Natividad Rodríguez Masero * Modelos de valoración de opciones sobre tipos de interés: Una comparación entre los campos continuo y discreto

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1 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página ANÁLISIS FINANCIERO Natividad Rodríguez Masero * Modelos de valoración de opciones sobre tipos de interés: Una comparación entre los campos continuo y discreto 1. INTRODUCCIÓN La importancia de los tipos de interés y la volatilidad que le subyace hace que se incrementen los instrumentos de cobertura ante las variaciones de los tipos de interés. Existen numerosos factores que afectan a dicha volatilidad, así por ejemplo, la crisis actual que ha provocado un aumento de los tipos de interés, hace que aumente el temor entre los inversores a una mayor inflación, causada por la crisis, lo que repercute en un aumento de los tipos de interés fijados. La elevada volatilidad de los últimos años ha provocado un aumento del riesgo financiero, cuyas causas más directas se encuentran tanto en los cambios políticos producidos en los últimos tiempos, como en la internacionalización de los mercados financieros, lo que aumenta la volatilidad de los mismos. Esto hace que el comportamiento de la bolsa y la incertidumbre que plantea el futuro repercutan tanto sobre el precio de los activos como sobre los tipos de interés Todo ello ha provocado un aumento considerable de las operaciones a plazo, las cuales no vienen exentas de limitaciones, ya que necesitan encontrar una contrapartida, evaluar el riesgo de insolvencia potencial, etc. Sin embargo, existen instrumentos financieros destinados a la cobertura de los tipos de interés, como es el caso de las opciones sobre tipos de interés De esta forma gana importancia la forma de valorar un activo de renta fija a largo plazo. Para ello, hay que actualizar la corriente de flujos al tipo de interés vigente y, sin embargo, los tipos de interés no permanecen constantes en los distintos momentos de tiempo en los que se hacen efectivo dichos flujos. Por ello, sería necesario utilizar distintos tipos en función del momento de tiempo en el que se van a hacer efectivos estos flujos. Esta variación en los tipos de interés es lo que nos lleva al estudio de la estructura temporal de los tipos de interés, en adelante ETTI. La ETTI es la función que relaciona los tipos de interés libre de riesgo con el plazo de tiempo al que hacen referencia. En primer lugar, sería necesario conocer los tipos de interés a * Departamento de Dirección de Empresas - Universidad Pablo de Olavide (Sevilla)

2 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página 121 MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS 121 largo plazo para proceder a la valoración del activo, sin embargo, y dada la dificultad para conocer los tipos de interés futuros, tendremos que proceder a su análisis partiendo de los tipos de interés observados mediante algún método de estimación que nos acerque a nuestro objetivo. Para ello utilizaremos los precios de la deuda pública, ya que estos instrumentos carecen de riesgo de crédito, contando a su vez, con amplios mercados secundarios. La dinámica de la ETTI se ha llevado a cabo apoyándose en ecuaciones diferenciales estocásticas, de ahí su denominación de modelos estocástico-dinámicos de la estructura temporal. En una primera clasificación, estos modelos pueden agruparse en dos grandes grupos, los modelos consistentes y los modelos no consistentes o factoriales. Los primeros describen la dinámica de la curva de los tipos de interés incorporando información de toda la curva. Los segundos, analizan los movimientos de la curva partiendo de variables exógenas o variables de estado. Dentro de los modelos no consistentes o factoriales podemos encontrar dos enfoques: el enfoque de equilibrio general y el enfoque de no arbitraje o de equilibrio parcial. El enfoque de equilibrio general parte de la actividad real de la economía, así como de las preferencias que tengan los inversores más representativos, con el objeto de construir la estructura temporal de los tipos de interés. Este modelo considera las variables del entorno que van a influir tanto en la determinación del precio de los bonos, como en las propiedades estocásticas de las variables endogenamente determinadas, así como en la forma exacta que tomen las primas de riesgo. Entre los autores que han estudiado este enfoque podemos destacar los trabajos realizados por Cox, Ingersoll y Ross (1985), Longstaff (1989), Longstaff y Schwartz (1992) y Platten (1994). El enfoque de equilibrio parcial o de no arbitraje comienza estableciendo hipótesis sobre la evolución estocástica de una o más variables de estado y sobre la forma del precio de los activos libre de riesgo en el mercado, todo ello bajo la condición de la no existencia de arbitraje en la economía. Sin embargo, la valoración de los bonos en este caso, puede llevarnos a oportunidades de arbitraje y a inconsistencias internas. Esto hace que podría ser más ventajoso el empleo del enfoque del equilibrio general, debido a que las variables en este caso son determinadas endogenamente, salvando dicho inconveniente. Bajo este enfoque podríamos resaltar los trabajos realizados por Merton (1973), Vasicek (1977), Dothan (1978) y Brenan y Schwartz (1979,1980). En este trabajo comparamos y estudiamos los modelos de valoración de opciones sobre tipo de interés debido a la importancia adquirida en su negociación en los últimos años. Así, analizando los mercados de opciones sobre tipos de interés, podemos comprobar cómo el activo que subyace es a su vez un contrato de futuros, y no un tipo de interés propiamente dicho; hace años, los mercados financieros modificaron este activo subyacente y pasaron a ofertar opciones sobre futuros sobre tipos de interés, ya que esto supondría una mayor aceptación de estos productos en el mercado. Este hecho hace que a la hora de la valoración de este tipo de activos se tengan que introducir modificaciones técnicas en los modelos de valoración convencionales. Por tanto, y debido a que el activo subyacente no es el tipo de interés propiamente dicho sino un futuro sobre tipos de interés, tendremos que considerar este aspecto a la hora de valorar este tipo de instrumentos financieros. Entre los modelos de valoración generalmente aplicados tenemos el modelo de Black (1976), que fue desarrollado para valorar este tipo de opciones en el campo continuo. Por otra parte, en el campo discreto tenemos una aplicación del modelo Binomial para futuros. Sin embargo, existen otros modelos de valoración que, aunque no son tan populares, también pueden emplearse en la valoración de estos activos, aportando además una mayor exactitud en los resultados obtenidos. Tal es el caso del modelo Trinomial que, mediante el uso de árboles trinomiales, puede ser una alternativa a la valoración mediante el modelo Binomial. La ventaja del modelo Trinomial sobre el anterior estriba en que los árboles trinomiales son más flexibles que los binomiales ya que dan un grado más de libertad, por tanto, los resultados obtenidos aplicando este modelo han de ser también más exactos. Como generalización a estos modelos, podríamos aplicar también el modelo Multinomial, el cual, y debido a su propia naturaleza, debería aportar resultados más exactos, ya que, como extensión de los modelos anteriores, en cada instante de tiempo el precio del activo subyacente puede evolucionar a un número m de estados posibles, lo que aporta una mayor aproximación en los resultados obtenidos a la hora de valorar este tipo de activos. En este trabajo pretendemos aplicar el modelo Trinomial a la opciones sobre futuros sobre instrumentos de renta fija y el modelo Multinomial como generalización de los modelos de valoración discreta. De esta forma compararemos los resul-

3 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página ANÁLISIS FINANCIERO tados obtenidos mediante estos modelos y los compararemos con los obtenidos mediante los modelos tradicionales. 2. MODELO TRINOMIAL La ventaja adicional que introduce el modelo Trinomial con respecto al modelo Binomial, es que en cada instante de tiempo, el precio puede evolucionar a tres estados posibles, dando por tanto un grado más de libertad, lo que les reporta una mayor flexibilidad. En este caso se permite al precio del activo subyacente evolucionar de la siguiente forma: F uf con probabilidad p u F con probabilidad p m df con probabilidad p d donde r = tanto anual instantáneo La evolución del valor de la prima para una opción call será: C Cu = Max [ 0, uf E ] con probabilidad p u Cm = Max [ 0, F E ] con probabilidad p m Cd = Max [ 0, df E ] con probabilidad p d El valor de la opción call europea sobre un contrato de futuros podrá determinarse como: C = e -rt [ p u C u + p m C m +p d C m ] Análogamente, para el caso de una opción put el precio vendrá dado por: donde, λ R/λ>1 para evitar que p i <o (i=u,m,d,) P = e -rt [ p u P u + p m +p d ] donde P u = Max [ 0, E - uf] = Max [ 0, E - F ] t = tiempo hasta el vencimiento n = número de nodos del árbol P d = Max [ 0, E - df ] Si lo extendemos a dos períodos el precio del futuro evolucionaría de la siguiente forma: p u = probabilidad de subir de cada nodo u 2 F p m = probabilidad de ir al centro de cada nodo uf uf p d = Probabilidad de bajar de cada nodo F F F Sabiendo que: p u + p m + p d = 1 df df Si tomamos los valores de Boyle (1988) para el cálculo de las probabilidades, tendremos que: d 2 F Por otra parte, la evolución del precio de la opción call será: Cu 2 = Max [ 0, u 2 F E ] Cu Cu = Max [ 0, uf E ] C C C = Max [ 0, F E ] Cd Cd = Max [ 0, df E ] Cd 2 = Max [ 0, d 2 F E ] siendo Siendo el valor de la opción call sobre un contrato de futuros:

4 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página 123 MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS 123 C = e -rt [ pu 2 Cu p u p m Cu + 2 p u p d C + p m2 C + 2 p m p d Cd +p d2 Cd 2 ] Es decir: C = e rt 2 2 2! j= 0k = 0 2 k + j Si lo generalizamos para n períodos el resultado para el precio de la opción call sería de: C = e rt (2 j k)! p u Análogamente podríamos determinar el precio de la opción put, donde para n períodos tomaría el siguiente valor: P = e rt n n n! j= 0k = 0 n k + j (n j k)! p u n n n! j= 0k = 0 n k + j (n j k)! p u En el desarrollo de este modelo, hay que señalar que debido a la dificultad derivada del cálculo de las probabilidades para aplicarlo, hemos trabajado con un activo subyacente distinto al futuro, como por ejemplo una acción que no reparte dividendos. Para aplicar el modelo a opciones sobre futuros hemos de construir el árbol a partir del precio actualizado del futuro, es decir, F 0 = F e -rt. El modelo Trinomial, aun siendo matemáticamente más exacto que el modelo Binomial debido a su mayor flexibilidad, tiene el inconveniente de que sus resultados dependen del valor que demos al parámetro λ. Así, la exactitud de los resultados derivados de la aplicación del modelo dependerá tanto del número de nodos utilizado en la elaboración del árbol como del valor que le demos a dicho parámetro. Ilustraremos lo expuesto anteriormente mediante un ejemplo, y lo compararemos con los resultados obtenidos aplicando otros modelos de valoración de opciones sobre futuros sobre instrumentos de renta fija. Supongamos el caso de un contrato de opción sobre un futuro sobre un bono nocional, con las siguientes características: F = 97 E = 95 t = 6 meses 2 j k p j m p k d Max[ 0,u 2 j k d k F E] n j k p j m p k d Max[ 0,u n j k d k F E] n j k p j m p k d Max[ 0, E u n j k d k F] i = 5% r= ln (1+0,05) = 0, σ = 20% En el cuadro 1, recogemos un resumen donde hemos calculado el valor tanto para la call como para la put y los comprobaremos con los modelos tradicionales. Resultados de la valoración de opciones sobre futuros sobre bonos aplicando distintos modelos CALL PUT F=90 F=95 F=97 F=90 F=95 F=97 BLACK (1976) 3,015 5,22 6,315 7,89 5,22 4,363 BINOMIAL n = 4 3,256 4,91 6,305 8,135 4,91 4,35 n= 10 3,12 5,09 6,31 8 5,09 4,353 n = 20 3,015 5,2 6,32 7,89 5,2 5,368 TRINOMIAL n = 4 3,19 5,04 5,8 8,07 5,04 3,84 λ =2 n= 5 3,15 5, ,13 4 n = 4 3,09 5,18 6,3 7,97 5,18 4,34 λ =1,5 n= 5 3,02 5,22 6,31 7,9 5,22 4,363 cuadro 1 Tal y como se desprende de la observación del cuadro 1, a medida que aumenta el número de nodos más nos aproximamos al resultado obtenido con el modelo de Black (1976). En cuanto a los modelos de aproximación discreta, podemos comprobar que, con el modelo trinomial se alcanza antes el resultado que con el modelo Binomial, ya que con el primero los resultados son más próximos utilizando cinco nodos y con el segundo es necesario llegar hasta veinte. Aun así, hay que hacer una puntualización, y es que, cuando aplicamos el modelo trinomial damos valores al parámetro λ, del cual también dependen los resultados obtenidos. Así, si modificamos el valor del parámetro, tal y como muestra el cuadro 1, los resultados obtenidos son más exactos cuando damos a λ un valor de 1,5. Por tanto, a través del ejemplo podemos comprobar cómo además del número de nodos empleados en el árbol trinomial hemos de tener en cuenta el valor del parámetro λ que tomemos para el cálculo de las probabilidades. Por tanto, nos aproximaremos más al modelo de Black (1976) teniendo en cuenta no sólo el número de nodos sino también el valor que elijamos para el parámetro. Si el activo subyacente es un tipo de interés interbancario, el procedimiento sería el mismo, sin embargo, dado que los precios se forman como (100-tipo de interés), tendríamos que utilizar la volatilidad expresada en tipos de interés y no en precios, ya que, si utilizamos los modelos de valoración en base a precios, podemos encontrarnos con una situación irreal pudiendo aparecer un tipo de interés negativo. Veamos a través de un ejemplo los resultados obtenidos aplicando los modelos anteriores. En este caso partiremos de una opción sobre un futuro sobre un interés interbancario a 360 días, con una cotización del futuro del 97% y un precio de

5 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página ANÁLISIS FINANCIERO ejercicio del 95%. El tipo de interés es del 5% anual, la volatilidad estimada para el futuro del 30% anual. El cuadro 2 recoge los resultados obtenidos aplicando modelos de aproximación discreta y continua. Resultados de la valoración de opciones sobre futuros sobre un tipo de interés interbancario aplicando distintos modelos CALL PUT F=90 F=95 F=97 F=90 F=95 F=97 BLACK (1976) 4,769 0,56 0,0199 0,007 0,56 1,924 BINOMIAL n = 4 4,723 0,533 0,02 0 0,533 1,925 n = 20 4,769 0,56 0,0199 0,007 0,56 1,924 TRINOMIAL n = 4 4,76 0,544 0,023 0,006 0,554 1,927 λ =2 n= 5 4,768 0,555 0,018 0,008 0,553 1,93 n = 4 4,769 0,56 0,0199 0,007 0,56 1,924 λ =1,5 En este ejemplo hemos prescindido de los valores binomiales para 10 nodos y trinomiales para cinco nodos cuando λ =1,5 ya que al trabajar con decimales tan próximos los ajustes se han producido antes. Con el cuadro 2 podemos comprobar nuestras hipótesis de partida, de manera que para la valoración de opciones sobre futuros sobre tipos de interés, los modelos discretos se aproximarán a los modelos continuos a medida que aumenta el número de nodos del árbol y la libertad del árbol empleado. Sin embargo, los resultados obtenidos también dependen de los valores propios del activo así como de sus variables fundamentales, de manera que en cada ejemplo que utilicemos, los resultados se aproximarán más o menos en función de los datos tomados de partida. 3. MODELO MULTINOMIAL cuadro 2 El modelo Multinomial es una extensión de los modelos Binomial y Trinomial, de manera que, en cada instante de tiempo, el precio del activo subyacente puede evolucionar a m estados posibles. El estudio de este modelo fue realizado por Omberg (1998), el cual extiende el modelo binomial a un modelo Multinomial, permitiendo un proceso de salto de orden m para el activo subyacente con probabilidades {p 1, p 2,... pm}. En este caso el precio del activo subyacente evolucionaría de la siguiente manera. u 1 F con probabilidad p 1 F u 2 F con probabilidad p 2 donde: p j = w j u m F con probabilidad p m u j = e t = tiempo hasta el vencimiento n = número de nodos del árbol r = tanto anual instantáneo r t n + j=1,2,...m w j y x j representan respectivamente los pesos y los m ceros del polinomio de aproximación (x), del método de aproximación de Gauss-Hermite aplicado a la integral 1 : I = b a wx ( ) f( x) dx Podemos aproximar esta integral a la media ponderada de la función f(x) en m puntos {x 1, x 2,... x m }, es decir, m ( ) I w j f x j j=1 siendo la regla exacta cuando f(x) sea un polinomio de orden m o inferior y w j y x j se elijan de forma que maximicen el grado de precisión de la aproximación por (x). Si {P j } es el conjunto de polinomios ortogonales en [a,b] con respecto a los pesos w j, es decir, b a b a wx ( ) P i ( x) P j ( x)dx = 0 wx ( ) P 2 j ( x)dx = r j para i j para i = j entonces los puntos óptimos x j son los m ceros de Pm(x) y los pesos vienen dados por w j =? x j a m +1,m +1 r m a m,m ( ) +1 ( x j ) x j 2 t n

6 09 Natividad:Natividad 22/3/10 19:02 Página 125 MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS 125 En este caso y mediante la fórmula de valoración recursiva el valor de la call vendrá dado por: C k +1 (F) = e rt EC [ k ( F) ]= e rt ()C z k Fe r 1 2 t 2 n + z 2 t n n dz e rt p j C k F u j φ = función de densidad de la distribución normal estándar. En cuanto a la aplicación práctica de este modelo, habría que decir que la complejidad matemática del mismo lo hace menos efectivo, ya que los modelos de valoración sólo son aproximaciones numéricas y la diferencia en los errores cometidos cuando se utilizan uno u otro es casi despreciable. 4. CONCLUSIONES En cuanto a los modelos de valoración, aunque los mercados financieros utilizan en la práctica el modelo de Black (1976), es necesario distinguir entre los desarrollados en el campo continuo y los desarrollados en el campo discreto, y saber que con el primero existe un sesgo en cuanto a la exactitud del cálculo. Sin embargo, aunque los modelos desarrollados en el campo continuo son matemáticamente exactos, las hipótesis de partida son muy fuertes o rigurosas, por lo que los resultados obtenidos no se ajustan a la realidad del mercado. Por otra parte, hay que tener en cuenta que los modelos de valoración son, en general, aproximaciones numéricas, y la proximidad entre sus resultados dependerá en gran medida de los valores tomados para el cálculo del precio de la opción (precio de ejercicio, precio del futuro, volatilidad, tiempo hasta el vencimiento,...) que en algunos casos difieren de la realidad del mercado, ya que, en algunas ocasiones, los datos tomados para la aplicación de los modelos pueden distar mucho de los valores que en la práctica se dan en los mercados financieros. Si analizamos los modelos desarrollados en el campo continuo y comparamos los resultados obtenidos con los modelos desarrollados en el campo discreto, veremos cómo, aunque los resultados son muy similares, dependen del modelo utilizado, así como de los propios valores que tomen las variables fundamentales, tal y como hemos comprobado en los ejemplos analizados anteriormente. Tras la aplicación de los modelos a un ejemplo básico, podemos ver que en el modelo Binomial los resultados se aproximarán a los obtenidos mediante el modelo de Black (1976) a medida que aumenta el número de nodos tomados en el árbol. De esta forma, para un número de iteraciones inferior a 20, los resultados son menos fiables, por lo que a medida j=1 ( ) que el número de iteraciones aumenta y se aproxima más a infinito, el modelo binomial se acerca más al modelo de Black (1976). La ventaja que aporta el modelo de Black (1976) es la de no complejidad en sus cálculos, así como su sencillez y exactitud. Sin embargo, el modelo Binomial aporta además de fiabilidad, la ventaja de poder incluir las alteraciones que se puedan producir en el horizonte temporal del contrato, tal y como ocurriría si las opciones fueran americanas, ya que dada su peculiaridad de posibilidad de ejercicio anticipado, el modelo binomial puede introducir en su desarrollo esa característica, mientras que en el modelo de Black (1976) no es posible. También hay que tener en cuenta que la mayoría de las opciones negociadas en la actualidad son americanas. Una vez estudiado el modelo Trinomial, podemos observar que se aproximará antes que el modelo binomial, sin embargo, sus resultados quedan determinados por el valor del parámetro λ. La elección del parámetro es arbitraria y marcada por la obtención de unas probabilidades positivas, por lo que también influirán en los resultados obtenidos. Aun así, el modelo Trinomial alcanzará antes los resultados obtenidos mediante el modelo de Black (1976), por lo que con unas cinco iteraciones podemos aproximarnos al valor de la opción. Por último, hemos estudiado el modelo Multinomial como extensión de los modelos Binomial y Trinomial. El uso de este modelo, y debido a las características propias del mismo, implicaría que los resultados obtenidos con su aplicación han de ser más próximos a los resultados obtenidos mediante el modelo de Black (1976). Sin embargo, su elevada sofisticación matemática y su complejidad no hacen más efectivo su empleo. Esto es debido a que los modelos de valoración son aproximaciones numéricas y la diferencia en los resultados obtenidos aplicando estos modelos son casi despreciables. 5. BIBLIOGRAFÍA Black, F. (1976) The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, January-March pp Black, F. y Scholes, M. (1973) The pricing of optiones and corporate liabilities, Journal of Political Economy, May-Jun pp Boyle, P. P. (1988) A latice Framework for Option Pricing with Two State Variables, Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol 23, nº1, pp Brenan, M.J. y Schwartz, E.S. (1979): "A continuous time aproach to the pricing of bonds", Journal of Banking and Finance 3, pp

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