UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES

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María Teresa Soriano Muñoz
hace 6 años
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Profesor Alan Ravanal S. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales.

1 Profesor Alan Ravanal S. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: A + B = C D + E = F donde A, B, C, D, E F son números reales. Se denomina solución del sistema a todo par (, ) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades: I) Las rectas se intersectan en un punto, cuas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (fig. ). II) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. ). III) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no ha solución (fig. ). L fig. fig. fig. L L = L L L L L = (a, b) L L = L = L L L = (vacío) EJEMPLOS. El par ordenado (,) es solución del (de los) sistema(s): I) + = = II) = 8 = -7 III) + = + = 0 A) Sólo I Sólo I II Sólo I III Sólo II III E) I, II III

2 . Para que el par ordenado (, ) sea solución del sistema a + =, los valores de a b + b = 7 deben ser, respectivamente, A) E). La solución gráfica del sistema + = - + = es A) E) La figura, es la solución gráfica del sistema A) - = - - = - + = = fig. = = - + = = - - E) - + = =. En el sistema de ecuación + = =, las rectas I) Se cortan en el origen. II) Son coincidentes. III) Son paralelas no coincidentes. Es (son) verdadera(s) A) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II III E) I, II III

3 RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas eisten varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita. EJEMPLOS + = -. Sea el sistema = - otra, se obtiene. Despejando en una de las ecuaciones sustituéndola en la A) + 9 = 0 + = 0 = 0 = 0 E) = 0. En el sistema - = 6 - = -, utilizando el método por igualación resulta + A) = = 6 6 = ( + ) = 6 + E) -0 = 6 +. En el sistema obtiene = - 7 = 6, al eliminar la incógnita por el método de reducción se A) + 9 = 0 9 = = 0 6 = 0 E) 9 = 0

4 . Dado el sistema =, entonces el valor de es igual a 6 + = - A) 6 - E) -6. Dado el sistema 0, + 0, = -0,9, el valor de es 0, 0, = -0,6 A) - -0, 0 0, E) 6. Dado el sistema =, entonces es igual a + = 06 A) 90 0 E) 7. Si = 6 + = 9, entonces el valor de es A) 9 0 E) -

5 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc. EJEMPLOS. El enunciado: Un cuarto de la suma de dos números es 8 un tercio de su diferencia es, está representado por A) + = 8 = E) + = 8 = 8 + = = ( + ) = 8 ( ) = 8 ( + ) = ( ) =. Un niño con $ 0 compra dulces: unos de $ 0 otros de $. Cuántos dulces de $ 0 compró? A) 0 E)

6 . Un carpintero produce bancos sillas, en una semana fabrica piezas entre bancos sillas. Si se vende los bancos a $.000 las sillas a $.00, recibe $ 0.000, cuál es el sistema que permite determinar el número de bancos () de sillas ()? A) E) + = = = = = =.00 + = = = + 0 = La suma de dos números, e, es su diferencia es 0, cuál es el valor de cada uno de ellos? A) = = = - = E) = - = 9 = - 9 = 9 = 9 = - 9. Si el producto de dos números es 0 la suma de sus valores recíprocos es 0, entonces la suma de ellos es A) E) 60 6

7 EJERCICIOS. Para que el par ordenado (-,-) sea solución del sistema k t deben ser, respectivamente, k =, los valores de + t = 6 A) E) - 0. El par ordenado (, -) es solución del (los) sistema(s): I) = + = II) = - = III) = 8 + = 7 A) Sólo I Sólo I II Sólo I III Sólo II III E) I, II III. Dado el sistema + = 6 + = el valor de - es A) E) 7

8 + =. En el sistema = 9 se obtiene al despejar en la primera ecuación sustituéndola en la otra, A) 6 = 9 6 = 9 8 = 9 + = E) =. Al resolver el sistema + = + = 6 se obtiene como solución A) = 8, = - = - 8, = - = 8, = - = -, = 8 E) = 8, = 6. Si + =, entonces 7 = = A) E) 7. La intersección de las rectas = e = 9 es el punto A) (, 0) (-, 6) (6, ) (0, -) E) (6, -) 8

9 8. En el sistema + = a + b, el valor de es = a b A) a -b b -a E) a b 9. La solución gráfica del sistema = + = 8 es A) E) Cuál de los siguientes gráficos representa la intersección de la recta + = con la recta =? A ) E)

10 . Si m + n = a m n = b, entonces mn = A) a b (a b) (a + b) a b E) a b. Si p = 0 + p = 0, entonces = A) - - E). En el sistema de ecuaciones + = m n = m + n, el valor de es A) m n m + n m n E) m n. Si el sistema a b = 6 = a b, entonces a b = A) E) - 0

11 . La figura, es la solución gráfica del sistema A) + = = - + = = - + = = 6 fig. = + = E) + = - + = Dos pasteles un chocolate cuestan $ 90 tres pasteles un chocolate cuestan $.70. Cuánto cuesta un pastel? A) $ 700 $ 00 $ 0 $ 0 E) $ 0 7. Un pantalón (P) cuesta $.000 menos que el 0% de un abrigo (A). Si en la liquidación, después de una rebaja de $ 0.000, el abrigo quedó en $ 0.000, en cuál de las alternativas se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular el valor del pantalón del abrigo? A) P.000 = A P.000 = A A = A = P.000 = A A = P = A E) P = A A = A = 0.000

12 8. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, hace años tenía el triple de la edad que tenía Fernando. Cuál será la edad de Fernando dentro de años? A) años 0 años años 0 años E) años 9. La diferencia entre dos ángulos complementarios es 0º. Entonces, la suma entre el maor el doble del menor es A) 70º 0º 0º 60º E) 80º 0. A una función de teatro organizada por un colegio asistieron.000 personas, dejando $ por la venta de entradas, las cuales eran de dos tipos: galería que costaba $.000 platea que costaba $.000. Si se vendieron entradas de los dos tipos, cuántas personas asistieron a la platea? A) E) 60. Juan compra fichas en un casino, entre verdes rojas. Las fichas verdes valen $ 800 las rojas valen $ 00. Si el total gastado en ellas fue $ 6.900, entonces cuántas fichas verdes compró? A) E)

13 . El número de niños que asiste a una función de circo ecede en 0 al número de adultos. Si cada adulto paga $.000 cada niño $.000 hubo una recaudación total de $ , cuántos adultos asistieron a la función? A) 7 8 E). Entre dos ficheros A B tengo 0 fichas. Si del fichero A saco las coloco en el fichero B, ambos ficheros quedan con igual cantidad. Cuántas fichas había inicialmente en A? A) E) 8. Entre cerámica piso flotante necesito 70 m para arreglar la casa. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $ el metro cuadrado de piso flotante es un 0% más barato, cuál es la cantidad de metros cuadrados de cerámica e de piso flotante si se sabe que el costo total es $ ? A) = 0 = 0 = 70 = 00 = 0 = 0 = 8 = 86 E) = 60 = 0. En la oficina se acostumbra a comprar mensualmente 0 resmas de papel (R) 0 cartuchos de tinta (T) para impresora. Cierto mes se gastó $ , como al mes siguiente el cartucho de tinta subió en $ 00 la resma bajó $ 00 cada una, se hizo un pedido de resmas 6 cartuchos de tinta se gastó $ Cuál es el sistema de ecuaciones que permite conocer los precios de cada artículo? A) E) 0R + 0T = (R + 00) + 6(T 00) = R + 0T = (R 00) + 6(T 00) = R + 0T = (R 00) + 6(T + 00) = R + 0T = (R + 00) + 6(T + 00) = R + 0T = (R 00) + 6T =

14 6. Pepe tiene dos hijos. Él tiene 0 años más que su hijo maor. Se puede calcular la edad de Pepe, si se conoce : () La diferencia de las edades de sus hijos. () La suma de las edades de sus hijos. A) () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 7. Sean p q números enteros positivos. Se puede determinar el valor numérico de ellos si : () p = q 7 (p + q) = () q p = A) () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 8. En el sistema + = 9 + k = p,(a, b) es la solución si : () a = b = () a = b = A) () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional

15 9. Se puede determinar el valor numérico de a b a si : () a : b = : () a b = A) () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 0. Sean e números positivos distintos. Se puede determinar el valor numérico de la epresión si: + () + = 8 () = A) () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional

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