ENTEROS. Definición de Enteros. Slide 1 / 239. Slide 2 / 239. Slide 3 / 239. Temas a desarrollar

Transcripción

1 Slide 1 / 239 ENTEROS Temas a desarrollar Definición de N Enteros Valor Absoluto Comparación y Orden de los N Enteros Suma de Enteros Convertir la Resta en Suma Revisión de Sumas y Restas con Enteros Multiplicando Enteros Dividiendo Enteros Potenciación Reglas de la Potenciación Click sobre el tema para ir a la sección Slide 2 / 239 Slide 3 / 239 Definición de Enteros Return to Table of Contents

2 1 Sabes lo qué es un N Entero? Slide 4 / 239 Yes No Definición de N Entero Slide 5 / 239 Definición de N Entero: Es el conjunto de Números Naturales, sus opuestos y el cero. Ejemplos de N Enteros: {...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} Clasifica cada número como un Entero o no Slide 6 / ½ x ¾ 9 π 5 ¾ entero No entero -6

3 Los Enteros sobre la Recta Numérica Slide 7 / 239 Enteros Negativos Cero Enteros Positivos Los números a la Los números a izquierda del cero El cero no es ni la derecha del son menores que positivo ni negativo cero son cero mayores que cero ` 2 Cuáles de los siguientes son ejemplos de N Enteros? A 0 B -8 C -4.5 D 7 E 1/2 Slide 8 / Cuáles de los siguientes son ejemplos de N Enteros? A 1/2 B 6 C -4 D 0.75 E 25% Slide 9 / 239

4 Los N Enteros pueden representar situaciones cotidianas Ustedes pueden escuchar: "tiene que patear el tiro libre desde una distancia de 20 m al arco." Slide 10 / 239 Esto puede ser representado con un N Entero: +20 o 20 O, "La lluvia caída este último año ha sido de 100 mm menos que el anterior" Esto puede representarse como un N Entero: -100 Los Enteros en nuestro mundo Slide 11 / 239 Escribe un N Entero para representar cada situación: Slide 12 / Gasté $6 2. Ganancia de 11 kg 3. Depositaron $ grados bajo cero 5. 8 golpes bajo la cintura m sobre el nivel del mar

5 4 Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación? Slide 13 / 239 El efecto en su billetera cuando gasta $10. A -10 B 10 C 0 D +/ Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación? Slide 14 / 239 Repartiendo folletos gana $40 por día. A -40 B 40 C 0 D +/ Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación? Slide 15 / 239 Usted buceó 35 pies para explorar un barco hundido. A -35 B 35 C 0 D +/- 35

6 Los números -4 y 4 se muestran sobre la recta numérica. Slide 16 / Ambos números están a 4 unidades del 0, pero 4 esta a la derecha del 0 y -4 esta a la izquierda del cero. Los números -4 y 4 son opuestos. Los Opuestos se encuentran a la misma distancia del CERO. 7 Cuál es el Opuesto de -7? Slide 17 / Cuál es el Opuesto de 18? Slide 18 / 239

7 Los Enteros se usan en los juegos. Slide 19 / 239 Por ejemplo, en el juego Jeopardy: se ganan puntos por cada respuesta correcta. se pierden puntos por cada respuesta incorrecta. y se puede obtener al final un record positivo o negativo. Slide 20 / 239 Cuando un participante contesta correctamente una pregunta de $200 : Record: $200 Cuando da una respuesta incorrecta de $100: Record = $100 Y cuando da una respuesta incorrecta de $300: Record = - $200 Cómo llegó a tener un record negativo? 9 Después de las siguientes respuestas dadas por un concursante Cuál sería la puntuación? Slide 21 / 239 $100 incorrecta $200 correcta $50 incorrecta

8 10 Después de las siguientes 3 respuestas dadas por un concursante Cuál seria la puntuación? Slide 22 / 239 $200 correcta $50 correcta $300 incorrecta 11 Después de las siguientes 3 preguntas dadas por un concursante Cuál es su puntación? Slide 23 / 239 $150 incorrecta $50 correcta $100 correcta Repaso Slide 24 / 239 Los Enteros están formados por los N Naturales, sus opuestos y el cero. En la Recta Numérica se ubican los números negativos a la izquierda del cero y los números positivos a la derecha de éste. El cero no es un número positivo ni negativo. Los Enteros pueden representar situaciones de la vida cotidiana.

9 Slide 25 / 239 Valor Absoluto Return to Table of Contents Valor Absoluto de Enteros Slide 26 / 239 El valor absoluto es la distancia a un número desde el cero sobre la recta numérica, independientemente del sentido. La distancia y el Valor Absoluto nunca son negativos (son positivos o cero) Cuál es la distancia desde el 0 al 5? Valor Absoluto de Enteros El valor absoluto es la distancia a un número desde el cero sobre la recta numérica, independientemente del sentido. Slide 27 / 239 La distancia y el Valor Absoluto nunca son negativos (son positivos o cero) Cuál es la distancia desde el 0 al -5?

10 El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales Slide 28 / Esto se lee, "el valor absoluto de 4" Cuál es el 4? Usa la recta numérica para encontrar el valor absoluto de: 9 Rta. = 9 Slide 29 / = 9 Rta. -4 = 4 Rta Encontrar -7 Slide 30 / 239

11 13 Encontrar -28 Slide 31 / Cuál es 56? Slide 32 / Encontrar -8 Slide 33 / 239

12 16 Encontrar 3 Slide 34 / Cuál es el valor absoluto de los números que muestra el generador? Slide 35 / Cuál/es de los siguientes números tiene a 15 como su valor absoluto? A -30 B -15 C 0 D 15 E 30 Slide 36 / 239

13 19 Cuál/es de los siguientes números tiene a 100 como su valor absoluto? A -100 B -50 C 0 Slide 37 / 239 D 50 E 100 Slide 38 / 239 Comparando y Ordenando Enteros Return to Table of Contents Comparando Enteros Positivos Slide 39 / 239 Un entero puede ser igual, menor o mayor que otro entero. Los símbolos que usaremos son: Igual "=" Menor que "<" Mayor que ">" Por ejemplo: 4 = 4 4 < 6 4 > 2 Cuando usamos < o >, recuerda que la parte cerrada del símbolo va del lado del número más pequeño.

14 20 El Entero 8 es 9. Slide 40 / 239 A = B < C > 21 El Entero 7 es 7. Slide 41 / 239 A = B < C > 22 El Entero 3 es 5. Slide 42 / 239 A = B < C >

15 Uso de la Recta Numérica Slide 43 / 239 Para comparar enteros, dibujamos puntos sobre la recta numérica. Los números que están más a la derecha son mayores. Los número que están más a la izquierda son menores Colocar los número en el lugar correcto sobre la recta numérica. Slide 44 / Ahora, puedes decir: Slide 45 / 239 Cuál es el Entero mayor? Cuál es el menor? click to reveal

16 Colocar los siguientes Número Enteros sobre la recta numérica. Slide 46 / Slide 47 / 239 Ahora, puedes decir: Cuál es el Entero mayor? Cuál es el menor? click to reveal Comparando Enteros Negativos Slide 48 / 239 Cuanto mayor sea el valor absoluto de un entero negativo, menor será el número entero. Esto se debe a que está más lejos del cero, pero en sentido negativo. Por ejemplo: -4 = -4-4 > -6-4 <

17 Comparando Enteros Negativos Slide 49 / 239 Una manera de pensar esto es en términos del dinero. Usted va a comprar y debe pagar $20 pero solo tiene $10. Entonces el dueño del almacen le ofrece sacar fiado los $20, pero Usted prefiere deberle $10 antes que $20. Este dinero que debe puede considerarse como un importe negativo, ya que necesita saldar esa cuenta para volver a cero, es decir, para no deber. 23 El entero -4 es -4. Slide 50 / 239 A = B < C > El entero -4 es -5. Slide 51 / 239 A = B < C >

18 25 El entero -20 es -14. Slide 52 / 239 A = B < C > 26 El entero -14 es -6. Slide 53 / 239 A = B < C > Comparando todos los Enteros Slide 54 / 239 Cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo. Cualquier número negativo es menor que cero y que cualquier número positivo.

19 27 El entero -4 es 6. Slide 55 / 239 A = B < C > 28 El entero -3 es 0. Slide 56 / 239 A = B < C > 29 El entero 5 es 0. Slide 57 / 239 A = B < C >

20 30 El entero -4 es -9. Slide 58 / 239 A = B < C > 31 El entero 1 es -54. Slide 59 / 239 A = B < C > 32 El entero -480 es 0. Slide 60 / 239 A = B < C >

21 Arrastre y suelte el símbolo apropiado de desigualdad entre los siguientes pares de Enteros: 1) -3 5 < > 2) Slide 61 / 239 3) ) ) ) ) ) ) ) COLOCAR EL SÍMBOLO APROPIADO DE DESIGUALDAD ENTRE LOS ENTEROS: Slide 62 / 239 A) B) C) D) E) RESOLVER APLICANDO EL MÉTODO DEL VALOR ABSOLUTO Y DE LA RECTA NUMÉRICA: A) 15 + (-7) = B) -3-6 = C) = Un termómetro puede imaginarse como una recta numérica vertical. Los números positivos están sobre el cero y los negativos debajo del cero. Slide 63 / 239

22 33 Si la lectura de la temperatura en un termómetro es de 10 Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 64 / 239 cae 3 grados? 34 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es 10 Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 65 / 239 aumenta 5 grados? 35 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es 10 Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 66 / 239 baja 12 grados?

23 36 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3, Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 67 / 239 cae 3 grados? 37 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3 Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 68 / 239 aumenta 5 grados? 38 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3 Cuál será la nueva lectura si la temperatura: Slide 69 / 239 cae 12 grados?

24 Slide 70 / 239 Suma de Enteros Return to Table of Contents Símbolos Slide 71 / 239 Usaremos "+" para indicar suma y "-" para la resta. Utilizaremos los paréntesis para mostrar las cosas más claras. Por ejemplo, si tenemos que sumar -3 a 4 lo escribiremos: 4 + (-3), lo cual es más claro que poner O si queremos restar -4 de -5 escribiremos: -5 - (-4), lo cual es más claro que poner Suma de Enteros: Un camino sobre la recta numérica Slide 72 / 239 Aquí aprenderemos como hacer para sumar y restar Enteros usando la recta numérica. La suma y la resta son operaciones inversas (ellas tienen el efecto opuesto). Si sumamos un número y luego restamos el mismo número nada cambiaría. La suma deshace a la resta y viceversa.

25 Suma de Enteros: Un camino sobre la recta numérica Aquí veremos como trabajar. Slide 73 / Comenzamos en cero 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número: -Hacia la derecha si el número es positivo -Hacia la izquierda si el número es negativo 3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número 3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 74 / Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 75 / Avanzar hacia la derecha cuando el número es positivo.

26 Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 76 / Avanzar hacia la derecha cuando el número es positivo. Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 77 / Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 78 / Vamos hacia la izquierda para los números negativos.

27 Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer númer 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 79 / Vamos hacia la izquierda para los números negativos. Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 80 / Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 81 / Vamos hacia la izquierda para los números negativos.

28 Hagamos sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 82 / Avanzar hacia la derecha para los números positivos. Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 83 / Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 84 / Avanzar hacia la derecha para los números positivos.

29 Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica. 1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número. 3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta. Slide 85 / Moverse hacia la izquierda para los números negativos. Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto Slide 86 / 239 Podemos sumar usando siempre la recta numérica. Pero si estudiamos nuestros resultados, podemos ver como conseguir los mismos resultados sin tener que trazar la recta numérica. Vamos a obtener las mismas respuestas pero de una manera mas simple. Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto Slide 87 / = (-5) = = (-7) = Podemos ver aquí algunas pautas que nos permiten crear normas para obtener estas respuestas sin hacer e dibujo.

30 Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto Slide 88 / 239 Para sumar enteros con el mismo signo: 1. Sumamos el valor absoluto de los enteros. 2. El signo se mantiene igual = = 7; ambos signos son positivos; entonces = (-5) = = 9; ambos signos son negativos; entonces -4 + (-5) = -9 Interpretando el Método del Valor Absoluto Slide 89 / 239 La razón por la cual se utiliza el método del valor absoluto es: El valor absoluto es la distancia que viajas en un sentido, positivo o negativo. Si ambos números tienen el mismo signo, las distancias se suman, ya que ambos te están pidiendo que viajes en el mismo sentido. Si caminas 1 km hacia el oeste y luego 2 km más hacia el oeste, estarás a 3 km al oeste del punto de partida. Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto Slide 90 / 239 Para sumar enteros con diferentes signos: 1. Encuentre la diferencia de los valores absolutos de los números enteros. 2. Mantenga el signo del entero con mayor valor absoluto = = 5; 9 > 4, y 9 es positivo; entonces = (-7) = = 2; 7 > 5 y 9 es negativo; entonces 5 + (-7) = -2

31 Interpretando el Método del Valor Absoluto Slide 91 / 239 Si los signos de los enteros son diferentes: Para la segunda etapa de tu viaje te mueves en sentido contrario a la primera etapa, deshaciendo algo del viaje original. La distancia total a la que estás del punto de partida será la diferencia entre las dos distancias. El signo de la respuesta debe ser el mismo que el del número mayor, ya que éste está en el sentido en el que viajó más lejos. Si caminas 1 km hacia el oeste y luego 2 km hacia el este, tu estarás a 1 km al este de donde comenzaste (-4) = Slide 92 / (-2) = Slide 93 / 239

32 (-8) = Slide 94 / (12) = Slide 95 / = Slide 96 / 239

33 (-4) = Slide 97 / = Slide 98 / 239 Slide 99 / 239 Convirtiendo la Resta en Suma Return to Table of Contents

34 Restando Enteros Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Slide 100 / 239 Podemos ver esto desde la recta numérica, recordando las reglas para los diferentes sentidos. Comparamos esto en dos problemas: 8-5 y 8 + (-5). Para "8-5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 pasos a la izquierda, ya que el signo negativo nos dice que hay que moverse en el sentido opuesto al que sería para Para "8 + (-5)" nos movemos 8 pasos a la derecha, y luego 5 pasos a la izquierda ya que estamos sumando Por cualquier camino, encontraremos que el resultado es +3. Restando los Enteros Negativos Comparemos estos dos problemas: 8 - (-2) y Slide 101 / 239 Para "8 - (-2)" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 2 pasos a la derecha, ya que el signo negativo nos dice que hay que movernos en el sentido opuesto a lo que sería para Para "8 + 2" nos movemos 8 pasos a la derecha, y luego 2 pasos a la derechaya que estamos sumando Por cualquier camino, terminaremos llegando a +10. Restando Enteros Slide 102 / 239 Cualquier resta puede convertirse en suma haciendo lo siguiente: Cambiando el signo de resta al de suma. Cambiando el entero después del signo de resta por su opuesto. Ejemplos: 5 - (-3) es lo mismo que es lo mismo que (-17)

35 46 Convertir el problema de resta en un problema de suma. Slide 103 / A B 8 + (-4) C -8 + (-4) D Convertir el problema de resta en un problema de suma. -3 (-10) Slide 104 / 239 A B 3 + (-10) C -3 + (-10) D Covertir el problema de resta en un problema de suma Slide 105 / 239 A B 9 + (-3) C -9 + (-3) D 9 + 3

36 49 A Convertir el problema de resta en un problema de suma. 6 (-2) Slide 106 / 239 B 6 + (-2) C -6 + (-2) D A B 1 + (-9) C -1 + (-9) D Convertir el problema de resta en un problema de suma. 1-9 Slide 107 / 239 Slide 108 / 239 REPASO Suma y Resta con Enteros Return to Table of Contents

37 51 Calcular la suma o resta Slide 109 / Calcular la suma o resta Slide 110 / Calcular la suma o resta. 7 (-4) Slide 111 / 239

38 54 Calcular la suma o resta. 4 7 Slide 112 / Calcular la suma o resta. 5 + (-5) Slide 113 / Calcular la suma o resta. 9 + (-8) Slide 114 / 239

39 57 Calcular la suma o resta (-5) Slide 115 / Calcular la suma o resta. -2 (-3) Slide 116 / Calcular la suma o resta (-12) Slide 117 / 239

40 60 Calcular la suma o resta (-7) Slide 118 / Calcular la suma o resta (-3) + 5 Slide 119 / Calcular la suma o resta (-9) - 21 Slide 120 / 239

41 63 Calcular la suma o resta (-12) - 11 Slide 121 / 239 Slide 122 / 239 Multiplicando Enteros Return to Table of Contents Símbolos Slide 123 / 239 Hasta ahora, ustedes han usado el símbolo "x" para indicar multiplicación. Por ejemplo "3 veces 4" puede ser escrito como 3 x 4. Sin embargo, esto será un problema más adelante ya que la letra "x" es usada en Álgebra como una variable. Hay dos caminos que usaremos para indicar una multiplicación: 3 veces 4 será escrito como 3 4 o 3(4). Otros símbolos usados comúnmente en multiplicación son los siguientes: * [ ] { } ( ) Por ejemplo "3 veces 4" podría ser escrito como: 3*4 3[4] 3{4} 3(4)

42 Paréntesis Slide 124 / 239 El segundo método mostrado en la multiplicación, 3 (4), es poniendo el segundo número entre paréntesis. Los paréntesis también se han utilizado para otros propósitos. Cuando queremos sumar -3 a 4 lo escribimos como 4 + (-3), lo cual es más claro que poner Además, cualquier operación que esta entre paréntesis se hace primero. La manera de escribir que queremos restarle 4 a 6 y luego dividirlo por 2 sería (6-4) / 2 = 1. Al quitar los paréntesis se produciría 6-4/2 = 4, ya que trabajamos de izquierda a derecha. Multiplicando Enteros Slide 125 / 239 La multiplicación es simplemente una forma rápida de escribir varias sumas. Todos éstos son equivalentes: Todos ellos son igual a 12. Multiplicando Enteros Slide 126 / 239 Ya conocemos como sumar usando la recta numérica. Vamos a hacer lo mismo con la multiplicación realizando una suma repetida. Para ello vamos a empezar en cero y luego simplemente vamos a ir adicionando repetidamente: o Debemos obtener el mismo resultado por cualquier camino, en este caso, 12.

43 Hagamos 4 x 3 sobre la recta numérica. Lo haremos como y también como Slide 127 / Intentemos hacer 5 x 2 sobre la recta numérica. Slide 128 / 239 Lo haremos como 5+5 y también como Multiplicando Enteros Negativos Slide 129 / 239 Vamos a utilizar el mismo método para determinar las reglas para multiplicar enteros negativos. Si tenemos 4 x (-3) podemos pensar esto como que a (-3) lo sumamos por sí mismo 4 veces. Pero no sabemos como pensar en sumar el 4 a sí mismo -3 veces, así que vamos a obtener nuestra respuesta de la siguiente manera: 4 x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)

44 4 x (-3) Sobre la Recta Numérica Slide 130 / x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3) Así podemos ver que 4 x (-3) = -12 Regla de los Signos para la Multiplicación de Enteros Slide 131 / Al multiplicar enteros positivos el resultado es positivo. 4(-3) (-3) + (-3) + (-3) -12? Al multiplicar un entero negativo y un entero positivo el resultado es negativo. Qué pasa cuando multiplicamos dos números enteros negativos? Cuál es el signo de (-4)(-3)? Multiplicando Enteros Negativos Slide 132 / 239 No podemos sumar algo a sí mismo un número negativo de veces; no sabemos que significa eso. Pero podemos pensar en nuestra regla anterior, donde un signo (-) nos dice que debemos cambiar el sentido (-2) =

45 Multiplicando Enteros Negativos Slide 133 / 239 Así que si pensamos en (-4)(-3) como -(4)(-3) podemos ver que la respuesta será el opuesto a (-12), es decir, +12. Cada signo negativo nos hace cambiar de sentido una vez, así que dos signos negativos multiplicados entre sí nos lleva de nuevo al sentido positivo. Regla de los Signos para la Multiplicación de Enteros Al multiplicar enteros positivos el resultado es positivo. Slide 134 / 239 4(-3) (-4) + (-4) + (-4) -12 (-4)(-3) -((-4) + (-4) + (-4)) -(-12) 12 Al multiplicar un entero negativo y un entero positivo el resultado es negativo. Al multiplicar dos enteros negativos el resultado es positivo. Multiplicando Enteros Slide 135 / 239 Cada vez que multipliques por un número negativo, cambiarás de signo. Al multiplicar por un número negativo harás que la respuesta sea negativa. Al multiplicar por un segundo número entero negativo cambiará la respuesta para volver a ser positivo. 1(-3) = -3-3(-4) = 12

46 Multiplicando Enteros Slide 136 / 239 Cuando multiplicamos dos números con el mismo signo (+ o -), el producto es positivo. Cuando multiplicamos dos números con diferentes signos, el producto es negativo. Multiplicando Enteros Slide 137 / 239 También podemos ver estas reglas cuando observamos los siguientes patrones: 3(3) = 9-5(3) = -15 3(2) = 6-5(2) = -10 3(1) = 3-5(1) = -5 3(0) = 0-5(0) = 0 3(-1) = -3-5(-1) = 5 3(-2) = -6-5(-2) = 10 3(-3) = -9-5(-3) = Cuál es el resultado de 3 7? Slide 138 / 239

47 65 Cuál es el resultado de 5(-4)? Slide 139 / Cuál es el resultado de -3(-6)? Slide 140 / Cuál es el resultado de (-3)(-9)? Slide 141 / 239

48 68 Cuál es el resultado de -8 7? Slide 142 / Cuál es el resultado de -5(-9)? Slide 143 / Cuál es el resultado de 4(-2)(5)? Slide 144 / 239

49 71 Cuál es el resultado de -2(-7)(-4)? Slide 145 / Cuál es el resultado de 6(3)(-8)? Slide 146 / 239 Slide 147 / 239 Dividiendo Enteros Volver al Indice

50 Símbolos de División Slide 148 / 239 Seguramente has usado más frecuentemente el símbolo " " para representar la división. Otros símbolos usados son "/" y " " También se representa a la división como una fracción. Recuerda que:: = 3 3 = 3 Ambas son maneras diferentes de mostrar una división. Dividiendo Enteros Slide 149 / 239 La división es la operación inversa de la multiplicación, asi como la resta es la operación inversa de la suma. Cuando divides un entero, por un número, estas buscando cuantas veces al segundo número deberías sumarlo para obtener el primer número. Por ejemplo, ya que 5 2 = 10, esto significa que podríamos dividir a 10 en 5 veces 2, o 2 veces 5. Esto es justo lo que hacíamos sobre la recta numérica para la multiplicación, pero hacia atrás. Intentemos hacer 10 2 Resolver 10 2 sobre la recta numérica Es decir, cuantas longitudes de 2 sería necesario sumar para llegar a 10. Slide 150 / La respuesta es 5: el número de flechas rojas de longitud 2 que de extremo a extremo dan una longitud total de 10.

51 Resolver 10 5 sobre la recta numérica Es decir, cuantas longitudes de 5 serían necesarias sumar para obtener 10. Slide 151 / La respuesta es 2: el número de flechas verdes de longitud 5 que, de extremo a extremo, dan un total de longitud Sobre la recta numérica Slide 152 / 239 Esto puede leerse como cuantos pasos de longitud 3 debo hacer para llegar a Cada flecha roja representa un paso de longitud 3, para que podamos ver que = -4 (La respuesta es negativa porque los pasos son a la izquierda.) Dividiendo Enteros = -5 Slide 153 / = -5 Sabemos que -5(3) = -15, así que tiene sentido que = -5. También sabemos que 3(-5) = -15. Así que, Cuál es el valor de -15-5? El valor debe ser 3 positivo, porque 3(-5) = -15

52 Dividiendo Enteros Slide 154 / 239 El cociente de dos números enteros positivos es positivo. El cociente de un número entero positivo y un entero negativo es negativo. El cociente de dos números enteros negativos es positivo. 73 Encuentra el valor de 32 4 Slide 155 / Encuentra el valor de Slide 156 / 239

53 75 Encuentra el valor de Slide 157 / 239 Slide 158 / Encuentra el valor de Encuentra el valor de 0-13 Slide 159 / 239

54 Slide 160 / 239 Potencias de Númeos Enteros Return to Table of Contents Potencias de Números Enteros Slide 161 / 239 La potencia es una manera rápida de escribir una multiplicación repetida, al igual que una multiplicación es una manera rápida de escribir una suma repetida. Todas las siguientes maneras de expresión son equivalentes: En este ejemplo 2 es elevado a la cuarta potencia. Esto significa que al 2 lo multiplico por sí mismo 4 veces. Potencia de Número Enteros Slide 162 / 239 Bases y Exponentes Cuando "elevamos un número a una potencia", El número con el cual comienza se llama base, y el número que potenciamos se llama exponente. La expresión completa se llama potencia. 2 4

55 Cuando un número es escrito como una potencia, esta escrito en forma exponencial. Si lo resolvemos, es decir, si multiplicamos la base y simplificamos la respuesta, el número esta escrito en la forma estándar. Slide 163 / 239 EJEMPLO: 3 5 = 3(3)(3)(3)(3) = 243 Potencia Notación Expandida Forma Estándar Tratemos de hacer: 1. Escribir 5 3 en la forma estándar. 2. Escribir 7(7)(7)(7)(7)(7)(7) como una potencia. 78 Cuál es la base en esta expresión? 3 2 Slide 164 / Cuál es el exponente en esta expresión? 3 2 Slide 165 / 239

56 80 Cuál es la base en esta expresión? 7 3 Slide 166 / Cuál es el exponente en esta expresión? 4 3 Slide 167 / Cuál es la base en esta expresión? 9 4 Slide 168 / 239

57 Cuadrados Cuadrados - Al elevar un número a la potencia 2 se dice que calculamos su cuadrado. Slide 169 / es dos al cuadrado, y 4 es el cuadrado de es tres al cuadrado, y 9 es el cuadrado de es cuatro al cuadrado, y 16 es el cuadrado de Area 2 x 2 = 4 unidades 2 Area = 3 3 x 3 = 4 9 unidades 2 3 Area = 4 x 4 = 16 unidades 2 4 Slide 170 / 239 Esto viene del hecho de que el área de un cuadrado cuyos lados tienen longitud 3 es 3x3 o 3 2 = 9; El área de un cuadrado cuyos lados tienen longitud 5 es 5x5 o 5 2 = 25; Cuál sería el área de un cuadrado con lado de longitud 6? Cubos Cubos - Al elevar un número a la potencia 3 se dice que calculamos su cubo. Slide 171 / es dos al cubo, y 8 es el cubo de es tres al cubo, y 27 es el cubo de es cuatro al cubo, y 64 es el cubo de 4 Esto viene del hecho de que el volumen de un cubo cuyos lados tienen longitud 3 es 3x3x3 o 3 3 = 27; El volumen de un cubo cuyos lados tienen longitud 5 es 5x5x5 o 5 3 = 125; etc.

58 Vamos a hacer 2 2 sobre la recta numérica Slide 172 / = 2 x 2 Implica viajar una distancia de 2, dos veces. a Vamos a hacer 3 2 sobre la recta numérica. Slide 173 / = 3 x 3 = = 9 Implica viajar una distancia de 3, tres veces Hagamos 2 3 sobre la recta numérica. 2 3 = 2 x 2 x = (2 x 2) x 2 Primero, viajamos una distancia de 2, 2 veces: = 4 x 2 = 8 Luego, viajamos una distancia de 4, dos veces: 8 Slide 174 /

59 Hagamos 4 2 sobre la recta numérica. Slide 175 / = 4 x 4 = = 16 Viajar una distancia de 4, cuatro veces Hagamos 2 4 sobre la recta numérica. Slide 176 / = 2 x 2 x 2 x = 2 x 2 x 2 x 2 Primero, una distancia de 2, dos veces: = 4 x 2 = 8 x 2 Luego, viajamos una distancia de 4, dos veces: = 8 x 2 = 16 Y por último, viajamos una distancia de 8, dos veces: Evaluar 3 2. Slide 177 / 239

60 84 Evaluar 5 2. Slide 178 / Evaluar 8 2. Slide 179 / Evaluar 5 3. Slide 180 / 239

61 87 Evaluar 7 2. Slide 181 / Evaluar 2 2. Slide 182 / 239 Todas las siguientes expresiones son equivalentes: Slide 183 / Si ahora tomamos (-3) 4 (-3)(-3)(-3)(-3) 81 En este ejemplo aún así obtenemos 81. Por qué?

62 Slide 184 / 239 Si tomamos (-3) 3 Esto es equivalente a (-3)(-3)(-3) Que es igual a -27 Por qué es este ejemplo negativo? 89 Evaluar (-5) 2. Slide 185 / Resolver (-2) 3. Slide 186 / 239

63 91 Resolver (-4) 4. Slide 187 / Resolver (-7) 2. Slide 188 / Resolver (-3) 5. Slide 189 / 239

64 Recordemos...todas estas expresiones son equivalentes: (-3) (-3)(-3)(-3)(-3) En ambos ejemplos el resultado es 81. Slide 190 / 239 Si tomamos Nos da -81 Esta respuesta es negativa porque representa el opuesto de 3 4. Nota: Cuando no hay paréntesis, resolvemos el exponente primero y luego aplicamos el signo negativo!! 94 Resolver Slide 191 / Resolver Slide 192 / 239

65 96 Resolver Slide 193 / Resolver Slide 194 / Resolver Slide 195 / 239

66 Slide 196 / 239 Reglas de la Potenciación Volver al índice Reglas de la Potenciación - Multiplicación Slide 197 / 239 Solo se puede multiplicar directamente números que tienen exponentes si las bases son las mismas. Si las bases son las mismas, se coloca la misma base y se suman los exponentes. (4 3 )(4 2 ) = 4 (3+2) = 4 5 La explicación a esto es la siguiente: (4 3 )(4 2 ) = (4x4x4)(4x4) = 4x4x4x4x4 = 4 5 Esto se cumple para cualquier base, no solo para 4, así que esta regla siempre funciona. 99 (5 4 )(5 3 ) = 5? Slide 198 / 239

67 100 (4 3 )(4 2 ) = 4? Slide 199 / (3 7 )(3 1 ) = 3? Slide 200 / (2 4 )(2-2 ) = 2? Slide 201 / 239

68 103 (15 8 )(15 3 ) = 15? Slide 202 / (6 4 )(6-8 ) = 6? Slide 203 / (4 3 )(4 2 )(4 5 ) = 4? Slide 204 / 239

69 106 (2 4 )(2 5 )(2 7 ) = 2? Slide 205 / (6 4 )(6? ) = 6 10 Slide 206 / (5 7 )(5? ) = 5 3 Slide 207 / 239

70 Reglas de la Potenciación - División Se pueden dividir directamente los números que tienen exponente si las bases son las mismas. Slide 208 / 239 Si las bases son las mismas, se coloca la misma base y se resta al exponente del numerador el del denominador = 7 (5-3) = = 7x7x7x7x7 = = 7x7x7 Esto se cumple para cualquier base, no solo para 7, esta regla funciona siempre = 5? Slide 209 / = 7? Slide 210 / 239

71 = 9? Slide 211 / = 3? Slide 212 / = 8? Slide 213 / 239

72 = 8? Slide 214 / (5 5 )(5 3 ) 5 2 = 5? Slide 215 / ? = 9 5 Slide 216 / 239

73 ? = 6 13 Slide 217 / ? 4 8 = 4 3 Slide 218 / 239 Reglas de la Potenciación - Exponente cero CUALQUIER base diferente de cero al ser elevada al exponente cero es igual a uno. Slide 219 / 239 Considerando el siguiente patrón de potencias: 2 3 = 8 _ = = 2 _ 2 _ = 1

74 =? Slide 220 / =? Slide 221 / (-5) 0 =? Slide 222 / 239

75 =? Slide 223 / 239 Reglas de la Potenciación - Potencia de otra potencia Slide 224 / 239 Qué sucedería si una potencia es elevada a otra potencia? Vemos que... (3 4 ) 2 = 3 4 (3 4 ) = [3(3)(3)(3)][3(3)(3)(3)] = 3 8 (a 3 ) 4 = (a 3 )(a 3 )(a 3 )(a 3 ) = a(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a) = a 12 Qué puedes notar? Simplificando: (5 2 ) 6 Movamos la caja para ver la regla... (x m ) n = x mn 123 (3 8 ) 3 = 3? Slide 225 / 239

76 124 (13 9 ) 12 = 13? Slide 226 / (2 8 ) 5 = 2? Slide 227 / (11 4 ) 8 = 11? Slide 228 / 239

77 Reglas para la Potenciación - Exponentes Negativos Considerando el siguiente patrón de potencias: 2 3 = 8 _ = 4 _ 2 Slide 229 / = = = 2-2 = 2-3 = _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 Exponentes Negativos Considerando el patrón de potencias para cualquier número distinto de cero: Slide 230 / = Entonces, = 5 2 = 1 _ = =? Dar la respuesta como una fracción Slide 231 / 239

78 =? Slide 232 / =? Slide 233 / =? Slide 234 / 239

79 =? Slide 235 / =? Slide 236 / =? Slide 237 / 239

80 =? Slide 238 / 239 Slide 239 / 239