Resolver las siguientes integrales aplicando fracciones parciales,

Transcripción

1 Tu pregunta es, Resolver las siguientes integrales aplicando fracciones parciales, 1- x+1 (x 3) 2 dx 2- x+1 (x 1) 2 dx 3- x (x 3) 2 dx 4- x 2 dx (x 3)(x+2) 2 Bien, para la primera, x + 1 (x 3) 2 dx Ésta integral podemos resolverla por sustitución, Consideremos, Derivando, du = dx Además, vamos a despejar x de la sustitución que vamos a hacer, x = u + 3 Ahora si reemplazamos en la integral, (u + 3) + 1 (u) 2 du = u + 4 u 2 du Si recuerdas las fracciones homogéneas verdad?, entonces apliquemos eso, u + 4 u 2 du = ( u u u2) du Podemos distribuir la integral a cada término,

2 1 u du + (4) 1 u 2 du Además, aplicando las propiedades de los exponentes, a la segunda integral podemos reescribirla así, 1 u du + (4) u 2 du Y aplicamos las integrales directas, 1 x dx = ln( x ) + C, y xn dx = xn+1 n C Entonces nos quedaría, ln( u ) + 4 ( u 1 1 ) + C Pero, ln( x 3 ) 4 x 3 + C Para el siguiente, x + 1 (x 1) 2 dx Creo que sería igual que el anterior caso, Podemos sustituir, u = x 1 Derivamos, du = dx Pero, en el numerador nos va a quedar algo en función de x, y no queremos eso, entonces despejamos a partir de la sustitución que propusimos x

3 x = u + 1 Ahora sí, reemplazamos, (u + 1) + 1 (u) 2 du = u + 2 u 2 du Nuevamente podemos aplicar fracciones homogéneas, ( u u u 2) du = 1 u du + (2) u 2 du Y éstas integrales ya la sabemos, ln( u ) + (2) ( u 1 1 ) + C ln( u ) 2 u + C Pero, u = x 1 ln( x 1 ) 2 x 1 + C Para el siguiente, x (x 3) 2 dx Podemos, repetir el mismo procedimiento y adicionalmente vamos a hacerlo usando fraccionas parciales si gustas, Entonces, consideramos, Derivando, du = dx

4 Pero en el numerador nos va a quedar una x colada, entonces debemos ponerla en función de la nueva variable para eso despejamos de la sustitución, x = u + 3 Ahora sí, u + 3 (u) 2 du Por fracciones homogéneas podemos repartir el denominador para cada término, también, distribuir la integral para cada término y sacar la constante (3), u u 2 du + (3) 1 u 2 du = 1 u du + (3) u 2 du Nuevamente éstas integrales ya nos la sabemos, ln( u ) + 3 ( u 1 1 ) + C ln( u ) 3 u + C Pero, ln( x 3 ) 3 x 3 + C Ahora hagámoslo usando fracciones parciales. x (x 3) 2 dx = x (x 3)(x 3) dx Entonces, queremos que ésta nueva fracción sea igual a dos fracciones, como en el denominador tenemos factores lineales y además son IGUALES, entonces en el numerador deberemos tener algo en un grado menor es decir un número, una constante.

5 x (x 3)(x 3) = A x 3 + B (x 3) 2 Como son dos factores lineales e iguales debemos repetir el número de veces hasta llegar a la potencia deseada, en éste caso tenemos dos factores iguales es decir elevado al cuadrado, entonces primero va elevado a la 1, y luego elevado al cuadrado. Si hubieran sido factores lineales iguales, pero se repetían tres veces (cúbico), entonces, las fracciones parciales sería el factor elevado a la 1, en la siguiente elevado al cuadrado, y finalmente elevado al cubo. Ahora sumamos éstas dos fracciones como siempre, x A(x 3) + B(1) Ax 3A + B = (x 3)(x 3) (x 3) 2 = (x 3) 2 Recuerda que, al momento de sumar las fracciones, como mínimo común múltiplo escogemos el factor de mayor grado, Entonces, simplificamos los denominadores, x = Ax 3A + B Agrupamos, x = (A)x + (B 3A) Entonces, estás de acuerdo, (1)x + (0) = (A)x + (B 3A) Para que se cumpla ésta igualdad las partes debe ser iguales, por su respectivo color, A = 1 { B 3A = 0 Esto se hizo fácil, ya tenemos el valor de A, solo reemplazamos, B = 3 Entonces las fracciones parciales,

6 x (x 3)(x 3) = 1 x (x 3) 2 Entonces las integrales nos quedarían, ( 1 x (x 3) 2) dx = x 3 dx + (3) 1 (x 3) 2 dx La primera integral es very fácil, puedes hacer la sustitución si gustas, pero ya debes saber la integral directa, 1 ln( x 3 ) + (3) (x 3) 2 dx Luego le agregamos la constante de integración, Ahora, debemos integrar la segunda, Podemos hacer una sustitución Derivando, du = dx Entonces, 1 u 2 du = u 2 du Y, ésta integral ya sabemos, Uniendo nos queda, u 1 1 = 1 x 3 ln( x 3 ) + ((3) 1 x 3 ) + C ln( x 3 ) 3 x 3 + C Y si te das cuenta es el mismo resultado que nos salió usando la sustitución,

7 Con esto quiero decir que no siempre hay un solo camino, y tu deber no es buscar un camino rápido, si no uno que tú te lo sepas al revés y al derecho. Por ejemplo, fracciones parciales a mí me gustan porque son divertidas y me entretengo, pero en una prueba a menos que tenga tiempo no la voy a usar porque me demoraría. Finalmente, para el último, x 2 (x 3)(x + 2) 2 dx Bueno éste si es de fraccionas parciales jajaja Hace un momento vi, que publicaste que querías un método o un caminito para poder hacer las fracciones parciales, entonces. Lo primero que tienes que hacer es factorizar el denominador, es decir, formar factores, es éste caso ya los tenemos, x 2 (x 3)(x + 2) 2 Ahora, lo que debes hacer es darte cuenta que tipo de factores tienes en el denominador, es éste caso tenemos un lineal (x 3), y otro lineal, pero se repite dos veces (x + 2) 2, entonces, la teoría nos dice, Tienes factores lineales sin que se repitan, entonces las fracciones parciales en el numerador siempre serán constantes es decir números, Tienes factores lineales que se repiten, entonces las fracciones parciales serán constantes en el numerador, pero en el denominador colocaremos el número de veces que se repite el factor lineal, en éste caso, tendremos como primer denominador (x + 2) y la segunda fracción tendrá, (x + 2) 2, veamos, x 2 (x 3)(x + 2) 2 = A x 3 + B x C (x + 2) 2 Hemos repetido dos veces el factor lineal (x+2), porque eso nos dice la teoría, Ahora sumamos como de costumbre,

8 x 2 (x 3)(x + 2) 2 = A(x + 2)2 + B(x 3)(x + 2) + C(x 3) (x 3)(x + 2) 2 Los denominadores siempre se van a simplificar, x 2 = A(x 2 + 4x + 4) + B(x 2 x 6) + C(x 3) x 2 = Ax 2 + 4Ax + 4A + Bx 2 Bx 6B + Cx 3C Agrupamos, x 2 = (Ax 2 + Bx 2 ) + (4Ax Bx + Cx) + (4A 6B 3C) Sacamos factor común, x 2 = (A + B)x 2 + (4A B + C)x + (4A 6B 3C) Agregamos cosas obvias, y pintamos de colores, (1)x 2 + (0)x + (0) = (A + B)x 2 + (4A B + C)x + (4A 6B 3C) Entonces, formamos el sistema de ecuaciones en base a los colores, A + B = 1 { 4A B + C = 0 4A 6B 3C = 0 Tienes un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, podemos resolverlo, Entonces, tenemos la matriz ampliada, de los coeficientes multiplicada por la matriz columna de las variables igualada a la matriz columna de los términos independientes, es decir, A 1 ( ) ( B) = ( 0) C 0 Entonces resolvamos, podemos hacerlo por Gauss-Jordan que sería el método más indicado y adecuado, me imagino que algo te habrán dado en álgebra lineal o matemática. Lo que debemos hacer es ceros por encima y debajo de la diagonal mediando operaciones entre filas, usando los pivotes, usando los términos que están en la diagonal para hacer ceros arriba y abajo,

9 Para eso consideramos la siguiente matriz, que es la unión de la matriz de coeficientes y la de términos independientes, [ ] Entonces, como ya tenemos el número (1) en la primera fila, primera columna empezamos, Hacemos, simultáneamente, F 2 4F 1 F 3 4F [ 4 4(1) 1 4(1) 1 4(0) 0 4(1) ] = [ ] 4 4(1) 6 4(1) 3 4(0) 0 4(1) Ahora, Hacemos, F 3 2F [ ] = [ ] 0 2(0) 10 2( 5) 3 2(1) 4 2( 4) Hacemos, F 2 + ( 1 5 ) F [ (0) (0) ( 5) (4) ] = [ ] Hacemos, F 1 + ( 1 5 ) F [ 5 (0) ( 5) (0) ( 5 5 ) ] = [ ]

10 Finalmente, solo bastaría hacer, F 2 ( 1 5 ) F 3 ( 1 5 ) ( 1 5 ) 5 ( 1 5 ) 0 ( 1 5 ) 16 5 ( 1 0 ( 1 [ 5 ) 0 ( 1 5 ) 5 ( 1 5 ) 5 ) 4 ( 1 5 ) ] = [ ] Entonces ya tenemos las respuestas, A = 9 16, B = 25 25, C = 4 5 Entonces ya podemos armar nuestras fracciones parciales, x 2 (x 3)(x + 2) 2 = 9 25 x x (x + 2) 2 Acomodando, ( 9 25 ) 1 x 3 + (16 25 ) 1 x + 2 (4 5 ) 1 (x + 2) 2 Ahora si integremos, [( 9 25 ) 1 x 3 + (16 25 ) 1 x + 2 (4 5 ) 1 (x + 2) 2] dx Podemos distribuir la integra a cada término, ( 9 25 ) 1 dx + (16 x 3 25 ) 1 x + 2 dx (4 5 ) 1 (x + 2) 2 dx Podemos sacar las constantes, ( 9 25 ) 1 dx + (16 x 3 25 ) 1 x + 2 dx (4 5 ) 1 (x + 2) 2 dx

11 Nuevamente éstas integrales son fácilmente visibles porque son expresiones lineales las que hay en el denominador es decir es un logaritmo, pero si no estás segura de esto, integra haciendo la sustitución en cada integral no te quedas con esa duda, ( 9 ) ln( x 3 ) + ( ) ln( x + 2 ) + (4 5 ) 1 x C Y podríamos seguir desarrollando un poco más, pero hasta ahí estaría bastante bien, Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas, Sigue intentando, practica de acuerdo?, el método de resolución de sistemas de ecuaciones de más de tres incógnitas la forma correcta es mediando Gauss-Jordan, cuando veas Álgebra Lineal te vas a dar cuenta que los viejos métodos de eliminación, sustitución, a veces, no arroja la solución correcta en sistemas de 3,4 etc. Incógnitas. Sé que es bastante largo, más de medio ejercicio se fue solo en resolver el sistema, pero con práctica verás lo sencillo que es. Suerte, Atta. Santiago Seeker