(Approach From: Both (general); Left, Right (laterales)) - Simplify. , x = a es la ecuación de una asíntota vertical

Transcripción

1 Derive es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que podemos definir como programas para ordenadores personales (PC) que sirven para trabajar con matemáticas usando las notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el número pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que consideran sólo una aproximación (3'45...). Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas, integrales, límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener capacidades gráficas (representación de curvas y funciones) y, por supuesto, capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor de las calculadoras. Capacidades: Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas Operaciones con vectores, matrices y determinantes. Resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. Derivadas, integrales (definidas e indefinidas), series, límites, polinomios de Taylor. Representación gráfica de funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y en coordenadas polares. Representación gráfica de funciones de dos variables.

2 ANÁLISIS DE FUNCIONES CON DERIVE. Clasificar la función (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, ) 2. Dominio 3. Representar función 4. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con el eje OX Puntos de corte con el eje OY 5. Simetrías f(-x) = f(x) simétrica respecto del eje de ordenadas f(-x) = -f(x) simétrica respecto del origen 6. Asíntotas (hallar y representar) Limit (Approach From: Both (general); Left, Right (laterales)) - Simplify Asíntotas Verticales Si existe a tal que lim f(x) = ± x a, x = a es la ecuación de una asíntota vertical Nota: Si es una función racional, a son las raíces del denominador que no lo sean del numerador (Raíces de un polinomio o expresión Solve Expresión ) Asíntotas Horizontales Si lim f(x) = b, y = b es una asíntota horizontal x ± Nota: Hay que hallar por separado los límites cuando x + y cuando x Asíntotas Oblicuas Si m = lim(f(x)/x) n = lim(f(x)-mx) x ± x ±, y = mx + n es una asíntota oblicua Nota: Hay que hallar por separado los límites cuando x + y cuando x 7. Máximos y mínimos relativos - Crecimiento y decrecimiento Condición necesaria de máximo y mínimo es que f (x 0 )=0 Función derivada Calculus Differentiate Orden Simplify Valor de la función derivada en un punto Simplify Nota: Si no hay máximos y mínimos, el crecimiento y decrecimiento se estudia con las asíntotas verticales (a ojo) Crecimiento y decrecimiento Si f (x 0 )>0, f es creciente. Si f (x 0 )<0, f es decreciente 8. Puntos de inflexión y curvatura (concavidad y convexidad) f (x 0 )>0 cóncava, f (x 0 )< 0 convexa Si f (x 0 )=0 y en dicho punto cambia la curvatura, x 0 es punto de inflexión

3 DERIVE 5 INTRODUCCIÓN OPERADORES CTES + - sqrt ê (#e): e = 2,7... *. blanco! î (#i): - / ln π (pi): 3,4... ^ exp(n): ê^n (inf) EXPRESIONES (Operaciones Aritméticas) Simplificar Normal (=) Valor exacto (Racional (entero, decimal exacto o decimal periódico) o Irracional (decimal no exacto ni periódico)). Aproximar ( ) Valor aproximado (Decimal (se puede establecer el nº de dígitos)). Resaltar expresiones/subexpresiones Teclas F3 y F4 Operar con etiquetas (ej.: # + #3) POLINOMIOS Simplificar Normal (=): simplifica el polinomio. Expandir: desarrolla el polinomio (Binomio de Newton). Factorizar: descomposición factorial (esta opción también es válida para factorizar un número). Sustituir Variable (SUB): resultado del polinomio para valores concretos de su/s variable/s. OPERACIONES CON POLINOMIOS: Operadores: +, -, *. blanco quotient y remainder ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Resolver Expresión (Resolver algebraicamente) - Raíces de un polinomio - Soluciones de una ecuación - Soluciones de una inecuación Resolver Sistema - Sistemas de ecuaciones lineales - Sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro Sistema - Compatible - Determinado - Indeterminado - Incompatible

4 DERIVE 5 VECTORES Y MATRICES VECTORES Editar (Autor) - Vector Los elementos del vector quedan escritos entre corchetes y separados por coma. Dimensión de un vector (nº elementos): DIMENSION Módulo o Norma de un vector: ABS (derive la expresa escribiendo el vector entre ) Suma/Diferencia de vectores: +,- Multiplicación de un vector por un escalar: operador del producto (*. blanco) Producto escalar de dos vectores: operador del producto (*. blanco) Producto vectorial de dos vectores: CROSS (para vectores con el mismo nº de elementos (2 ó 3)). MATRICES Editar (Autor) - Matriz Multiplicación (* blanco) y división ( / ) de una matriz por un escalar. Suma/Resta de matrices (+,-): deben tener la misma dimensión. Producto de matrices (. ): sólo puede realizarse si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El resultado será una matriz con tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Potencia ( ^ ): la matriz debe ser cuadrada. Traspuesta (acento grave (`) detrás): cambiar las filas por las columnas. Matriz inversa (^-): la matriz debe ser cuadrada y su determinante distinto de cero. Determinante de una matriz: DET (la matriz debe ser cuadrada). Rango de una matriz: RANK (indica el número de vectores linealmente independientes). Traza de una matriz cuadrada: TRACE. Es la suma de los elementos de su diagonal. IDENTITY_MATRIX(n): matriz cuadrada cuyos elementos son nulos salvo en la diagonal principal, que toman el valor.

5 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE PRINCIPALES COMANDOS DE DERIVE-5 PARA EL ÁLGEBRA LINEAL. En este apartado vamos a introducir las principales operaciones que DERIVE realiza en el cálculo vectorial y cálculo matricial. 7.. VECTORES Y MATRICES EN DERIVE. Declaración de vectores en DERIVE. En DERIVE los vectores se pueden introducir de dos formas distintas: (a) mediante la secuencia de comandos Editar(Autor)-Vector EJEMPLO Definir utilizando Editar(Autor)-Vector el vector de componentes (,2,3,8) Solución: Aplicamos el comando Editar(Autor)-Vector, en el campo dimensión indicamos el número de elementos del vector, en este caso 4 pulsamos (enter) o pinchamos en Si y luego vamos introduciendo una a una las componentes del vector pulsando la tecla del Tabulador después de escribir cada una de ellas al final resulta la expresión

6 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 0 (b) introduciendo directamente el vector con Editar(Autor)-Expresión: obtenemos la misma expresión anterior. EJEMPLO 7.. Editar los vectores: (3,4,5,7), (,6,9,-0) y (9,2,3,). Solución: Con Editar(Autor)-Expresión introducimos Declaración de matrices en DERIVE. En DERIVE las matrices se pueden definir de dos formas: (a) Mediante la secuencia de comandos Editar(Autor)-Matriz (b) Empleando el comando Editar(Autor), es decir editando directamente. EJEMPLO 7.2. t 4 Editar la matriz utilizando los dos métodos anteriores. 5 3 t 2 Solución: (a) Aplicamos la secuencia Editar(Autor)-Matriz, DERIVE nos pregunta sobre el número de filas y columnas de la matriz, en este caso indicamos que tiene 2 filas y 3 columnas a continuación iremos introduciendo los elementos de la matriz. Para introducir los diferentes elementos de la matriz podemos utilizar la tecla de tabulación para irnos moviendo de una casilla a otra. Podemos asimismo observar que en la parte inferior de la línea de edición nos indica el elemento que estamos introduciendo

7 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 02 al finalizar aparece en la ventana de álgebra la expresión (b) El segundo método consiste en editar la matriz como un vector de vectores fila. En consecuencia editando y al pulsar (enter) obtenemos nuevamente la expresión anterior. Dar nombre a un vector o a una matriz. En general, lo más operativo en álgebra matricial suele ser el dar nombre a la matriz o vector que hemos introducido utilizando la sintaxis: (Nombre de vector o matriz) := (matriz o vector) EJEMPLO 7.3. Definir los vectores u=(3,5,6,-3), v=(4,3,-9,-8). Solución. Para editar directamente vectores en DERIVE basta con introducir las componentes entre corchetes, así para editar el primer vector introducimos la expresión u:=[3,5,6,-3] el segundo se obtiene escribiendo v:=[4,3,-9,-8] lo cual en DERIVE se muestra como EJEMPLO 7.4. Definir en DERIVE las matrices cuadradas dadas por A = 2 2 B =

8 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 03 Solución: Editemos las expresiones resultando así en la ventana de álgebra 7.2. OPERACIONES CON VECTORES. Dados dos vectores u, v definidos en DERIVE, con ciertos valores numéricos o funcionales según hemos comentado en el apartado anterior, las siguientes operaciones se obtienen editando las expresiones indicadas y simplificando a continuación para obtener el resultado: (a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES u+v ó u-v (b) PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES u.v (c) NORMA DE UN VECTOR abs(u) (d) DIMENSION DE UN VECTOR dimension(u) (e) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR a* u (a es escalar) (f) EXTRAER EL ELEMENTO K-ESIMO DE UN VECTOR element(u,k) (g) AÑADIR ELEMENTOS A UN VECTOR append(u,v), su resultado es un vector que contiene todas las componentes de u y a continuación las de v. EJEMPLO 7.5. Dados los vectores u = (,3,4, 9) y v = (2,0,3,4). Calcular (a) u + v (b) u v (c) u. v (d) Calcular la norma de ambos vectores. (e) 3u 5v (f) Extraer la tercera componente del vector u (g) Añadir a los elementos de u los de v.

9 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 04 Solución. En primer lugar, definamos los vectores del problema escribiendo las expresiones u:=[,3,4,-9] y v:=[2,0,3,4] (a) La suma se obtiene editando u+v y simplificando (b) La diferencia se calcula editando u-v de tal forma que al simplificar resulta (c) El producto escalar se obtiene mediante u.v (d) La norma del vector u se obtiene editando y simplificando abs(u) de igual forma se calcula la norma de v (e) Editando 3u-5v, al simplificar se obtiene el vector deseado (f) Mediante la edición de element(u,3) tras simplificar resulta (g) Aplicamos el comando Editar(Autor) e introducimos la expresión append(u,v) que al simplificar nos da 7.3. OPERACIONES CON MATRICES. Dadas dos matrices A y B, en DERIVE se pueden realizar las siguientes operaciones, sin más que editar la expresión indicada y simplificar: (a) SUMA DE DOS MATRICES A+B (b) DIFERENCIA DE DOS MATRICES A-B (c) PRODUCTO DE MATRICES A.B (d) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ A` ojo es el acento grave `! (este símbolo se puede introducir o bien a través del teclado o bien a través de los símbolos que aparecen en la ventana de edición ) (e) PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR α.a (f) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA det(a) (g) TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA trace(a) (h) INVERSA DE UNA MATRIZ NO SINGULAR A^(-) (i) INTRODUCCION DE MATRIZ IDENTIDAD DIMENSION N identity_matrix(n)

10 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 05 (j) EXTRAER EL ELEMENTO a ij DE UNA MATRIZ element(a,i,j) (k) EXTRAER LA FILA J-ESIMA DE UNA MATRIZ element(a,j) (l) AÑADIR UNA FILA A UNA MATRIZ append(a,matriz fila) (m) MATRIZ REDUCIDA DE GAUSS-JORDAN row_reduce(a) (n) MATRIZ REDUCIDA DE LA MATRIZ A AUMENTADA POR B row_reduce(a,matriz B) (o) POTENCIA N-ESIMA A^n EJEMPLO Dadas las matrices A = 0 2 3, B = 4 2, C = Calcular si es posible: (a) A+B, A-B, A+C. (b) AB, BA, AC, CA (c) C t A (d) 3 A-4BC, 2AC+ ½ BC (e) det(a), det(b), det(c) (f) A -, B - (g) Comprobar que A.Id=A (h) tr(a), tr(b) (i) Efectuar 3 a 2-5a 3, (j) Obtener la matriz reducida de Gauss-Jordan de A y de B (k) Calcular la inversa de A utilizando el cálculo de matriz reducida de Gauss- Jordan (l) A 3, B 4 Solución. En primer lugar definimos las tres matrices (a) Editando las expresiones A+B, A-B al simplificar se obtiene

11 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 06 por último si editamos y simplificamos A+C resulta que no es una expresión matricial, ya que A y C son matrices con distinto orden y por tanto no se pueden sumar. (b) Si se edita A.B resulta Editando B.A al simplificar se obtiene de donde se deduce que el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO. De igual forma se procede con las expresiones A.C y C.A C.A no se puede calcular como se muestra en la última expresión.

12 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 07 (c) Efectuamos (d) La operación a desarrollar es que como se observa no se puede realizar. Sin embargo, si se puede calcular cuyo resultado es (e) Una posible forma de obtener el resultado de operaciones es, en vez de editar y luego simplificar, introducir la expresión seguida de un = y al pulsar (enter) se efectua la operación indicada. Así, si editamos al pulsar (enter) se obtiene Utilizando este método se obtiene Obsérvese que no se ha podido calcular el determinante de C, ya que no es una matriz cuadrada. (f) Editando A^(-)= resulta

13 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 08 La inversa de B no se puede calcular puesto que como hemos visto en el apartado anterior es una matriz singular y, por ello, no tiene inversa. (g) La matriz identidad de orden 3 se edita con la expresión identity_matrix(3), por tanto la comprobación de la igualdad planteada se obtiene introduciendo A.identity_matrix(3)= (enter) que es la matriz A. (h) Procediendo como en apartados anteriores se obtiene (i) Editando 3*element(A,,2) 5*element(A,,3)= (enter) o Si, resulta (j) La matriz reducida de Gauss-Jordan de A se obtiene con y la matriz de Gauss-Jordan de B mediante Como la matriz A es invertible, su matriz reducida resulta ser la matriz identidad, hecho que no sucede con B, al ser una matriz singular. (k) El proceso de Gauss-Jordan, puede servirnos para calcular la inversa de una matriz, para ello bastará con construir una matriz formada en la subcaja izquierda por la matriz a invertir y en la subcaja derecha por la matriz identidad del orden correspondiente, de esta forma si editamos row_reduce(a,identity_matrix(3))= al pulsar (enter) se obtiene

14 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 09 que es una matriz que tiene en la subcaja de la izquierda la matriz identidad (si la matriz inicial es invertible) y en la subcaja de la derecha su inversa. Obsérvese lo que sucede si intentamos lo mismo con la matriz B que no tiene inversa: (l) Por el mismo procedimiento que en apartados anteriores los cálculos se realizan editando las expresiones correspondientes y se obtienen las expresiones 7.4. FUNCIONES DEFINIDAS EN FICHEROS DE UTILIDADES. En DERIVE existen ficheros que contienen definiciones de funciones que únicamente pueden utilizarse si está cargado el fichero de utilidades correspondiente. Uno de los más utilizados de álgebra es el VECTOR.MTH. En este archivo, tenemos varias operaciones predefinidas entre las que destacaremos las siguientes: (a) CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ A: rank(a) (b) ADJUNTA DE UNA MATRIZ CUADRADA: adjoint(a) (matriz de adjuntos transpuesta) (c) ELIMINAR UNA FILA DE UNA MATRIZ A: delete_element(a,k) (NOTA: como VECTOR.MTH es un fichero de utilidades colgado en el directorio de utilidades del programa, es posible utilizar funciones del fichero sin necesidad de tener que cargar el mismo, esto no sucede cuando creamos ficheros de utilidades propios, como es el caso del fichero ALGEBRA.MTH, creado por nosotros. Por norma general y para facilitar el trabajo siempre cargaremos los ficheros de utilidades mediante la secuencia que describimos a continuación).

15 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 0 Asimismo, en el fichero de utilidades ALGEBRA.MTH podremos encontrar las funciones que calculan (d) PRODUCTO DE KRONECKER DE DOS MATRICES: prod_kronecker(a,b) (e) CLASIFICACION DE UNA MATRIZ CUADRADA tipo_matriz(a) Se ilustran algunas de estas funciones en el siguiente ejemplo. EJEMPLO Dadas las matrices A = 0 2 3, B = 4 2, C = 4. Calcular: (a) El rango de cada una de ellas. (b) La inversa de las matrices no singulares utilizando la fórmula de la adjunta. (c) Construir una matriz que contiene las dos primeras columnas de la matriz A y las dos últimas de la matriz B utilizando las funciones delete_element y append. (d) Obtener Kronecker(A,C) (e) Determinar el tipo de matriz de A, B y C. Solución: En primer lugar debemos editar las tres matrices A continuación procederemos a resolver cada uno de los apartados. (a) Para obtener el rango podemos optar por aplicar la función RANK, que se encuentra en el fichero de utilidades VECTOR.MTH, en cuyo caso deberemos cargarlo previamente mediante la secuencia de comandos Archivo-Leer- Utilidades

16 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra tras lo cual aparece una ventana en la que debemos buscar el subdirectorio MATH y una vez seleccionado este directorio, podemos elegir el fichero Vector, o bien escribir directamente su nombre en Nombre de archivo:

17 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 2 Podemos observar que aparece una expresión en DERIVE que nos indica la operación que hemos realizado: A continuación editamos las expresiones rank(a)= (enter) rank(b)= (enter) rank(c)= (enter) y se obtiene (b) De las tres matrices anteriores únicamente es no singular y cuadrada la matriz A por consiguiente es la única que podemos invertir. La matriz inversa de A calculada a partir de la matriz adjunta se obtiene editando la expresión (/det(a)).adjoint(a) (enter) y resulta (c) La función delete_element(a,k) da lugar a una matriz a la que hemos eliminado la fila k-ésima. Como deseamos eliminar columnas, deberemos de eliminar filas de su transpuesta y luego transponer, es decir, con delete_element(a`,k)` borramos la k-ésima columna de la matriz A. En consecuencia la operación que debemos considerar para suprimir la última columna de A es construir la matriz A editando

18 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 3 A:=delete_element(A`,3)` Aplicando podemos comprobar que es la submatriz de A que buscamos Por otro lado como deseamos tan solo las dos últimas columnas de B, definimos B editando la expresión B:=delete_element(B`,)` nuevamente simplificando comprobamos que B esta formada por las dos últimas columnas de la matriz B Por último como deseamos construir una matriz formada por las columnas de las matrices A y B, editamos append(a`,b`)`= (enter) y resulta (d) Para aplicar la función prod_kronecker(a,c), necesitamos cargar el fichero de utilidades ALGEBRA.MTH. Una vez disponible en memoria editando la expresión prod_kronecker(a,c)= resulta (e) Para clasificar matrices tenemos definida en el fichero ALGEBRA.MTH una función que clasifica una matriz cualquiera, la función en cuestión se edita tipo_matriz(nombre de la matriz), y después de simplificar se obtiene

19 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 4 es decir, A no es una matriz clasificable dentro de los tipos de matrices fundamentales. Este hecho se puede comprobar de forma visual en algunos casos y de forma experimental en otros. Lo mismos hacemos para la matriz B, editamos tipo_matriz(b) y al simplificar resulta que únicamente es una matriz POSITIVA. Por último con la matriz C, de forma similar se obtiene EJERCICIO 4. Dadas las matrices A = , B = Calcular: a) A+B; b) A 2 -B 2 c) A -.B t d) Determinante de A e) C - y comentar el resultado , C = EJERCICIO 42. Utilizando la función VECTOR definir un vector tal que sus elementos son los cubos de los 7 primeros números naturales. EJERCICIO 43. Dados los vectores u = (,3,4,0 ), v = ( 2,0,, ). (a) Determinar si el vector 3u 4v es perpendicular con el vector u. (b) Es un vector unitario? EJERCICIO 44.

20 Principales comandos de DERIVE-5 para el álgebra 5 Dada la matriz = M. Se pide (a) Determinar su rango. (b) Calcular su inversa, si es posible, utilizando el método de Gauss-Jordan. (c) Calcular el producto de Kronecker de esta matriz M, por la matriz ( ) 2 = C y comprobar que no es conmutativo. EJERCICIO 45. Dada la matriz cuadrada = a a a a a N a) Obtener para qué valores de a el rango es máximo. b) Calcular su inversa para a=0.

21 DERIVE /0derive/03determderive.htm of 9 0/02 /2 00 6:57 DETERMINANTES DERIVE Archivo de prácticas: determinantes.mth 3.. CÁLCULO DE DETERMINANTES Para introducir una matriz pulsa el icono de la barra de herramientas y especifica el número de filas y columnas. En el panel que aparece introduce los elementos pulsando la tecla tabuladora para pasar al siguiente. Por último, pulsa el botón Sí o Simplificar. Introduce la siguiente matriz: Pulsa el icono de introducción de expresiones o pulsa F2 y escribe det(#). Pulsa Intro. Aparecerá en pantalla la expresión Det de la matriz anterior. Para obtener su valor pulsa el icono Simplificar,. Si la matriz no se encuentra en la línea, cambia # por su #n correspondiente. También puedes introducir la matriz directamente con sus filas entre corchetes. Introduce y simplifica la siguiente expresión: det([2, ; 3, 5] ) No olvides los corchetes. Comprueba el resultado.

22 DERIVE /0derive/03determderive.htm of 9 0/02 /2 00 6:57 También podemos asignar un nombre a la matriz para poder utilizarla sin volver a escribirla. Sitúa el cursor sobre la matriz (seguramente en la línea #). Mientras la matriz anterior permanece resaltada, pulsa F2 (o el icono de introducción de expresiones), introduce a:= y pulsa la tecla F3. Se copiará toda la matriz. Por último, pulsa Intro. Es preciso escribir a:= en vez de a= porque se trata de una asignación y no de una ecuación. Introduce y simplifica las siguientes expresiones: det(a) det(a`) det(2a) det(a^2) det(a^-) Recuerda que a`es la traspuesta de a ( con acento grave `en vez de agudo ), y a^- es la inversa a -. Para modificar la matriz a basta situar el cursor sobre ella, pulsar F2 para abrir la ventana de introducción de expresiones y una vez en ella pulsar F3 para copiarla. Modifica algún elemento y pulsa Intro al acabar. Luego, coloca el cursor sobre alguna de las expresiones anteriores, como det(a). Al simplificar con matriz. Practica. Halla los siguientes determinantes: se aplicará la nueva Qué ha ocurrido en el último ejemplo? 2. Halla el determinante det( [ a, ;, ] ). Si obtienes un resultado extraño, se debe a que la variable a tenía asignada un valor como matriz. Para limpiarla introduce a:= y pulsa Intro. No lo olvides en los ejercicios que incluyan literales. 3. Halla los determinantes que aparecen en las páginas 78, 82 y 85 del libro. 4. Halla los siguientes determinantes y compara los resultados con las expresiones aprendidas en clase ( no nombres las siguientes matrices con una letra igual a alguno de sus elementos):

23 DERIVE /0derive/03determderive.htm 3 of 9 0/02 /2 00 6:57 5. Calcula: 6. Resuelve los ejercicios, 5 y 8 de la página 95 del libro PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Introduce la matriz a:= [3,, 2 ; 4, -, ; 2, 3, ]. Halla det(a) y anota el resultado. Introduce y simplifica det(a`). Confirma tras pulsar Intro que se trata del determinante de la matriz traspuesta. Observa al obtener su valor que coincide con det(a). Redefine la matriz a con una línea de ceros. Para ello, coloca el cursor sobre la definición anterior, pulsa F2 ( o el icono ) y a continuación F3. Sustituye alguna línea (cada corchete es una fila) por ceros. Comprueba el nuevo valor de det(a). Redefine la matriz a para que tenga dos líneas iguales (por ejemplo, dos de los corchetes). Comprueba que el nuevo valor de det(a) coincide con el anterior. Para restituir el valor de a basta situar el cursor sobre la definición original y pulsar. Redefine la matriz a permutando dos líneas (por ejemplo, dos de los corchetes). Comprueba que el nuevo valor de det(a) cambia de signo. Comprueba que si haces dos permutaciones (fila por 2 y 2 por 3, por ejemplo), el determinante vuelve a ser el original, porque hay dos cambios de signo. Redefine la matriz a multiplicando una fila por 2. Comprueba que el nuevo valor de det(a) es 2 multiplicado por el inicial. Halla también det(2a) y analiza la diferencia. Cuántas filas se han multiplicado por 2? Redefine la matriz a sustituyendo una fila por 3 veces otra de las filas. Comprueba que det(a) se anula. Redefine la matriz a añadiendo a una de las filas otra fila multiplicada por 5. Comprueba que el nuevo valor de det(a) coincide con el inicial. Practica 7. Comprueba los ejemplos que aparecen en las páginas 78 y 79 del libro. En los apartados 7 y 8 sustituye los literales por constantes. 8. Comprueba los ejemplos que aparecen en las páginas 82 y 83 del libro. En los apartados 7, 9 y 0 considera matrices concretas. 9. Comprueba el ejercicio resuelto en la página 83 y los ejercicios propuestos. 0. Comprueba los ejercicios resueltos y propuestos de la página 84. Vamos a volver a comprobar propiedades de los determinantes de otra forma. Asigna los siguientes valores: a:= [3,, ] b:= [5, 0, 2] c:= [-2, 3, ] n:= [0, 0, 0]. Introduce, simplifica e interpreta los siguientes determinantes: det [a, b, c] DERIVE considera una matriz como un vector de vectores (filas).

24 DERIVE /0derive/03determderive.htm 4 of 9 0/02 /2 00 6:57 det [a, b, c]` Como ` es un acento, no aparecerá hasta que pulses un espacio. det [b, a, c] det [b, c, a] det [c, b, a] det [a, c, b] det [a, a, b] det [a, n, b] det [a, 2a, b] det [2a, 7a, 5a] det [5a, b, c] det [3a, 5b, -2c] det [3a, 3b, 3c] det [2 b, 3a, c] det [a, a+b, c] det [a, b+5a, c+2a -3b] det [a, 5b+a, c] Analiza este resultado. det [a, 5a-3b, 2a+3c] Simplifica la matriz antes de hallar el det erminante obsérvala. Recuerda el método de Gauss. det [a, 5a-3b, (5a-3b)-5(2a+3c)] Simplifica antes la matriz y observa. det [a, b-5a/3, c+2a/3] det [a, b-5a/3, c-3a+b/5] Si una matriz es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Por qué en los dos ejemplos anteriores solo en el segundo caso coincide el determinante con el de [a, b, c]? 2. Introduce una nueva matriz-fila d:= [7, 3, 0] y halla los siguientes determinantes: det [a, b, c] det [a, d, c] det [a, b+d, c] Aquí aparece otra propiedad. Enúnciala. 3. Comprueba los ejercicios resueltos de la página 80 del libro y resuelve los ejercicios propuestos. 4. Comprueba el ejercicio 3 de la página 95 del libro MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO Introduce la siguiente matriz: m:= [7, -5, -2, 9, 3 ; 2, 4, 6, 3, 6 ; 9, 3, 0, 8, 2 ; 5,, -, -2, 0] La expresión DELETE_ELEMENT(m, i) permite eliminar la fila i de la matriz m. Podemos utilizarla para hallar el menor complementario de un elemento dado. Habrá que utilizar las traspuestas para eliminar columnas. Introduce la siguiente función para obtener la submatriz complementaria de un elemento a ij de una matriz m: MINOR(m, i, j):= DELETE_ELEMENT(DELETE_ELEMENT(m, i)`, j)` Si la matriz no es cuadrada, debemos utilizar la función MINOR repetidas veces. Si queremos eliminar solo una fila o una columna, debemos especificar j=0 o i=0, respectivamente. Puedes hacerlo sucesivamente, o directamente. Por ejemplo, para obtener el menor que aparece en la página 85 del libro debes introducir y simplificar sucesivamente las expresiones: También puedes introducir directamente: a:= MINOR(m, 2, 0), b:= MINOR(a, 0, ) y c:= MINOR(b, 0, 3). a:= MINOR(MINOR(MINOR(m, 2, 0), 0, ), 0, 3).

25 DERIVE /0derive/03determderive.htm 5 of 9 0/02 /2 00 6:57 Para practicar, introduce una matriz m:= [3, 2, 4 ; -2, 0, 3 ;, -, ] y a continuación simplifica MINOR (m, 2, ). Comprueba que obtienes el menor resultante de eliminar la fila 2 y la columna. En realidad obtienes la submatriz. El menor será DET(MINOR(m, 2, )). Halla DET(m) y comprueba que coincide con las siguientes expresiones: 3*DET(MINOR(m,, ))-2*DET(MINOR(m,, 2))+4*DET(m,, 3)) Desarrollo por la primera fila. -2*DET(MINOR(m,, 2)) -*DET(MINOR(m, 3, 2)) Desarrollo por la segunda columna. SUM(m j*det(minor(m,, j), j,, 3) Desarrollo por la fila j. Este último resultado es erróneo debido al signo de uno de los adjuntos. Para corregirlo introduciremos el factor (-)^(i+j). Modifica con F3 la expresión anterior: SUM((-)^(+j)*m j*det(minor(m,, j), j,, 3) Comprueba que si multiplicamos los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela el resultado es 0. Multiplica los elementos de la fila por los adjuntos de la fila 2: SUM((-)^(2+j)*m j*det(minor(m, 2, j), j,, 3) Usa F3. Crea la siguiente herramienta para desarrollar un determinante por la fila i: DESADJUNT(m, i):= SUM((-)^(i+j)*m i j*det(minor(m, i, j)), j,, DIMENSION(m)) Al incluir DIMENSION(m) podemos aplicarlo a matrices de orden distinto a 3.

26 DERIVE /0derive/03determderive.htm 6 of 9 0/02 /2 00 6:57 Comprueba su validez simplificando : DESADJUNT(m, ) DESADJUNT(m, 2) DESADJUNT(m, 2) Introduce una nueva matriz cuadrada de orden 4, a:= [3,4,,2 ; 5,-,3,2 ; 5,3,,0 ; 4,6,,-3], y utiliza la función anterior en la forma DESADJUNT(a, ). Comprueba si coincide con DET(a). Aplícalo a otras filas. Practica 5. Comprueba los ejercicios resueltos de la página 86 y 87. Contrasta el resultado con el valor obtenido directamente con la función DET(a). 6. Desarrolla los determinantes por otras filas o columnas. Para desarrollar por una columna utiliza la matriz traspuesta m` recordando que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 7. Resuelve los ejercicios y 3 propuestos en la página 87 del libro y los de la página 88 (no necesitas hacer ceros) DETERMINANTES CON PARÁMETROS Y LITERALES Vuelve a calcular el determinante DET([k,, ;, k, ;,, k]). Con la expresión resultante resaltada pulsa el icono Resolver,. Asegúrate de que la incógnita es k. Los valores obtenidos son las raíces del polinomio en k, es decir, los valores que anulan el determinante. En DERIVE si no se especifica =0, se asume por defecto. Halla, simplificando el polinomio resultante en el siguiente determinante: DET[x, 4, ;, x, ; x, 2x+3, x] Con el resultado resaltado abre el menú Simplificar de la barra superior y elige la opción Factorizar. Tras aceptar pulsando en Sí las opciones que aparecen, obtendrás la descomposición en factores. Pulsa el icono Resolver para obtener las raíces y observa su relación con los factores. Practica 8. Obtén el siguiente determinante: Halla su descomposición factorial. Observa los siguientes determinantes. Trata de analizar el efecto que tendrán las modificaciones introducidas sobre el determinante anterior y predecir los valores que anularían el determinante. Comprueba tus previsiones con DET y factorizando o resolviendo el resultado.

27 DERIVE /0derive/03determderive.htm 7 of 9 0/02 /2 00 6:57 Influye x? Observa la diagonal principal. Si sumas a una fila las otras dos, qué factor puedes extraer? 9. Resuelve la siguiente ecuación: Para ello introduce la expresión Det[, 0, ; x,, 0 ; 0, x, x]+5=det[ 7, 0 ; 0, ], simplifica y por último resuelve en x la ecuación resultante. 20. Observa los siguientes determinantes y trata de predecir su valor. Prevé los valores de x, y y k que los anulan. Posteriormente hállalos con DERIVE, haz su descomposición factorial y contrasta tus previsiones: 2. Resuelve los ejercicios 4 y 7 de la página 95 del libro, y el 3 de la página Resuelve los ejercicios 5, 6 y 7 de la página 97 del libro RANGO DE UNA MATRIZ Puedes obtener el rango de una matriz eligiendo un menor distinto de cero y añadiéndole filas y columnas. Los determinantes a calcular en el proceso pueden obtenerse con DERIVE.

28 DERIVE /0derive/03determderive.htm 8 of 9 0/02 /2 00 6:57 Considera la matriz que aparece en la página 89 del libro. Para estudiar su rango introduce la siguiente submatriz correspondiente a un menor no nulo: Compruébalo con DET(a). a:= [, -5 ; 3, 0] A continuación, sitúa el cursor sobre la anterior definición de a, abre la ventana de introducción de expresiones y pulsa F3 para copiarla. Modifica la definición añadiendo una fila y una columna: Halla de nuevo DET(a) para comprobar que no es cero. a:= [, -5, 0 ; 3, 0, 6 ; 2, 5, - ] Modifica a para añadir sucesivamente las dos columnas restantes: a:= [, -5, -3, 0 ; 3, 0, -, 6 ; 2, 5, 2, - ;, 0, 5, -5 ] a:= [, -5, 0, 6 ; 3, 0, 6, -2 ; 2, 5, -, 0 ;, 0, 5, 0 ] Comprueba que DET(a)=0. Comprueba que DET(a)=0. Como no hay más columnas nuevas, concluimos que el rango es 3. No es preciso que añadas las columnas en el mismo orden pues ello solo afecta al signo del determinante. Practica 23. Comprueba en forma análoga a la anterior el ejercicio resuelto en la página 90 del libro y resuelve los ejercicios propuestos. 24. Resuelve el ejercicio 6 de la página 95 del libro. 25. Resuelve el ejercicio de la página Resuelve el ejercicio 2 de la página 97 del libro. "Resuelve" cada determinante para detectar los valores que lo anulan y prueba con ellos si se anulan los demás. 27. Resuelve los ejercicios 2 y 4 de la página 96 del libro. En el archivo de utilidades VECTOR.MTH se incluye la función RANK(a) que permite obtener directamente el rango de una matriz a. Puedes utilizarlo sin que aparezcan las definiciones en pantalla con la opción de menú Archivo + Leer + Utilidades (el archivo se encuentra en la carpeta DfW5/Mth). 28. Utiliza la función RANK(a) para comprobar los ejercicios anteriores EXPRESIONES EN FORMA DE DETERMINANTES 29. Introduce y simplifica las siguientes expresiones con determinantes: a^2=det[ b, c ; -c, b ] DET[ s inx, -cosx ; cosx, sinx ]= OBSERVACIÓN: introduce previamente la expresión [a:=, b:=, c:=, d:= ] para limpiar las variables de sus valores anteriores. 30. Expresa con determinantes las siguientes expresiones:

29 DERIVE /0derive/03determderive.htm 9 of 9 0/02 /2 00 6:57 sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin 2 a = 2 sin a cos a cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a 3. Simplifica las siguientes expresiones con determinantes. Su significado lo verás en próximas unidades: ECUACIÓN DE UN PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS ECUACIÓN DE UN PLANO DETERMINADO POR UN PUNTO Y DOS VECTORES VOLUMEN DE UN TETRAEDRO DETERMINADO POR SUS CUATRO VÉRTICES