Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

Transcripción

1 UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CAMPUS VILLA NUEVA CURSO MATEMATICA FINANCIERA Lic. Manuel de Jesús Capos Boc DECIMA UNIDAD OPERACIONES A LORGO PLAZO ANUALIDADES Generalente se conoce coo anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos, cuando decios iguales no referios a su valor, todos por la isa cantidad, y cuando decios periódicos nos referios a que se realizan a intervalos iguales de tiepo. El nobre de anualidades no iplica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se dan a cualquier secuencia de pagos, iguales o diferentes, a intervalos regulares de tiepo, independienteente que tales pagos sean anuales, seestrales, triestrales o ensuales. Cuando en un país hay relativa estabilidad econóica, es frecuente que se efectúen operaciones ercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés siple o copuesto, coo en las anualidades. Cuando las cuotas que se entregan se destinan para forar un capital, reviven el nobre particular de iposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una deuda, se llaan aortizaciones. Las anualidades no son failiares en la vida diaria, coo: la renta, sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, prias de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de aortizaciones, alquileres, jubilaciones y otros. Aunque entre unas y otras existen odalidades y uchas diferencias. Sin ebargo, el tipo de anualidades al que se hará referencia en esta unidad, será el de anualidades de inversión, que incluyen interés copuesto, ya que en otras clases de anualidades no se involucra al interés. 1

2 -Eleentos de una anualidad En una anualidad intervienen los siguientes eleentos: 1.- RENTA: es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicaente (R)..- RENTA ANUAL: es la sua de los pagos hechos en un año (R). 3.- PLAZO: que es la duración de la anualidad. Tiepo que transcurre entre el inicio y el fin de la anualidad (n). 4.- PERIODO DE PAGO: que es el tiepo que transcurre entre un pago y otro (p). 5.- TASA: es el tipo que se fija en la operación. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el año (i); o noinal, se si capitaliza ás de una vez en el año (j) y (). POR EJEMPLO: Si usted es propietario de una casa que da en arrendaiento por Q 1, ensuales, con vigencia de un año. En este caso, los eleentos de la anualidad son: Renta = Q 1, ensuales. Renta anual = Q 18, (1, X 1 eses). Plazo = 1 año. Periodos de pago = 1 pagos (los doce eses) Si a edida que recibe esta renta la deposita en un banco, ganando interese copuesto del 10% anual (es la tasa), la sua que se acuularía en la cuenta al final del año, incluyendo los intereses, este sería el onto de la anualidad. Si el inquilino decidiera pagar por adelantado las rentas ensuales de todo el año, al firar el contrato de arrendaiento, el propietario del inueble recibiría en esa fecha una cantidad enor, que es su valor presente o actual, que podría invertir a interese copuesto del 10% anual. -Épocas de valuación a) Al final de la serie de pagos (valor futuro, valor al venciiento o onto). (Vencidas) AÑOS VALOR FUTURO VALOR AL VENCIMIENTO MONTO

3 EJEMPLO: Un asilo recibirá una donación de Q 5, al final de cada año, durante los próxios tres años. Si a edida que se recibirán dichas rentas, se depositan al 6% anual de interés. Cuánto se habría acuulado al final del plazo año 1 año año 3 F. F. X VALUACIÓN (S) b) Al inicio del plazo (valor actual o presente). (Anticipadas) AÑOS VALOR ACTUAL VALOR PRESENTE EJEMPLO: Supongaos que el asilo, en vez de recibir la anualidad por tres años, prefiere que el día de hoy se le entregue una sua global, equivalente a la referida renta. Qué sua se le deberá entregar anticipadaente F. F. año 1 año año 3 X VALUACIÓN (S) 3

4 c) En una época interedia entre el inicio y el final del plazo. En este caso especial, su valor está forado por el onto de la parte vencida y el valor actual de la parte que esta por vencer. (Diferidas) AÑOS VALOR INTERMEDIO VALOR ACTUAL VALOR PRESENTE VALOR FUTURO VALOR AL VENCIMIENTO MONTO POR EJEMPLO: La priera anualidad se valuará al finalizar el segundo año, cuando este pago este vencido; el segundo coincida con la fecha de valuación, el tercero este por vencer. F. F. año 1 año año 3 X VALUACIÓN -Tipos de anualidades Las anualidades que se tratarán en esta unidad, son ciertas y a térino fijo, porque su duración se estipula en térinos concretos, no dependen de ninguna eventualidad externa. Se conoce sus fechas de inicio y térino y su duración está liitada en el tiepo. De acuerdo a su odalidad de pago, estas anualidades se clasifican en: a) Ordinarias o vencidas: los pagos se realizan al final de cada periodo. b) Anticipadas o inediatas: las rentas se pagan al principio de cada periodo, es decir, por adelantado. c) Diferidas: la priera renta se paga periodos después que se foraliza la operación y no desde el principio. Un ejeplo es el de 4

5 copre ahora y paga después. anticipada. Pueden ser de renta vencida y Las anualidades a térino fijo con pago vencido, es el tipo ás frecuente de anualidades, cuyas rentas pueden ser una sola o varias al año, con tasa de interés efectivo o capitalizable una vez al año; o noinal, capitalizable ás de una vez por año. APLICACIÓN PROBLEMA No.1 Se han depositado en una cuenta de ahorro Q 1, al final de cada año, en un banco que abona el 6% anual de interés. Suponiendo que no se hiciera ningún retiro. Qué saldo deberá tener la cuenta al final de cinco años PARA DETERMINAR MONTOS TASA EFECTIVA un pago por año n S = R x ( 1 + i ) - 1 i p = i = n = S = 1, PAGO AL AÑO 5 S = 1, x ( 1 + ) - 1 S = 1, x ( 1.06 ) S = 1, x ( ) - 1 S = 1, x ( ) S = 1, x S = 5,

6 PROBLEMA No. Una epresa forará un fondo especial para acuular durante quince años la sua necesaria para renovar parte de su equipo de trabajo, para lo cual invertirá la sua de Q al final de cada es, a la tasa del 7% anual. Cuánto tendrá al finalizar el plazo varios pago por año p = i = n = S = n S = R x ( 1 + i ) PAGO AL AÑO / p ( 1 + i ) - 1 S = X ( ) / 1 ( ) - 1 S = X ( 1.07 ) ( 1.07 ) - 1 S = X ( ) - 1 ( ) - 1 S = X S = X S = 155,

7 PROBLEMA No.3 Cuál es el onto de una anualidad de Q 1, , pagadera al final de cada seestre durante siete años y seis eses, a la tasa de interés del 10% anual, capitalizable seestralente TASA NOMINAL n S = R x ( 1 + j / ) - 1 / p ( 1 + j / ) - 1 1, p = PAGO AL AÑO j = 0.10 = n = / 1 S = X 7.50 S = 1, x ( ) - 1 / ( ) - 1 S = 1, x ( 1.05 ) - 1 ( 1.05 ) - 1 S = 1, x ( ) - 1 ( ) - 1 S = x 1, S = 1, x S = 1,

8 -Aplicación PROBLEMA No. 1 De cuánto será el crédito cuyo iporte se cubrirá ediante diez ensualidades y un iporte biestral para tener Q 3, , pagaderos en diez años y dos eses de convenida la operación, si la tasa de interés es del 6% anual PARA DETERMINAR VALORES ACTUALES TASA EFECTIVA un pago por año - n A = R X 1 - ( 1 + i ) i 3, p = 1 PAGO AL AÑO i = n = / 1 = A = A = 3, X 1 - ( 1 + ) 3, A = X 1 - ( ) 3, A = X 1 - ( ) A = 3, X A = 3, X A =,

9 PROBLEMA No. Se venden terrenos por abonos y sin enganche, ediante el pago de Q cada fin de es, durante el térino de los próxios cinco años, cargándose por la venta a plazos el 8% anual de interés. Cuánto se debería pagar hoy si la copra se hiciera al contado varios pago por año - n A = R X 1 - ( 1 + i ) 1 / p ( 1 + i ) p = 1 PAGO AL AÑO i = 0.08 n = / 1 = A = A = X 1 - ( ) 1 / 1 ( ) - 1 A = X 1 - ( 1.08 ) - 5 ( 1.08 ) - 1 A = X 1 - ( ) ( ) - 1 A = X A = X A = 4,8.45 9

10 PROBLEMA No. 3 Se vende un horno industrial bajo las siguientes condiciones: Q5, de enganche y Q, cada fin de año, durante veinte años, cargándose intereses del 10% anual capitalizable seestralente. Qué precio se pagará si la copra se hiciera hoy, totalente al contado TASA NOMINAL - n A = R X 1 - ( 1 + j ) / p ( 1 + j ) - 1 ENGANCHE:,000.00, X 1 = p = 1 PAGO AL AÑO j = 0.10 = n = / 1 = S = A =, X 1 - ( ) / 1 ( ) A =, X 1 - ( ) ( ) - 1 A =, X 1 - ( ) ( ) - 1 A =, X A =, X x 0.00 A = 16, EL PRECIO DE CONTADO SERÁ ENGANCHE ANUALIDAD 16, TOTAL 1,

11 -Cálculo de la renta Con frecuencia se conoce el onto o el valor actual de una anualidad ordinaria o vencida y se desea encontrar la renta periódica, que no es ás que el pago, deposito o retiro que se hace a intervalos regulares de tiepo. PARA DETERMINAR LA RENTA CUANDO SE TIENE MONTO TASA EFECTIVA Un pago por año S x i n ( 1 + i ) - 1 Varios pago por año 1 / p S ( 1 + i ) - 1 n ( 1 + i ) - 1 TASA NOMINAL / p S ( 1 + j ) - 1 PARA DETERMINAR LA RENTA CUANDO SE TIENE VALOR ACTUAL TASA EFECTIVA n ( 1 + j ) - 1 Un pago por año 1 - A 1 ( 1 + i ) i n Varios pago por año TASA NOMINAL 1 / p A ( 1 + i ) n 1 - ( 1 + i ) / p A (( 1 + j ) - 1 ) 1 - ( 1 + j ) - n 11

12 APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Deseaos acuular al final de seis años la cantidad de Q 75, para cabiar aquinaria. Cuanto se tendrá que depositar cada año en una cuenta que abona el 15% de interés anual. TASA EFECTIVA Un pago por año S x i n ( 1 + i ) - 1 S = 7 p = 1 PAGO AL AÑO i = 0.15 n = / 1 = 7 x ( ) , ( 1.15 ) ,50.00 ( ) , , RENTA ANUAL 1

13 PROBLEMA No. Una persona ha depositado parte de su sueldo en un banco que abona el 10.5% anual de interés capitalizable cada cuatro eses. Al cabo de diecisiete años había acuulado Q, Qué sua estuvo depositando al final de cada es TASA NOMINAL / p ( 1 + j ) - 1 n ( 1 + j ) - 1 s =,000.00, X 1 = p = 1 PAGO AL AÑO j = = 3 n = / 1 = 3 / 1, ( ) x ( ) - 1 3, ( ) - 1 ( ) - 1, ( ) - 1 ( ) - 1, ( ) ( ), ( ) S RENTA MENSUAL 13

14 PROBLEMA No. 3 Una epresa que se dedica al arrendaiento financiero (Leasing), ofrece a una industria que desea adquirir aquinaria por un precio de Q 500, , financiaiento a 4 eses, cobrándole el 30% de interés anual. El convenio consiste en que la epresa arrendadora le cobrara una renta ensual calculada en la condiciones indicadas anteriorente, y al final del plazo le da la opción de copra del activo a un precio sibólico de Q 10, Cuanto debe cobrarse de arrendaiento ensualente. Varios pago por año 1 / p A ( 1 + i ) n 1 - ( 1 + i ) A = 500, p = 1 PAGO AL AÑO i = 0.30 n = / 1 = 1 / 1 500, ( ) ( ) 500, ( 1.30 ) ( 1.30 ) 500, ( ) ( ) 500, ( ) ( ) 11, ,

15 PROBLEMA No. 4 Una persona ahorro en una cuenta bancaria durante 8 años la cantidad de Q 30, 34.8, con el propósito de retirarlo a partir del noveno año. En cantidades ensuales durante cinco años. La operación se hará en un banco que reconoce el 16% anual de interés capitalizable seestralente. Cuanto se retirará ensualente a partir del noveno año. TASA NOMINAL / p A (( 1 + j ) - 1 ) - n 1 - ( 1 + j ) A = 30,34.8 p = 1 PAGO AL AÑO j = 0.16 = n = / 1 = / 1 30,34.8 (( ) - 1 ) 1 - ( ) - x ,34.8 ( ) ( 1.08 ) 30,34.8 ( ) ( ) 30,34.8 ( ) ( ) ( ) 79.6 RENTA MENSUAL