CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 2015/16

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1 CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 2015/16 Grado en Matemáticas Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla renato/clases.html

2 De qué va esta asignatura?

3 De qué va esta asignatura? Dada una función, por ejemplo, f (x) = saberlo todo sobre ella: 2x 1 + x 2 queremos 1 f(x)

4 De qué va esta asignatura? Dada una función, por ejemplo, f (x) = saberlo todo sobre ella: 2x 1 + x 2 queremos 1 f(x) Tiene máximos y mínimos? dónde? Cómo se comporta si x ±? Cúal es el área bajo f entre 2 y 5?

5 De qué va esta asignatura? Dada una función, por ejemplo, f (x) = saberlo todo sobre ella: 2x 1 + x 2 queremos 1 f(x) Tiene máximos y mínimos? dónde? Cómo se comporta si x ±? Cúal es el área bajo f entre 2 y 5? Si hacemos rotar la gráfica de f alrededor del eje 0X cúal es el volumen del cuerpo que se genera por la gráfica entre digamos, 5 y 5?

6 De qué va esta asignatura? Dada una función, por ejemplo, f (x) = saberlo todo sobre ella: 2x 1 + x 2 queremos 1 f(x) Tiene máximos y mínimos? dónde? Cómo se comporta si x ±? Cúal es el área bajo f entre 2 y 5? Si hacemos rotar la gráfica de f alrededor del eje 0X cúal es el volumen del cuerpo que se genera por la gráfica entre digamos, 5 y 5? Parece un poco abstracto no?

7 Siempre un poco de historia viene bien. La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga

8 Siempre un poco de historia viene bien. La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga Calculando en área de una curva (Fermat) 0 x 1 x 2 x 3... x n 1 a

9 Siempre un poco de historia viene bien. La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga Calculando en área de una curva (Fermat) A f (x 1 )(x 1 0) + f (x 2 )(x 2 x 1 )+ + f (a)(b x n 1 ) 0 x 1 x 2 x 3... x n 1 a

10 Siempre un poco de historia viene bien. La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga Calculando en área de una curva (Fermat) A f (x 1 )(x 1 0) + f (x 2 )(x 2 x 1 )+ + f (a)(b x n 1 ) x k = bk n n(n+1)(2n+1) A 6n 3 a 3 a3 3 0 x 1 x 2 x 3... x n 1 a

11 Siempre un poco de historia viene bien. La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga Calculando en área de una curva (Fermat) A f (x 1 )(x 1 0) + f (x 2 )(x 2 x 1 )+ + f (a)(b x n 1 ) 0 x 1 x 2 x 3... x n 1 a x k = bk n(n+1)(2n+1) A n 6n 3 a 3 a3 3 x k =q n k a 3 a A 1+q+q 2 + [ ]q3(n 1)

12 Qué vamos a necesitar?

13 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales

14 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad

15 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones

16 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones 4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad

17 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones 4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad 5 Integración de funciones

18 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones 4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad 5 Integración de funciones 6 Series numéricas y de potencias

19 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones 4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad 5 Integración de funciones 6 Series numéricas y de potencias 7 Sirve para algo?

20 Qué vamos a necesitar? 1 Propiedades básicas de los números reales 2 Concepto de ĺımite y su utilidad 3 Sucesiones y funciones 4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad 5 Integración de funciones 6 Series numéricas y de potencias 7 Sirve para algo? SI es la base junto al AL de casi todas las demás asignaturas, pero además, como luego veremos, este es el lenguaje que describe el mundo que nos rodea.

21 Metodología La asignatura está dividida en 2 horas teóricas y 2 horas prácticas semanales.

22 Metodología La asignatura está dividida en 2 horas teóricas y 2 horas prácticas semanales. Ordenador!

23 Metodología La asignatura está dividida en 2 horas teóricas y 2 horas prácticas semanales. Ordenador! Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principales conceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos que permitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.

24 Metodología La asignatura está dividida en 2 horas teóricas y 2 horas prácticas semanales. Ordenador! Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principales conceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos que permitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos. Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversos ejercicios que permitan al alumno una comprensión más profunda de los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clases teóricas.

25 Metodología La asignatura está dividida en 2 horas teóricas y 2 horas prácticas semanales. Ordenador! Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principales conceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos que permitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos. Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversos ejercicios que permitan al alumno una comprensión más profunda de los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clases teóricas. En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa de cálculo símbolico/numérico para resolver problemas.

26 PROGRAMA DE LA ASIGNATURA Primer cuatrimestre 1 Números y funciones 2 Introducción al concepto de ĺımite 3 Continuidad y derivabilidad Renato Álvarez

27 PROGRAMA DE LA ASIGNATURA Primer cuatrimestre 1 Números y funciones 2 Introducción al concepto de ĺımite 3 Continuidad y derivabilidad Renato Álvarez Segundo cuatrimestre 1 La integral como herramienta 2 Sucesiones y series de números Manuel Ordóñez (Teoría) Luis Bernal (problemas)

28 Temario de la asignatura: 1 o cuatrimestre Capítulo I: Números y funciones Números y operaciones: Los números reales y sus propiedades. Operaciones con números. El valor absoluto y la distancia. Intervalos. El método de inducción. El axioma del supremo. Funciones elementales: Las funciones elementales, sus propiedades y sus gráficas: polinomios, funciones racionales, funciones trigonométricas y sus inversas, el logaritmo, la función exponencial y las funciones hiperbólicas.

29 Temario de la asignatura: 1 o cuatrimestre Capítulo II:Introducción al concepto de ĺımite Introducción a las sucesiones numéricas: Límite de sucesiones numéricas. Convergencia y sucesiones monótonas. Primeras propiedades. Límite de funciones: Límites de funciones: definición y propiedades.

30 Temario de la asignatura: 1 o cuatrimestre Capítulo III: Continuidad y derivabilidad Continuidad: Funciones continuas. Tipos de discontinuidades: funciones monótonas. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Bolzano y Weierstrass. Derivadas: Definición de la derivada de una función. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas. Propiedades de las funciones derivables: teoremas de Rolle y del valor medio. Aplicaciones de las derivadas: Aplicación el estudio del crecimiento de funciones y de sus extremos relativos. Aplicación al cálculo de ĺımites: la regla de L Hopital. Derivadas sucesivas: el polinomio de Taylor. Aplicación: estudio de la concavidad y convexidad de funciones.

31 Temario de la asignatura: 2 o cuatrimestre Capítulo IV: La integral como herramienta La integral de Riemann: La integral de Riemann. Propiedades. Teoremas fundamentales del cálculo integral. Métodos para el cálculo de primitivas Aplicaciones de la integral: Área de conjuntos planos. Longitud de curvas planas. Volumen de cuerpos en R 3. Área de superficies de revolución. Aplicaciones en otras ciencias.

32 Temario de la asignatura: 2 o cuatrimestre Capítulo V: Más de Sucesiones y series de números Sucesiones de números: Convergencia de sucesiones y el criterio de Cauchy. Sucesiones no convergentes. Series de números: Definición y propiedades. Series de términos positivos: criterios de convergencia. Series con signo arbitrario. Los números complejos: Operaciones y conjugación. Forma polar: potencias y raíces.

33 Bibliografía muy básica APOSTOL, T.M. Calculus I. Ed. Reverté. COURANT, R., y JOHN, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático I y II, Ed. Limusa. (en inglés en Ed. Springer) KUDRIÁVTSEV, L.D. Curso de Análisis Matemático I y II, Ed. Mir. SPIVAK, M. Calculus. Ed. Reverté. V A. ZORICH, Mathematical Analysis I (Springer, 2004) Problemas DEMIDOVICH, B.P problemas de Análisis Matemático. Ed. Paraninfo. GUZMÁN, M.; RUBIO, B. Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático. 3 vol. Ed. Pirámide. LIASHKÓ, y otros. Matemática Superiores. Problemas Resueltos I, II y III (Anti-Demidovich), Ed. URSS.

34 Evaluación Se realizarán cuatro pruebas escritas a lo largo del curso, correspondientes a los siguientes grupos de temas: Primera prueba: temas 1, 2, 3 y 4. Segunda prueba: temas 5, 6 y 7. Tercera prueba: temas 8, 9 y 10. Cuarta prueba: temas 11, 12 y 13.

35 Evaluación Se realizarán cuatro pruebas escritas a lo largo del curso, correspondientes a los siguientes grupos de temas: Primera prueba: temas 1, 2, 3 y 4. Segunda prueba: temas 5, 6 y 7. Tercera prueba: temas 8, 9 y 10. Cuarta prueba: temas 11, 12 y 13. Estas pruebas se evaluarán sobre 10 puntos cada una. Será necesarios un mínimo de 4 puntos en cada prueba y al menos 20 puntos para aprobar la asignatura. En todo caso, el resultado de las pruebas tendrá caracter liberatorio respecto de la convocatoria de junio de la asignatura. PROYECTOS

36 Evaluación Se realizarán cuatro pruebas escritas a lo largo del curso, correspondientes a los siguientes grupos de temas: Primera prueba: temas 1, 2, 3 y 4. Segunda prueba: temas 5, 6 y 7. Tercera prueba: temas 8, 9 y 10. Cuarta prueba: temas 11, 12 y 13. Estas pruebas se evaluarán sobre 10 puntos cada una. Será necesarios un mínimo de 4 puntos en cada prueba y al menos 20 puntos para aprobar la asignatura. En todo caso, el resultado de las pruebas tendrá caracter liberatorio respecto de la convocatoria de junio de la asignatura. PROYECTOS 1er parcial: febrero de 2016, 2do parcial: junio de ra convocatoria del examen final: junio de da convocatoria del examen final: septiembre de 2016.

37 Evaluación Se realizarán cuatro pruebas escritas a lo largo del curso, correspondientes a los siguientes grupos de temas: Primera prueba: temas 1, 2, 3 y 4. Segunda prueba: temas 5, 6 y 7. Tercera prueba: temas 8, 9 y 10. Cuarta prueba: temas 11, 12 y 13. Estas pruebas se evaluarán sobre 10 puntos cada una. Será necesarios un mínimo de 4 puntos en cada prueba y al menos 20 puntos para aprobar la asignatura. En todo caso, el resultado de las pruebas tendrá caracter liberatorio respecto de la convocatoria de junio de la asignatura. PROYECTOS 1er parcial: febrero de 2016, 2do parcial: junio de ra convocatoria del examen final: junio de da convocatoria del examen final: septiembre de diciembre NO

38 Horario de Clases y Tutorías Horario de Clases: Martes y jueves de 11:30 a 13:30 Lugar: Aula EC02 (Edificio Fac. Matemáticas).

39 Horario de Clases y Tutorías Horario de Clases: Martes y jueves de 11:30 a 13:30 Lugar: Aula EC02 (Edificio Fac. Matemáticas). Pero tengo qué venir a clase?

40 Horario de Clases y Tutorías Horario de Clases: Martes y jueves de 11:30 a 13:30 Lugar: Aula EC02 (Edificio Fac. Matemáticas). Pero tengo qué venir a clase? Horario de Tutorías: Lunes de 11:00 a 12:00, miércoles y viernes de 11:00 a 13:30. Lugar: Despacho (Módulo 15, 1 o piso de la Facultad de Matemáticas). Aconsejable pedir cita

41 Horario de Clases y Tutorías Horario de Clases: Martes y jueves de 11:30 a 13:30 Lugar: Aula EC02 (Edificio Fac. Matemáticas). Pero tengo qué venir a clase? Horario de Tutorías: Lunes de 11:00 a 12:00, miércoles y viernes de 11:00 a 13:30. Lugar: Despacho (Módulo 15, 1 o piso de la Facultad de Matemáticas). Aconsejable pedir cita Cambios de clase, etc

42 DATOS RELEVANTES Profesor Renato Álvarez Despacho: 1 a planta, Mod 15, No Facultad de Matemáticas. ran@us.es Teléfono: Web del curso: renato/clases.html