidación Carga exterior ariable PLANTEAMIENTO SIMPLIFICADO EN CASOS CON FLUJO NO VERTICAL Consolidación radial Consolidación bidimensional y tridimensional CONSOLIDACIÓN SECUNDARIA

2 5.1 Componentes de la deformación del suelo. Consolidación La consolidación es un proceso acoplado de flujo y deformación. Se produce flujo en la medida en la que hay deformación y iceersa, y todo ello de forma consistente con la ariación que se produzca en las tensiones efectias como consecuencia de los cambios correspondientes en las tensiones totales y en las presiones intersticiales ( ' u ). Una forma simple, aunque sólo aproximada, de interpretar las deformaciones que se producen en un suelo es hacer referencia al caso de un balón o de un neumático pinchado. Si se piensa en un balón hinchado al que se le aplica cierta compresión exterior, se aprecia que, si se le supone perfectamente estanco, dicho balón se deformará instantáneamente y de forma prácticamente elástica (toda deformación se recuperará si se elimina la carga). Ahora bien, si se supone una fuga de aire, a compresión exterior constante, el balón se deformará también a lo largo del tiempo después de la carga inicial a medida que el aire se aya escapando por la fuga. En este caso habrá una primera deformación instantánea, básicamente recuperable (no queda prácticamente deformación remanente si se procede a una descarga) y una deformación diferida en el tiempo (a carga exterior constante) a medida que se pierda aire. La rapidez con la que se producirá la deformación diferida dependerá del tamaño de la fuga. Por otro lado, la mayor parte de esta deformación diferida será irrecuperable (al proceder a una descarga la mayor parte del aire expulsado no olerá a entrar). Respecto a la presión en el interior del balón, a medida que se expulse el aire, la misma irá disminuyendo. Se produce simultáneamente un flujo de aire al exterior, una deformación y una disminución de presión, de forma análoga, aunque no idéntica, ya que hay algunas diferencias significatias (por ejemplo, por la mayor compresibilidad del aire con respecto al agua) a lo que ocurre con un suelo saturado que, al ser comprimido, expulsa agua, se deforma y arían las presiones intersticiales. En este contexto, pueden diferenciarse distintos tipos de deformaciones en un suelo siguiendo arios criterios, según se indica a continuación para tres de ellos:

3 - Respecto a su recuperación en descarga (figura 5.1.1): Deformaciones recuperables o elásticas (al descargar se recuperan las deformaciones). Deformaciones irrecuperables o plásticas (al descargar no se recuperan las deformaciones). En un suelo corresponderán, básicamente, a un reordenamiento de las partículas hasta alcanzar un empaquetamiento de las mismas capaz de soportar el estado tensional aplicado. Lógicamente, al proceder a la descarga las partículas no retornan a su posición preia. Esto significa que estas deformaciones se producirán cuando la microestructura del esqueleto mineral del suelo no sea capaz de soportar el estado tensional aplicado y las partículas se muean hasta alcanzar un estado más compacto que sí sea capaz de soportarlo. - Respecto a su eolución en el tiempo: Deformaciones instantáneas en el tiempo (se producen instantáneamente tras la carga correspondiente). La mayor parte de ellas es recuperable. Deformaciones diferidas en el tiempo (se extienden en el tiempo tras la aplicación de la carga correspondiente). Habitualmente las deformaciones irrecuperables son mayores que las recuperables. La rapidez de deformación dependerá, sobre todo, del tamaño de los poros del suelo y, más específicamente, de su permeabilidad, a la que se hará referencia más adelante. - Respecto a su eolución con ' : Deformaciones instantáneas según σ' (la deformación se produce en cuanto cambia la tensión efectia). Estas deformaciones corresponden a la consolidación primaria (como en el caso del balón pinchado) y cumplen con el principio de las tensiones efectias de Terzaghi (la tensión efectia controla el comportamiento del suelo). Habitualmente estas deformaciones son en mayor proporción irrecuperables que recuperables, aunque esto depende de la trayectoria tensional seguida ya que, por ejemplo en procesos de descarga, puede no haber deformaciones irrecuperables. La mayor parte de este tema se a a dedicar al estudio de estas deformaciones (sobre todo de su eolución en el tiempo, no tanto de su magnitud). Deformaciones diferidas según σ' (la deformación se produce de forma diferida en el tiempo y al cambio de la tensión efectia). Estas deformaciones corresponden a la consolidación secundaria y no cumplen con el principio de Terzaghi (no están controladas por la tensión efectia). Serían análogas a la fluencia en otros materiales como, por ejemplo, el hormigón. La mayor parte de las deformaciones son irrecuperables. Este tipo 3

4 de deformación puede ser significatia, especialmente, en suelos arcillosos muy finos y plásticos y en suelos orgánicos; es muy pequeña en suelos limosos; y es inexistente en suelos de grano grueso (arenas y graas). En el último apartado de este tema se trata este tipo de deformación. e ' ' 1 ' e e e 1 Descarga y recarga Carga Irrecuperable Recuperable Figura Deformación recuperable e irrecuperable en un proceso de carga y descarga de un suelo saturado En la figura 5.1. se muestra de forma esquemática la eolución de la deformación de un suelo saturado al aplicar una carga. Como se obsera, se produce inicialmente una deformación instantánea (aunque dependiendo de las condiciones de la carga y del suelo puede no existir) constituida fundamentalmente por deformaciones recuperables. Posteriormente se produce una deformación diferida en el tiempo. Esta deformación corresponde inicialmente a un proceso de consolidación primaria en la que se expulsa agua (de forma acoplada con la deformación olumétrica producida, al ser el agua incompresible). Esta deformación incluye componentes tanto irrecuperables como recuperables (aunque los primeros acostumbran a ser mayores), y a seguida, en aquellos suelos en los que se produce (eidentemente con un solape intermedio, ya que no son consecutias), por la consolidación secundaria, que es muy lenta, produciéndose a mucho más largo plazo que la primaria. La consolidación secundaria está constituida, fundamentalmente, por deformaciones irrecuperables. La rapidez con la que se producirá la consolidación primaria dependerá principalmente, aunque no únicamente, de la permeabilidad del suelo. Desde el punto de ista olumétrico, la figura 5.1. muestra cómo la mayor parte de la disminución de olumen se debe habitualmente al proceso de consolidación primaria en la que se disipan las presiones intersticiales (deformación diferida en el tiempo, propiamente hidrodinámica). Antes de iniciarse este proceso, tal y como se puede er en el gráfico, hay una 4

5 primera disminución debida a la deformación instantánea en el momento de carga, que puede ser nula (por ejemplo con cargas y suelos isótropos). Esta deformación no pertenece a la consolidación dado que en ella no hay expulsión de agua. El cambio de olumen debido a la consolidación debe coincidir en suelos saturados con el olumen de agua expulsado. Una ez finalizada la disipación de presiones intersticiales se hace eidente el proceso de deformación debido a fluencia en la que la disminución olumétrica, aunque existente, es, en general, más pequeña que la debida a la consolidación primaria. Consolidación Primaria Consolidación Secundaria C B A t V Zona de transición V() i Cons. Primaria (Hidrodinámica) Cons. Secundaria (Fluencia) 1 V() i V t ( f ) t V( f ) 1 t Disipación de u t 1 V t t t 1 Figura 5.1. Eolución de la deformación (ε) y del olumen (V) en el tiempo, en un proceso de carga de una muestra de suelo saturado En cierto modo, en el proceso de consolidación todo depende de la tendencia del suelo (huecos) al cambio de olumen. A continuación se indican algunos casos en los que, siguiendo en paralelo la explicación-ejemplo del balón, se denominará como condiciones drenadas y condiciones no drenadas a las situaciones de existencia de fuga y no-fuga, respectiamente, en 5

6 su superficie (se hará referencia a estas dos situaciones de forma recurrente en los siguientes apartados y temas): Si la tendencia del olumen de poros (forma natural del balón) es a no cambiar, aún en condiciones drenadas (existencia de fugas en el balón), el agua no se moerá, no habrá una reorganización de las partículas sólidas (posible resistencia del mismo balón a la fuerza de compresión constante exterior); y en condiciones no drenadas (superficie del balón sin fuga alguna) el agua intersticial no cambiará de presión. Si la tendencia del olumen de poros es a cambiar, en condiciones drenadas el agua tenderá a entrar o salir en función del signo del cambio de olumen (búsqueda del equilibrio entre presiones interior/exterior, suponiendo que con la fuerza exterior se supera la resistencia del propio balón en su forma esférica); y en condiciones no drenadas se generarán presiones intersticiales de compresión o de tracción en función del signo del cambio de olumen (en el caso de compresión exterior constante, el balón siempre incrementará su presión interior con lo que el incremento de olumen, en el caso drenado, será siempre negatio, es decir, se comprimirá). Si el olumen de huecos tiende a disminuir, esto es, la carga aplicada no es soportada por el esqueleto mineral, el suelo consolidará. 5. Proceso de consolidación primaria Como se ha comentado en el apartado anterior, la consolidación primaria es un proceso acoplado de flujo y deformación en el que hay un cambio de tensión efectia diferido en el tiempo producido por la disipación de las sobrepresiones intersticiales. Este proceso de disipación genera cambios olumétricos en el suelo; en un terreno aparecerá un descenso de la cota en superficie del suelo. La mayor parte de los asientos suele pertenecer a este tipo de consolidación. En la consolidación secundaria pueden también existir sobrepresiones en los poros más pequeños, pero como este segundo tipo de consolidación es muy lento (lenta elocidad de flujo) dichas sobrepresiones asociadas resultan inapreciables. La consolidación primaria aanza con el tiempo cumpliendo las leyes de tensiones efectias de Terzaghi. La eolución de la consolidación primaria o secundaria depende de la permeabilidad del suelo y de la deformación total que se debe producir. 6

7 Para explicar la consolidación primaria se puede hacer referencia a un ensayo de laboratorio típico de geotecnia que es el ensayo edométrico. El ensayo edométrico se compone básicamente de un anillo de metal rígido dentro del cual se introduce una muestra de suelo representatia del terreno que se quiere analizar, y un émbolo encargado de transmitir la carga aplicada sobre dicha muestra de terreno. Se a a suponer situaciones ideales en las cuales el émbolo no tiene peso y la fricción anillo-terreno es nula. También se a a suponer que las deformaciones de los diferentes componentes del aparato a excepción de la del propio suelo son nulas y que en el ensayo se puede controlar la salida de agua debida a la consolidación mediante la existencia de una álula. Inicialmente (y como ya se ha dicho, en situaciones ideales) con la álula cerrada no es posible la deformación de la muestra de suelo ya que suponemos que las partículas sólidas son indeformables y el agua incompresible. En consecuencia, y por estar hablando de suelos saturados, no es posible deformación alguna y, de acuerdo con el principio de las tensiones efectias de Terzaghi, no debe haber ariación en las tensiones efectias. Una ez se abre la álula (permitiéndose el drenaje) se aprecia una disminución olumétrica de la muestra; si rechazamos las posibilidades de que se comprima el suelo o el agua, y también la opción de que se pierda suelo por la álula, se obtiene que la única opción es la expulsión de agua. En consecuencia, aparece un caudal de salida en la álula que es el drenaje consecuente al proceso de consolidación. La figura 5..1 presenta de modo esquemático lo que sería la sección transersal de una célula edómetrica preparada para un ensayo de compresibilidad de una muestra de suelo saturado antes de aplicar ninguna carga (t o ). Posterior a la introducción de la muestra dentro de la célula se coloca una piedra porosa de alto alor drenante para que el agua pueda escapar en condiciones unidimensionales una ez iniciado el proceso de carga (álula de salida de agua abierta). Sobre la piedra porosa, el émbolo será el encargado de transmitir la carga axial sobre la piedra y ésta sobre la muestra. Se especifican también en la figura 5..1 las diferentes trayectorias de alores en profundidad de la tensión ertical total σ así como de la presión intersticial u ; de ellas se deduce los alores de tensión efectia σ' y altura piezométrica. Como ya se ha indicado, este ensayo se caracteriza por la imposibilidad de que existan desplazamientos laterales de la muestra en el proceso de carga {, } pudiendo dar x y 7

8 únicamente resultados no nulos en los desplazamientos erticales { z } a lo largo del tiempo. En la figura 5.. se representa un primer paso de carga del edómetro con la álula cerrada ( t 1 ) y la posterior apertura permitiendo el drenaje (paso de condiciones no drenadas a condiciones drenadas ent ; consolidación). t Equipo y estado inicial Válula Émbolo Piedra porosa Muestra de suelo saturado x y z u z z ' ( z) z u ( z) z '() z sat w sum z ( z) cte Figura 5..1 Ensayo edométrico. Sección de la célula de carga. Componentes y estado inicial Se comenta a continuación qué ocurre según los distintos parámetros: Presiones totales: se incrementan instantáneamente (t 1 ) en el alor de la carga y permanecen inariables. Presiones intersticiales: al cargar con la álula cerrada, como no se pueden producir deformaciones, las presiones intersticiales sufren un incremento igual al alor de la carga aplicada ( u ), sin ariación de las tensiones efectias. Pero una ez abierta la álula, 8

9 la presión intersticial tiende a oler, por equilibrio, a su alor inicial (antes de cargar; u ), empleando para ello un tiempo determinado, correspondiente al proceso de consolidación, que ariará en función de la ubicación de cada punto dentro de la muestra (distancia al borde de drenaje). u Alturas piezométricas: se puede er con su definición ( A za ; con z creciente hacia abajo) que, aun con la álula cerrada y al cargar, las alturas piezométricas no arían en función de la profundidad de la muestra (lo que puede aler debido a la cota en posiciones superiores, lo ale en presión intersticial en cotas inferiores). Pero una ez se permite el drenaje, sí aparece una ariación de alturas en el punto superior igual a: wz wz w w z z z w w w w w y las alturas piezométricas comienzan a ariar con z a lo largo del tiempo a medida que se disipan las presiones intersticiales (figura 5..): u ( zt, ) w ( z, t) Tensiones efectias: mientras que con la álula cerrada la ariación de tensiones efectias es nula respecto al proceso de carga (la absorbe toda la presión intersticial), una ez se permite el drenaje se comienzan a disipar las sobrepresiones intersticiales y aparece un incremento de tensiones efectias con la consecuente deformación de la muestra de suelo. w Las ariaciones de tensión efectia (Δσ ) inducen una deformación. Si en un suelo aparece una ariación de la tensión efectia en condiciones no drenadas (álula cerrada; condiciones no edométricas) aparecen sobrepresiones intersticiales y deformaciones (sólo recuperables o recuperables y no recuperables). Si posteriormente se permite el drenaje, puede ser que la estructura inicial no sea capaz de soportar dicha ariación. Significa entonces (como ocurre siempre que se producen deformaciones irrecuperables) que los contactos no son suficientes y el suelo se reordena disminuyendo su porosidad y aumentando la superficie de contacto entre partículas. Esto implica que aumenta también la densidad del suelo (menos olumen de poros + igual olumen de sólidos = más densidad). En esta situación el suelo se comprime, asienta, disminuye su cota superficial; y para que esto ocurra parte del agua retenida en los poros debe salir (consolidación). Si nos centramos en el último esquema de esta figura (proceso de consolidación), se muestra una línea cura representatia del proceso de disipación de presiones intersticiales para un 9

10 momento determinado dentro de t. Obiamente, desde el momento de apertura de la álula hasta la total disipación de presiones intersticiales hay múltiples líneas (tantas como momentos se consideren en el tiempo) que relacionan puntos en un mismo instante dentro del proceso de disipación del agua a lo largo del tiempo en función de la altura. Estas líneas correspondientes a la situación en un mismo instante se denominan isócronas. Para entender mejor este comportamiento, podemos hacer referencia al símil hidráulico de Terzaghi-Fröhlich. En la figura 5..3 se representa un esquema de dicho símil. Este símil considera que una muestra de suelo dentro del edómetro (figuras 5..1 y 5..3) puede ser comparada a un mismo recipiente lleno de agua pero con una serie de tabiques perforados y separados por muelles (que nos darán resistencia y simulan el esqueleto mineral del suelo). Para analizar lo que ocurre, cada espacio separado entre tabiques se conecta con un tubo exterior al recipiente (tubo piezométrico) en el que puede erse la cota de agua correspondiente a su presión interior en el recipiente más la altura del punto de medida. El recipiente tiene una álula superior de escape de agua. Para una situación inicial (t o ) sin carga (al igual que en el edómetro se supone un émbolo sin peso) y con la álula abierta, las cotas de control de presión de agua tienen la misma altura e igual a la cota freática dentro del recipiente (isócrona horizontal T o ). Si posteriormente (t 1 ), habiendo cerrado la álula se carga el émbolo, todas las cotas de control alcanzarán una altura (isócrona T 1, nueamente horizontal) función de la presión aplicada. Como el agua es mucho menos compresible que los muelles, toda la carga aplicada será soportada por ella, adoptando un alor igual a la presión aplicada ( ) en todos los puntos del interior del recipiente y no dando lugar a deformación alguna debido a que no hay ariación de tensiones efectias. Si ahora se permite el drenaje (únicamente superior en nuestro caso), el agua del compartimento superior empezará a escapar por la álula de drenaje, descendiendo el émbolo y, ahora sí, cargando a los muelles. Análogamente se irán cargando los muelles de los otros compartimentos, debido al drenaje de agua del segundo al primer compartimento (superior), del tercer al segundo (y éste de nueo al primero) y así con tantos compartimentos como se haya diidido el recipiente. En un instante posterior a la apertura de la álula (por ejemplo t ), empiezan a disminuir las presiones intersticiales en puntos superiores del recipiente, dando lugar al incremento de las tensiones efectias y a la consiguiente deformación. En este instante, los nieles de agua en los tubos piezométricos se hallan sobre una misma isócrona (línea T ); y como se puede er en la figura, la ariación de las presiones intersticiales (y el incremento de 1

11 tensiones efectias) se hace más eidente cuanto más superior (más cerca del drenaje) está el compartimento dentro del recipiente. t 1 t Aplicación de carga Válula cerrada Carga constante Q Válula abierta h V e Condiciones no drenadas Condiciones drenadas z u u1 1 z z z uf z z z ui ( z) z 1 1 sat u ( z) z w ( u ) '( z) z ' 1 sum u ( z) ' 1 1 1( z) z cte w w ( z) z ' f sat uinicial( z) wz ufinal( z) wz u( z) u ( z, t) z u ( z, t) w '(,) zt ( z) u(,) zt sat inicial( z) w final( z) u (,) zt w (,) z t Figura 5.. Ensayo edométrico. Paso de la aplicación de la carga sin drenaje a permitir el drenaje y al proceso de consolidación Prosiguiendo el experimento, el agua sigue escapando, y disminuyendo las presiones intersticiales; los nieles de agua an descendiendo en los tubos piezométricos de manera sucesia formando las isócronas T 3, T 4 y T 5. Este proceso terminará (t f ) una ez el sistema de 11

12 muelles sea suficiente para soportar la carga aplicada (considerada constante en todo el proceso de carga). En este momento último, la presión de agua del recipiente olerá a ser la hidrostática en todo punto (equilibrio), y las cotas del niel freático de los tubos piezométricos olerán a la posición inicial antes de cargarlo (T f = T ). En el caso de drenaje tanto por la parte superior como por la inferior (por ejemplo, un estrato arcilloso apoyado sobre unas graas), las isócronas eolucionan simétricamente respecto a una cota media del recipiente (o estrato) comportándose este plano medio de simetría como un borde ficticio impermeable (flujo transersal nulo); luego es equialente a tener dos estratos de mitad potencia y con un solo borde de drenaje cada uno, a efectos de la eolución del proceso, que será más rápido que en el caso de drenaje únicamente superior. Figura 5..3 Símil hidráulico de Terzaghi-Fröhlich En la figura 5..4 se puede er las trayectorias aproximadas de las presiones intersticiales y tensión efectia desde un primer estado inicial en reposo, una ez se carga pero sin permitir el drenaje, una ez se abre la álula, y el posterior proceso de consolidación. Se puede apreciar la ariación de las gráficas en función de la diferencia de alturas de los puntos a analizar dentro de la muestra; es lógico que, cuanto más abajo (más lejos del punto de drenaje), más lento es el 1

13 proceso. La figura 5..5 muestra, de modo esquemático, las trayectorias correspondientes a los alores de tensión (total y efectia) respecto al tiempo así como la deformación olumétrica. u condiciones no drenadas condiciones drenadas primaria CONSOLIDACIÓN ' t u t t 1 aplicación de la carga punto superficial apertura de la álula punto intermedio punto profundo secundaria tfinal t tiempo proceso no drenado punto superficial punto profundo t t 1 t tfinal t tiempo Figura 5..4 Trayectorias de los alores de presión intersticial y tensión efectia en función del tiempo en un suelo arcilloso El ensayo edométrico analiza, entre otras cosas, la compresibilidad de una muestra de suelo (cuánto se deforma para un cierto incremento de carga), es decir, analiza de modo indirecto la estructura interna del mismo. La característica principal del proceso edométrico es que las deformaciones horizontales están impedidas, con lo que el único desplazamiento a medir será el ertical descendente (que es el del sentido de carga, aunque también puede haber fases de descarga) una ez se permita el drenaje del agua en la búsqueda del equilibrio piezométrico (consolidación). En este tipo de ensayos, cuando se efectúan en suelos reales para determinar propiedades que dependen de la estructura de los mismos, es muy importante que, para que los resultados tengan alidez y fiabilidad, las muestras de suelo a ensayar sean, no sólo representatias (tamaño de muestras suficientes y pertenecientes a zonas características) sino que también deben ser muestras inalteradas, eitando al máximo su perturbación desde la misma extracción del terreno mediante testigos hasta la manipulación en la preparación de los ensayos (fabricación de las probetas). 13

14 , ' condiciones no drenadas condiciones drenadas u u consolidación primaria consolidación secundaria ' t t 1 t tfinal t aplicación de la carga apertura de la álula tiempo V final V olumen Figura 5..5 Trayectorias de los alores tensionales y deformación olumétrica en función del tiempo en un suelo En cierto modo, la imposibilidad de deformarse horizontalmente hace que los resultados obtenidos en este tipo de ensayo no sean del todo representatios del comportamiento real de un suelo sometido a la misma carga pero sin restricción de la deformación horizontal, es decir: La consolidación real no es en general unidimensional, con lo que las deformaciones obtenidas en el ensayo serán menores que las reales dado que en la realidad el suelo se puede deformar lateralmente. En el caso típico de un terraplén suficientemente extenso sí se puede suponer que en el terreno situado debajo, y en una zona suficientemente alejada de los bordes del terraplén, quedan limitados, en buena medida (completamente en el punto medio por simetría) los desplazamientos horizontales, pero no cerca de los bordes. También debido a las condiciones del ensayo, y como se erá en el tema relatio a deformación y rotura de suelos saturados, los incrementos de presión intersticial obtenidos (iguales a la ariación de tensión total ertical, carga del ensayo, ) son superiores a los reales. En la consolidación real, no edométrica, u. Desde este punto de ista los asientos obtenidos en el ensayo serán mayores que los reales (se ha supuesto u ), y en conjunto con el punto anterior se acostumbra a obtener una cierta sobreestimación de las deformaciones de consolidación que deja del lado de la seguridad. 14

15 5.3 Ecuación de la consolidación primaria. Deformación del suelo en condiciones edométricas Como ya se ha comentado en el apartado anterior, en condiciones edométricas la deformación lateral es nula, y la única deformación posible es la ertical, y por tanto, igual a la deformación olumétrica ( z ). También, al inicio de este tema, se ha hecho referencia al proceso acoplado de deformación y flujo que constituye, por definición, la consolidación (se produce flujo en la medida en la que hay deformación y iceersa). Debido a esto, la ecuación de la consolidación deberá explicarse mediante el acoplamiento de problemas mecánico e hidráulico (y suponiendo siempre el fluido como agua en suelos saturados). Para el problema únicamente mecánico se tienen ecuaciones: una ecuación de equilibrio definida por n en tensiones totales (eje z ascendente), z ' u ó n en tensiones efectias (1a) z z donde la presión de agua u puede ser tanto la hidrostática como la debida a flujo. una ecuación según la ley constitutia que define las relaciones esfuerzo-deformación del material (esqueleto mineral): d σ ' D'dε (en forma ectorial). Al tratarse como ya se ha dicho de un caso edométrico, la relación entre ' y z es la del ensayo edométrico. Si se supone que, además, el suelo se comporta de manera elástico-lineal (lo cual no es estrictamente cierto y no siempre se hará) no hace falta escribir la ecuación constitutia de manera incremental y resulta: ' E (1b) donde z m z E m es el módulo de elasticidad en condiciones edométricas (desplazamientos horizontales impedidos). Más adelante se deducirá su expresión, función del índice de poros e y de otro parámetro relacionado con la compresibilidad; por ahora se dirá que se relaciona con el módulo elástico ya conocido según: (1 )(1 ) E E m, siendo el coeficiente (1 ) de Poisson, de alor usualmente entre, y,4, en general, para suelos, y de,5 para suelos saturados en condiciones edométricas no drenadas, es decir, con. 15

16 Para el problema hidráulico (ya explicado en el anterior Tema 4) se llega a una única ecuación que considera tanto la conseración de la masa de agua como la ley de Darcy, según se indica a continuación: La conseración de la masa de agua, de obligado cumplimiento, se obtiene del modo siguiente: Por un lado tenemos: wnsrdv t V donde n y Sr son, respectiamente, la porosidad y el grado de saturación, y la expresión se refiere a una posible ariación en el tiempo de la masa de agua en un olumen arbitrario. Por otro lado, esta expresión debe de ser igual al balance de salida y entrada de masa de agua entre las superficies que delimitan dicho diferencial de olumen: wqds Por consiguiente, y teniendo en cuenta el conenio de signos (la ariación de masa en un diferencial de olumen da alores positios cuando el balance de masa entre superficies de salida y entrada de agua de la segunda expresión son negatios), se tiene: nsrdv w w t qds V S ( wnsr) también expresada: di( wq ) (a traés del teorema de la diergencia) que t considerando material saturado y un peso específico del fluido (agua) inariable queda: n di( q ) t La ley de Darcy, que ya se ha isto en el tema de flujo, se expresa como: qk grad( ) S Ahora, substituyendo el caudal unitario de la ecuación de Darcy en la ecuación de conseración n di grad( ) t de la masa nos resulta: K o también: dik grad( ) (donde n t n t es la ariación olumétrica; también: e t1 e ;o de modo más genérico: t ); Si, finalmente, se substituye la altura piezométrica por su expresión queda: 16

17 u di K grad z () w t que expresa la continuidad buscada del fluido intersticial teniendo en cuenta la ley de Darcy. Si ahora se desarrolla los operadores de la ecuación anterior para el caso edómetrico (esto es, sin deformaciones horizontales y con condiciones unidimensionales, es decir y ) y x y suelo homogéneo (con permeabilidad ertical principal) queda la siguiente expresión: K z z t En resumen pues, se tiene ya las ecuaciones correspondientes a la consolidación en condiciones edométricas (1 y ). Como ya se ha dicho, estas ecuaciones están acopladas, con lo que deben resolerse juntas. Combinándolas, una ez consideradas las condiciones de contorno pertinentes, queda una sola ecuación con dos incógnitas que junto con la ley constitutia que se definirá a continuación, resuele finalmente el sistema. Definidas las ecuaciones, se e ahora cómo se puede modelar las trayectorias de deformación (ecuación constitutia). La figura muestra, mediante resultados obserados de ensayos reales, la relación cualitatia entre el índice de poros y las tensiones efectias en un proceso de carga y descarga de una muestra de suelo saturado. Dicha relación se manifiesta a traés de dos tipos de trayectorias distintas en función del signo del gradiente de carga y orden del proceso. Las trayectorias mostradas en la figura corresponden a una secuencia temporal A-B-C-B-D-E- D... Para una carga inicial de la muestra la trayectoria de deformación corresponde a la rama de carga, que se denomina rama noal (aunque en un caso real podría ser inicialmente una rama de descarga y recarga), y que alcanza un índice de poros final (e 1 ). Si se cambia el signo del gradiente de carga, es decir, se descarga, la trayectoria será en general distinta de la del proceso anterior llegando a un índice de poros diferente del inicial (e ) aun adoptando la misma tensión efectia (tanto e como e corresponden a σ' ); esto es debido a que en los procesos de carga en ramas noales parte de las deformaciones de los suelos son plásticas y no se recuperan. Si ahora se recarga, la trayectoria será sensiblemente la misma que la de descarga debido a que las deformaciones obtenidas en estos procesos son elásticas y por tanto recuperables. Esta segunda trayectoria (e 1 -e -e 3, donde e 3 =e 1 ) se denominará rama de descarga y recarga, y ya se mantendrá fija cuando se repitan los procesos de carga siempre y cuando no se supere la tensión efectia ' ' ' máxima ( ) conseguida en la de carga principal (rama noal). Si se supera esta

18 tensión efectia máxima se olerá a la trayectoria de la rama noal extendiéndola (se llega a ), disminuyendo los índices de poros mínimos conseguidos (e 4 ) y generando ' ' ' ' 1 nueas deformaciones irrecuperables. Si ahora se repite un proceso de descarga/recarga (llegando a e 5 y posteriormente a e 6 ), aparecerá una nuea rama con pendiente distinta a la noal y similar a la anterior de la primera descarga. Debido a la curatura de la trayectoria se entiende que a mayor deformación (mayor compacidad) debida a carga, más rígido se uele el suelo. La compresión del suelo ocurre en las trayectorias descendientes situadas en la parte izquierda de la rama noal (inclusie ella misma); más allá de ella (toda la zona situada por la derecha de la rama de carga) están los alores de índice de poros relacionados con tensiones efectias que el suelo no es capaz de soportar. Si un suelo, para una tensión efectia e índice de poros determinados, se sitúa en ramas de descarga y recarga, lo que significa que en su estado actual no sufre un alor máximo histórico de carga, se dice que está en estado sobreconsolidado (SC). Si por el contrario un suelo sufre un alor máximo de carga (rama noal), entonces se dice que está normalmente consolidado (NC). El parámetro que nos indica el niel de sobreconsolidación que tiene un suelo es el Grado de sobreconsolidación, OCR ( oer consolidation ratio ), que se define como el cociente entre la presión de preconsolidación efectia (máximo histórico, p ' ) y la tensión efectia aplicada actual: p OCR ' ' actual Los alores del grado de sobreconsolidación para los puntos sobre la rama noal alen la unidad (caso de suelo normalmente consolidado; en la figura 5.3.1, OCR,, 1). Para los puntos C y ABD E, el alor de OCR será el cociente respecto a sus correspondientes máximos: OCR C ' B ' 1 ' D ' ; OCRE ' C ' ' E ' Para la modelación de esta cura de deformación (figura 5.8) índice de poros-tensiones efectias se necesita definir ecuaciones que relacionen ambas ariables. Para ello se pueden utilizar diferentes expresiones. 18

19 Si se define, como posibilidad más simple, un coeficiente de compresibilidad constante ( a ) como la pendiente de la relación entre los índices de poros y las tensiones efectias en un interalo dado, se obsera que dicho parámetro (figura 5.3.a), con dimensiones inersas a las 1 de tensión (por ejemplo [ kpa ] dado que e es adimensional) no se adapta por completo a la trayectoria y aparecen problemas al aproximarla a una recta. En la figura 5.3.b se e cómo la eolución de la deformación según el proceso de carga no es lineal; la pendiente disminuye a lo largo del incremento de las tensiones efectias, dado que las deformaciones an siendo cada ez menores para un mismo incremento de presión cuando ésta a aumentando, disminuyendo también, por consiguiente, el alor del coeficiente de compresibilidad. e ' ' ' 1 ' ' 1 e A e C Rama noal Normalmente consolidado e, e 1 3 e 5 e, e 4 6 Ramas de descarga y recarga E Sobreconsolidado B D Figura Relación entre el índice de poros y las tensiones efectias en un proceso de carga y descarga de un suelo saturado Según la figura 5.3.a se tiene: ea ' ee a ( ' ') ee a ( ' ') de donde el coeficiente de compresibilidad puede expresarse (a traés de la tangente) como: a e ' Para la porosidad (linealizando): 19

20 n ( ' n e 1 a ( a ) ' ' 1e 1e 1e V V es un módulo; expresa cuánto aría la porosidad si se le aplica una tensión determinada). Como se ha dicho, en la cura real (figura 5.3.b) los parámetros supuestamente constantes ( a ) arían, luego el modelo no es exacto. El coeficiente de compresibilidad depende del estado tensional, por lo que no es único para un mismo suelo. Sin embargo, al dar lugar a expresiones más simples, es un parámetro que se usa para algunos desarrollos en los que de esta forma es posible obtener resultados analíticos. Serirá considerar la cura como recta, en particular, cuando los gradientes de tensión sean suficientemente pequeños o el incremento de carga se adapte a los mismos y el alor de a se estime de forma apropiada. De modo general a hay que escogerlo con criterio: el coeficiente de compresibilidad debe ser apropiado al caso. Para cualquier rango tensional habitual, una aproximación más precisa se consigue mediante una relación logarítmica (figura 5.3.3); en ella se puede, ahora sí, definir pendientes uníocas correspondientes a los ángulos de las ramas de carga y descarga-recarga que son en este caso sensiblemente lineales. Dichas pendientes corresponden a los parámetros índice de compresión (C c ) e índice de hinchamiento (C s ), para la rama noal y la de descarga y recarga respectiamente, y como se ha mencionado, a diferencia del coeficiente de compresibilidad, dichos índices son adimensionales e inariables para rangos tensionales habituales. Las expresiones que se obtienen (figura 5.3.3) para la rama noal son las siguientes: ec c log ' log ' 1 ' ee Cc log ' 1 ' ee Cc log ' 1 n e 1 C ( c C ) c ' ' 1e 1e ln1 ' ln11 e ' Dado que el rango de alores posibles del índice de poros a teóricamente de a infinito, la cura deberá necesariamente ser asintótica en algún momento con la horizontal (tensiones efectias eleadas), como de hecho tiene que pasar también en las curas con las que se ha definido el Coeficiente de compresibilidad.

21 Se a a er a continuación cómo se deduce el módulo de elasticidad en condiciones edométricas (módulo edométrico, - E m, según se ha mencionado al inicio de este apartado), y que relaciona tensiones y deformaciones en dichas condiciones E m ' e ' ' 1 ' e ' ' 1 ' e e a a a a 1 e 1 a 1 e 1 Figura 5.3. Coeficiente de compresibilidad; (a): aproximando la trayectoria de deformación a una recta; (b): diferentes alores de a según el niel de tensiones efectias e log ' log ' log ' 1 e C c e e 1 C s Figura Relación logarítmica entre índice de poros y tensiones efectias. Índices de compresión e hinchamiento Si se sabe que: e ea ' (luego ' ) a resulta la relación lineal siguiente: E m e a e 1 e, E m 1 e a 1

22 Al parámetro inerso del módulo edométrico se le denomina coeficiente de compresibilidad confinada ( m ) y su expresión es: 1 a m con las mismas unidades que a. E 1 e m La relación secante entre a y C c, obtenida igualando los cambios de índices de poros en ambos modelos, es: a ' log ' 1 Cc ' ' 1 y la relación tangente, a traés de las deriadas de ambos modelos resulta ser: Cc a ln1 ' que depende del niel de tensión aplicado. 5.4 Ecuación de la consolidación unidimensional. Planteamiento adimensional. Grado de consolidación Si se recupera la ecuación anterior referente al problema hidráulico (continuidad del agua intersticial), para el caso de consolidación unidimensional ( z) queda: K u z z z z t w z K z Si se recupera ahora la ley constitutia ( ' E ) se tiene: K z z m z u z w z' z u z t Em t Em Suponiendo a la permeabilidad ertical como la única releante de la muestra de suelo (suelo isótropo o permeabilidad principal) se tiene: K w u 1 z z Em t z Si también se supone que la carga exterior ( z ) es constante en el tiempo t : u

23 K u 1 u w z Em t KEm u u w z t (3a) que es la ecuación de la consolidación unidimensional de Terzaghi. Se puede definir en ella un coeficiente, correspondiente a los primeros tres términos de la ecuación, que se denomina coeficiente de consolidación c : es decir: c KE w m u u c t z donde u es la presión intersticial total ( u uhidroestática uexceso ). Dado que al deriarla (deriada temporal o segunda deriada espacial) resulta igual a considerar sólo el exceso sobre la hidrostática ( u e ; deriada temporal y segunda deriada espacial de la hidrostática nulas) que además es la que, al existir, nos genera el flujo, a partir de ahora se considerará la u como (de hecho puede considerarse indistintamente la total o el exceso sobre la hidrostática; cuál se utiliza queda definido al imponer las condiciones de contorno, como se erá más adelante): u e e c u u u c t z t z 1 e También, si se recupera la definición del módulo edométrico Em se obtiene la a expresión siguiente del coeficiente de consolidación en función del coeficiente de compresibilidad y del índice de poros inicial e : K (1 e ) c a w Como se erá, el coeficiente de consolidación se puede estimar a partir de ensayos edométricos y es un parámetro que combina simultáneamente a la permeabilidad ( K ) y al módulo edométrico ( E m), es decir, incluye términos tanto de flujo como de deformación. Por otro lado, dado que tanto K como también lo haga. (3b) E m arían con el niel de compresión del suelo, es de esperar que c u e 3

24 La figura muestra cómo arían tanto el módulo edométrico como el coeficiente de compresibilidad en función de la relación entre índices de poros y tensiones efectias, por ejemplo en un proceso de carga o en la ealuación de puntos a diferentes profundidades. Se e como a más profundidad, al haber un incremento de tensiones efectias (y consiguiente disminución del índice de poros), el alor del módulo edométrico aumenta. Por su parte, la permeabilidad se reduce al comprimirse el suelo. En conjunto, estas dos ariaciones se compensan parcialmente y c es menos ariable de lo que inicialmente cabría esperar. e a E m más alto más bajo ' a E m más bajo más alto Figura Variación del Módulo edométrico y del Coeficiente de compresibilidad, según una posible trayectoria de carga Para la resolución de la ecuación de Terzaghi (3) es útil recurrir a ariables adimensionales: z u t Z ; W ; T H u donde H, u, son parámetros de adimensionalización con las unidades que en cada caso les corresponde. En principio pueden ser cualquier referencia (su elección es arbitraria), pero no se deben cambiar una ez escogidos. T es el tiempo adimensional, es un tiempo de referencia, en principio característico del problema, y t es el tiempo real; W es el exceso de presión intersticial adimensional, u es la presión intersticial de referencia, con frecuencia el exceso sobre la hidrostática inicial y u es la presión intersticial en exceso sobre la hidrostática; Z es la distancia adimensional, H es una longitud característica del problema y z es la distancia real (según condiciones de contorno en función del caso a resoler). Sustituyendo z, u y t de la ecuación 3 (es decir, en u c t u ) resulta: z 4

25 u uw T u W t T t T u uw Z u W z Z z H Z ya que ya que T t Z z 1 1 H u u W u W Z u W z zh Z Z H Z z H Z luego (3) queda equialente a: u W u W c T H Z Para simplificar la ecuación y que quede finalmente independiente de los parámetros se H acostumbra a tomar, lo cual es posible porque los parámetros de adimensionalización c son arbitrarios, por lo que resulta: W W (4) T Z Para la resolución de esta ecuación (4) se debe definir condiciones de contorno según la situación (estado de carga, estratigrafía, permeabilidad de los bordes, etc.). Se erá algunos casos en el siguiente apartado. Para la obtención de una solución general de partida puede suponerse la siguiente igualdad genérica, aunque no tiene porqué cumplirse estrictamente: W( Z T) A( Z) B( T) que mediante el método de separación de ariables resulta: T ( AB) ( AB) Z B A T A B Z BT ( ) T AZ ( ) Z 1 B( T) 1 A( T) Dado que una expresión que solamente depende del tiempo (primera parte de la igualdad) no puede ser igual a otra que solamente depende de la profundidad (segunda parte de la igualdad), la única opción es que ambas expresiones sean inariables. De esta manera α debe ser constante. El signo negatio tiene en cuenta que B ha de disminuir con el tiempo (disipación de presiones intersticiales), de esta manera, α es positia. db B dt T B e 5

26 B ' ( ) e T A A A sin Z Z A' cos Z A'' sin Z luego: n n it i i i i i i W( Z, T) ( A( Z) B( T)) e sin Z Las diferentes constantes de esta expresión (, ) deberán obtenerse al imponer las condiciones de contorno (de hecho serán las que permitan cumplir las mismas). i i En todo este desarrollo interesa específicamente el análisis de los asientos del terreno. Por ello se define ahora el grado de consolidación ( U ) como un cociente entre asientos: st Ut () s donde s t es el asiento en superficie en el instante t y s es el asiento final de la consolidación. Esta expresión podría también plantearse a una cierta profundidad o en términos de deformaciones de un punto. El asiento en el instante t en un estrato de potencia h se define del modo siguiente: Y el asiento final: Finalmente: h s ( z, t)d z ( z, t)dz t z h (sólo en condiciones edométricas) h h h ez ( z, t) ( a ) '(, ) d z t a d st z z ( z, t ) u ( z, t ) d z 1e 1e 1e a s ( z, )d z ( z, ) u( z, ) dz h h z 1 e Ut () h h (,) zt uzt (,)dz (, z ) u(, z )dz (5) 6

27 Que deberá particularizarse para cada caso específico que se considere. 5.5 Solución de la ecuación de la consolidación unidimensional con flujo ertical Carga uniformemente repartida sobre estrato finito. Consolidación primaria Caso con borde inferior impermeable En la figura se representa el esquema de un estrato homogéneo de potencia H, con únicamente el borde superior drenante (es decir, borde inferior impermeable), y una carga uniformemente repartida en superficie. La máxima distancia de drenaje será la misma potencia del estrato dado que en el caso particular representado, como se ha indicado, el estrato a analizar se apoya sobre otro estrato inferior impermeable. Una ez se carga, empieza a haber un flujo de agua únicamente ertical y ascendente (considerando puntos de análisis bajo la carga, y dicha carga suficientemente extensa sobre la superficie) debido al desequilibrio de alturas piezométricas. Figura Carga uniformemente repartida sobre un estrato de potencia H, apoyado en un estrato de naturaleza impermeable Se puede er la eolución de las isócronas desde un tiempo inicial ( t ) en el que se supone el estrato sin cargar (presiones intersticiales hidrostáticas), el momento inmediatamente después de cargar el estrato ( t 1, presión intersticial hidrostática más la carga ), y la eolución debida al drenaje ( t 5 ) hasta un tiempo teórico infinito en el que las presiones intersticiales uelen al alor original (t, final de la consolidación). 7

28 Primeramente, se a a recuperar las ariables adimensionales del apartado anterior, con las que, sustituyendo en la ecuación de la consolidación unidimensional de Terzaghi (3), se obtenía su expresión adimensional (4). Es decir, de u t c u z se obtenía W T W. Z En este caso se adopta las siguientes ariables adimensionales: z Z H u u t ct W T u H De aquí se debe definir ahora las condiciones iniciales y de contorno correspondientes a este caso. Como condición inicial (inicio de la consolidación) se tiene: t z H u u T Z 1 W 1 donde se ha considerado que u es el exceso de presión intersticial sobre la hidrostática (una ez definido así se debe mantener este criterio en todo el problema). Para las condiciones de contorno se tiene lugares (superficie del terreno y borde inferior) a analizar. En la superficie del terreno, las condiciones de contorno no arían sea cual sea la permeabilidad del estrato de apoyo, y son las siguientes: z u Z W (cota origen en superficie y presión nula en contacto con la atmósfera). En cuanto a las condiciones de contorno en el borde inferior impermeable serán las siguientes (no puede haber flujo en dirección de z ): u z w 1 u z H qz K K K1 z z w z 1 uh ue 1 ue 1 ue u qz K1 K1 w K w z w z w z z W Z 1 Z 8

29 n n Voliendo a la expresión (, ) ( ( ) ( )) sin i T W Z T Ai Z Bi T ie iz del apartado i i anterior e imponiendo las condiciones de contorno e inicial, se obtiene en este caso: 4 (n1) (n1) W( Z, T) exp T sin Z n (n 1) 4 La complejidad de esta expresión es debida a la necesidad de reproducir las condiciones de contorno mediante las funciones deducidas de la ecuación diferencial. f ( T) f ( Z) La figura 5.5. representa de modo esquemático el diagrama de sobrepresiones intersticiales (función W anterior) en función de la profundidad (Z) y del tiempo (T), para un posible estrato de potencia H con borde superior de drenaje. Las diferentes trayectorias del interior son isócronas (ya comentadas en el segundo apartado del tema con el símil de Terzaghi- Fröhlich y en el comienzo de este subpartado) y representan, de manera aproximada, la disipación de las sobrepresiones en distintos instantes; dichas isócronas corresponden a diferentes grados de consolidación. Para cada profundidad y tiempo, el gráfico proporciona la fracción de presión intersticial que ya se ha disipado y la que queda por disipar. Para el diagrama a escala con alores fiables er la figura posterior, antes de la comparación de casos. Figura 5.5. Diagrama cualitatio de disipación de sobrepresiones intersticiales para un estrato con drenaje en el borde superior 9

30 Si ahora se recupera la expresión del grado de consolidación (5) y se adapta a este caso se tiene: H H H (,) zt uzt (,)d z (,)d zt z uzt (,)dz st Ut () H H sf (, z ) u(, z )d z (,)d z t z H H u( z, t)dz 1 H 1 UT ( ) 1 WZT (, )dz H uzt (, ) dz H El grado de consolidación se puede entender como un área en el diagrama de sobrepresiones en función de la profundidad y del tiempo adimensional. Como se puede er en la figura 5.5.3, el grado de consolidación corresponde al área rayada encerrada entre el espaciado total (alores tanto de Z como de W iguales a la unidad) y la isócrona correspondiente al instante T analizado (fracción de presión intersticial para cada profundidad que ya se ha disipado y conertido en tensión efectia, produciendo deformación y asientos). Por consiguiente, y como es lógico, U adoptará alores entre el ( T ) y la unidad (T ). Resoliendo la integral anterior, el grado de consolidación resulta: U 8 1 (n 1) 1 exp T n (n 1) 4 (6) Caso con borde inferior permeable En la figura se representa el esquema de este caso, que corresponde a la situación doble y simétrica a la anterior. Esta ez, el estrato es de potencia H, designada así por la simetría con dicho caso, dado que en esta situación el estrato a consolidar puede drenar agua por los dos bordes que lo limitan (es decir, estrato apoyado, por ejemplo, en uno de graas). Igualmente se tiene una carga uniformemente repartida en superficie. Se mantiene la situación edométrica, pero en este caso la máxima distancia de drenaje será la mitad de la potencia H (= H). Una ez se carga, empieza a haber un flujo de agua tanto ascendente como descendente, según la zona del estrato, y, como ya se ha comentado, el desequilibrio de alturas piezométricas es nulo en los diferentes puntos del plano medio de simetría, con lo que se puede considerar ficticiamente como borde impermeable. 3

31 Figura Representación gráfica del Grado de Consolidación H H H N.F. z u t4 c t t t t 5 1 t t 3 t 1 u se disipan u Graas Graas u Figura Carga uniformemente repartida sobre un estrato de potencia H, apoyado en un estrato de naturaleza permeable (graas) Para este caso, el diagrama de disipación de presiones intersticiales correspondiente a drenaje en los dos bordes y potencia H, iene representado en la figura Obsérese que corresponde a doblar simétricamente el diagrama de sobrepresiones representado en el caso anterior (figura 5.5.1), por lo que es equialente a tener dos estratos de mitad de potencia con un solo borde de drenaje cada uno. Las isócronas eolucionan simétricamente respecto al plano medio, que se comporta como un borde impermeable. Toda la formulación para este caso será la misma que para el caso de un solo borde de drenaje, pero como ya se ha indicado, designando la potencia del estrato como H. La condición inicial (inicio de la consolidación) será análoga a la del caso anterior: t z H u u 31

32 T Z W 1 En cuanto a las condiciones de contorno para el doble borde drenante serán: z Z t T u W El grado de consolidación resulta: z H Z t T u W H H uzt (,)dz H uzt (,)dz Ut () 1 H st uzt (,)dz H sf H H dz 1 UT ( ) 1 WZT (, )dz y se obtiene, como es lógico, la misma expresión que en el caso anterior: U 8 1 (n 1) 1 exp T n (n 1) 4 La figura muestra el diagrama cualitatio de disipación de sobrepresiones intersticiales para este caso. Se puede apreciar la simetría respecto al caso de un solo borde drenante. De nueo, para cada profundidad y momento, proporciona la fracción de presiones intersticiales que se han disipado y la que queda por disipar. La figura representa la relación entre los alores del grado de consolidación y los del tiempo adimensional T obtenida. La cura es única para este caso (no depende de ningún parámetro), con lo que para un tiempo adimensional concreto, siempre se tendrá el mismo grado de consolidación. Por ejemplo, para T 1 el terreno llega al 93% de su asiento final en todos los casos. Como T da lugar rápidamente a alores muy altos de U habitualmente se trabajará sólo con números adimensionales entre T 1 (o algo superior) y T. El alor del tiempo real para cada tiempo adimensional aría con los casos considerados (tipo de suelo y potencia del estrato), pero no con la carga aplicada: t t h T c t T h c ( t para un mismo T será diferente en una arcilla o una arena o en estratos de diferente potencia). 3

33 Figura Diagrama cualitatio de disipación de sobrepresiones intersticiales para un estrato con drenaje en ambos bordes Grado de consolidación U,56,76,93,994,9995 T,5,5 T 1 T T 3 T Tiempo adimensional Figura Cura-relación entre el Grado de consolidación y el tiempo adimensional para carga uniformemente repartida sobre estrato finito 33

34 La figura muestra el diagrama a escala de disipación de sobrepresiones intersticiales para carga uniformemente repartida sobre estrato finito y doble borde drenante. La isócrona correspondiente a T=. es la que diide el área total en dos áreas iguales (5% de disipación). Figura Diagrama real de disipación de sobrepresiones intersticiales para carga uniformemente repartida sobre estrato finito y doble borde drenante Comparación de casos Las figuras 5.5.8a-b y presentan de modo esquemático diferentes casos representatios para el alor de los asientos y del tiempo de consolidación en función de la potencia de los estratos y la permeabilidad (drenaje) de la capa donde se apoyan los mismos. Nótese que la consolidación es, en el segundo caso de la figura 5.5.8, cuatro eces más rápida que en el primero. En el tercer caso (figura 5.5.9), la consolidación dura lo mismo que en el primer caso de la figura (estrato de potencia H y borde inferior impermeable), pero el asiento es doble porque también lo es su potencia. En el caso de un terraplén, el proceso de consolidación es más rápido en los bordes; esto es debido a que en esa zona las presiones intersticiales pueden disiparse tanto ertical como horizontalmente mientras que en el centro sólo pueden disiparse erticalmente. De hecho, cuanto más se facilite la disipación de sobrepresiones intersticiales más rápidamente progresará la consolidación. 34

35 Asiento: s f H Asiento: sf E m H E m Consolidación: t H T c Consolidación: 1 H t T 4 c Figura (a): Estrato de potencia H y borde inferior impermeable. (b): Estrato de potencia H y borde inferior permeable 5.5. Variación de los nieles piezométricos en estrato finito Las figuras y representan dos casos de ariación de nieles piezométricos en el terreno: extracción de agua mediante bombeo de un estrato inferior y rebajamiento del niel freático. Aunque un bombeo muy potente podría llegar a inducir en determinados terrenos un rebajamiento del niel freático, se an a suponer como dos casos independientes. En el primero (figura 5.5.1), una extracción de agua mediante bombeo genera una disminución de las presiones intersticiales. El terreno representado corresponde a una combinación entre arenas y arcillas apoyadas sobre un estrato de graas, que se supone que asegura la condición drenada en el borde inferior. Las arcillas (de potencia H ) se encuentran saturadas dado que el NF está por encima. Una ez se inicia el bombeo, aparece una disminución de las presiones intersticiales en la interfase graa-arcilla (zona denominada B en la figura) que se irá extendiendo a la capa de arcillosa de forma diferida (consolidación). 35

36 N.F. H u se disipan H c H Graas Asiento: s f H E m H Consolidación: t T c Figura Estrato de potencia H y borde inferior permeable Q z s N.F. u ( ) h w z s arena A z za u e H arcilla u Bf Graas u Bi B u B Figura Dibujo-esquema de la ariación de la altura piezométrica debida a bombeo 36

37 z s N.F. m arena u Af u Ai A z z A H arcilla Graas z z B B ue ua,inicial w( za s) ua,final w( za sm) Figura Dibujo-esquema de la ariación de la altura piezométrica debida a rebajamiento del niel freático En el segundo caso (figura ), el rebajamiento del niel freático también genera una disminución de las presiones intersticiales. En el estado inicial, el NF se encuentra a z s, y una ez rebajado, a z s m. Mientras que el rebajamiento genera una disminución de las presiones intersticiales de modo casi inmediato en la capa de arenas e interfase arena-arcilla (condiciones drenadas), en la capa de arcilla este proceso no es inmediato. También en las graas puede generarse una disminución de las presiones intersticiales (si se supone, por ejemplo, que el estrato arcilloso no es indefinido longitudinalmente hay zonas de contacto entre arenas y graas- y que, en cierto modo, el rebajamiento del niel freático se aprecia también en las graas a corto plazo; esta posibilidad no se ha reflejado en la figura ). En este caso, la capa de arcillas sufriría en sus dos bordes un incremento negatio de las presiones intersticiales, e iniciaría el proceso de consolidación. La eolución de las presiones de agua en un terreno impermeable (arcillas) puede ser muy lenta (del orden de años dependiendo de su permeabilidad, compresibilidad y potencia). La figura representa la eolución de presiones intersticiales en un caso general con ariaciones de presión intersticial en ambos bordes de un estrato arcilloso, conjuntamente con las condiciones inicial y de contorno de este caso. 37

38 z z u u A A,final za Z H u W u u A,f u u u u u u Af Ai A Bf Bi B z z u u B B,final zb Z H u W u B,f Figura Dibujo-esquema de la ariación de la altura piezométrica en la capa de arcillas La disminución de las presiones intersticiales genera un aumento de las tensiones efectias y aparece un asiento superficial del terreno (proceso de consolidación), sin que, en este caso, se hayan aplicado cargas exteriores. Por contra, la eliminación de un terraplén, la inyección de agua o bien la eleación del niel freático producen una disminución de las tensiones efectias, y un consiguiente hinchamiento del terreno. Hay que recordar que la u utilizada se refiere a la presión intersticial que falta por disipar en un momento de la consolidación sobre la hidrostática ( u e ), pero que también puede hacer referencia a la presión intersticial total, dependiendo de cómo se haya definido las condiciones inicial y de contorno. Si la ariación de las tensiones efectias es siempre igual a la ariación de las presiones intersticiales de agua. El asiento será igual al área barrida por la disipación de presiones intersticiales de agua en la consolidación diidida por el módulo edométrico del terreno. En particular, el asiento final será el siguiente: s f ua ub H Hu E E m m 38

39 Si se resuele este caso con la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y de contorno indicadas anteriormente, se obtiene la misma expresión para el grado de consolidación en función del tiempo adimensional que con carga exterior extensa. La máxima distancia de drenaje es en este caso la mitad de la potencia del estrato (drenaje posible en los contornos superior e inferior) Expresión aproximada para el grado de consolidación Se tiene U 8 1 (n 1) 1 exp T n (n 1) 4 álido para los casos unidimensionales tanto de carga extensa sobre estrato finito (con uno o dos bordes drenantes) como de ariación de presiones intersticiales, según se ha isto en los apartados anteriores. Con objeto de simplificar cálculos, esta fórmula suele aproximarse con expresiones más sencillas, según se indica a continuación. Para tiempos adimensionales superiores a, ( T, ) se puede usar con suficiente exactitud el grado se consolidación que corresponde a la fórmula anterior, limitando el sumatorio a su primer término (es decir, para n ). Sin embargo, para el resto de casos ( T, ) esta aproximación no es suficientemente correcta (figura ) y para obtener una expresión alternatia puede utilizarse el caso de consolidación de un estrato de gran profundidad. Esto es posible, porque en los instantes iniciales ( T, ) las isócronas alcanzan prácticamente la ley de presiones inicial ( t ) como si el estrato fuera indefinido (éase detalle de la figura ). U U U,19 relación exacta 8 T primer término de la serie, relaciónut ( ) 1 exp( ) 4 U,5 4T relación UT ( ) relación exacta U 1 T T, T,79 T Figura Comparación de relaciones entre el grado de saturación y el tiempo adimensional 39

40 Así pues, tal y como se representa en la figura : 8 para T, ( n ) UT ( ) 1 e T 4 para T, UT ( ) 4T Figura Estrato como medio semi-infinito para T<, Carga exterior ariable Hasta ahora se ha considerado la carga exterior constante en el tiempo (tensión total no u u dependiente del tiempo comentado en el apartado anterior: c ). t z t Aunque la ecuación diferencial es integrable con () t, se a a er aquí un procedimiento aproximado para considerar la posibilidad de carga exterior ariable. La figura representa la aplicación incremental de diferentes etapas de carga sobre un estrato de suelo;,, son tres incrementos de carga sobre dicho estrato. 1 3 Se sabe que el asiento final es: s, f total E total m donde total final (se supone que la carga alcanza en algún momento su alor final y queda entonces estabilizada). H Para los distintos tiempos se tiene: 4

41 1H - si ( t tt1) st U( t t ) sf,1 s f,1 Em H - si ( t1tt) st Ut ( t ) sf,1ut ( t1 ) sf, s f, Em 3H - si ( t tt3) st Ut ( t ) sf,1ut ( t1 ) sf,ut ( t ) sf,3 s f,3 Em Figura Aplicación de diferentes etapas de carga Esto es posible porque la ecuación diferencial que modela el proceso es lineal con coeficientes constantes y de hecho puede combinarse, en principio sin problema, casos con aplicación de cargas exteriores extensas y casos con ariación de presiones intersticiales. u u i i c t z ( ui uj) ( ui uj) c u t z j u j c t z Hay que destacar que tanto en este caso con ariación de la carga como en los otros casos planteados anteriormente, el objeto del análisis en este tema es la eolución del asiento con el tiempo, no el asiento final, que en general será simple de calcular. 5.6 Planteamiento simplificado en casos con flujo no ertical Consolidación radial 41

42 La colocación de drenes (consolidación radial) junto con la aplicación de precargas suele ser una buena solución para mejorar el terreno sobre el que se desea construir, acelerando su proceso de consolidación y eitando, de este modo, asientos excesios a medio y largo plazo. Se a a er, a traés de un ejemplo, cómo se llega a dicha conclusión, analizando únicamente el caso de drenaje sin aplicación de precargas (consolidación inducida por una carga extensa o por ariación de nieles piezométricos): Hallar el tiempo que tardará en consolidar (95% del Grado de consolidación) un terreno de 1 metros de potencia sobre estrato drenante. Se considera el niel freático en superficie. 8 Permeabilidad, K 1 cm/s, Módulo edométrico, E 1 KPa m - Solución: Se sabe que para U 95% T 1,19 h 5m t T 1,19 1 KN/m KE w m 8 t 8, 1 s ( 9 años) m/s 1 KPa Es obio que el tiempo que resulta es excesiamente alto; como se e, los mecanismos de consolidación sin tomar medidas especiales pueden dar lugar a tiempos muy eleados en diersas situaciones, como la del caso expuesto. Para reducir dicho tiempo se debe aplicar medidas específicas; estas medidas pueden ser, por ejemplo, la precompresión del terreno mediante acciones exteriores (precargas), o una mejora del terreno con procedimientos que actúan en el interior del suelo. En los procesos de precompresión de un terreno se mejora sus propiedades estructurales, disminuyendo su porosidad (densificándolo) y, consiguientemente, aumentando su resistencia a rotura, como se erá en temas posteriores. Como se puede obserar en la figura 5.6.1, en el proceso de carga de un suelo normalmente consolidado se mejoran las propiedades del terreno llegando a alores del índice de poros menores a medida que aumenta la carga efectia. Parte del nueo índice de poros (menor) conseguido en el proceso de carga se pierde en la descarga. El suelo no se comporta, por consiguiente y en buena parte debido a la consolidación, como un material completamente 4

43 elástico. La pendiente de la rama de carga de un suelo sobreconsolidado suele ser entre 5 y 1 eces menor que la de un suelo normalmente consolidado. ' e log ' Irrecuperable Recuperable S.C. N.C. Figura Relación entre tensiones efectias y el índice de poros Tanto los mecanismos de mejora del terreno como los diferentes tipos de procedimientos para la precompresión del mismo quedan explicados con algo más de detalle en el próximo curso dentro del temario de la asignatura de Ingeniería Geotécnica. A modo de resumen, para los procedimientos de precompresión lo más habitual es precargar al terreno construyendo, por ejemplo, un terraplén (aunque hay otros procedimientos, como la utilización de tanques de agua u otros más caros y complejos, como la utilización de una losa anclada en el terreno). Para los procedimientos de mejora del terreno mediante acciones internas al mismo, lo más usual es rebajar el niel freático con la instalación de drenes o pozos, aumentando las tensiones efectias, pero también hay otros procedimientos como la aplicación de acío o la instalación de membranas hinchables en sondeos, precomprimiendo al terreno y reduciendo su porosidad. La explicación se a a centrar a continuación, para llegar a formas analíticas útiles para el cálculo, en los procedimientos más habituales como son la aplicación de precargas y la instalación de drenes. La aplicación de precargas únicamente, no permite hacer mejoras muy importantes de tiempo ya que no modifican el grado de consolidación y sólo producen diferentes (mayores) asientos. La figura 5.6. muestra dos posibles trayectorias de asientos en función del tiempo, en un mismo terreno, para dos alores distintos de precarga. s 1 y s corresponden a los asientos de consolidación para los dos alores de precarga (Δσ 1 y Δσ respectiamente). Lógicamente, el alor del asiento en t 1 para el primer (y menor) alor de precarga se consigue en un tiempo inferior con el alor de precarga mayor (t*). Para cada tiempo, el asiento es mayor en el caso con más precarga, pero el grado de consolidación es continuamente el mismo en los dos, por lo 43

44 que en caso de grandes precargas aplicadas poco tiempo, la parte del terreno cercana a los bordes del drenaje tiende a sobreconsolidarse al descargar pero el resto del mismo casi no se comprime. Figura 5.6. Relación de los asientos con el tiempo según precarga En cuanto a la mejora del terreno, tarda más en asentar un terreno cuanto más deformable e impermeable es dado que debe expulsar más agua y con más dificultad. La eolución de los asientos es más rápida en terrenos más permeables y menos deformables, es decir, con mayores coeficientes de consolidación, c. Para el ejemplo anterior, el alor del Coeficiente de consolidación resulta: c 1 1 m/s1 KPa KEm 3 1 KN/m w 8 1 m /s h h Según la formulación de la consolidación unidimensional de Terzaghi ( t T T w c KE ) se tiene que: para un grado de consolidación específico (U=95%) corresponde un tiempo adimensional determinado (T=1.19), y esto no se puede cambiar. h es la máxima distancia de drenaje y es un dato dado del problema a resoler. aumentar la permeabilidad (K) de un suelo es muy difícil. m 44

45 aumentar E es posible (mediante inyecciones de cemento por ejemplo) pero puede ser m complicado y caro en terrenos cohesios. Para solucionar el problema una opción es colocar drenes. El agua del terreno alejada de los bordes drenantes se desplazará hacia los drenes, que estarán mucho más cerca; las partículas de agua cercanas a los bordes drenantes superior o inferior no se erán afectadas (drenaje y consolidación ertical). De este modo el terreno drenará el agua con más facilidad. La figura muestra un esquema de la situación en cuestión. El caso representado es el correspondiente a un estrato de terreno saturado apoyado en un terreno impermeable. Las partículas de agua se desplazarán según la trayectoria que implique menor energía, es decir que, considerando isotropía, tenderán a seguir el menor recorrido. Para los puntos más profundos la trayectoria tenderá a ser horizontal (consolidación radial), mientras que para los puntos poco profundos la trayectoria tenderá a ser ertical y ascendente. Al alor de la distancia entre drenes se le llamará e. Con alores de e suficientemente bajos se puede acelerar de forma muy significatia el proceso de consolidación. Figura Drenes en terreno saturado. Trayectorias de las partículas de agua en el caso de borde inferior impermeable La instalación de drenes genera asientos más rápidos en las zonas cercanas a los drenes (facilidad de drenaje del agua dado que se drena tanto por la superficie del terreno como por los drenes), pero no son, lógicamente, asientos mayores a los propios del final de la consolidación sino solamente los asientos finales de la consolidación pero alcanzados en un tiempo menor. Los drenes no modifican el asiento final, sólo lo aceleran. 45

46 La figura representa un esquema (alzado y planta) de un estrato (en principio ideal) de terreno con el supuesto de los dos bordes impermeables, carga exterior ( ) y con drenes, es decir, suponiendo únicamente la consolidación radial debida a los mismos. La distancia de afección de un dren será aproximadamente la mitad de la distancia entre ellos ( r e ). Este planteamiento ideal con dos bordes impermeables permite plantear el problema matemáticamente en condiciones unidimensionales (flujo axisimétrico hacia un dren). Figura Caso de drenes en terreno con bordes impermeables. Parámetros geométricos, leyes de presiones intersticiales inicial y final y dirección de flujo Si se suponen impermeables las superficies superior e inferior (no existencia de drenaje ertical) se puede plantear la ecuación de la consolidación en condiciones de axisimetría. u u 1 u c radial ( ecuación de Terzaghi en coordenadas cilíndricas) t r r r Por analogía con c donde KE K r es la permeabilidad radial y w m, el coeficiente de consolidación radial se podrá definir como: c r KE r w mr E mr el módulo edométrico ante acciones radiales. 46

47 Si se supone isotropía se tiene: K K K K y E E r horizontal ( x, y) ertical ( z) mr m y en este caso c c r El tiempo adimensional radial se puede definir como: T r crt r donde e r Además, tal y como se muestra indicatiamente en la figura 5.6.5, aunque los grados de consolidación radial y ertical no coinciden en función de un único tiempo adimensional ( U ( T) U ( T) ), su diferencia no es muy grande y la relación entre los grados de z r consolidación y sus correspondientes tiempos adimensionales se an a considerar coincidentes e iguales a los de flujo ertical. U Ur ( T) Uz ( T) 1 T Figura Relación entre el grado de consolidación y el tiempo adimensional para drenaje ertical y radial Antes, en flujo ertical: y ahora, en flujo radial: h t T KE w m e t T KE r r w r mr Suponiendo que T T r, K Kr, y E m E mr (terreno isótropo), y diidiendo las dos expresiones anteriores se obtiene: 47

48 t r t e h Cuanta más facilidad para drenar se le dé al terreno (más direcciones por donde pueda fluir el agua) más rápido asentará, aunque el asiento final no se modificará. Para el problema inicial, si se colocan drenes erticales a 1,5 metros de distancia entre sí: e 1,5m r,75 : (,75 m) tr 9 años años minoración importante del tiempo de (5 m) consolidación hasta un tiempo compatible con el desarrollo de una obra. La figura muestra tres posibles casos en referencia a la relación potencia de estratodistancia entre drenes. En el primer caso, correspondiente a la potencia del estrato mucho mayor que la distancia entre los drenes, la consolidación ertical puede considerarse despreciable respecto a la horizontal. En el segundo caso es necesario considerar tanto la contribución ertical como la horizontal al ser semejantes ambas distancias de drenaje. En el tercer caso es la contribución horizontal la que puede despreciarse. Despreciar una de las dos contribuciones siempre deja del lado de la seguridad. Figura Comparación de casos respecto a la potencia del estrato y la distancia entre drenes 48

49 5.6. Consolidación bidimensional y tridimensional A continuación se presenta una expresión aproximada para el grado de consolidación tanto en el caso de 3 dimensiones como en el caso de dimensiones, que es el que más puede interesar, por ejemplo, para poder combinar la consolidación ertical y radial analizadas en el apartado anterior. Para el caso unidimensional, y tal como se ha isto anteriormente, a partir de las ecuaciones constitutias y de continuidad se obtenía la siguiente expresión de la consolidación (sólo análisis en la profundidad): u c t u z u En el resto de casos (-3 dimensiones), a partir de la expresión general di t q se obtendría, análogamente: t x y z u u u u c x c y c z W W Dado que en 1D se obtuo (adimensionalizando los parámetros) la expresión y T Z que suponiendo ciertas condiciones iniciales y de contorno resultaba un grado de consolidación de expresión 1 UT ( ) 1 WZT (, )dz, relacionado directamente con la proporción de presiones intersticiales disipadas, parece razonable suponer que para el caso 3D se pueda generalizar ambas expresiones como:,,,,,,,,,,,, W X Y Z T W X Y Z T W X Y Z T W X Y Z T T X Y Z y U ( T) 1 W( X, Y, Z, T)dXdYdZ xyz Haciendo ahora la hipótesis (no necesariamente correcta) de que y operando, se obtiene:,,.,,, W X Y ZT W X T W Y T W Z T x y z 49

50 donde U 1 W ( X, T) W ( Y, T) W ( Z, T)dXdYdZ xyz x y z Uxyz 1 Wx ( X, T)d X Wy ( Y, T)d Y Wz ( Z, T)dZ U 1 1U 1U 1U xyz x y z 1Uxyz 1Ux 1Uy 1Uz U i es el grado de consolidación asociado a la disipación de presiones intersticiales mediante flujo exclusiamente en la dirección i. Para el caso bidimensional (consolidación radial y ertical únicamente, ya que se supone isotropía en los planos x e y ) queda: 1Urz, 1Ur1 Uz Puede comprobarse en estas expresiones (tanto en 3D como en D) que al despreciar la aportación a la consolidación del flujo en una determinada dirección se queda del lado de la seguridad (grado de consolidación estimado menor que el real). Así mismo puede comprobarse que cuando los grados de consolidación parciales (para determinadas direcciones de flujo) son bastante diferentes, es razonable despreciar los menores, mientras que si son parecidos o iguales el despreciar alguno hace cambiar de forma considerable el resultado final. 5.7 Consolidación secundaria Como ya se ha mencionado en el primer apartado, las deformaciones diferidas en el tiempo según ', es decir, deformaciones que se producen de forma diferida al cambio de la tensión efectia (no cumplen con el principio de las tensiones efectias de Terzaghi), corresponden a la consolidación secundaria. Suelen ser deformaciones irrecuperables que se an generando muy lentamente, mucho más que en la consolidación primaria. Ya se ha comentado que ambas consolidaciones no son consecutias, sino que en buena medida son simultáneas; el cambio de consolidación primaria a secundaria es mediante un solape, es decir, no es un cambio inmediato, sino que ocurre en una región temporal extensa, ya que se producen a la ez. En la figura se representa de modo muy esquemático una porción de suelo saturado de tipo areno-arcilloso. En estos tipos de suelo, la parte arcillosa, debido a su composición química 5

51 y microestructura, se aglomera formando pequeños agregados distribuidos entre la parte arenosa. Este solape temporal entre consolidación primaria y secundaria puede entenderse como que, bajo una carga, por ejemplo octaédrica, y posibilidad de drenaje, la consolidación primaria es casi exclusiamente debida a la disipación de presiones intersticiales en los poros mayores del suelo (entre partículas más gruesas); la consolidación secundaria, mucho más lenta y que se inicia al mismo tiempo que la primaria, solamente se apreciará una ez finalice la primaria (final del drenaje de los poros mayores). Figura Representación esquemática del drenaje, debido a un proceso de carga, en una porción de suelo areno-arcilloso En consecuencia, la consolidación secundaria puede empezar a darse desde el inicio de la aplicación de la carga y disipación de presiones intersticiales pero suele ser mucho menos importante que la primaria en función de los cambios de olumen que genera. Esto hace que pase más desapercibida, que su apreciación dependa del tipo de suelo y, normalmente, se haga sólo apreciable una ez ha finalizado el proceso de consolidación primaria. En la consolidación secundaria el suelo acaba de adaptarse a sus condiciones finales (naturaleza isco-elástica) y no responde a un modelo elástico. A continuación se muestra de qué modo se puede modelar su comportamiento, aunque existen otras posibilidades. La figura 5.7. muestra de modo esquemático la gráfica de una posible trayectoria de los asientos respecto al tiempo en escala logarítmica (obtenida, por ejemplo, mediante un ensayo edométrico en una muestra de altura h) así como la interpretación de la consolidación primaria y secundaria que se produce. 51