Unidad 13 Probabilidad condicionada

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1 Unidad Probabilidad condicionada PÁGINA 05 SOLUCIONES. La composición de la bolsa queda con canicas rojas, azules y verdes. Por tanto, el color más probable de las que quedan dentro es azul.. La probabilidad es.. En cada caso: a) Con reemplazamiento la probabilidad es Sin reemplazamiento la probabilidad es

2 b) Con reemplazamiento Sin reemplazamiento Las probabilidades son: a) ( P caja segunda y bola blanca 6 ) b) ( P caja primera y bola blanca ) ( caja primera y bola blanca ) + bola blanca P

3 PÁGINA 5 SOLUCIONES. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que la igualdad es cierta para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierta para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente: Para n vemos que la igualdad es cierta pues Para n calculamos A A Suponemos que es cierta para n p, es decir: A A 0 A p p Hemos de ver que también es cierta para n p +, es decir hemos de probar que ocurre lo A siguiente: p p A + A. Para ello calculamos esta matriz que es lo que queríamos p+ p p p A A A A A A demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p +. Por tanto podemos afirmar que es cierta n.

4 5. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que n n es múltiplo de 5 es cierto para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierto para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente. Para n vemos que la igualdad es cierta pues 5 múltiplo de 5 Para n 5 0 múltiplo de 5 Suponemos que es cierta para n p, es decir: 5 p p es múltiplo de 5. Hemos de ver que también es cierta para n p +, es decir hemos de probar que se cumple 5 la siguiente expresión: ( p ) ( p ) Para ello operamos y obtenemos: ( ) ( ) + + es múltiplo de p + p + p + 5p + 0p + 0p + 5p + p ( p p) + 5( p + p + p + p) que es una expresión que resulta múltiplo de 5 + múltiplo de 5 múltiplo de 5, que es lo que queríamos demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p +. Por tanto podemos afirmar que es cierta n.. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que la igualdad es cierta para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierta para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente. Para n la igualdad es cierta ( + ) Para n la igualdad es cierta pues + ( + ) ( p + ) p Suponemos que es cierta para n p, es decir: p Hemos de ver que también es cierta para n p +, es decir hemos de probar que se da la ( ) ( p + ) p + siguiente expresión: p + ( p + ) Para ello utilizando lo anterior obtenemos: ( ) ( ) + p ( + ) + p p p p + ( p + ) ( p + ) + p + que es lo que queríamos demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p +. Por tanto podemos afirmar que es cierta n.

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6 SOLUCIONES. Las probabilidades son: a) una persona sin gafas ) + 0, b) 60 0 una mujer con gafas ) 0, Quedan: salga /salió impar ) par/mayor que ). La solución es: a) mujer ) b) menos de 0 años ) 0,5 0, + 0,5 0, 0, 5 0,7 c) mujer/mas de 0 años ) 0, 585 0,7 + 0,6. Queda: a) hombre ) 6 b) este enfermo ) + 0, c) hombre/esta enfermo ) 00 0,

7 5. Sean A y B, respectivamente, la primera y la segunda de las pruebas. Tenemos: a) pase al menos una ) P ( A B) 0,6 + 0,8 0,5 0, 9 b) no pase ninguna ) no pase ninguna ) 0,9 0, c) No son independientes, ya que A B) 0,5 y A) B) 0,6 0,8 0, 8 son diferentes. d) Queda: 6. Las probabilidades son: 8 a) La probabilidad es: + + 0, b) nocturna/defectuosa ) 00 0, La solución en cada caso: 50 a) P ( defectuoso y de A ) 0, b) P ( defectuoso ) + + 0, c) P ( C/no defectuoso ) ,

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9 SOLUCIONES 8. Queda: Fiebre y Tensión alta) 0,76 + 0,58 0,6 0,7 P ( F T ) P ( F T ) 0,6 0,8 9. Se dice: 0 P ( figura ) 0, oro ) 0, 5 P ( figura de oros ) 0, Al ser P ( figura de oros ) figura) oros ), los sucesos son independientes. 0. Queda: P ( A B) A B) 0,7 A B) 0, Como A) B) A B) no son independientes los sucesos A y B. P ( A B) A) + B) A B) 0, + 0,6 0,7 0,. La solución: a) 5 P ( C A) 0, 75 0 b) primera decena / rojo) 5 / 0 5 primera decena/rojo ) 0, 5 rojo) 0 / 0 0 c) Veamos si los sucesos A y B son independientes. Al ser A B) A) B), los sucesos son independientes. Lo mismo ocurre para los sucesos A y C. 9

10 . Obsérvese el esquema siguiente: 0 a) segunda roja ) b) ambas del mismo color ) ª roja y ª roja) 0 / 7 0 c) ª roja/ª roja ) ª roja) / 7. La probabilidad pedida es: N N y pérdidas) 0,0 / / pérdidas ) pérdidas) 0,0 / + 0,0 / 0,0 5 0, 6. Queda: a) daltónica/hombre) / daltónica/hombre ) 0, 667 hombre) / b) / 5 daltónica/mujer ) 0, 08 / 5 c) daltónica ) + 0, La probabilidad es: cursa francés y es mujer) 0, 0,5 cursa francés/es mujer ) 0, mujer) 0,5 0

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12 SOLUCIONES 6. Las soluciones quedan: a) P ( defectuoso ) + + 0, b) P ( C/defectuoso ) , La probabilidad viene dada por: a) + + 0, 69 Luego el 69% de las familias utiliza coche b) P ( resto España/ no coche ) , En cada caso: P ( pertenezca a A / no ha aprobado ) , P ( pertenezca a B / no ha aprobado ) , Observa el diagrama resultante: La probabilidad es: pasa blanca y sale blanca) / / P ( pasa blanca/sale blanca ) sale blanca) / / + / / 6 7

13 La probabilidad es: P ( mismo color ) + 0, Queda: de la ª casa y no funciona) P ( de la ª casa/no funciona) no funciona) 0,6 0,00 0,00 0,857 0,6 0,00 + 0, 0,05 0,008. Quedan: a) P ( ª verde ) + 0, b) P ( igual color ) + 0, 9. En cada caso: a) 9 negra ) + 0, b) 5 6 negra ) + 0, La probabilidad queda: ª urna / roja) 0,

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15 SOLUCIONES 5. En cada caso queda: a) La probabilidad pedida es una probabilidad total: P ( Errónea) P ( Errónea /ª persona) + P ( Errónea / ª persona) + P ( Errónea / ª persona) 0, 0,0+ 0, 5 0,0 + 0,0 0,5 0,055 b) Utilizando el teorema de Bayes, obtenemos: ª persona y correcta) ª persona / correcta) correcta) 0,5 x 0,97 0, 65 0,65 0,6 0,0 x 0,99 + 0, 5 x 0,97 + 0,5 x 0,98 0, , ,50 0, Queda: a) A y B son independientes puesto que A) A/B), es decir B no influye en la probabilidad de A. b) Como A B) A) + B) A B). Si P ( B ) entonces P ( B ), por ser A y B independientes: A B) A) B) A B) + 7. Decimos: Hombres Mujeres TOTAL Sólo mañanas No sólo mañanas TOTAL A partir de la tabla obtenemos: a) La probabilidad de que sea hombre o sólo trabaje en el turno de mañana es la expresada a continuación: P 50 7 b) ( Mujer no solo mañanas) 8. Como B / A) + B / A) y B / A ) 0, ; entonces B / A ) 0,7. 5

16 9. Expresamos la información del enunciado en una tabla de contingencia: Mayores de 5 Menores de 5 años años Totales Directivo 6 8 No directivo 78 9 Totales Observando los valores de la tabla, respondemos a las preguntas: a) El porcentaje de los trabajadores que tiene más de 5 años y no desempeña ningún cargo directivo es el %. b) El porcentaje de los trabajadores que no es directivo y no es mayor de 5 años es el 78%. c) El porcentaje de trabajadores que son directivos y no tienen más de 5 años es el %. El % de 50 trabajadores es. 0. Como A y B son independientes entonces A B) A) B) Como A B) A) + B) A B) obtenemos: P A P B ( ) ( ) 7 A) + B). 6 Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones: 7 A) + B) 6 A) B) Las soluciones son: Si Si B) A). B) A). 6

17 . Construimos una tabla de contingencia con los datos que aparecen en el enunciado. Calculamos los valores de cada una de las casillas en tantos por ciento. Multa No Multa Totales Accidenta 5,5 7,5 No Accidente 5 7,5 6,5 Totales Observando la tabla respondemos a las cuestiones del enunciado: a) El porcentaje que no ha tenido nunca un accidente ni les han puesto nunca una multa es el 7,5%. b) El porcentaje que no ha tenido nunca un accidente es 6,5%. Este valor de 6,5% se calcula : El 60% de x es 7,5% y se obtiene x 6,5% c) Entre las personas que no han tenido nunca una multa 50% del total es decir un 0,50, el porcentaje de las que no han tenido nunca un accidente 7,5% del total, es decir un 0,75, es el 75% de ese valor.. Hacemos una tabla de contingencia con los datos del problema y obtenemos: Asisten No Asisten Totales Aprueban 68 5 No Aprueban 5 87 Totales Las probabilidades pedidas son: a) La probabilidad de que no haya asistido a clase y haya aprobado es 5 0,5 00 b) Entre los que han aprobado la probabilidad de haya asistido a clase es 68 0, También podíamos haberlo hecho por el teorema de Bayes: 0 0,8 00 0,56 Asiste / Aprueba ) 0, ,7 0,8 + 0,

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19 SOLUCIONES 5. P ( suma par/ha salido tres ). La solución es: a) P ( blanca ) 0, blanca y marcada) 75 b) blanca/marcada ) 0, marcada) Queda: 6. Queda: obtener caras con moneda de caras) moneda de caras / han salido caras) obtener caras) 8 0,

20 7. En el diagrama de Venn podemos ver los datos del problema: 8. Las posibles configuraciones de la urna pueden verse en el dibujo adjunto. blanca y blanca) segunda blanca/primera blanca ) 0, 5 P (primera blanca) + 9. En cada caso: 6 a) cara ) + + 0, 7 b) roja/cara ) 0, La solución es: 5 70 A / detectado defectuoso) , Queda: blanca y blanca) segunda blanca/primera blanca ) 0, 67 P (primera blanca)