1. Control con Modelo de Referencia
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- Pascual Blázquez Valverde
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1 1. Control con Modelo de Referencia 1. CONTROL CON MODELO DE REFERENCIA INTRODUCCIÓN CONTROL CON MODELO DE REFERENCIA DETERMINISTA CONTROL CON MODELO DE REFERENCIA ESTOCÁSTICO SIMULACIONES Control con Modelo de Referencia Control con Modelo de Referencia Adaptativo Control con Modelo de Referencia Estocástico REFERENCIAS...31 Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 1
2 1.1. Introducción Se contempla en el diseño la dinámica de la referencia: M H y+d = y+d = r E (1.1) r es un escalón y H y E dos polinomios que definen la dinámica del modelo. r + d + - u z -d B A y z - d H E M y - + ε Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 2
3 1.2. Control con Modelo de Referencia Determinista En este caso el modelo de la planta será: -d A y = z B u (1.2) Se definirá un nuevo predictor del siguiente modo: E y = G y + F B u +d (1.3) donde los polinomios F y G cumplen la ecuación, -d E = F A + z G (1.4) La ecuación (1.2) y la (1.3) son equivalentes ya que si multiplicamos (1.2) por F resulta: -d F A y = z F B u (1.5) -d -d E - z G y = z F B u ( ) E y = G y + F B u +d (1.6) Como el objetivo es cumplir (1.1), la ley de control deberá ser: +d (1.7) E y = G y + F B u = H r Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 3
4 r + d H FB u z -d B A y G ε = H r - G y -d z B y = ε A F B -d -d z H z G y= r - F A F A ( ) F A - G y = H y r +d y (1.8) -d -d z z r (1.9) H = E (1.10) estabilidad de la actuación. Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 4
5 ε u= F B ε G B A -d = H r - u = F B u z -d ( z ) (1.11) H A r = A F B + B G u (1.12) u H A = r E B (1.13) B' debe ser estable. Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 5
6 Notación vectorial de la ley de control: 1 u= H r - G y + ( b0- F B ) u b (1.14) 0 = p T u x (1.15) x p donde =,- y - (1.16) T a r u -1 1 g fb =, b0 b 0 b 0 (1.17) T 0 1 y la variable auxiliar = H a r r (1.18) Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 6
7 Notación vectorial de la planta: El predictor dice E y = G y + F B u +d (1.19) o b u + ( F B - b ) u + G y = E y 1 u = E y+d - G y + ( b - F B ) u b d 0 a +d definiendo la variable auxiliar, y = E y (1.21) +d la expresión de u resulta (1.20) = p T u x (1.22) x p siendo los vectores: = y,- y - u T a +d 1 g fb =, b0 b0 b0 T (1.23) Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 7
8 Si no se conoce p se lo debe estimar con algún método de identificación recursivo. Ejemplo: Planta A= 1 1,74 z +0,77z 1-2 ( z ) B = z 0, , C=1 2 z +1,29z 0,27z H Modelo de referencia: = 0,4 E = 1 0,6z (1.25) -1 (1.24) Reducción de la ganancia a la mitad en la muestra 50. Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 8
9 Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 9
10 1.3. Control con Modelo de Referencia Estocástico Modelo del proceso: -d A y = B u + C ω (1.26) z Se definirá una variable filtrada y f de la forma: y = E y f (1.27) 0 f +d Se puede demostrar que la mejor predicción de y f es: C y = G y + F B siendo (1.28) -d C E = F A + z G (1.29) Demostración: -d -d ( C E - z G ) y= z F B u + F C -d C ( E y - F ω) = z ( G y + F B u ) y 0 f u = E y - F ω ω (1.30) donde el valor Fω es el error de predicción. Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 10
11 Por lo tanto el control debe ser tal que M E y = f = H r = E = M f y y y (1.31) Definimos el funcional a minimizar de la siguiente forma: { 2 ( ) } M min J = E y - y (1.32) Sumando y restando el predictor se obtiene: { } y y y M =Σ f f J E y - E + - { 2 2 [ ][ ]} 0 M 0 E y - y f + E y - y f + 2 =Σ (1.33) f =Σ { 2 ( ) ( ) [ ][ ]} 2 M 0 F ω + E y - y f + 2 esto se cumple ya que y - y = F ω (1.34) 0 f Entonces, para que J sea mínimo debe cumplirse E y - y = 0 (1.35) M 0 f Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 11
12 es decir y = y (1.36) 0 M f f y si se reemplaza la ecuación del predictor, C y = G y + F B u 0 f +d = C E y = C H r M +d (1.37) la ley de control queda u r (1.38) F B = C H - G y Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 12
13 ω C A r + d HC FB u z -d B A + + y G Relación entre referencia y salida. ε = H C r - G y -d C y= z ε + ω F A A z z ω (1.39) C E y = H C r + C F ω +d -d -d F A y = H C r - G y + C F +d E y = H r + F ω +d +d Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 13
14 Por lo tanto la salida sigue al modelo excepto un error debido al ruido. En cuanto a la variable de control, obedece a la siguiente ecuación: u A H C = (1.40) r E B O sea que es estable para sistemas de fase mínima Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 14
15 1.4. Simulaciones Control con Modelo de Referencia cambioref = 50; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.02*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [ ]; ne = 2; HH = [ ]; nh = 1; n = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 15
16 u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; for i = 2: n F(i) = EE(i); for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na G(i) = EE(n + i); for j = 0:n-1 if i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-3+length(p),1)*b(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 16
17 ParReg(na+1:na+nb+n-2) = (FB(2:nb+n-1)+lambda*R(2:nb+n-1)'/B(1)) * ParReg(1); ParReg(na+nb+n-1:na+nb+n+length(P)-3) = -lambda*p(2:length(p))/b(1)*parreg(1); for i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia if i==120 B=B./2; end % Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); % y(i)=fliplr(b(1:length(b)))*u(i-length(b):i-1)-%fliplr(a(2:length(a)))*y(ilength(a)+1:i-1); for j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la ref filtrada: ra = referencia * H for j = 1:nh Ra(i) = Ra(i) + ref(i-j+1)*hh(j); ym(i) = Ra(i); for j = 2:ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ee(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-3+length(p),1); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 17
18 ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na) = -flipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+n-2) = -flipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off axis([0 n ]) Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 18
19 Control con Modelo de Referencia Adaptativo cambioref = 50; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.02*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [ ]; ne = 2; HH = [ ]; nh = 1; n = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; Ra = zeros(n,1); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 19
20 ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % inicialización identificación np=na+nb+n+length(p)-1-2; Aest = ones(n,np); lam=.9; p=10000*eye(np); th=eps*ones(np,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; for i = 2: n F(i) = EE(i); for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na G(i) = EE(n + i); for j = 0:n-1 if i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 20
21 % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-3+length(p),1)*b(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); ParReg(na+1:na+nb+n-2) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); for i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia if i==120 B=B./2; p=10000*eye(np); end % Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); for j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la ref filtrada: ra = referencia * H for j = 1:nh Ra(i) = Ra(i) + ref(i-j+1)*hh(j); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 21
22 ym(i) = Ra(i); for j = 2:ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ee(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-3+length(p),1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na) = -flipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+n-2) = -flipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación % u(i) = ValReg' * ParReg; u(i) = Aest(i-1,1:np) * ValReg(1:np); % Cálculo del vector X para el identificador x = zeros(np,1); % x(1)=y(i)+lambda/bp(1)*uf(i-n); for j = 1:ne x(1) = x(1) + y(i-j+1)*ee(j); x(2:na)=-flipud(y(i-na+2-n:i-n)); x(na+1:na+nb+n-2) = -flipud(u(i-nb-n+2-n:i-1-n)); % x(na+nb+n-1:na+nb+n+length(p)-3) = -flipud(uf(i-length(p)+1-n:i-1-n)); % Identificación yh=x'*aest(i-1,1:np)'; epsi=u(i-n)-yh; K=p*x/(lam + x'*p*x); p=(p-k*x'*p)/lam; Aest(i,1:np)=(Aest(i-1,1:np)'+K*epsi)'; epsilon=u(i)-aest(i,1:np)*x; Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 22
23 end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off axis([0 n ]) plot([aest Aesti]);grid Control con Modelo de Referencia Estocástico cambioref = 50; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.02*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [ ]; ne = 2; HH = [ ]; nh = 1; Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 23
24 CE = conv(c,ee); CH = conv(c,hh); n = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; for i = 2: n F(i) = CE(i); for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na G(i) = CE(n + i); for j = 0:n-1 if i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 24
25 % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-1,1)/ B(1); ParReg(2:na+1) = ParReg(1) * G(1:na); ParReg(na+2:na+nb+n-1) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); for i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia if i==120 B=B./2; end % Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); for j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la ref filtrada: ra = referencia * CH for j = 1:5 %nh Ra(i) = Ra(i) + ref(i-j+1)*ch(j); ym(i) = Ra(i); for j = 2:6 %ne Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 25
26 ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ce(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-1,1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na+1) = -flipud(y(i-na+1:i)); ValReg(na+2:na+nb+n-1) = -flipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off axis([0 n ]) Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 26
27 cambioref = 50; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.02*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 27
28 na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [ ]; ne = 2; HH = [ ]; nh = 1; CE = conv(c,ee); CH = conv(c,hh); n = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; for i = 2: n F(i) = CE(i); for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 28
29 % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na G(i) = CE(n + i); for j = 0:n-1 if i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-1,1)/ B(1); ParReg(2:na+1) = ParReg(1) * G(1:na); ParReg(na+2:na+nb+n-1) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); for i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia if i==120 B=B./2; end % Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); for j = 1:nc Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 29
30 y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la ref filtrada: ra = referencia * CH for j = 1:5 %nh Ra(i) = Ra(i) + ref(i-j+1)*ch(j); ym(i) = Ra(i); for j = 2:6 %ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ce(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-1,1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na+1) = -flipud(y(i-na+1:i)); ValReg(na+2:na+nb+n-1) = -flipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off axis([0 n ]) Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 30
31 1.5. Referencias Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall Clase 13 Control con Modelo de Referencia.doc 31
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