Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Unidad Sistemas de ecuaciones lineales PÁGINA SOLUCIONES. Las soluciones son: a) La solución es 4, b) La solución es 4,,. Llamando el número de personas que juegan a cartas, el número de personas que charlan el número de personas que bailan e imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: Luego ha 4 personas en la reunión. 6

2 PÁGINA 69 SOLUCIONES. La solución queda: Restando la primera igualdad a la segunda obtenemos: Arturo Carlos 0 Sumando a ésta la tercera obtenemos: Arturo Diana 64 Esta igualdad es la misma que tenemos en cuarto lugar. Luego no es posible determinar el peso de cada uno a que nos queda un sistema indeterminado con más incógnitas que ecuaciones. El sistema tiene una única solución si reemplaamos la tercera igualdad, sustituéndola por la epresión: Arturo Carlos 74 Kg con lo cual obtenemos que: Arturo pesa Kg; Berta pesa 7 Kg; Carlos pesa 4 Kg Diana pesa Kg.. En la siguiente tabla podemos ver todas las situaciones que se pueden plantear:

3 En todos los casos lleva cinta roja ecepto en (), () (6). () no es posible, pues en esta situación Luis hubiera sabido que su cinta era roja, a que si hubiera sido amarilla Ana hubiera sabido el color de la sua. () no es posible pues en esta situación ana hubiese dicho que su cinta era roja. (6) no es posible, pues en esta situación Luis hubiera dicho que su cinta era roja. Por tanto en todos los demás casos la de Clara es roja.. Queda así:,, 6, 0,, Es una progresión aritmética de º orden su término general es por tanto: n n, Vamos a probarlo por inducción: Suponemos que es cierto para n, n,, n n veamos si es cierto para n n. Habría que ver si esa igualdad es cierta. Operando el segundo miembro: Es cierta esta igualdad. Por tanto queda probado que para «n» se cumple:

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5 SOLUCIONES. Las soluciones son: a) La solución es,. b) El sistema es incompatible. c) El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son: t, t con t. d) La solución es,, 0. e) Las soluciones son: 7 t, t, t con t. f) El sistema no tiene solución.. Queda así: a) Por ejemplo, la ecuación añadida para que el sistema sea incompatible es. b) La ecuación añadida para que el sistema sea compatible indeterminado puede ser.. Queda: a) Si m, el sistema es incompatible. b) Si m, el sistema es compatible indeterminado. c) Si m m, el sistema es compatible determinado. d) El valor de m es Queda: a) Sean 0 A a 0 * A 0. a El rango de A es independientemente del valor de a. El determinante de A es A a. Discusión: Si a, el rango de A es el rango de A * es. El sistema es compatible determinado su solución es: a 6a 7 a a a Si a, el rango de A es el rango de A * es. El sistema es incompatible.

6 b) Sean 0 A * A 0 a. 0 El rango de A es para cualquier valor de a. El sistema es siempre compatible determinado su solución es: a a a c) Sean A a a * A a 4 El rango de A es para cualquier valor de a. El determinante de A* es A a a 7. Discusión: Si a a, el rango de A es el rango de A * es. El sistema es incompatible. Si a, el rango de A es el rango de A* es. El sistema es compatible determinado su solución es ;. Si a -, el rango de A es el rango de A* es. El sistema es compatible determinado su solución es 0;.. Queda: a) El rango de A es el rango de A * es. El sistema es compatible determinado las dos rectas se cortan en el punto de coordenadas 7/; /. b) El rango de A es el rango de A * es. El sistema es compatible indeterminado los tres planos se cortan en una recta. c) El rango de A es el rango de A * es El sistema es compatible determinado los tres planos se cortan en el punto de coordenadas,; -0,; -,6. 6. Queda del siguiente modo: a) Si a -, el rango de la matri A es el rango de A* es. El sistema es compatible determinado los tres planos se cortan en un punto. Si a, el rango de A es el rango de A* es. El sistema es incompatible los tres planos se cortan dos a dos. 6

7 b) Si a, el rango de la matri A es el rango de A* es. El sistema es compatible determinado los tres planos se cortan en un punto. Si a, el rango de A es el rango de A* es. El sistema es incompatible de los tres planos dos coinciden el tercero es paralelo a los dos anteriores. c) Si a, el rango de la matri A es el rango de A* es. El sistema es compatible determinado las dos rectas se cortan en un punto. Si a, el rango de A es el rango de A* es. El sistema es compatible indeterminado las dos rectas coinciden. 7. Queda: a) Si k el sistema es compatible indeterminado. La solución de este sistema en este caso es la siguiente: t, t, t t. Si k el sistema es compatible indeterminado. Su solución es: t, 0, t t Si k k el sistema es compatible determinado su solución es: 0 ; 0; 0 b) Si k el sistema es compatible indeterminado. La solución de este sistema en este caso es la siguiente: t, 7 t, 9t t. Si k el sistema es compatible determinado su solución es la trivial: 0 ; 0; 0 7

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9 9 SOLUCIONES. Llamando,, al precio por unidad de cada uno de los ingredientes obtenemos el siguiente sistema: 4 7 Cada unidad de A cuesta a euros, cada una de B a euro cada una de C a euros. 9. Llamando a los kg de cacao, e a los kg de almendra, queda: ) ( kg de leche Imponiendo las condiciones del problema obtenemos: ( ) ( ) 0, ,6, Utilia 000 kg de cacao, 000 kg de almendra kg de leche. 0. Llamamos,, al precio de las localidades de los tres tipos. Obtenemos: 9 6 / / 9 / / La localidad de Fondo cuesta euros, la de General euros la de Tribuna 9 euros.. Llamamos al número de viajeros que pagan el billete entero, a los que pagan el 0% a los que pagan el 0%. Obtenemos: ,, Sea la edad de Andrés, la de Juan la de Luis: Andrés tiene 7 años Juan tiene años Luis tiene 9 años

10 . Llamando,, al número de vehículos que importa de las marcas A, B, C respectivamente, e imponiendo las condiciones del problema obtenemos: , (40 /00)( ) vehículos marca A 000 vehículos marca B 7000 vehículos marca C 4. Sean,, los valores de una chaqueta, una blusa un pantalón, respectivamente. El enunciado nos permite escribir el sistema: El sistema es compatible indeterminado sus soluciones pueden epresarse en la forma: 00 Si compramos chaquetas, un pantalón una blusa, nos cobrarán: (00 ) euros 0

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12 SOLUCIONES. Se tiene que: Las soluciones son: t t t ; ; con t 6. El sistema es incompatible. Las dos últimas rectas son paralelas la primera corta a ambas. 7. Queda: a) m m b) Si m m, el sistema es compatible determinado. Si m, el sistema es incompatible. Si m, el sistema es compatible indeterminado. c) Para m, la solución es:,. Queda: a) El sistema es compatible indeterminado sus soluciones en este caso vienen epresadas del siguiente modo: t t t,, con t. b) Con la ecuación, el sistema es compatible indeterminado. Con la ecuación, el sistema es compatible determinado. Con la ecuación, el sistema es incompatible.

13 9. Llamando,, a las edades del padre, madre e hijo, respectivamente, obtenemos: 0 40 años años 0 0 años 0. Llamando,, al número de hombres, mujeres niños que van de ecursión, obtenemos: Van de ecursión hombres, 7 mujeres niños.. Sea el numero Luego el número es 79.. La solución queda: a) 6 t A A El sistema pedido es: Y su única solución es 0 ; 0. b) A A t El sistema pedido es: Este sistema es compatible determinado su solución es: ;

14 . La solución queda: El lunes fueron al cine personas, el martes fueron fueron personas personas, por tanto, el miércoles 00 A partir del enunciado, obtenemos: 6 00 Personas El lunes hubo 00 espectadores, el martes hubo 00 espectadores, finalmente, el miércoles hubo 464 espectadores. 4. La discusión queda: Si t el sistema es compatible indeterminado. Si t el sistema es compatible indeterminado. Si t t el sistema es compatible determinado su única solución es la trivial 0 ; 0; 0. Si t la solución es: t t con t t Para la solución es: ; ; t Si t la solución del sistema es: 0 con t t Para la solución del sistema es: ; 0; 4